DD TRAVAIL MÉCANIQUE DES FORCES ET DE SA MESDRE
70. Notions générales. Travailler c’est vaincre ou détruire, pour le besoin des arts, des résistances telles que la force d’adhésion des molécules des corps, la force des ressorts, celle la pesanteur, l’inertie de la matière, etc. — User , polir un corps par le frottement, le diviser en parties, élever des fardeaux , traîner une voiture le long d’un chemin, bander un ressort, lancer des pierres, des boulets, etc.; c’est travailler, c’est vaincre, pendant un certain temps, des résistances sans cesse renouvelées dans la durée de ce temps.
Le travail mécanique ne suppose pas seulement une résistance vaincue ,
mécanique industrielle.
une fois pourtoutes, ou mise en équilibre par une force motrice, mais , COnStamm ™< détruite le long d'un chemin parcouru par le point oü
s exerce et dans la direction propre de ce chemin . - Pour enlever une parcelle de la matière d’un corps, avec un outil par exemple, non-seulement , faut un effort directement opposé à la résistance que présente cette parcelle , mais encore il faut faire avancer le point d’action de l’outil dans a direct, on de la résistance : plus cet avancement sera grand, plus la par celle enlevée aura de longueur ; d’un autre côté, plus sera grande la largeur oui épaisseur de cette parcelle, plus la résistance ou l’effort sera considérable; l’ouvrage fait, à chaque instant, croit donc avec l’intensité de l’effort et la longueur du chemin décrit dans sa direction propre. Un raisonnement analogue est applicable à tous les travaux industriels opérés par le secours des outils et des machines.
71. Mesure du travail quand la résistance est constante. Supposons que la résistance soit constante, ou reste la même à chaque instant, aussi bien que l’effort qui lui est égal et directement opposé; il est clair que l’ouvrage produit et le travail seront proportionnels au chemin décrit par le point d’application de la résistance, c’est-à-dire qu’ils seront doubles si le chemin est double, triples si le chemin est triple, etc.; de sorte que , si l’on prend pour unité le travail qui consiste à vaincre directement la résistance, le long d’un chemin de 1 mètre, le travail total pourra être mesuré par le nombre des mètres et des fractions de mètre, parcourus. Mais si, pour un autre travail , il arrivait que la résistance constante fût double , triple, etc. de ce qu’elle était dans le premier , à chemin égal décrit par le point d’action de cette résistance, le travail serait également double, triple, etc. de ce qu’il était. Si, par exemple, la résistance était de 1 kilogramme dans le premier cas, et qu elle fût de 2, de 8, de 4 kilogrammes dans le second , le travail, pour chaque mètre de distance, vaudrait 2, 8, 4 fois celui qui, à chemin égal, répond à la résistance de 1 kilogramme.
En prenant donc pour unité de travail mécanique celui qui consiste à vaincre la résistance de 1 kilogramme le long de I mètre, on voit qu’un travail dont l’objet serait de vaincre directement une résistance quelconque qui resterait la même, aura pour mesure le nombre des kilogrammes qui exprime cette résistance (60) , répété autant de fois qu’il y a de mètres et de fractions de mètre dans le chemin parcouru par le point où l’action s’exerce, e est-à-dire par le résultat de la multiplication de ces deux nombres. — Supposons un moteur employé à traîner uniformément un corps sur un chemin horizontal et rectiligne, par le moyen d’une corde tirée dans le sens même de ce chemin ; son travail consistera uniquement à vaincre le frottement constant exercé sur le terrain et qui lui est directement opposé : si, par exemple, la résistance occasionnée par ce frottement, sur la corde, est de 8j kl ! } 50, et que le chemin total décrit, dans un certain temps, soit de 64 m ,
i! est clair qu’en prenant pour unité de travail celui qui consiste à vaincre la résistance d’un kilogramme le long d’un mètre de chemin , le travail total sera mesuré par le nombre 37,50 X ^ = 2400; c’est-à-dire , en d’autres termes, que, si l’on était convenu de payer un centime, je suppose, l’unité dont il s’agit, il faudrait payer 2400<=ent. ou 24 f ,00 le travail total.
En général, on voit que le travail mécanique que nécessite directement une certaine résistance constante, et qui se reproduit le long d’un certain chemin , a pour mesure le produit de cette résistance par le chemin que décrit son point d’action, dans sa direction propre ■ l’unité de travail étant toujours l’unité d'effort , mesuré en poids , parcourant l’unité de chemin ou de longueur : nous disons directement , parce qu’eu effet, il ne s’agit ici que du travail d’une puissance qui serait directement opposée à la résistance, et non du travail d’un moteur qui agirait d’une manière quelconque sur cette résistance (75 et 76).
72. Mesure du travail quand la résistance est variable. Si la résistance , ou l'effort égal et opposé qui la détruit, au lieu d’être la même à chaque instant, variait sans cesse ainsi qu’il arrive dans bien des circonstances , le travail ne pourrait plus s’évaluer comme on vient de le dire ; mais , attendu que, pour chacun des espaces très-petits décrits par le point d’action, la résistance peut être censée constante et sensiblement égale à la moyenne ou à la demi-somme de celles qui répondent au commencement et à la fin de cet espace, le petit travail qui y est relatif, pourra encore se mesurer par le produit de cette résistance moyenne et de l’élément de chemin dont il s’agit. Le travail total se composant de la somme des travaux partiels, sera mesuré également par la somme de tous les petits produits analogues qui leur correspondent.
Traçons, sur un plan ou tableau (PI. I, Fig. 23), une courbe O ’a’b’c' ... dont les abscisses 0 a, 0 b. Oc,.... représentent (SI) les chemins successivement décrits par le point d’action de la résistance , et dont les ordonnées 00", aa', bb',... représentent, d’après une échelle convenable, les résistances ou efforts correspondants censés mesurés en kilogrammes. Supposons que Oa, ah 6c... soient les espaces égaux et très-petits décrits à chaque instant. Les travaux partiels ayant pour mesure les produits de ces petits espaces par les résistances moyennes correspondantes, censées constantes pour chacun d’eux, c’est-à-dire les produits \ [OO' -+- aaj. Oa, \
(aa' - {- bhj.ab , §• ( bb ' -L ccj.bc, ces travaux seront représentés (Voyez,
en Géométrie, le mesurage des surfaces ) par les aires des trapèzes OO'a'a, aa'b'b, bb' c’ c ,... et le travail total le sera par la surface de tous ces petits trapèzes réunis. Or on voit, d’une part , que cette surface différera d’autant moins de la surface 00 ’a'b'c’ ...h'hO , comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les ordonnées 00', M' qui correspondent au commencement et à la fin du travail, et, de l’autre, que la somme des travaux partiels, repré-
sentée par cette surface, s’approchera d’autant plus dètre égalé au travail total et effectif, que le nombre des ordonnées ou des espaces égaux sera lui-même plus considérable. Si donc on multiplie indéfiniment ces ordonnées, on pourra, sans erreur , prendre la surface 00 c h 40 pour la mesure véritable du travail effectué pendant que le point d application de la résistance décrit l’espace OA dans sa direction propre.
On voit, d’après cela, que, quand on connaîtra, soit au moyen de 1 expérience, soit de toute autre manière , la loi ou la table (50) qui lie la résistance variable aux chemins décrits par son point d’application , toute la question , pour trouver le travail mécanique relatif à un espace quelconque parcouru , consistera à tracer la courbe de cette loi , et à calculer, par petites parties , l’aire de la surface qui répond à la longueur du chemin. Comme les unités de longueur qui ont servi à construire les ordonnées, représentent des unités d’efforts ou de poids d’une certaine espèce, et que les abscis. ses sont elles-mêmes composées d’unités de longueur représentant des unités de chemin parcouru , on voit que Yunitê de surface des trapèzes ou de leur somme totale , sera réellement V unité d’effort exercé ou répété le long de Y unité de chemin (1).
7g. Valeur de l’effort moyen. Lorsqu’on a ainsi trouvé la valeur du travail mécanique d’une résistance variable , pour une distance quelconque parcourue par son point d’action, en divisant cette valeur par cette distance, on obtiendra ce qu’on nomme Y effort moyen de la résistance, ou Y effort constant qui, étant répété le long du chemin, produirait la même quantité de travail; car nous avons vu (71) que , pour une résistance constante, le travail se mesure simplement parle produit de cette résistance et
du chemin total décrit dans sa direction.
La considération de l’effort moyen en vertu duquel un travail est censé s’opérer , n’est pas moins importante que celle de la vitesse moyenne dans le mouvement périodique (49); car il arrive, presque toujours , que la résistance du travail ne varie qu’entre certaines limites fixes , plus ou moins rapprochées , ou qu’elle croît et décroît alternativement, sans devenir jamais plus petite qu’une certaine quantité ni plus grande qu’une autre quantité; d’où il résulte que le travail se fait alors par périodes plus ou moins régulières , et qu’il se trouve représenté par une courbe sinueuse telle que 0 'a!b'c'...h' (Fig. 24), dont les ondulations s’écartent très-peu, de part et d’autre’,' d’une droite AC parallèle k l’axe 08 des chemins. On conçoit que , dans ces circonstances qui se reproduisent fréquemment , il devient utile de substituer, au travail variable, un travail uniforme moyen donnant les
(I 1 Voyez quant aux applications de ces principes , la seconde partie de cet ouvrage, ou se trouve «posée une méthode expéditiveet suffisamment exacte, pour calculer ^ectemen
. ,]pui de ses ordonnées quelconques et 1 axe ac
l’aire comprise entre une courbe, deux ne ^
abscisses.
mêmes résultats, et qui ne présente point autant de complication. C'est effectivement ce qu'on ne manque jamais de faire dans les applications de Sa Mécanique industrielle, quand les alternatives ou les périodes de travail sont fréquemment répétées.
74. Divers exemples du travail mécanique. Quand un moteur est employé à bander un ressort , il développe , à cbaqne instant , un effort égal et directement opposé à la résistance du ressort , et qui est d’autant plus grand que son point d’application a décrit plus de chemin dans sa direction propre ; cet effort peut même se mesurer directement (GO) , au moyen du peson ou du dynamomètre, pour chaque position du ressort, ou pour chaque position du point d’application de la force. On pourra donc aussi, d’après la méthode précédente, tracer la courbe qui donne la loi de ces efforts, et calculer approximativement la somme des travaux mécaniques effectués à chaque instant, et qui composent le travail total.
Nous avons pris pour exemples (71} le travail produit par une force qui traîne un corps le long d’un plan de la part duquel il éprouve une résistance constante, et celui qui consiste à bander un ressort dont la résistance varie à chaque instant; mais les mêmes raisonnements, les mêmes méthodes de calcul, s’appliquent à tous les travaux des arts, qui sont purement mécaniques , et qui supposent une résistance à chaque instant reproduite et vaincue dans le sens même du chemin décrit par son point d’application . — Un cheval tire-t-il après la barre d’un manège? un homme élève-t-il de l’eau du fond d’un puits ? un ouvrier est-il employé à scier , à raboter du bois , à limer, à polir un métal, à arrondir un corps sur la tour, etc.? le travail mécanique que réclament en elles- mêmes ces opérations, a toujours pour mesure le produit, et de la résistance directe qu’oppose la barre, le poids de l’eau ou la matière soumise à l’action de l’outil , et du chemin total décrit dans le sens propre de cette résistance, si elle est constante (71), ou par la somme des produits semblables qui mesurent les travaux partiels , si la résistance est variable (72).
