AE AE

ce qui donnera pour'le plus grand allongement subi par la lige.

DES RÉSISTANCES

v ou IL = V + 1" +\/ r- 4 - = 0-, 00206 + i/lummu

et , pour l’allongement proportionnel , I , ou par mètre ,

résultat qui montre que l’élasticité des tiges de suspension pourrait en effet, etre alteree (298) dans les hypothèses dont il s’agit, et qu’on ne saurait d ailleurs , considérer comme exagérées (1).

Les reflexions que ce résultat suggère, ainsique le mode d’épreuve quon tait actuellement subir aux ponts suspendus sur chaînes en fer feront l’objet de l’article suivant. ’

554. Réflexions concernant la stabilité des ponts suspendus. Les conclusions auxquelles nous ont conduit nos précédents calculs, si elles étaient prises a la lettre , donneraient lieu de craindre que , par suite de la rénétition plus ou moins fréquente des accidents occasionnés par la rencontre de lourdes voitures sur ces sortes de ponts, l’altération élastique des tiges verticales nallatsans cesse en augmentant ainsi que leurs allonaements permanents, et que, bientôt, il n’arrivât une époque où leur énervation complète, entraînerait la ruine partielle ou totale du système. Ce danger, si i on s arrêtait à un premier aperçu, paraîtrait bien plus imminent encore pour les immenses chaînes auxquelles toute la charge du pont et des tiges se trouve suspendue , et qui sont composées de longues barres , de longs anneaux dont le fer est soumis à des efforts permanents qui s élèvent quelquefois à 8 ou lOtü par millimètre carré , mais que les ingénieurs prudents réduisent, conformément à la règle du JN° 288, à 5 ou 6 seulement , de manière que. lors de l’épreuve dont il a été parlé cidessus (552), la charge soit, au plus, de 9 ou KM également par millimétré carré. Or on doit remarquer que, si la tension de ces chaînes est susceptible de croître proportionnellement à la charge qui se trouve uniformément répartie sur le plancher du pont, il s’en faut de beaucoup quilen soit ainsi pour une surcharge isolée, même en considérant les chaînons qui supportent immédiatement cette surcharge par l’intermédiaire des tiges; le calcul démontre , en effet, que l’excès de tension, qui en résulte, est toujours une fraction extrêmement faible de celui que reçoit chaque tige , de sorte qu’il est permis d’en négliger l’influence dans la question qui nous occupe.

A l’égard des tiges de suspension qui peuvent momentanément se trouver soumises, comme on l’a vu, à des allongements surpassant d’une quantité notable la limite assignée, par l’ensemble des expériences con-

(i) On peut, à la vérité, objecter, d’une part, que la simultanéité du choc de deux voitures à l’instant de leur croisement sur le pont, offre, en elle-même, peu de probabilité, d une autre, que les roues ne peuvent retomber , avec une certaine vitesse, sur le tablier du pont, qu’autant qu’elles cesseraient d’agir sur lui pendant toute la durée de leurchute, et qu alors ii pourrait bien arriver que les extrémités inférieures des tiges de suspension, fussent eu le temps de se relever ou de se détendre d’une quantité plus ou moins grande , etc - d’unique réponse à ces questions, c'est que les hypothèses contraires , tout improbables qu’on les suppose, sont néanmoins possibles; car il peut se faire que le choc surprenne les tiges dans un état d’allongement supérieur à leur allongement moyen, en raison des oscillations mêmes qui naissent de leur détente élastique. Or, dans ces sortes deques* tions , il est d’usage d’admettre précisément l’hypothèse des chances les plus défavorables, pourvu qu’elles soient possibles rationnellement.

nues , t à l’élasticité naturelle du fer , on est conduit à reconnaître que l’absence des accidents que pourrait entraîner . avec elle , une pareille altération, si elle était souvent répétée, doit tenir à quelque propriété physique du métal, qui n’a pu encore être mise en parfaite évidence dans les expériences d’une courte durée, et qui doit être analogue à celle dont il a été parié au N° 500 , à l’occasion des intéressantes recherches de M. Ardant. On a vu, en effet, que des fils métalliques dont l’élasticité paraissait comme entièrement énervée sous l’influence d’un chargement brusque, ou d’une succession de charges additionnelles, qui ne laissaient, pour ainsi dire, aucun repos à ces fils, reprenaient ensuite , en grande partie, leur élasticité, leur énergie primitives, quands ils demeuraient soumis à l’action permanente ou prolongée, de ces mêmes charges ; de sorte qu’il peut bien arriver, à fortiori , pour le cas des ponts en fer, que les tiges de suspension reprennent , après une série d’oscillations occasionnées par le passage de lourdes voitures, etc. , une portion notable de l’élasticité qu’elles avaient momentanément perdue, ou que leurs molécules reviennent même complètement à leur ancien état, à leur état moyen de stabilité sous l’influence du temps, ou des actions lentes qui les sollicitent.