75. Observations sur le travail des moteurs. En cherchant ainsi à apprécier, eu nombre, le travail mécanique, il faudra avoir soin de ne pas confondre celui que dépense effectivement ie moteur avec celui que nécessite directement l’ouvrage effectué; car on conçoit qu’une partie du premier travail peut être détruite par des résistances autres que celles qui résultent de cet ouvrage : ce n’est qu’à cette dernière résistance que s’appliquent véritablement les considérations et les exemples qui précèdent concernant le travail. Plus tard nous examinerons le mode particulier de l’action des différentes forces motrices , les circonstances qui modifient les résultats de celte action , et le déchet que peut éprouver le travail de la force selon ses diverses applications.
76. Complication de certains travaux. Pour montrer la complication réel-
1" PARTIE. fc>
4$ MôêCA^lQBH INDUSTRIELLE.
lcmenl inhérente à certains travaux industriels, nous prendrons pour cxetïijile le travail du limeur : ilfaut 1° qu'il appuie pour faire mordre ou enfoncer sa lime; 2° qu’il exerce un effort pour faire glisser la limë le' long du' corps; 3° qu’il promène celte lime, avec une certaine vitesse, en avànt'et* en arrière, et que, par conséquent, il vainque l’inertie de la matière de cette lime. La quantité de l'ouvrage fait est le résultat de ces diverses actions si mul ta nées;' mars’ on fait disparaître toute cette complication en' séparant du travail tout ce qui n'y est pas indispensable, et en ne considérant que ce qui se passe à l’endroit mèrrre où la matière du métal est enlevée par la lime : là’ on n’aperçoit qu’une résistaticequi suppose un effort cgal et contraire, exercé dans la direction même dü'eh'emin que décrit le point d’action de la lime, et dont la quantité de travail pourra s’obtenir ainsi que nous l’avons dit. Le travail du moteur serait même réduit à ce grand degré de simplicité , s’il était employé à promener, d’un mouvement uniforme , la lime le long' d’une barre droite de fer couchée horizontalement sur un plan de niveau, et qne cette lime eut été chargée convenable-jiient, d’un certain poids, pour la faire mordre.
77 . Spécification du travail mécanique. En général, quand il sera question, dans ces tRixcipes fôxdamextacx', du travail mécanique, on devra' entendre le travail quïTésulte immédiatement de l'action simple d’une forée" sur une résistance qui lui est directement opposée, et qu’elle détruit continuellement, en faisant parcourir un certain chemin nu point d'application’ de celte résistance et dans sa direction propre. Cette force , elle-même, devra être considérée (59 et 60) comme un agent simple", produisant un effort , une pression mesurables, à chaque instant , par un poids, et agissant dans' une direction et sur un point déterminés, ainsi qu’on l’a supposé constamment dans ce qui précède. Il ne faudra pas confondre enfin l’expression dé travail et de force , avec celles par lesquelles on désigne vaguement tous les' effets, plus ou moins compliqués , des moteurs animés ou inanimés qui développent leur action sur des résistances. Ainsi nous ne parierons pas de la fTirce d ùn cheval, d’un homme, d’un outil ou d’une machine, sans indiquer, sans sons-entendre, tout au moins, son point d’application , son inlènsflé et sa direction; nous ne parlerons pas de leur travail méèanique, sân's* spécifier ou sous-entendre la résistance, égale et directement contraire , eue la force détruit', à chaque instant, tout en faisant parcourir, dans là direction propre" dêxettè résistance, un certain chemin à son point d’apvdîcation;
78. T)e T élévation v'êrlicùle des fardeaux. Le travail le plus simple, celui cfùi donne immédiatement l’idée de sa mesure, est l’élévation des fardeaux suivant là verticale ou l'aplomb' ; iâ quantité de J’ou\ rage croît alors visiblement comme le poids et comme la hauteur parcourue dans la direction de cette verticale-; c'est-à-dire qu'elle est mesurée par le produit meme de ce
T,oids et de cette hauteur. Car,, pour répéter encore une f bis nos raisonnements, en élevant à la même hauteur verticale, un poids double, trioie etc. d’un autre , le travail est bien double , .triple,. etc., de celui qui consisterait à élever le poids simple à. celte, hauteur ; et, ep élevant .... même poids à une hauteur double ,. triple, etc. , c’est bien comme s, on l’avait élevé deux, trois fois à la hauteur simple, ou unepremière fois a cette hauteur, puis une seconde fois, une troisième fois à cette meme hauteur; peu importe d’ailleurs la manière dont pourrait s’y prendre un nu* leur pour produire ces effets partiels , il nous suffit que , considérés en eux mêmes, on puisse les regarder comme parfaitement égaux ou identiques. Si donc on prend , pour unité de travail , l’unité de poids elevee a 1 unité de hauteur, le travail total sera mesuré par le produit du nombre des unîtes
de poids et de celui des unités de hauteur.
79. Des autres moyens d’évaluer le travail. L’utilité de la mesure que nous avons prise pour le travail, résume de sa simplicité même, et de la facilite qu’on a d’évaluer des efforts, des pressions, en poids, et des distances, des chemins en unités de longueur. Du reste, on pourrait, dans bien des cas, .prendre la quantité même de l’ouvrage effectué pour la mesure du travail .mécanique des forces : par exemple, on pourrait se contenter.de dire, de tel moteur, qu’il est capable de moudre 2, ^kilogrammes de blé ;,c’.est même .ainsi qu’on en agit quelquefois, et qu’en agissent les meuniers et -les propriétaires de moulins, pour spécifier la valeur mécanique de ces moulins .ou des cours d’eau, liais, comme la mouture d’un même poids de blé exige .des quantités de travail différentes, selon la qualité du grain, le genre de l’outil et de la machine, non-seulement les meuniers ne pourraient être compris de tout le monde , mais ils ne pourraient pas même s entendre entre eux; il faut, .donc une mesure commune du travail, qui ne puisse varier ou être interprétée diversement ; or telle est celle qui résulte de la considération de l’effort et du chemin décrit dans la direction de cet effort.
Restera ensuite à savoir combien chaque unité de travail, ainsi définie, sera capable , dans des circonstances déterminées , de moudre de kilogrammes de blé, de scier de mètres carrés de planches, etc.; mais cestà quoi on parviendra par des observations et des expériences bien faites; 1 essentiel est surtout qu’il n’y ait rien d’arbitraire dans la manière d’évaluer le travail mécanique.
80. Dénominations admises pour le travail. On a donné différents noms au travail mécanique, tel que nous l’avons défini .dans ce qui précède, travail qu’il ne faut pas, dans tous les cas , confondre avec V ouvrage., puisque ee -dernier n’en est véritablement que 1 effet ou le résultat.
Smeaton , ingénieur anglais qui a beaucoup écrit sur les roues hydrau- Jiques , a nommé le travail puissance mècanigue ; Carnot le nomme moment .d’activité ; Monge et Hachette l'ont appelé effet dynamique-. Coulomb,
mécanique industrielle.
M. Navier et plusieurs autres enfin , l’ont appelé quantité d’action , et cette
ernière expression est assez généralement en faveur. II nous arrivera souvent d en faire usage ; mais il faudra se rappeler quelle signifie la même chose que quantité de travail , travail mécanique (1) , et ne pas la confondre avec celle qui est désignée par les mêmes mots dans les traités de mécanique rjtïonelle.
Quelquefois aussi on nomme le travail mécanique quantité de mouvement ; mais , comme on emploie généralement en Mécanique , cette expression pour désigner toute autre chose, nous ne nous en servirons jamais pour désigner le travail. Les mêmes réflexions doivent s’appliquer à la dénomination de force vive , mise en usage par certains auteurs ; l’une et l’autre n indiquent que les effets du travail mécanique d’une force qui a été employée à mettre un corps en mouvement ou à vaincre son inertie (66).
Nous ferons connaître bientôt le sens qu’on attache le plus ordinairement à ces mots ; quand donc il sera question , dans un ouvrage , de quantités de mouvement ou de forces vives , il conviendra de s’assurer s’il s'agit, ou non , du travail mécanique tel que nous l’avons défini.
Un des caractères distinctifs du travail mécanique , c’est qu’il est la chose qu on paie dans l’exercice de la force , et que sa valeur , son prix en argent , croît précisément comme sa quantité. Car, si l’on ne considère que le travail nécessité directement par la résistance à vaincre, par l’ouvrage à confectionner, il demeure, comme on l’a vu précédemment, exactement proportionnel à la quantité de ce dernier. Mais redisons-le , ce qui le distingue surtout des autres grandeurs mécaniques, c’est qu’il suppose unerésistance , exprimable en poids, à chaque instant vaincue et reproduite, dans le sens même d’un certain chemin parcouru.
61. Choix de l unité de travail. Le travail mécanique , ainsi défini et entendu est donc , en lui-même , une chose absolue , qui ne suppose que l’idée dan effort exercé et d’un chemin parcouru ; mais son expression, en nombres , peut changer selon les circonstances et les conventions admises pour 1 unité de chemin ou d’eflort , et aussi selon que le travail est ou n’est pas continué uniformément pendant un certain temps. Car, d’une part 1 unité de chemin et l’unité d’effort étant tout-à-fait arbitraires , l’unité de travail qui en dérive , l est aussi; et , de l’autre, si le travail est long-temps continué d’une manière à peu près uniforme , son expression , en nom-
(i) Nous avons déjà indiqué dans une note de L’avast-Propos , les motifs qui nous ont engagé à adopter définitivement cette dernière expression, sans proscrire néanmoins entièrement celle de quantité d’action déjà consacrée par les utiles travaux de Coulomb et de Navier. Peut-être eussions-nous été plus hardi encore, si l’ouvrage de M. Coriolis avait paru avant la première édition de celui-ci; et nous aurions volontiers adopter ou eu mentionné quelques-unes des dénominations heureuses qu’il propose d’introduire dans le langage de la Mécanique, telles que dynamode , etc.
Lres , peut devenir embarrassante par sa longueur ; de sorte qu’on se voit alors obligé , pour la simplicité, de ne considérer qu’une certaine fraction du travail total , relative à la durée d’un certain temps , qu’on prend à son tour pour unité. C’est de cette manière que l’idée du temps est introduite dans la notion du travail mécanique, bien que, envisagé sous un rapport plus absolu , ce dernier en soit véritablement indépendant : c’est ainsi par exemple , qu’on dit d’un cheval attelé à une voiture , à un manège, qu’il exerce moyennement (73) un effort de tant de kilogrammes en parcourant un chemin de tant de mètres par minute ou par seconde , et d’un outil, d’une machine, qu’ils développent moyennement une telle quantité de travail dans tel temps. Mais alors il convient de ne pas oublier la durée effective du travail total en ajoutant , par exemple , qu’il est de tant d’heures pour chaque jour , chaque relai, etc.