Cette opinion est d’ailleurs conforme à celle qu’a émise M. Savarf , à la page 585 du Mémoire cité au N° 299 , et d’après laquelle des tiges métalliques, eri s’allongeant d’une manière progressive et permanente sous l’influence d’une charge constante , et de vibrations excitées dans le sens de leur longueur, finissent néanmoins par acquérir un état de stabilité, une sorte d’écrouissage , qu’elles conserveraient ensuite indéfiniment sous l’influence des mêmes conditions.

535. Du mode dépreuve quil conviendrait de faire subir aux ponts suspendus. Quoi qu’il en soit de ces dernières réflexions, il ne résulte pas moins, de nos précédents calculs, que l’épreuve, en quelque sorte statique. à laquelle on se contente ordinairement de soumettre les ponts suspendus, bonne, en elle-même, pour mettre en évidence les défauts accidentels des chaînes et autres matériaux de la construction, ne saurait offrir, pour la suite, toutes les garanties de solidité désirables. De plus, les fâcheux accidents qu’elle entraîne parfois . et contre lesquels on s’est élevé avec de justes raisons, doivent la faire entièrement proscrire par l’Administration : mais par quel genre d’épreuves pourrait-on la remplacer avec sécurité et de manière à atteindre le but désiré ?

Dans deux lettres successivement adressées à l’Académie des sciences de Paris , M. le docteur Gourdon a proposé soit d’effectuer le chargement d’épreuve ordinaire, en se servant de cabestans, fixés à l’une des rives, pour amener successivement les matériaux sur le tabiier du pont, soit de faire parcourir par le même moyen , toute la longueur de ce dernier, a une voiture chargée deux ou trois fois autant que les plus lourdes voitures de roulier : la vie des hommes préposés à cette manœuvre serait ainsi préservée de tout danger. Mais , de ces deux procédés , le premier, à cause de son excessive lenteur, paraît peu susceptible d’application, et il exigerait toujours la présence , sur le pont, d’un certain nombre d’hommes pour le déchargement et le placement des matériaux; le second offrirait 1 inconvénient d’exagérer, outre mesure, la charge instantanée , et il ne permettrait pas déjuger de l’effet des forces vives imprimées aux diverses parties, dans l’état ordinaire.

Il nous semble qu’on atteindrait plus sûrement et plus promptement but , si l’on faisait traîner par des chevaux et à la vitesse voulue, la vonui ou les deux voitures destinées à l’épreuve , au moyen d’une chaîne ou u « cordage de prolonge suffisamment étendu ; à peu près comme cela se pi a

DES RÉSISTANCES. 28 -

tique, pour les canons, dans certaines manœuvres d’artillerie On mettrait d’ailleurs les chevaux a l’abri de tout accident, en faisant passer ta mÎT longe sur un tambour a gorge , monté sur l’une des rives , et gui serait muni de saillies et de rockets convenables , pour rendre impossible le mou veinent de recul des chaînes lors de la rupture du pont. Ouant au place ment de la surcharge uniforme, qui paraît être indispensable pour éprouver les parues les plus solides de la construction , nous ne voyons aucun moyen suffisamment simple de 1 effectuer sans compromettre l’existence de auel qnes hommes. 4

556. Des accidents qui peuvent résulter du passage d’une troupe sur les ponts suspendus. Il est peu de personnes qui ne soient au courant d’une ancienne disposition des ordonnances militaires qui prescrivent de faire rompre le pas a la troupe, aux abords des ponts. On sent parfaitement bien que cette mesure pleine de sagesse, a pour objet d’éviter l’influence des secousses simultanées qui seraient le résultat de la marche cadencée dune pareille troupe ; mais il n’est peut-être pas inutile, et cela rentre spécialement dans l’objet de ce chapitre, d’expliquer comment cette simultanéité d action peut, au bout d’un temps plus ou moins ions et Dar sa répétition devenir réellement dangereuse ; car il paraît évident aussi qu une seule de ces secousses , fût-elle même instantanée . ne saurait nroduire, en chaque point , un effet équivalent à celui des lourdes voitures dont il a été parlé au N° 355 , à moins de supposer des colonnes marchant au pas de charge , serrées en masse et occupant toute la largeur du nont etde ses trottoirs. Lorsqu’en effet, les hommes viennent, dans leur marche ordinaire ou même accélérée, à posera la fois et alternativement chacun de leurs pieds sur le plancher du pont , ils ne le choquent certainement pas avec la vitesse et l’intensité d’action que nous avons attribuées à ces voitures : la masse réellement, agissante , dans ces chocs est bien loin d égaler celle du poids entier de leurs corps. Il est évident qu’il faut chercher principalement la cause des accidents qui ont motivé l’ordonnance dans l’accumulation du mouvement oscillatoire imprimé au plancher des anciens ponts en charpente , et dans l’accroissement progressif de l’amplitude des oscillations qui en résulte , et dont nous avons déjà offert des exemples , plus ou moins analogues , aux N os 529 et suivants.

Pour faire une application suffisamment exacte des principes établis dans ces numéros , au cas actuel , il est nécessaire , au préalable , de considérer attentivement ce qui se passe . en général , pendant la marche ordinaire de l’homme et des animaux ; Je pas de course , le trot et le galop étant exceptés , puisqu’à de telles allures , les dangers et l’intensité de l’action développée par les chocs successifs qu’occasionne la chute de la totalité ou dune partie plus ou moins grande du poids du corps , qui a été comme -ancée au-dessus du sol, ne sont point choses douteuses , et qu’il soit nécessaire de soumettre au calcul.

ôO/ . Evaluation approximative du travail développé par l’homme , dans es oscillations verticales qu’il imprime à son corps pendant la marche ordinaire. foin d’agir par une succession de chocs vifs dans la marche lente et graduelle dont il s’agit, les animaux ne font éprouver à leur corps.de droite à puche et de bas en haut, que de légères oscillations, par suite desquelles ie poids en est successivement reporté, sur l’une ou l’autre jambe av cc une intensité d’action variable entre zéro et une limite qui est principalement relative(530)à l’inertie delà partie de leur masse qu’ils mettent en m °dvement,soit en se portant en avant, soit en s’abaissant ou en s’élevant au-dessus du point d’appui naturel.

; 'ous laisserons de côté l’influence qui peut être due aux actions opéees dans le sens horizontal , et provenant, soit de la progression en avant.

soit du balancement transversal dont il vient d'être parlé, et nous tiendrons compte uniquement des effets qui peuvent résulter , comme au 550 , de l’élévation et de l’abaissement périodiques de la partie supérieure du corps de l’homme, dont le poids sera ici supposé de 60kii seulement, y compris la charge qu’il porte. Observant , en outre , que dans la marche ordinaire d’un homme de taille moyenne , l’amplitude de ces abaissements et élévations successifs, ne surpasse guère 2 à 5 centimètres, on sera conduit à évaluer, tout au plus , à 0 m ,05 . 60k = l kn u8 le travail dynamique qu’il peut ainsi développer à chaque pas ou alternative d’action ; ce qui, en estimant également à 0 m , 7 la longueur du pas ordinaire, porterait,

d’après le tableau du jN° 214^ à lkm ; 8. 8. 77145==! 58857km

environ , la quantité de travail que fournirait ce même homme dans sa marche journalière , en terrain horizontal : le chemin total qu’il est ainsi capable de parcourir , étant de 54000 mètres , ou le nombre de ses pas de 77145, à raison de 2,4 environ par seconde.

Si l’on compare d’ailleurs la quantité de travail ci-dessus à celle qui, d’après le tableau de la page 155 , est développée par l’homme cheminant le long d’une rampe douce, on peut voir que , loin d’être exagérée, elle est à peine la moitié de cette dernière ; ce qui conduirait à porter , avec quelques auteurs , à 5 centimètres , au moins , la hauteur à laquelle l’homme éle venait, à chaque pas , le poids entier de son corps , si l’on n’avait point égard à l’excès de fatigue occasionné par la vitesse avec laquelle il est obligé de porter en avant , les différentes autres parties de sa masse, dans la marche horizontale.

558. Calculs relatifs aux effets résultant, dans certains cas , du passage d’une troupe sur les ponts suspendus. En comptant seulement deux hommes par mètre carré de la surface du pont, ce qui, d’après nos premières hypothèses (552), fait environ 24 hommes par travée, ou 12 par tige, cela réduira à 800t, environ, la charge additionnelle due au passage de la troupe, dont le poids s’ajoute , à peu près constamment ou moyennement , à celui de la charge permanente de 2450kii, provenant du tablier , et élevera à 5250kii la force de tension moyenne , de chacune des tiges de suspension, valeur qui représentera ici simplement celle de O; ce qui donnera , en conservant toutes les autres suppositions du N° 332 ,

QL 5250 k . 10 m ÂË 24500000

pour l’allongement primitif ou de stabilité que subiraient les plus longues d’entre elles , sous l’influence de cette seule tension.