On conçoit, d’après cela , quelle est la difficulté de choisir une unité de travail qui puisse servir dans tous les cas possibles et avec un égal avantage : tantôt l'expression du travail , en cette unité , se trouvera composée d’un très-grand nombre de chiffres entiers ; tantôt elle exigera, pour la précision , un très-grand nombre de chiffres décimaux ; tantôt enfin elle devra être accompagnée de la désignation du temps auquel elle se rapporte, lorsque le travail , étant continué uniformément pendant un ou plusieurs jours, on n’en considérera , pour la simplicité des calculs , qu’une certaine partie relative à l’unité de temps.
82. Unités de travail proposées ou adoptées. Les mécaniciens sentant l’importance de fixer une unité de travail et de lui donner un nom , comme on l’a fait pour le gramme , le litre , etc. , en ont proposé de diverses espèces ; mais on n’est point, jusqu’à présent , tombé d’accord sur le choix de cette unité, et il est probable qu’on ne le sera pas plus pour cet objet que pour désigner l’unité de vitesse, qui dépend à la fois de l’unité de temps et de l’unité de longueur. — MM. Mongolfier , Hachette , Clément , etc. , ont pris, l’unité de travail égale à 1 mètre cube d’eau ou 1000 kilogrammes élevés à 1 mètre de hauteur , et ils ont nommé cette unité , ■unité dynamique , dynamie. M. Dupin , de son côté , à proposé (Voyez ses Leçons de Géométrie et de Mécanique , tome 111 , Dynamie ) de prendre 1000 mètres cubes d’eau ou 1000 tonneaux (SI) élevés à 1 mètre de hauteur , et il a supposé que ce travail , qu'il nomme dyname , s’opérait dans les 24 heures. Mais aucune de ces unités n’a été définitivement, ni spécialement adoptée dans l’industrie manufacturière.
Enfin , depuis que les machines à vapeur commencent à se répandre en France , les mécaniciens constructeurs emploient assez généralement , pour les travaux soutenus , et d’après l’exemple des anglais de qui nous viennent ces machines, une unité de travail qu’ils nomment force . pouvoir de cheval , ou simplement cheval-vapeur . La force du cheval n a pourtant
rien de Lien défini , elle varie suivant une infinité de circonstances, -suivant l'âge et la qualité des individus. Néanmoins, si on s’entendait sur sa valeur fictive , et si le gouvernement la consacrait par une loi comme les autres unités de mesure , on pourrait , sans inconvénient , s’en servir comme de terme de comparaison pour tous les travaux mécaniques des machines et des moteurs , qui sont continués d’une manière uniforme ou pendant un certain temps. — La valeur qui parait le plus généralement accréditée , d’après Watt et Boulton , soit en Angleterre , soit en France, et que les anglais nomment, pour cette raison , unité routinière , s écarte fort peu du travail mécanique qui suppose un effort de 75 kilog, exercé le long dn chemin de l mètre, censé parcouru uniformément dans chaque seconde. Telle est du moins l’idée qu’on peut prendre de sa valeur approximative dans l’industrie manufacturière ; car , s’il est des constructeurs qui adoptent, pour l’effort constamment exercé, 80 kilog., il en est d’autres aussi qui ne le supposent que de 70 kilog. seulement : de sorte que l’effort de 75 kilog. , équivalent aux ^ du quintal métrique , est véritablement un terme moyen qui diffère rarement de plus de ' 6 de la valeur admise , dans les divers cas , par les parties directement intéressées 83. Conventions générales. Sans rejeter précisément aucune des dénominations et des évaluations précédentes de l’unité de travail, lesquelles peuvent avoir leur avantage particulier dans certaines circonstances, nous prendrons le plus communément pour unité d’effort le kilogramme, et pour unité de distance le mètre ; de sortg que l’unité de travail mécanique ou d'action sera l’effort de 1 kil* exercé le long du chemin de 1 mèt 3 quantité qu’avec M. Navier, nous représenterons aûisi |k.X m ou l km ou enfin lk.m, et qui se lit ordinairement un kilogramme élevé à un mètre de hauteur ; parce qu’on rapporte volontiers tous les travaux mécaniques à celui qui consiste dans Félévation verticale des corps pesants , 1 effet produit ou 1 ouvrage fait étant alors (78) la mesure même du travail. — Supposons , par exemple , un effort moyen ou constant (73) de 225 kil soutenu le long du chemin de 7 mètres, le travail qui en résulte aura pour valeur 225k- x = 1575km , c’est-à dire 1575 kilog. élevés à lu hauteur de 1 mètre. Cette phrase étant un peu longue à lire, et rappelant d’ailleurs 1 idée d un travail particulier , qu’il n’est pas indispensable d’exprimer , nous conviendrons de nommer simplement kilog rammètre chacune des unités lkm. j de sorte que le travail ci-dessus équivaudra à 1575 kilograromètres,
Cette dernière convention et celle qui consiste à placer l’indice à droite et un peu au-dessus du nombre qui exprime la grandeur du travail, peuvent s’étendre à toutes les hypothèses que , selon les cas , on se croirait obligé de faire sur la valeur de l’unité de travail ou des unités d’effort et de chemin. — S’agit-il d’unités de travail dont chacune équivaut à 100, à 1000 kilog. élevés à un mètre, c’est-à-dire à un quintal métrique, à US
fâtinean (31) , élevés à 1 met, on pourra les écrire ainsi lqm, 1 tm , elles nommer quintal-mètre. tonneaunAtre ; par quoi l’on devra toujours entendre qnïlëst nécessairement question de quintaux métriques et non des anciens quintaux. — S'agit-il d’unités dont chacune équivaut à 1 livre, à 100 livrer élevées à 1 pied, à 1 toise de hauteur, on pourra les écrire Up , lit , J'qjr, Iqt, et les' nommer respectivement livrepied , licreloise , quintalpied , qitirtialioise, bien entendu qu’aiors tout se rapporte à l’ancienne division des unités de poids et de longueur, appliquées soit aux anciennes valeurs de ces unités', soit aux- nouvelles Valeurs appelées, dans le commerce , légale r ou métriques (31).
84. Obsertalions particulières. Il serait inutile de s’occuper des uiiités'dti* travail, telles que celles qui consisterait dans 1 élévation de 1 kit à iOOO.nèt ou à 1 kilomètre, par exemple; car , d’après nos principes, cette unité estla même que celle qui équivaut à ltm ou au tonneaumètre , c’est-à-dire à lODQkil. élevés à Imet. Ou n’éprouvera donc aucune difficulté à exprimer numériquement et à detiomlner la valeur d un travail quelconque, quellëqu’en soif la grandeur et quelles que soient les conventions' qu’on adopte pour l'unité; en spécifiant ensuite, si cela est nécessaire (SI) et conformément àcë qui a été dit ci dessus, le temps pendant lequel ce travail s'opère, on’ aura une idée complète de sa valeur. C’est ainsi, par exemple, que le travaii'du cheval-vapeur, en une seconde , pourra être indifféremment représenté par 7î)km (75 kilogrammètres) , ou par 450 lp (450 livrepieds) , la- livre et le pied éLant ici la nouvelle livre et le nouveau pied, adoptés légalement' en France et dont l’un vaut le tiers de mètre et l’autre le demi-kilogramme. Si d’ailleurs on voulait simplifier encore plus l’expression du travail quand elle dépend , comme ci-dessus , de l’unité de temps , on pourrait écrire les’ nombres' en cette manière : 45b0km , ,27008^p , , ou / ,4o01p , selon qn if
s’agirait" de la minute ou de la seconde.
Il arrive assez ordinairement que, pour les travaux soutenus des moteurs,on ne considère ainsi que la longueur du chemin décrit pendant la seconde,jlrise pour unité de temps, afin d’avoir de petits nombres à considérer. Celle longueur étant aussi celle qu’on adopte le plus volontiers (48 et süiv.), pour* exprimer la vitesse même du mouvement, on voit que le travail, pendant l’unité de temps , se trouve réellement mesuré par le produit d’un effort oir d’un poids et d’une vitesse. C’est, comme nous le verrons un peuplus"loin , ce qui fait quelquefois confondre (80) Je travail mécanique ou la quantité (Faction avec la quantité de mouvement, quoique leurs significations et' leurs" mesures soient, dans le fond , très-différentes.
Des conditions du. travail mécanique.
8g) Première condition générale. D'après nos définitions , lé travail mécanique des forces suppose à la fois une résistance vaincue et un chemin dé-*
crit dans la direction de cette résistance ; d’où il résulte que, dès qu’il n’v a pas de résistance vaincue ou de chemin décrit , il n’y a pas non plus de travail mécanique. Mais il n’en faudrait pas conclure , à l’inverse , qu’il y a nécessairement travail toutes les fois qu’une puissance exerce . d’une manière soutenue et pendant un temps plus ou moins long, un effort dans la direction du chemin parcouru par son point d’application ; car il faut encore que le mouvement actuel de ce point , ne soit pas indépendant de l’action de la force motrice et de la résistance , ou que ces forces puissent être considérées comme la cause directe et nécessaire qui modifie ou qui entretient le mouvement. Sans cette condition , en effet , il n'y aurait point de travail produit , et tout se réduirait , de la part du moteur , à exercer un certain effort , pendant le temps même où il serait entraîné , avec la résistance , dans le mouvement général et indépendant de sa propre action.
Nous savons bien , par exemple , que la terre tournant sans cesse sur elle-même et entraînant avec elle les corps placés à sa surface , on n’y peut exercer un effort quelconque , sans qu’en même temps le point d’application de cet effort ne décrive continuellement un certain chemin dans l’espace absolu (46). Or , il est évident en soi que, si le point d’application du moteur et de la résistance reste en repos par rapport aux objets environnants qu’on regarde comme fixes , il n’y a pas eu véritablement de travail produit : c’est qu’en effet le mouvement de transport général de la terre est indépendant de l’action de ces forces , et n’en continue pas moins quand cette action cesse. — Un homme qui , placé dans une voiture ou dans un bateau , tirerait sur un point fixe , c’est-à-dire fermement attaché à cette voiture, à ce bateau, ne travaillerait pas davantage ; et il en serait de même de deux hommes qui se tireraient, sur cette voiture, sur ce bateau , sans bouger de place, sans s’entraîner réciproquement; car le mouvement général de ces corps étant indépendant de leur propre action , ils ne dépenseraient, en eux-mêmes, rien pour l’entretenir.
Mais si , dans ces divers cas, l’obstacle ou le point d’application des forces égales et opposées , venait à ccder à leur action, en décrivant un certain chemin dans le sens même de cette action , indépendamment de celui qui résulte du transport général , alors il y aurait un travail produit , mesurable , à chaque instant, par le résultat de la multiplication de l’effort exercé et du petit chemin relatif que décrit son point d’application, c’està-dire du chemin qu’il décrit par rapport aux objets qu’on peut regarder comme fixes sur la terre , sur la voiture ou sur le bateau.