On aura donc aussi (319 et 325)

et par conséquent , pour le nombre N , des oscillations entières que ces mêmes tiges sont susceptibles d’exécuter dans la durée de chaque seconde et sous l’influence d’une vitesse initiale quelconque (326) ,

2sr 6,2852

Le nombre des pas exécutés par la troupe ayant été trouvé ci-dessu» de 2,1 seulement pour le même temps, c’est-à-dire 6,5 fois moindre environ . on voit qu’il s’en faut , de beaucoup , que les alternatives d action, relatives à la marche ordinaire des hommes, coïncident avec celles des oscillations qui sont naturelles aux tiges de suspension , et que ce ne pou -

DES RÉSISTANCES

rait etre que par le plus grand des hasards , que la coïncidence arrivât au

rieüre de tTaSl esécu ^ es P ar Ieur

iî 6Ur « • e q , U V a tout Iieu de supposer que la majeure partie des

n'i il 8 Par es h ? m J mes P en dant la durée , 1",05 environ! de cha-

naîtraient U du P féfa^t ra dp det - rUl -a par I ’ e J fet des chocs et contre-coups qui ments * d d f 1 d comcidence > de l’opposition des deux mouve-

Ainsi, dans l’hypothèse de rigidité qui vient d’ëtre admise pour les tiges de suspension, il serait a peu près inutile de s’inquiéter de l’accumulation de mouvement qui pourrait être occasionnée par les effets de la marche cadencee de la troupe; et, à fortiori, en serait-il ainsi du cas <5 cette -troupe , ayant rompu le pas , les alternatives d’action de chacun des individus qui a composent, seraient en complet désaccord avec les oscd- Iations naturelles des tiges. Mais les choses se passeraient tout diffament si les oscillations devenaient plus lentes en raison (317) de I’augmentation de leur longueur, de celle de la charge O qu’elles supportent ou de la mobdite de leur point d’attache supérieur avec les chaînes. M. Navier a en effet, démontré dans son savant ouvrage sur les ponts suspendus (voyez spécialement I art 29o de cet ouvrage), que la durée des oscillations éproupa !J ces ch . ames et, en conséquence, par la totalité des tiges et du tablier du pont, peut selever, dans certains cas, à 5 ", 7 ; ce qui ferait moms de * d oscillation , par seconde. Or on conçoit qu’il est telle circonstance de 1 etablissement d’un pont où l’isochronisme entre les oscillations et la marche de la troupe , pourrait en effet s’établir ; et alors l’amplitude des premières augmenterait progressivement, suivant une loi analogue à celle qu’indique la formule du N° 350. dl0t,ue a

Afin d’en offrir au moins une application numérique, et de montrer 1 influence de la répétition des effets sur la progression des allongements nous supposerons que la durée de chaque pas ait, en réalité, un Sort exact avec celle des oscillations naturelles des tiges de suspension; remarquant, d ailleurs, que le travail fourni pendant cette durée, par les 12 hommes qui agissent simultanément sur chaque tige , est égal à 19 1 8 = ^lt m , 6 , la formule en question deviendra , à cause qu’on a ici ’

B 2 =~ 21 tm ,6 - --°-- ! - 6 =0 030017630 AE ’ 24300000 ^ UJUUJ 'b33,

Supposant dans cette formule, n ou le nombre des pas exécutés par la troupe , qui est d’ailleurs censée occuper l’étendue entière du pont . égal à 10 seulement, l’allongement total subi par la tige de 10 mètres dont il s’agit ici, s’élèverait déjà à j/ 0,00000177 -f- 0,000T76ÏÏT= 0 m 01334 . ou a 0 m , 001551 par mètre de longueur; résultat supérieur à celui quia ete obtenu au N° 341 , et qui prouve, non-seulement que l’élasticité des tiges serait dès-lors complètement énervée , mais que leur rupture, et par conséquent la chute entière du pont, ne tarderait pas à s’ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si l’on supposait, au contraire, n — o dans la formule, elle redonnerait simplement l’allongement U = l' = Û m , 00133, correspondant au cas ou la tioupe serait immobile, et qui n’est pas même le dixième du nré-

Opnpnf ' *

l re PARTIE

Expériences et calculs relatifs à la résistance longitudinale des prismes au choc ,

559 Données particulières fournies par les. expériences de M. G. H. Dufour de Genève. On doit à cet ingénieur distingue , quelques expériences avant trait à cet objet, et dont il a consigne les résultats dans son ouvrage sur Ips nonts en fil de fer. imprime a Geneve, en 1824 (§ o , p. 20). Ce sont à ma connaissance , les seules dont les détails aient été jusqu’ici mis an iour et attendu le but restreint dans lequel elles ont ete entreprises, il v a lieu de regretter qu’un sujet de recherches aussi intéressant et aussi neuf ait encore si peu attiré l’attention des physiciens et des ingénieurs.

Danf uSe première série d’épreuves, M. Dufour s’est servi d’un fil de fer de St. Gingolf , 13 , ayant 1 ,9 millimètre de diamètre, ou 2,833 mil-

limètres carrés de section, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre, une charge de 196ml, a raison de 69k, 1 par millimétré carré Ce même fil, après avoir été charge verticalement dun poids de 70kii 'un peu moindre que les 0,4 de celui qui en représente la force de ténacité movenne, a été ensuite soumis à l’action de divers chocs produits p “une Zsie de fer pesant NM, et tombant successivement , de S>, de 4, de 6 de 100 centimètres de hauteur, sur la caisse qui contenait les poids' formant , avec le sien propre, la charge permanente, /Oku du fil. Mais encore bien qu’il ne soit résulté , de ces chocs, aucun effe apparent "aucune rupture sensible, il n’est pas moins regrettable que 1 auteur ait négligé de constater , à chaque fois , par des mesures précisés , les. plus grands allongements auxquels les fils sont parvenus , et les allongements permanents qui ont pu s’ensuivre, toutes oscillations étant terminées car ils eussent mis à même de comparer les résultats de 1 expérience à ceux du calcul, et de découvrir la véritable influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

4u surplus , nous avons vainement cherche, dans 1 ouvrage de M. Dufour, la longueur absolue des fils sur lesquels il a opère ; donnée dont a la rigueur, on peut se passer quand il s’agit simplement d obtenir une lira itede la résistance absolue, sous l’action lente d’une force directe ; de traction (244) mais qui devient, au contraire, indispensable dans toutes les questions relatives au choc, puisque la résistance vive des prismes croît , si non proportionnellement , du moins tres-rapidement , avec leur

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des N 525 et suiv.,nous supposerons cette longueur des fils soumis a 1 expenence pai M. Dufour , égale à 2 m , de sorte qu’on aura ici

L = 2 m ,0, A = 2,853 milli - % O=70 k , ()' = 10 k , y'=|/l9,6l8ir,

H' représentant la hauteur d’où sont tombés successivement jes lO kiiogr dans les expériences dont il s’agit. Prenant d ailleurs E °° k

millimètre carré, pour le fil de fer (292) , il en résultera (o24) , poui tai longement permanent avant le choc :

,, 0^ ^0 • - Qm 00^74

et. pour celui qui serait occasionné par la charge O', si elle agissait

seule

QL = 10 r=0 ooos9.

Le premier correspond à un allongement proportionnel de ,0 m ,00~/

DES RÉSISTANCES

= 0,00155 , sous lequel l’élasticité serait certainement énervée (292) s’il s’agissait d’un fil de fer recuit , ou même inégalement recuit. Mais en admettant que le contraire ait eu lieu ici, nous rechercherons l’effet qui a pu résulter du choc des 10t tombant, par exemple, de la plus grande, H'=l”. des hauteurs relatives aux expériences citées, et à laquelle correspond (119)

une valeur de V' = 4 m ,43 et? de Y, =

q^Tq, V ' = h 4-MS = 0“oo4 ,

dont la dernière est, dans nos hypothèses (523), la vitesse par seconde, commune aux deux masses vers la fin de la première période du choc. Attendu d'ailleurs qu’on a ici

- =3181,87 ou *, =55,99,

il en résulte pour la valeur du plus grand des allongements subis , par le fil, sous les influences réunies de ce choc et des deux poids O et O',

L'ouIL=/'-H"-B/ l' n + -^i=0 m ,00313+/o, 000000132+0, 000097955

Cette valeur correspondant , d’après l’hypothèse faite sur celle de L , à 0 m .0150

un allongement, I, de' — ~ — =0 m ,006o par mètre, il est certain que

l’élasticité des fils, fussent-ils même parfaitement écrouis, n’a pu être ici conservée, pas plus que la loi de la proportionnalité des allongements aux forces ou tensions , sur laquelle tous nos calculs et formules sont implicitement fondés. A plus forte raison , ces formules cesseraient-elles d’être applicables aux deux autres séries d’expériences dont il sera parlé dans l’article suivant.