86. Seconde condition générale. Ceci étant entendu une fois pour toutes , et le chemin que l’on considère dans la mesure , en nombres , du travail mécanique , étant le chemin relatif véritable en vertu duquel ce travail s’opère, on conclut naturellement, des procédés par lesquels on obtient
: 7t et 72) celte mesure, d'une part qu’elle sera nulle en elle-même, toutes les fois qu’il en sera ainsi de l’un quelconque des facteurs dont elle se compose ; et , de l’autre , que ce sérail fort mal estimer la valeur mécanique , le pouvoir de production d’une machine d’un moteur , quelconques , que de se Lorner, comme on le fait quelquefois, à tenir compte simplement, ou de la grandeur de l’effort dont ils sont capables en certains points, ou de la vitesse que possèdent , de la longueur d’espace que parcourent , dans un temps donné , leurs diverses parties ; qu’en un mot , sous le point de vue qui nous occupe , la grandeur de l'effort absolu , ou du plus grand effort que les moteurs peuvent exercer sans faire mouvoir sensiblement leur point d’appiication, n’est pas pius un signe de leur puissance de travail , que ne le sont et la -vitesse et le chemin absolus , la plus grande vitesse et le plus grand chemin qu’ils peuvent prendre ou parcourir . sans exercer d’effort dans la direction propre de cette vitesse ou de ce chemin.
87. Réflexions sur le travail des moteurs animés. Ainsi, par cela seul qu’un homme , un cheval marcheraient pius ou moins longtemps et avec une vitesse plus ou moins grande , sur un chemin horizontal, nous ne dirons pas qu’ils travaillent ; nous n’en conclurons pas même que ce seraient de bons travailleurs, qu’ils produiraient beaucoup d’ouvrage , si on les appliquait à une machine , à une charrue ou à un outil quelconque. Pareillement encore , de ce qu’un homme , un cheval seraient capables de soutenir , en repos , contre l’action de la pesanteur , un poids plus ou moins considérable ; de ce que , tirant , au moyen de traits , un obstacle qui reste fixe , ils seraient capables de bander ces traits avec un effort plus ou moins grand, on n’en saurait conclure qu’iis sont boas travailleurs , qu’ils produisent actuellement beaucoup de travail mécanique , ni qu’ils seraient capables d’en livrer, d’une manière soutenue, une grande quantité, si l’obstacle venait à cheminer tout en résistant à leurs efforts. — Ainsi Y Hercule du Nord , tant vanté pour sa force prodigieuse , n’eût probablement pas , dans un travail réellement utile et longtemps continué , pu soutenir le paralièle avec un de nos bons manouvriers ordinaires ; ainsi les coureurs , les coursiers qui franchissent si rapidement de longs espaces , seraient généralement peu capables , sous d’autres rapports , de rendre les services d’un homme moins agrie , d’un coursier moins rapide, mais bons travailleurs.
Il est tellement vrai qu’exercer un effort ou soutenir un fardeau sans se mouvoir , ce n’est pas proprement travailler , qu’on peut toujours alors remplacer un moteur par un corps inerte , tel qu’un support , une colonne , un trait , un tirant , etc. ; et il ne l’est pas moins de dire que le mouvement , sans effort exercé , sans résistance vaincue , ne peut constituer un véritable travail , puisqu’en vertu de l’inertie de la matière (55) .
mécanique industrielle.
le mouvement une fois acquis se continue, de lui-même , indéfiniment et sans perte si , comme on le suppose , rien d’extérieur ne tend à le modifier ou à le ralentir.
88. Distinction du travail intérieur et du travail extérieur. Malgré ces réflexions sur la nullité du travail mécanique produit par les moteurs dans les circonstances précitées , on remarquera que chacun de ces emplois de la force peut quelquefois avoir son genre particulier d’utilité dans les arts surtout relativement aux moteurs animés , et qu’on peut même , sous certains rapports , les considérer comme une sorte de travail dès-lors qu’ils, produisent la fatigue, et qu’ils supposent des résistances intérieures sans cesse renouvelées et vaincues ; mais il ne s'agit ici expressément que du travail extérieur et effectif des moteurs, travail qui est le résultat d’actions intérieures plus ou moins compliquées , qui ne peuvent être aucunement l’objet de nos investigations (75 et suiv). Or , sous le point de vue purement mécanique , ce travail extérieur doit être considéré comine nul . dans les circonstances qui viennent d’être spécifiées , de la même manière que nous regarderions comme nul le travail d’une machine qui marcherait à vide, c’est-à-dire dont l’outil ne rencontrerait point de résistance, ne confectionnerait point d’ouvrage , ou celui d’une machine- dont l’outil, soumis à une trop forte résistance , ne pourrait marcher malgré l’action des forces motrices qui y sont appliquées ; et , en effet , le cas est toutà-fait semblable , attendu qu’iei la puissance n’en a pas moins consommé, ou n’en consomme pas moins une certaine quantité de travail pour vaincre les résistances intérieures et inhérentes aux pièces de la machine.
89. Tout mouvement , toute action des forces supposent un travail. Si nous considérons les choses sous un point de vue plus rigoureux encore et plus absolu, nous arriverons à reconnaître que , dans la réalité, il n’y a point d’action sans effet plus ou moins sensible , et d’effet sans dépense de travail plus ou moins appréciable.
D’une part , les corps ne pouvant se mouvoir , sur notre globe , sans éprouver tout au moins une certaine résistance (3) de la part de l’air , et ne pouvant sortir du repos sans que leur inertie ne se soit d’abord opposée (66) à l’action de la puissance , ©n voit qu’en résultat , le mouvement , de quelque nature il puisse être à la surface de la terre , suppose toujours une certaine quantité de travail , soit actuellement , soit primitivement dépensée par un moteur.
D’une autre part , puisque tous les corps sont plus ou moins compressibles et extensibles, une force motrice ne peut jamais agir, même contre des obstacles fixes, sans produire et dépenser une certaine quantité de travail mécanique. Car le point où cette force est appliqué a plus ou moins cédé (63) ; le corps a plié, s’est aplati, ou s’est allongé ; les ressorts moléculaires ont opposé de la résistance , il y a eu un petit chemin décrit
par le point d’application de îa force et dans sa direction propre. D’abord i’effort , ou la résistance égale et contraire (6-4) , étaient nuis ; ensuite ils ont augmenté progressivement jusqu’à ce qu’ai ant atteint leur valeur maximum , leur plus grande valeur et le corps sa plus grande déformation possible , l’action de la force motrice s’est réduite à maintenir ce corps ou l’obstacle à son état~de tension et au repos , sans produire désormais aucun travail mécanique.
90. Quand et comment ce travail peut être censé nul. Nous venons de prouver que tout mouvement acquis , toute action des forces sur les corps supposent ou nécessitent réellement une certaine dépense de travail ; on ne peut donc pas dire , d’une manière absolue , que , dans les cas précités (87) d’un moteur qui chemine sans pousser , et qui presse ou tire un obstacle solide sans le faire cheminer , il n’y ait pas eu de travail extérieurement développé. Mais on doit considérer que ce travail , uniquement employé à vaincre la résistance de l’inertie et de l’air ou les forces moléculaires du corps , est, dans le fait ( 1) , presque toujours une bien faible portion de celui que pourrait livrer le moteur , s'il agissait , avec une vitesse et un effort modérés , contre une résistance qui serait susceptible de céder continuellement à cet effort dans le sens même du chemin qu’il fait décrire à son point d’application.
C’est sous ce rapport seulement , et attendu aussi la non utilité des résultats , qu’en pratique , il serait permis de considérer comme nul et de négliger entièrement le travail extérieurement développé par les moteurs. Quant ah point de vue purement mécanique , il va sans dire (85 et 86) , qu’exercer un effort , sans le répéter le long d’un chemin , ou cheminer sans exercer d’effort , ce n’est point travailler.
91 . Action d'une force perpendiculaire au mouvement. Des réflexions analogues sont applicables toutes les fois qu’une force, agissant en un certain point d’un corps en mouvement, ce point ne cède pas sensiblement à l’action de la force et dans sa direction propre, vu que le chemin qu’il est contraint de décrire , par suite de sa liaison avec d’autres corps , demeure , à chaque instant , perpendiculaire à la direction de la force. Celleci ne faisant donc que comprimer inutilement le corps , et ne produisant aucun travail effectif dans le sens du mouvement, sa quantité de travail ou d’action devra encore être censée nulle , tout comme pour îe cas d’un moteur qui agit sur un obstacle fixe. — Un homme qui tirerait ou pousserait sur le côté d’une voiture en mouvement et perpendiculairement au chemin qu’elle décrit , n’aiderait en rien le travail des chevaux ; son effet serait absolument nul quant à Vobjet utile du travail. La même chose peut se dire encore d’un homme qui tirerait ou pousserait contre la barre d’une
(i) Voyez , dans les Applications , les articles qui concernent la résistance de Pinertie et de Pair.
roue à manège , dans le sens de la longueur de cette barre et non dans celui de son mouvement circulaire , etc. Cependant le moteur n’en aurait pas moins , dans ces deux cas , réellement dépensé et développé une certaine quantité d’action en comprimant ou distendant le corps auquel il est appliqué.
92. Transport horizontal des fardeaux. Le cas que nous considérons est aussi celui d’un homme ou d’un animal quelconque qui chemine horizontalement en portant un fardeau; car l’action du poids est perpendiculaire à celle du chemin ; elle ne tend qu’à comprimer les parties sur lesquelles ce poids repose; il n’y a pas sensiblement (90) de résistance vaincue, et par conséquent de travail produit dans le sens du mouvement horizontal du point où agit le fardeau, bien que le moteur se fatigue; bien qu’il développe intérieurement une certaine quantité de travail ; bien qu’enfin le transport horizontal d’un fardeau ait en lui-même un but d’utilité dans les arts, et qu’il puisse, sous un certain rapport, être considéré comme un travail d’une espèce particulière, tout-à-fait distincte, et qui, comme l’autre, a son unité de mesure , son prix en argent.
Le transport horizontal des fardeaux, par les moteurs animés, est, au surplus le seul ouvrage dont la mesure ne puisse se rapporter directement à celle que nous avons jusqu’ici adoptée; et cela seulement es tant qu’il ne suppose pas en lui-mème, une résistance vaincue dans le sens propre du mouvement , et que le corps est immédiatement supporté par le moteur; car lorsqu’un moteur est employé à traîner un corps horizontalement sur un traîneau , une voiture ou un bateau , i! se développe, de îa part du terrain , des essieux de la voiture, ou du fluide, des résistances qui s’opposent directement à l’action de ce moteur , et qui nécessitent une dépense plus ou moins forte de travail mécanique effectif et mesurable comme il a été expliqué précédemment (71 et 72). Aussi fandra-t-i! bien se garder, par la suite, de confondre ce dernier travail avec le premier , et de lui supposer la même unité de mesure ni la même valeur en argent. — L’expérience prouve, par exemple , qu’il est plus facile à un homme de transporter à dos et à 6 lieues de distance horizontale, un corps qui pèse 50 kilog. que d’exercer, d’une manière soutenue et le long du même chemin, un effort de 10 kilog. seulement.