o4Q. Donnée et calculs concernant spécialement la résistance vive des fils de fer à la rupture. Dans les deux dernières séries d’expériences de M. Dufour, des fils de fer de 2,1 millimètres de diamètre, 5,464 millimètres carrés de section , auxquels on supposera également 2 m de longueur, ont été rompus sous le choc d’un poids de 10 kil , qui n’avait besoin de tomber que d’une hauteur de 0 m ,9o, quand la charge permanente du fil égalait la moitié de sa charge maximum, 209 kil , c’est-à-dire 104 k ,5, et de l m ,S8 moyennement, quand elle n’en était que le tiers ou 69 k ,7 ; de sorte qu’on avait dans

le 1 er cas , O = 104\5,H'=0 m ,93, Y' = 4°\53;

le 2 e cas , Q=69 k ,7, H'=l m ,38, Y'=5 m ;20:

et, dans tous deux à la fois, L=2 m ,00, A=5,464 miIc - Q'=10 k ;

ce qui donne respectivement, pour les vitesses communes aux deux corps, immédiatement après le choc.

Mais le calcul de ces vitesses devient inutile dans la question présente où il s’agit simplement d’évaluer la résistance vive opposée par les fils , la quantité de travail effective qui a produit leur rupture, que nous supposerons opérée, dans chaque cas, sous le plus petit choc possible , c’est-àdire de manière que le mouvement soit sensiblement éteint vers l’instant de cette rupture. En effet, d’après le N° 325, la demi-force vive commune aux deux corps O et Q', à l’instant où la première période du choc est terminée, a pour valeur , dans

le 1- cas, J (M + M' V,= g-JY Q'H'= jf|flO\0-,93 =

le 2* cas, Id. id. — V 10-. --lc ; Mii;s,

Ajoutant à ce résultat, le travail relatif à l’allongement T, subi antérieurement, par les fils, sous l’influence de la charge permanente Q , et qui , dans l’hypothèse d’une élasticité parfaite , ici permise , a également pour valeurs respectives (324) , dans j

lel-cas,

îe 2 e cas ; Id. = | 69,7 = 0 km ,078 ,

on obtiendralessommes 8 km ,843 et 1 2 km ,146, : auxquelles , il conviendra encore d’ajouter, afin d’obtenir les résistances vives demandées, le travail développé par les poids Q et O', pendant que s’opère le surplus de l’allongement des fils , dont d’ailleurs , la valeur maximum n’a point été observée ici directement, quoiqu’elle exerce une influence appréciable et susceptible de varier , non seulement avec la longueur absolue L des fils, mais encore avec leur degré de ductilité ou de dureté relative.

En adoptant néanmoins pour terme de comparaison, la valeur moyenne 0 m ,004 par mètre , du plus grand allongement obtenu par M. Dufour (1)] lors de la rupture des mêmes fils , sous de simples pressions, ce qui donne 0 m ,008 pour la longueur entière de chacun de ceux dont il s’agit : remarquant, au surplus, que l’allongement absolu, subi, antérieurement au choc, par ces derniers fils , a pour valeurs respectives :

les quantités à ajouter seront pareillement :

114k, 5 (0 m ,008 — 0 m ,0034) = 114 k ,S.0 m ,0046= Okm.527, et 79k, 7 (0 m 008 — 0 m ,0022) = Okm^ga ;

ce qui donnera pour la quantité de travail absolue ou totale , absorbée par la rupture des deux fils :

1 ° dans le cas d’une chute de 0 m ,9o , 8km i 843 -j- Okm . 557 = 9 km. 572 ,

2° dans celui d’une chute de l m ,58 , 12km, 146 -(- Okm/462 = 12km'608!

Divisant enfin ces résultats par le produit AL = 5.464.2 = 6,928 , on obtiendra les valeurs respectives .-

TV = l km ,55 et T' r — lkm. 82 ;

pour les résistances vives (247) des deux fils, par millimètre carré de section et par mètre de longueur; résultats qui diffèrent notablement l’un de l’autre, et qui diffèrent encore plus de ceux que fournit le tableau du N° 296, pour les fils forts , à la classe desquels appartenaient, trèsprobablement , ceux dont il s’agit.

541 . Réflexions critiques sur les résultats de ces calculs et les méthodes d'expérimentation relatives au choc des prismes. Nous n’entreprendrons pas de discuter et d’interpréter les causes des différences qui viennent d’être signalées ; trop de chances d’erreurs et d’incertitudes accompagnent, comme on l’a vu, les résultats du calcul et de l’expérience; mais nous croyons utile d’insister sur quelques-unes des suppositions que nous avons été obligé d’admettre afin de rendre ces calculs possibles.

(1) Yoy. le tableau de la pag. 23 du mémoire cité.