93. Observation sur le transport horizontal. On voit , d’après cela , quelle erreur on commettrait si , voulant , par exemple , estimer le travail mécanique nécessaire pour transporter , sur un chemin horizontal, un fardeau par le moyen d'une voiture , on se contentait de multiplier le poids de ce fardeau et de celte voiture par le chemin décrit , ou si l’on confondait d’effet utile , l’ouvrage avec le travail mécanique même que développe le moteur , par l’intermédiaire des traits. On n’en a pas moins nommé , d’après notre célèbre ingénieur Coulomb, qui a fait beaucoup d’expériences
SQ , Je travail de l’homme considéré dans diverses circonstances , on n’en a pas moins nommé , dis-je , quantité d’action l’effet qui consiste dans le transport horizontal d’un fardeau à une certaine distance ; et non-seulement on a mesuré cet effet par le produit du poids transporté et du chemin horizontal parcouru, à peu près comme nous avons mesure le travail mécanique véritable par le produit de l’effort et du chemin décrit dans le sens de cet effort , mais encore on a quelquefois compare entre eux ces deux genres d’exercices de la force , d’autant plus distincts , que l’un est absolument nul à l’égard de l’autre , ainsi que nous l’avons expliqué ci-
dessus •
5Iais ce qui prouve incontestablement que , sous le point de vue purement mécanique , et lorsqu’on n’a point égard au mode particulier d agir des moteurs animés , lesquels peuvent se fatiguer sans se mouvoir et sans absolument rien produire d’extérieur, ce qui prouve , disons-nous, que le transport horizontal des corps ne suppose pas eu lui-même une dépense nécessaire de travail mécanique , c’est qu’on peut diminuer indéfiniment cette dépense par des appareils ou des dispositifs matériels convenables ; tels que des voitures , des bateaux , des chemins de fer, etc. (I) , qui ont la propriété de diminuer l’effet des résistances de toute espèce ; c’est qu’on peut même le concevoir indépendamment de ces résistances , tandis que tous les genres de travaux industriels, analogues à ceux qui ont été cites n os 70 et suivants , exigent nécessairement une dépense absolue de travail mécanique ; c’est qu’enfin le résultat de ce transport ne peut jamais être directement la source d’un nouveau travail , tandis que cela arrive souvent pour l’autre , comme on aura bientôt occasion de le voir.
94 . Réflexions générales. En général, et il faut bien le redire encore (75 et 77 ) , nous ne considérons le travail mécanique que par rapport à luimême , c’est-à-dire d’une manière absolue et indépendamment du degré de fatigue qu’il suppose de la part des moteurs animés, ou des circonstances qui, dans les arts, font varier son emploi , son prix ou sa valeur en argent. Et, quoiqu’il puisse bien arriver, par exemple, que telle quantité de travail mécanique, employée par un moteur à élever verticalement un corps à une certaine hauteur, coûte plus ou moins de fatigue et d argent, que la même quantité de travail employée àtransporter horizontalement, sur une voiture, un autre corps à une certaine distance , nous n’en regarderons pas moins
(i) En effet, on sait par expérience , qu’un cheval, marchant au pas , ne peut porter a dos qu’environ So kilogrammes de poids , sur un chemin horizontal et d’une manière soutenue , tandis que , sans se fatiguer davantage, il peut en transporter jusqu’à 800 kilogrammes sur une bonne route ordinaire et au moyen d’une voiture; qu’il en peut transporter Sooo sur un chemin de fer , et jusqu’à 20 , 000 sur un canal horizontal. Il est évident qui! n y a aucun moyen pareil de diminuer le travail nécessaire pour élever verticalement les corps contre l’action de la pesanteur, on pour changer la forme même de ces corps, etc.
mécanique industrielle.
ces quantités comme équivalentes ; parce qu’en effet on peut , à l’aide de machines , d’appareils convenables , transformer immédiatement l’une de ces opérations en l’autre, et que c’est même là l’objet de la Mécanique industrielle , telle que nous l’envisageons plus spécialement dans cette première partie du Cours.
Cela n’empéehera pas , un peu plus tard , de revenir à l’état réel des choses , et d’établir, d’après les données de l’expérience, la comparaison exacte entre les divers genres de travaux des machines et des moteurs animés ou inanimés. Et , si d’ailleurs nous sommes entrés aussi avant dans les discussions précédentes , c’est afin de bien préciser le point de vue sous lequel nous prétendons envisager le travail mécanique des forces, etd’éviter qu’on ne le confonde avec les autres résultats de l’exercice de ces forces.
De la consommation et de la reproduction du travail.
Les réflexions qui précèdent ne sont pas en elles-mêmes dénuées de toute importance ; car elles nous avertissent , d’une part , que si les moteurs animés sont susceptibles de se fatiguer sans produire extérieurement un travail mécanique appréciable, sans même mouvoir aucune des parties de leur corps; de l’autre, ces moteurs et les forces motrices , en général, peuvent aussi consumer une portion plus ou moins grande, du travail mécanique qu’ils développent extérieurement, à vaincre des résistances nuisibles ou étrangères à celles qui constituent l’effet utile , l’effet qu’en définitive il s’agit de produire pour les besoins de l’industrie. C’est ainsi qu’un moteur consume, en pure perte , une partie de son travail , à vaincre la résistance de l’inertie et celle de l’air (89) qui s’opposent à son mouvement , et qu’il peut, dans certains cas, comprimer, ou distendre, sans utilité réelle (91 et 92) , les ressorts moléculaires des corps , etc. Mais , afin d’acquérir des notions exactes et saines sur la manière dont se produit ou se consomme, dans diverses circonstances , le travail mécanique des forces, il est nécessaire d’entrer dans quelques développements qui feront l’objet des paragraphes suivants.
98. De l'absorption et de la restitution du travail par les ressorts. Pour démontrer clairement comment le ressort des corps peut développer ou restituer, lors du débandement, une certaine quantité de travail mécanique qu’il a primitivement absorbée, il ne s’agit que de voir ce qui se passe à l’instant où un corps revient progressivement à sa forme primitive après avoir été comprimé, et se rappeler ce que nous avons dit précédemment (72 et suiv. ) sur la manière de mesurer la quantité de travail d’une force qui varie à chaque instant.
Supposons qu’un moteur soit employé à bander un ressort quelconque (PI. I, Fig. 25), en développant, sur un même point A deeeressort, et dans la
PRINCIPES FONDAMENTAUX. gjj
direction propre du chemin que tend à décrire ce point, des efforts F qui sont de plus en plus grands (15, 19 et 89) à mesure que la compression ou la dist ension augmentent. Formons, comme nous l’ayons expliqué (72), une courbe 0 a'b'c’ ...h' (Fig. 26), dont les abscisses représentent les chemins successivement décrits, par le point d’action A (Fig. 23) de la force F, dans la direction propre de cette force, et dont les ordonnées représentent les valeurs, en kilogrammes, des efforts correspondants exercés sur le ressort, efforts que détruit la réaction égale et directement contraire de ce ressort; la quantité de travail développée ou absorbée, pour un petit chemin quelconque cd ( Fig. 26), sera mesurée (72) par le trapèze cc'd'd formé sur ce chemin et les ordonnées correspondantes cc', dd’ ; et le travail total le sera par l’aire entière Od'h'hO comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et la dernière ordonnée hk, représentant le plus grand effort.
Supposons maintenant que le ressort (Fig. 25) , arrivé à cette position , soit employé à vaincre une résistance qui cède lentement à son action dans le sens même du chemin primitivement décrit par le point d’application A de la force F; ce ressort va développer, contre la résistance, une quantité de travail qu’on pourra calculer en appréciant, en poids , les diverses pressions qui correspondent à chaque position du ressort , depuis l’instant où la compression est la plus forte , jusqu’à celui où elle est nulle , et où ce ressort est parvenu à la position qu'il peut conserver par lui-même. Si le corps reprend , à ce dernier instant, exactement la forme qu’il avait avant d’être bandé; si d’ailleurs les pressions qui répondent aux mêmes degrés de tension, aux mêmes positions , sont les mêmes ; si, en un mot, le corps possède, dans son retour vers sa forme primitive , dans sa détente , la même énergie qu’auparavant , ce qui 'Suppose (17) qu’il soit parfaitement élastique, et que sa constitution intime n’ait pas été altérée; dans ces circonstances , disons-nous, la quantité de travail développée, par le ressort contre la résistance, sera nécessairement égale à celle qu’il a fallu dépenser primitivement pour le bander, puisque la courbe , qui donne la loi des pressions et des espaces décrits, sera aussi la même de part et d’autre. Si, au contraire , le corps n’est pas parfaitement élastique , non seulement il ne reviendra pas à sa première forme, mais encore les pressions seront moindres dans le débandement; le travail restitué sera aussi moindre que celui qui a d’abord été dépensé , et une certaine portion de ce dernier aura été totalement perdue pour l’effet: c’est évidemment celle qui est nécessaire pour produire les altérations moléculaires ou de constitution intime, survenues dans le corps.
98. Des ressorts considérés comme réservoirs de travail. Nous avons vu (15 et 18) qu’il n’y a guère que Pair et les gaz qui soient à la fois trèscompressibles et parfaitement élastiques, lorsqu’on les enferme dans desespaces clos et qu’on les y refoule au moyen d’un piston mobile , etc. De tels ressorts peuvent donc servir avantageusement à emmagasiner le travail
mécanique, à faire fonction de réservoirs, en les bandant jusqu’à un certain point, et les maintenant à ce point par des moyens faciles à imaginer ; car, lorsqu’ensuite on viendra à les abandonner à eux-mêmes contre des résistances à vaincre et qui céderont lentement à leur action, ils restitueront , en se débandant, exactement la quantité de travail qu’ils auront d’abord consommée. Nous disons lentement , parce qu’en effet, si la détente se faisait brusquement , une certaine portion de ce travail serait employée (66) à vaincre la force d’inertie des molécules propres du ressort, c’est-à-dire à lui imprimer du mouvement, des vibrations (19), etc. (1). C’est ce qui arrive, entre autres , dans le fusil à vent, dont l’usage est bien connu et qui n’est véritablement qu’un réservoir d’air comprimé, dans lequel on a accumulé une certaine quantité de travail pour s’en servir à lancer des balles au besoin. — Les catapultes , les batistes, les arcs, machines employées par les anciens , lançaient pareillement des pierres , des flèches , etc. par le débandement de ressorts ordinairement formés avec des cordes ou des pièces de bois flexibles; mais de tels ressorts devaient nécessairement absorber, en pure perte, une grande portion du travail qui leur était confié.
Les ressorts ne servent pas seulement à lancer des projectiles , on peut aussi leur faire mouvoir des machines quelconques, et produire des travaux industriels. — C'est avec de semblables moyens, par exemple, que les montres et les pendules reçoivent le mouvement pendant des jours, des mois, entiers, par le débandement d’un ressort d’acier roulé en spirale, et que l’on a quelquefois tenté , mais sans succès, de mettre en mouvement des machines beaucoup plus puissantes. En un mot, 1 élasticité permet d enfermer, dans les corps inertes, une force capable de les faire travailler à la manière des moteurs animés , tels que l’homme et le cheval.
97. Consommation inutile du travail par les ressorts. Ce qui précède en offre déjà des exemples ; mais tous les travaux industriels ne s’effectuant que par l’intermédiaire de diverses pièces , de uivers agents matériels qui constituent les outils, les machines, et ces pièces ne pouvant opérer sur la résistance, ou transmettre le mouvement, 1 action des forces, sans etre comprimées ou distendues, on aperçoit généralement que , même quand le point d’application de la force motrice est mis en mouvement dans la direction propre de celte force (91) ? U doit d abord se dépenser une certaine quantité de travail , pour amener les pièces au degré de tension relatif à la plus grande intensité de l’action, ou à l’état régulier du travail et du mouvement. Or il pourra arriver (9o) que ce premier travail de la puissance soit totalement perdu si, l’action de cebe-ci venant à diminuer ou à cesser , les corps conservent la forme qu’ils ont acquise par suite du travail ; c’est-àdire, s’ils ne sont pas suffisamment élastiques (19), ou, plus généralement
(,) Voyez , dans les Applications , ce qui concerne en particulier, les causes qui diminuent les effets de la détente des gaz , n° i84-
encore, si les ressorts moléculaires, en se débandant, ne contribuent pas à accroître le travail, à l’instant où Faction de la puissance cesse, comme ils ont contribué à l’amoindrir, lorsqu’ils ont été primitivement bandés par l’effet de cette action.
On conçoit même que, si l’action du moteur ou celle delà résistance produite par le travail , varie d’une manière irrégulière, c’est-à-dire si elle a de fréquentes intermittences ou interruptions, de telle sorte que tantôt elle devienne plus faible , tantôt plus forte; que tantôt elle s’exerce dans un sens , tantôt dans un sens contraire ; qu’en un mot , si les corps sont souvent comprimés, puis distendus, la perte de travail pourra, à la longue et surtout quand les efforts exercés seront considérables, devenir très-comparable au travail total de la puissance ; ce qui n’aurait pas lieu , si l’action de cette dernière était constamment la même, ou si elle ne variait seulement qu’aux reprises et aux cessations complètes du travail.
98 . Moyens généraux de diminuer cette consommation. On peut , dès à présent, entrevoir tout l’avantage qu’il y a à éviter, dans les machines, les chocs ou secousses qui développent des pressions considérables ; à régulariser Faction des forces elles-mêmes et le mouvement des pièces qui la transmettent, quand il s’agit de leur faire opérer, d’une manière continue, un travail industriel quelconque; à employer enfin, pour ces pièces, des corps en même temps raides et élastiques ; c’est-à-dire très-peu susceptibles de changer de forme sous Faction des forces , et capables, quand cette action cesse, de reprendre leur forme primitive , sans avoir subi aucune altération moléculaire ou intime (20) ; car cette altération est une des causes finales de la déperdition , de la consommation inutile du travail.
Voilà précisément pourquoi on préfère généralement , dans la construction des machines, se servir de roues qui tournent uniformément au tour d’axes fixes , pour recevoir et communiquer le mouvement ou même pour servir d’outils; car, d’après la petite étendue des ateliers consacrés aux travaux de l’industrie, le mouvement uniforme et longtemps continué est impossible pour les pièces qui sont assujetties à décrire des lignes droites. Voilà pourquoi aussi on se sert, pour travailler les bois, les métaux, etc. , de marteaux, de burins , de couteaux, de limes, de ciseaux, de scies en acier trempé, et dont les dimensions , les proportions sont tellement combinées, qu’ils fléchissent en réalité très-peu sous l’action des forces qui les mettent en jeu, et des résistances qu’ils doivent vaincre. Car, non-seulement des outils en fer doux, en cuivre, en plomb, travailleraient fort mal, non-seulement iis exigeraient de fréquentes réparations , mais encore ils consommeraient ou absorberaient , en pure perte , une grande quantité de travail mécanique, sans produire beaucoup d’ouvrage. Or ces réflexions sont d’autant plus importantes, quelles s’appliquent à tous les outils employés dans les arts, si ce n’est à ceux pour lesquels un certain degré de
I re PARTIE 8
flexibilité est une qualité essentielle, tels que les spatules, les pinces, les ressorts, etc. ; encore faut-il que la matière de ces outils soit suffisamment résistante ou dure, en elle- même , pour ne pas s’user aisément, et qu’elle soit assez élastique pour ne pas perdre promptement sa forme.
99. De la production du travail par la chaleur. Le calorique qui dilate les corps (21 et 24) en s’insinuant entre leurs diverses molécules , rend, par là même, ces corps capables de développer du travail mécanique; car il met enjeu leur force de répulsion (27) , il bande les ressorts moléculaires, et, quand des obstacles ou des résistances quelconques s’opposent à leur libre extension , ces résistances sont vaincues en même temps qu’un certain chemin est décrit par leur point d’application. A l’inverse, quand on vient à refroidir un corps chaud par un moyen quelconque, quand on en fait sortir une certaine quantité de calorique, les ressorts moléculaires, abandonnés à leur libre action , tendent à retourner vers leur position primitive, et font effort contre les résistances qui s'y opposent , absolument de la même manière que si le corps avait été réellement distendu par des forces extérieures quelconques. On peut d’ailleurs admettre, comme fait d’expérience, que, dans les changements de volume des corps échauffés ou refroidis , la quantité de travail développée par les ressorts moléculaires , est précisément la même que celle que dépenseraient des forces, appliquées extérieurement au corps , pour produire des effets égaux si la température, (22) restait constante.
Nous avons déjà donné (25) quelques exemples des effets de la chaleur et de l’usage qu’on peut en faire , dans les arts, pour consolider les édifices ou rapprocher les diverses parties des corps ; en voici d’autres d’une espèce toute différente. — - Quand on enferme hermétiquement de l’eau dans un canon de fusil ou dans une chaudière , et qu’on la chauffe à un certain degré, elle tend à se transformer en vapeur (3); elle fait de tontes parts effort contre les parois de l’enveloppe , et finit , lorsqu’on augmente suffisamment la chaleur , par faire éclater cette enveloppe , et par en lancer violemment les débris dans tous les sens. La chaleur , employée à produire l’inflammation de la poudre à canon , produit des effets non moins terribles et bien connus d'ailleurs. Dans l’un et dans l’autre cas, la force d’explosion est produite par le développement rapide des gaz ou vapeurs qui tendent (15 et 21) à s’échapper, en tous sens, par suite de l’élévation de la température. De là, au surplus, les accidents graves survenus aux chaudières de certaines machines à vapeur et aux marmites dites autoclaves .
1Ü0. Usage du calorique comme moteur. Nous avons vu (26) combien est faible , en général , la dilatation des corps solides ; celle des liquides ne l’est guère moins , tant qu’on ne les échauffe pas de manière à les convertir entièrement en vapeur; il en résulte donc que les solides et les liquides proprement dits, ne font décrire au point d’application des résistances à
vaincre , qu’un espace en général fort petit, et qu’ils ne peuvent développer un travail notable qu’autant que ces résistances sont très-grandes. Voilà précisément pourquoi on les emploie rarement quand il s agit d effectuer, dans les arts et par l’application de la chaleur, des travaux, soutenus qui exigent qu’un certain chemin, plus ou moins grand, soit décrit dans chaque unité de temps. Tes gaz et les vapeurs n ont pas cet inconvénient (21 et 26), aussi penvent-ils être avantageusement employés comme moteurs dans ces sortes de travaux : la vapeur d’eau surtout , qu’on se procure à si peu de frais sert spécialement à cet usage dans 1 industrie manufacturière.
101. Conditions générales de l’emploi des moteurs. Des réflexions analogues sont applicables à tous les agents qui peuvent servir de moteurs , et montrent la limite de l’utilité de leur emploi dans les arts ; ils expliquent, par exemple , pourquoi on fait aujourd’hui si rarement usage de la force des ressorts ou de celle des bois et des cordages mouillés (11) , pour servir de moteurs dans des travaux soutenus, indépendamment de leur cherté propre , et de l’inconvénient qu’ils ont de mettre en jeu de grands efforts qui consomment, en pure perte (97) , une certaine portion de la quantité de travail qui leur est livrée.
102. Ce la reproduction du travail par la pesanteur. La pesanteur offre comme l’élasticité des corps, un moyen d’emmaganiser le travail mécanique des forces et de la rendre disponible au besoin.
Quand un moteur a élevé verticalement un corps à une certaine hauteur, en dépensant une quantité de travail mesurée (78) par le produit du poids de ce corps et de la hauteur à laquelle il a été élevé ; ce même corps , employé ensuite à vaincre des résistances, soit directement , soit par ! intermédaire de machines, pourra restituer, dans sa descente, précisément la même quantité de travail que celle qui a été primitivement dépensée. — C’est ainsi que le mouvement est communiqué aux grandes horloges , aux tournebroches , etc. , et que l’eau en s’échappant des réservoirs où elle est contenue et a été accumulée par la nature ou par fart , fait mouvoir, par son poids, les roues de nos moulins , de nos usines diverses.
Nous disons que la quantité de travail restituée dans la descente verticale d’un poids, d’une certaine hauteur, est précisément égale à celle qui a été primitivement dépensée pour l’élever à cette hauteur; car 1 intensité d’action de la pesanteur est sensiblement la même (61), soit qu un corps monte , soit qu’il descende; et par conséquent la pression exercée par le poids de ce corps , contre une résistance à vaincre, ne varie pas dans les deux cas ; de sorte que, pour un même chemin vertical décrit, le travail ne varie pas non plus. Mais , quand bien même on admettrait que l’intensité de la pesanteur n’est pas constante pour toutes les hauteurs du corps , on n'en conclurait pas moins que le travail développé dans ta descente , est égal au travail consommé dans la montée, attendu que le poids
MÉCANIQUE INDUSTRIELLE, est, pour chaque position distincte d’un corps, une grandeur absolue [61) et qui ne varie pas avec le temps. En effet, les raisonnements seraient ici semblables à ceux que nous avons employés (95) pour le cas des ressorts parfaitement élastiques, et ils s’appliqueraient également à tous les cas où des forces motrices, agissant sur des corps , redeviendraient constamment les mêmes, pour les mêmes positions relatives de ces corps.
103. Réflexions nouvelles sur la déperdition du travail. Nous devons ici reproduire , à l’occasion de la pesanteur, les observations que nous avons déjà présentées plus haut (97 et suiv.) relativement à la restitution du travail par les ressorts mêmes les plus parfaits : cette restitution , pour être complète en pratique comme en théorie , suppose que l’action de la pesanteur soit convenablement utilisée contre des résistances à vaincre pour les besoins propres del’industrie. Mais, attendu qu’il est impossible d’éviter que des résistances étrangères ne viennent s’opposer aux mouvements quelconques des corps , on recueillera par un double motif, moins de travail utile dans la descente du poids qu’il n’en a fallu dépenser dans sa montée. On peut même prévoir, à l’avance , que la restitution complète du travail n’arrive , à proprement parler, dans aucun des appareils de l’industrie et quels que soient les agents qu’on y emploie ; car il n’y en a point où la résistance de l’air et des fluides , le frottement , l’adhérence des corps qui glissent les uns sur les autres , la compressibilité, l’élasticité , la pesanteur même , ne viennent jouer un rôle indispensable , et détruire , par leur opposition inévitable , une portion plus ou moins grande du travail primitivement développé par le moteur.