DES' RÉSISTANCES. 295

En premier lieu pour évaluer les premiers effets occasionnés par la charge permanente Q, des fils, il nous a fallu recourir à l’hypothèse d’une élasticité parfaite; ce qui, certes, ne serait pas permis pour des fils duc «les ou recuits meme inégalement. Si donc il s’agissait de faire une comparaison exacte des données du calcul et de l’expérience, il conviendïït d’observer directement ces premiers effets, qui se compliquent encore de ceux qui peuvent etre dus a l’état naturel d’inflexion ou de torsion dans lequel se trouvent ordinairement les fils passés à la filière.

Il ne serait pas moins indispensable , comme on l’a vu , d’observer direct “ , dans le cas de fils ductiles , le maximum de l’allongement qui

fin P ou’on rffiù 7 *■* !7 aDt de la rupture > au lieu de le déduffe ainsi qu on la fait , du résultat moyen d’expériences étrangères ; ce qui

poui tant n offrait point ici d inconvénients graves, à cause de la faible SS tT devel0ppé par Ies poids Q et Q'> pendant l’allongement

etfnnertirde^fikmu U ™ nS totalem . ent né ?%é l’influence due au poids lui ï * des fils qui , ici encore, n exerçaient aucune influence appréciable , a cause de la grandeur de O. Mais il pourrait être nécessaire d’en tenir compte pour quelques autres circonstances: et cela se ferait approximativement en augmentant la valeur de 0 / du poids de la partie du fil, qui, ayant ete entièrement rompue ou détachée , peut être censée taire corps avec sa masse.

Cette attention serait surtout nécessaire dans le cas où le poids 0', oui produit la rupture par sa chute, étant lui-même assez petit, eî cette chute, par conséquent, très -forte, il arriverait, contrairement aux hypothèses dont on a deauit les résultats des précédents articles , que la vitesse et la force vive, a l’instant de la rupture . fussent comparables à ce les qu engendre cette même chute; alors il faudrait retrancher , des resuuahs ainsi obtenus, la demi-somme des forces vives conservées, à cet instant, parles deux corps et par la partie détachée des fils, i n * în ! es résultats dont il s agit supposent encore (525) que les masses

quantes soient dénuées de toute élasticité ; ce qui pourrait bien ne pas avoir eu heu pour la caisse mise en usage par M. Dufour, et dont le

l, n sT moms flexib!e : aurait P u recevoir les impressions directes un cnoc de O , en produisant ainsi son rejaillissement. Or il est aisé de se convaincre, par les principes des N os 158 et 161 , que la quantité de travail dépensée pour produire la rupture des fils , eut pu alors être moindre nnfa B nî S n . e ravons estimée par les calculs ci-dessus , attendu que le iom y eût entraîné , dans ce rejaillissement , une perte de force vive i, ^comparable à celle qu’il possédait à l’instant même du choc . et dont w valeur serait donnée (158) par la formule

! (Q — QT

a ns le cas d’une élasticité parfaite: tandis que la demi-force vive con- . rv co par le poids Q, et en vertu de laquelle se serait achevée la rupture s uis dans l’hypothèse où 0' n’aurait pas eu le temps de produire, par fechùte, un nouveau choc, eût été simplement (160)

4 Q- <0- QH- — 4 S' Q 0 . H .

2 (Q+Oy (Q+Qy- 0 + 0' lX 0+Q' y quantité sera , en effet , moindre que la demi-force vive ,

commune, après le choc, aux deux corps, O et Q', dans l’hypothèse d’un rejaillissement nul , toutes les fois que la condition

0 ^ qT> 1 ou 50' >Q

se trouvera satisfaite ; ce qui avait effectivement lieu dans le cas dont il g’ggit.

Ces réflexions montrent combien la question qui nous occupe est délicate, et de quelles attentions on doit user , dans les expériences et les calculs, pour atteindre le but, c’est-à-dire pour parvenir, abstraction faite des causes d’erreur qui peuvent influencer accidentellement les résultats , à des valeurs de la résistance vive des prismes comparables , fondées uniquement sur les données de l’expérience directe du choc, et par là même entièrement appropriées à la nature du phénomène. Quant a la question où cette résistance vive étant connue à priori , il s’agira, à l’inverse, de rechercher, par la marche tracée à l’avance, au N°524, quels sont, en général, les effets diianiateurs qui peuvent être produits, sur un prisme, par un choc donné , ou quelle doit être l’intensité d’un choc pour produire un effet également assigné, etc-, il nous suffira d’indiquer rapidement les principales formules en les faisant suivre de quelques exemples numériques très-simples.

Questions et méthodes de calcul spécialement relatives au cas où le choc entraine la rupture ou V altération élastique des prismes .

542. Circonstances principales du mouvement qui précède la rupture. Pour plus de généralité (247) , nous nommerons TV = TV. AL , la quantité de travail développée, par la résistance d’un prisme, pendant qu’il s’allonge d’une quantité quelconque l— i L, à partir de son état naturel ; quantité qui sera donnée, ainsi que la valeur correspondante de cette résistance que nous nommerons P ou P'. A, au moyen de la table du N°289 et de ses analogues relatives aux corps différents des métaux. Nous nommerons pareillement L= tV. AL , le travail de cette résistance correspondant a l’allongement ï = «'L, subi, antérieurement au choc, par le même prisme, sous l’action permanente de la charge O. Cela posé, on aura, pour remplacer les dernières formules du N° 524, dans les mêmes hypothèses et conditions, sauf que la limitede l’élasticité pourra, ici, être dépassée, la nouvelle équation

(Tr t r )

OU

dont on se servira pour calculer, au moyen des tables mentionnées, les différentes circonstances du mouvement qui succède au choc delà masse i

ou —, animée de la vitesse V', contre la masse M ou — , supposée à I état g 9

de repos sous l’allongement donné, /',et dans laquelle on a toujours (325) , pour le cas où il ne surviendrait aucun rejaillissement après le choc,

V __Q V , « v», Q ' 3 tt/

formules qu’il sera d’ailleurs facile (ibid.) d’étendre au cas où la masse i « au lieu d’être au repos à l’instant du choc, posséderait une vitesse, a n rieurement acquise, d’une intensité et d’un sens quelconques.

DES RÉSISTANCES

On voit, en effet, qne, si l’on attribuait aux allongements absolus 1 et 1 ou aux allongements proportionnels, i et*', dans l’équation ei-dessus des valeurs quelconques, on en déduirait immédiatement celle de la vitesse correspondante, V, supposée commune aux deux corps à tous les instants qui suivent la première impression du choc; car les valeurs de TV et de t' relatives aux unités de longueur et de section du prisme, seraient également données par la méthode des quadratures du N° 18Ô. appliquée aux nombres fournis par la table du N° 289 et ses analogues, ou par les courbes des figures 47 et 48, suivant ce qui a déjà été expliqué aux N°* 279 et 296 Mais, afin de n’avoir pas à se jeter pour chacune des valeurs de l ou de i dans les calculs auxquels entraîne l’application de cette méthode . on fera bien de dresser, une fois pour toutes, une nouvelle table des valeurs de TV .

relatives à des valeurs de *=- , ou des efforts correspondants, P', qui

croîtraient pai différences constantes; cela sera facile au moven des courbes dont il vient d’être parlé, et permettra de construire une nouvelle courbe^ servant d’annexe à la nouvelle table, et qui donnera rapidement les valeurs de TV, relatives à des valeurs quelconques de i, ou l ou P. Raisonnant ensuite à peu près comme on l’a fait pour le cas d’une élasticité parfaite (214, 225, etc.), il sera facile de trouver successivement les ordonnées de la courbe qui représente la loi du mouvement pour l’extrémité inférieure du prisme, et qui cessera ici d’être un cercle; mais ces détails qui n’offriraient, du moins pour la première période de rallongement, qu’une répétition continuelle de ce qui a été exposé, dans le précédent chapitre, pour le cas où l’élasticité demeure parfaite, ces détails nous entraîneraient beaucoup trop loin, et nous nous contenterons d’avoir mis le lecteur sur la voie, afin de passer rapidement aux cas d’application qui concernent la rupture effective ou les plus grands allongements subis par les prismes.

o4ô. Formules relatives au maximum d~ allongement et aux circonstances qui accompagnent la rupture. Pour cet allongement, que nous continuerons de nommer L' = IL , la vitesse Y, des deux masses M et M', étant nulle, l’équation générale ci-dessus , devient simplement, en changeant les signés,

txH'

Tr—t'r

AL — (L' -f)=L

(Tr—t'r

VQ+O'

et servira à faire trouver, par un tâtonnement facile , la valeur de L', au moyen de la table ou de la courbe auxiliaires déjà mentionnées, et qui lient en général , cette valeur ou celle de I et i à celle de TV et de P'. Supposons , en effet , que sur les abscisses de la courbe dont il s’agit, censées représenter ici les différentes valeurs que peut recevoir, dans l’équation ci-

dessus , l’inconnue I = , ou , plus généralement , i = ~ , quand on

y tait varier V l ou H', supposons, dis-je, que, sur ces abscisses, on construise une nouvelle ligne ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du travail TV , fournies par cette équation dont on tire immédiatement la formule