On n’en doit pas moins distinguer avec soin , les agents ou actions mécaniques, qui comportent une restitution plus ou moins parfaite du travail, de ceux qui l’absorbent en entier et sans retour ; le frottement, la résistance de l’air, que nous venons de citer et qu’on nomme . pour cette raison , résistances passives , sont dans ce dernier cas. En général, toutes les fois qu’une certaine quantité de travail aura été dépensée pour opérer des déplacements moléculaires dans l’intérieur des milieux , ou pour détruire directement la force d’agrégation des molécules des corps (28) , cette quantité sera totalement anéantie, en ce sens qu’elle ne pourra nullement être restituée par ces corps après qu’ils auront subi le changement detat. C’est ainsi, par exemple, que le travail employé pour limer, polir, rompre ou diviser les corps solides d’une manière quelconque , est consommé sans retour; car on a séparé, les unes des autres, certaines molécules, on a détruit leur force de ressort , et les molécules des corps solides , une fois ainsi séparées , ne possèdent plus l’énergie nécessaire pour se rejoindre , même quand on remet les parties en contact immédiat.
104. De la consommation nécessaire ou utile du travail. Il faut aussi distinguer soigneusement la consommation de travail , nécessitée par les
opérations du genre de celle que nous Tenons de citer, en dernier lieu, de la consommation de travail occasionnée par des résistances totalement étrangères à l’effet qu’on veut produire ; car cette première consommation est essentiellement utile , et la dernière ne l’est pas ; celle-ci diminue l'effet , la quantité de l’ouvrage , et l’autre le constitue essentiellement. Enfin on peut, jusqu’à un certain point , éviter les résistances nuisibles , on peut même les amoindrir beaucoup , par des dispositions bien entendues et que nous ferons connaître plus tard ; mais on ne peut diminuer, en aucune manière, la consommation de travail , nécessitée par les résistances inhérentes à Yeffet utile lui-même.
Il suit de là , par conséquent, que tout ouvrage réclame une dépense absolue de travail. Or nous verrons par la suite , que la seule chose qu’on puisse obtenir des machines , des outils , des ressorts , etc. , c'est que la force motrice n’en dépense pas beaucoup plus , ou que celui qu’elle produit soit presqu'entièrement employé d’une manière utile.
10a. Toute production de travail suppose une consommation. Ce que nous disons des machines industrielles peut s’étendre aux agents de toute espèce que présente la nature , lesquels , considérés en eux-mêmes , nous paraissent quelquefois doués d’une énergie d’action qui leur est propre et qui ne suppose point une consommation primitive de travail ; mais c’est une erreur qui vient de ce que nous ne réfléchissons pas toujours attentivement aux causes plus ou moins immédiates de cette action. — Cette eau (102) que nous voyons tomber, du haut du réservoir où elle est retenue , sur la roue d’un moulin qu’elle fait marcher, par son poids , en produisant du travail mécanique, a été d’abord amenée là par l’action de la gravité qui l’a fait descendre de la partie supérieure des vallées , où elle jaillit de sources naturelles; ces sources elles-mêmes , sont entretenues par les pluies qui tombent sur le sommet des montagnes et s’infiltrent lentement à travers le sol. Or les pluies proviennent des nuages ou brouillards supérieurs, et les nuages sont produits par l’action de la chaleur du soleil , qui a vaporisé l’eau et l’humidité contenues sur la surface de la terre, et les a contraints à s’élever malgré la force de la pesanteur ; de sorte que le travail recueilli dans nos moulins , nos usines hydrauliques , est , en réalité, une bien faible portion de celui qui a été primitivement dépensé par la force motrice de la chaleur solaire.
Il résulte, par exemple, des observations très-précises faites, depuis plusieurs années, à l’École d'application de l’artillerie et du génie , par 31. le garde du génie Schuster, qu’à îletzet aux environs, il tombe annuellement , sur toute la surface du sol , une quantité d’eau de pluie capable de couvrir cette surface sur une hauteur de 30 à 60 cent ; ce qui produit, sur la superficie seulement d’une lieue carrée de poste ayant -4000 me ' de longueur, l’énorme volume de 4000 ">X-I 000 m x 0 m , 5=8000 000 mètres cubes
au moins , lesquels pesant 8000 000 de tonneaux (84), et étant tombés de la hauteur des nuages, qu'on peut fixer moyennement à I200 m , ont ainsi exigé, delà part delà chaleur, un développement de travail (83) équivalent à 8000000 l X1200 m =9600 00ü000 tm , représentant un travail continuel et uniforme (4h et 81) de 9 -5^i?^?,?-ïü=304212 km par seconde , ou de 40o6 chevaux-vapeur environ (86). '
Les animaux, la chaleur même, sources primitives du travail mécanique sur notre globe, exigent , quand on les considère dans leur application immédiate aux besoins de l’industrie manufacturière, une certaine dépense en nourriture, en combustible, etc. , qui , à son tour, est la représentation d’un certain travail mécanique; de sorte qu’il est réellement impossible de se procurer, encore moins de créer, de toutes pièces, de la force motrice, ou plutôt du travail , sans qu’il y en ait eu de consommé primitivement. — Ainsi la houille ou charbon de terre qui alimente les chaudières des machines à vapeur, a été extraite , du fond des mines qui la recèlent , et amenée sur les lieux de sa consommation , au moyen de voitures ou de bateaux trainés par des chevaux ; elle a exigé en outre des chargements et des déchargements successifs ; et , si l’on calculait tout ce qu’elle a coûté de travail mécanique, avant de recevoir sa destination utile et définitive, on trouverait que, dans certains cas, ce travail égale presque celui qu’elle produit effectivement en convertissant l’eau en vapeur pour la faire agir sur les machines, et , par l’intermédiaire des machines , sur les outils, sur la matière à confectionner. Ce n’est pourtant point un motif de croire qu’ii fût avantageux, même dans de telles circonstances, de renoncer à cette manière de reproduire le travail, puisqu’on obtient ce travail coërcé dans un petit espace, et sous une forme infiniment commode , infiniment avantageuse pour les besoins de l’industrie manufacturière.
106. De la consommation et delà reproduction du travail par l inertie. Jusqu’ici nous avons examiné le travail de la force lorsqu elle est employée à vaincre la pesanteur et les résistances inhérentes à l’état d agrégation des corps, on à leur force d’affinité , à leur force de ressort , etc. ; il nous reste à apprécier la résistance que tous les corps opposent au mouvement par suite de leur inertie , et la manière dont cette inertie, considérée (66) comme une force véritable, sert tantôt à consommer, tantôt à produire le travail mécanique, de la même manière que la pesanteur et les ressorts. 11 existe, en effet, une infinité de circonstances où l’inertie joue un rôle principal, et généralement on ne saurait, en aucune façon, la séparer des autres genres de forces , quand i! s’agit d’évaluer le travail des moteurs et des machines.
Nous avons déjà remarqué (68 et 76), par exemple , que le limeur est obligé de vaincre l’inertie de la matière propre de sa lime , le cheval attele à une voiture , l’inertie de la matière de cette voiture et du fardeau qu’elle supporte; nous avons même fait voir (66) que cette inertie se comporte
PRINCIPES FONDAMENTAUX, véritablement comme les autres forces motrices , quand la vitesse du mouvement vient à changer. Il est donc fort important d’apprécier, à sa juste valeur , la quantité de travail qu’un corps donné , absorbe ou restitue pour acquérir ou pour perdre un certain degre de vitesse, indépendamment de ce qu’il arrive souvent que le mouvement est le but utile même du travail, comme lorsqu’il s’agit de lancer des projectiles , des boulets par le ressort des gaz ou des corps solides (96) , genre de travail qui constitue l’art de la balistique mis en usage par tous les peuples, pour combattre ; indépendamment enfin de ce qu'il arrive aussi très-souvent qu’au lieu d’appliquer directement une puissance à la production d’un travail, on la fait agir d’abord sur un corps libre, et qu’on se sert du mouvement acquis par ce corps, pour effectuer le travail au moyen du choc ou de toute autre manière , comme cela a lieu, par exemple, dans les machines à pilons, à marteaux , à volants, etc., où l’inertie de la matière est employée à restituer une certaine quantité de travail primitivement dépensée par un moteur, pour la mettre en jeu. Mais il est indispensable d’exposer d’abord les lois suivant lesquelles le mouvement peut être communiqué et détruit par l’action des fbrees motrices constantes ou variables.
DE LA C033HTXICATI0X Dü SOLVEHEXT FAR LES FORCES 30TRICES COXSTAXTES.
107. Notions générales. Le cas le plus facile et le plus simple de la communication du mouvement, est celui d’un corps qui est poussé , à chaque instant, par une force motrice constante, égaie et directement contraire (66) à la résistance opposée, par l’inertie, dans la direction propre du mouvement. Or il est clair que, la pression étant la même à chaque instant, V accroissement ou le décroissement très-petit de la vitesse (53) , sera aussi le même, ou constant pour le même corps. Ainsi, dans le cas dont il s’agit,, la vitesse, à partir d’un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant : c’est ce qu’on appelle le mouvement uniformément varié en général; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé, selon que la force motrice constante agit pour augmenter ou pour diminuer la vitesse du corps.
Si l’action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps , c’est-à-dire à partir de l’instant où il était au repos , la vitesse totale acquise , au bout d’un temps quelconque mesuré depuis cet instant , sera proportionnelle à ce temps ; ou , si l’on veut . elle sera double pour un temps double , triple pour un temps triple, etc. Si , au contraire , l’action de la force motrice ne commence qu’à compter d'un certain inslant. ou que le corps ait déjà une vitesse acquise à cet instant; cette vitesse, qu’on
nomme ordinairement la vitesse initiale du corps , aura , au bout d’un terop s quelconque 'augmenté ou diminué d’une quantité qui sera encore propor. tionnelle à ce temps , et qu’on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse que la force motrice imprime ou détruit constamment, dans un certain temps pris pour unité , par exemple dans une seconde , etc. En effet, il ne s’agira que de multiplier le temps total écoulé , par la vitesse qui répond à cette unité de temps ; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l’en retranchant selon les cas , on aura la vitesse même du mouvemenî au bout du temps que l'on considère.
Mais , pour bien saisir l’objet de ces calculs , il est nécessaire de se rappeler que , dans le mouvement varié , la vitesse acquise à un certain instant, est mesurée (58) par le chemin que décrirait le corps , dans l’unité de temps et à compter de cet instant, si, la force motrice cessant tout à coup son action, le corps continuait à se mouvoir uniformément ; ce qu’il ferait véritablement en vertu de son inertie (55) et du degré de vitesse qu’il possède déjà.
108. Du mouvement uniformément accéléré. Occupons-nous d’abord du cas où le corps part du repos sous l’action de la force motrice constante , et proposons-nous de décrouvrir toutes les circonstances du mouvement de ce corps.
Nous pouvons encore représenter ici , par le dessin , la loi qui lie , aux temps , les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps , en traçant (PL I , fig. 27) une ligne 0 a'b'....h' dont les abscisse Oa , 05,.... OA, représentent les temps écoulés depuis l’origine du mouvement , et dont les ordonnées aa’, bb', ce’ .... hh' représentent les vitesses acquises à la fin de ces temps respectifs.
Cela posé, puisque dans le cas du mouvement uniformément accéléré, les vitesses aa\ bb r , cc ' ,.... hli' sont proportionnelles aux temps respectivement écoules Oa, 05, Oc. ...Oh, il est clair que la ligne Oa'b'c' h' estime
droite qui passe par l’origine O des abscisses ; car le mobile étant ici censé partir du repos à l’instant où la force motrice commence son action , le temps et la vitesse sont nuis à la fois à cet instant. Supposez qu’on ait partagé l’axe OB des abscisses ou des temps en un grand nombre de parties égales très-petites , puis qu’on ait élevé les ordonnées correspondantes , et qu’enfin on ait mené , par les extrémités de ces ordonnées des parallèles à l’axe des abscisses , on formera une suite de petits triangles Oaa', a'b'b",
b'c'c"...- égaux et rectangles. Les côtés aa\ b'b", c'c" de ces triangles
marqueront les accroissements successifs de la vitesse , accroissements qui seront égaux comme les petits instants qui leur correspondent Oa, «5, 5cconformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.
Les intervalles de temps successifs Oa 1 , ab , bc étant donc supposes
extrêmement petits , on peut regarder le corps comme se mouvant , d’une
manière sensiblement uniforme , pendant 1 un quelconque cd—c’d" de ces intervalles , et avec une vitesse moyenne égale à la demi-somme des vitesses ce', dd qui répondent au commencement et à la fin de chacun d eux. Or, dans le mouvement uniforme (-18) , 1 espace décrit en un temps quelconque, est mesuré par le produit de la vitesse et de ce temps ; donc! espace décrit ici , pendant le temps élémentaire cd , sera égal à cd multiplié par la vitesse moyenne \ ( cc ' -j- dd ') , qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n’étant autre chose que la mesure de 1 aire du petit trapèze cc d d , celui-ci pourra ainsi représenter l’espace parcouru pendant 1 intervalle de temps cd : pour un autre intervalle quelconque de, égal au premier, l’espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd'e'e ; donc 1 espace total parcouru , pendant le temps Oh , par exemple , a sensiblement pour mesure la somme ou surface totale des trapèzes élémentaires aa b'b. bb'c e.... gg'h’h , augmentée du petit triangle Oaa r qui mesure évidemment l’espace décrit dans le premier instant 0 a' ; c’est-à-dire la surface même du triangle correspondant O hh'. Donc enfin cette dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse du chemin décrit pendant le temps total Oh , puisqu’on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre infini de parties égales et infiniment petites ; le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (72) pour trouver la mesure du travail quand l’effort est variable.
109. Lois du mouvement uniformément accéléré. Le chemin décrit pendant un temps quelconque et à compter du repos , étant pour le mouvement dont il s’agit, représenté par la surface du triangle qui a pour hase ce temps et pour hauteur la vitesse acquise à la fin de ce même temps, on en peut déduire, de suite , plusieurs conséquences importantes, et qui permettent de calculer les circonstances de ce genre de mouvement.
D’abord , puisque la surface de tout triangle Ohh' a pour mesure la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uniformément durant un temps égal à Oh et avec la vitesse hh' acquise au bout de ce temps, ou voit que ,
1° Dans le mouvement uniformément accéléré , le chemin parcouru 5 au bout d'un temps quelconque et à partir de l'instant du, repos , est la moitié de celui que décrirait le mobile , dans un temps égal , s’il se mouvait uniformément avec la vitesse qu’il a acquise à la fin du premier temps.
Ensuite , puisque les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques O b , Oe , sont représentés par les aires des triangles O bb', Oee', puisque ces triangles sont semblables, et que , d’après les principes démontrés en Géomé trie , leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues , il en résulte encore que ,
2° Dans le mouvement uniformément accéléré, les chemins décrits , au bout l re PARTIE 9
de deux temps quelconques et à compter de l'instant du repos , sont entre eux comme les carrés de ces temps.
3° Enfin ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les carrés des vitesses acquises au bout des temps correspondants.
110. Formules relatives au mouvement uniformément accéléré. Lorsque, flans le mouvement que nous considérons , on se donne la vitesse ee' acquise au bout d’un temps quelconque Oe% par exemple au bout d’une seconde prise pour unité de temps , la loi du mouvement, ou la droite OA' qui l a représente, est entièrement déterminée ; c’est-à-dire qu’on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l’espace qui répondent à un autre temps quelconque donné.
En effet , représentons par e,, le chemin et la vitesse qui répondent à la première seconde ; soient E , V le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l’origine du ‘mouvement ; on aura d’abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,
e i — ï ®. X I" — j ®i » E=|YXT = iVT;
puis , en vertu de la deuxième ,
^ : E :: r x i" : t x t ou t (i) 2 ;
d’où l’on tire
puis enfin, en vertu de la troisième ,
e i ou } v i 1 E •• v i • V 2 ; d’où V 2 = 2®, X E = 2r,E.
Nous avons d’ailleurs , en vertu même de la définition du mouvement uniformément accéléré (107) ,
f a :v::i":T; d’où v = ® 1 xt = ® 1 t.
Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités E , V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin e, ou la vitesse c, qui correspondent à l’unité de temps 1" ; il ne s’agira que de remplacer chaque lettre par le nombre des unités de temps ou de longueur qu’elle représente , et d’effectuer les opérations indiquées (1).
111. Cas où le corps part avec une vitesse déjà acquise. Dans ce qui précède , nous avons supposé que le mobile partait du repos ou avec une vitesse nulle , de sorte que la droite O N , qui donne la loi de son mouvement ,
(i) La relation E=*», XT 2 , et la relation Y 2 =2»,XE qui indique que la vitesse V est moyenne proportionnelle entre 2», et E , ou entre le double du chemin décrit dans la première seconde et celui qui est décrit au tout du temps T, présentent seules quelques
difficultés pour le calcul de T et de V; mais on peut parvenir au résultat par le moyen des constructions graphiques connues , ou par les tables que nous ferons bientôt connaître ( 1 19), ou enfin par V extraction directe de la racine -carrée du quotien de 2E par», et du produit 2 v l xE , qui donnent, en chiffres, les valeurs de T 2 et de Y 2 .
passait par l’origine O des temps ; niais s'il possédait déjà une vitesse antérieurement acquise, cette droite passerait par le point 0 (fig. 2S), extrémité de l’ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce', qui répond à un temps quelconque Oc, éeoulé t depuis l’origine 0 du mouvement, se composera (107) de la vitesse ce ", égale à la vitesse initiale 00', augmentée de la vitesse c c , que le corps acquerrait , sous l’action de la force motrice constante et au bout du temps Oc ou O'c", relatif à ce', si ce corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent ; car là droite O'd' donnerait encore , par rapport à O'B', prise pour axe des temps , la loi de l’accéiération du mouvement. Connaissant donc la vitesse que la force imprimerait au
corps au bout de la première seconde , s’il partait du repos , on aura tout ce qu’il faut pour construire O d' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à 0 d ; d’où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du, mouvement , et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la figure, si l’on se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.
Qu’il s’agisse , par exemple , de calculer le chemin décrit par le corps , au bout du temps Qd , chemin ici représenté par l’aire du trapèze 0 dd 0 ; on apercevra , de suite , qu’il se compose du chemin 00 'd"d , qui , pendant ce temps , serait décrit uniformément , en vertu de la vitesse initiale 00, augmenté de celui 0 'd'd", qui, dans le même temps, serait décrit, sous l action de la force motrice constante et d’un mouvement uniformément accéléré , si le corps partait du repos au lieu de posséder une vitesse primitivement acquise. Or nous avons appris ci-dessus à calculer l’un et 1 autre de ces deux chemins.
112. Du mouvement uniformément retardé. Si nous supposons maintenant que la force motrice constante, au lieu d’augmenter sans cesse et pai degrés égaux la vitesse initiale 00' (fig. 29) , la diminue au contraire à chaque instant , le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant la parallèle O'B' à OB , on verra que la vitesse ec , qui répond à un temps quelconque Oc , écoulé depuis l’origine 0 du mouvement , n est autre enose que la vitesse primitive 00' ou ce", diminuée de la vitesse c'c" que le corps acquerrait , sous l’action de la force motrice et au bout du temps Oc , si ce corps partait du repos.
L’aire du trapèze OO'c'c étant encore ici la représentation du chemin
décrit , au bout du temps Oc , en vertu du mouvement retardé , on voit que ce chemin est égal à celui OO'c'c qui serait décrit uniformément , pendant ce temps et avec la vitesse primitive 00', moins celui 0 c'c", qui dans ce meme temps serait décrit, sous L'action de la force motrice constatante et d un mouvement uniformément accéléré, si le corps partait du repos au lieu de posséder une vitesse déjà acamse. Ou pourrait donc encoïc cumule*, dai-- .c ca„ a ■
fiO
au mojen ae la figure, toutes ies circonstances du mouvement si seule. »«»< »» coQnaissait 1, inUi.le *, ainsi qoe la din , inulioll ^
" ’ d “ ■'* *"•"«**« • » bou. du,, temps quelconque Oo, ou , on veut , a la fin de la première seconde de temps écoulé.
i L ' P j )0S ° ns ’ entre autres , qu’on veuille trouver le temps Oe au bout ouque. a oree motrice aura éteint entièrement la vitesse du corps : on aura
par les triangles semblables OVc" et 00'e , la proportion
c'c" : O’c” ~ Oc = y - oo':o* ; d’où 00 '
Quant au chemin total décrit , par le corps , depuis l’instant où la force retardatrice a commencé son action jusqu’à celui où la vitesse est devenue nu e , il sera donné (108) par la surface du triangle 00'e , ou par le produit
oo'x o* = i oo'x— = *
tne remarque très-importante à faire, c’est que, si l’on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps , continue à agir en lui imprimant , a chaque instant des degrés de vitesse égaux à ceux qu’elle avait détruit d’abord, le corps retournera dèslors en arriéré , en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C’est ce qu’indique la ligne Oe, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers 0, c’est-à-dire de l’instant où le mouvement du corps est éteint; car la force motrice qui est devenue accélératrice, aura imprimé , en sens contraire , la vitesse dd' au bout du temps ed , la vitesse ce’ au bout du temps ec , etc.
Lois du mouvement vertical des corps pesants =
118. Causes qui influent sur le mouvement des corps dans T air. L’un des exemples les plus importants du mouvement uniformément accéléré, est celui que nous présente la chute des corps pesants , suivant la direction de la verticale ou de l’aplomb. Mais , avant de l’exposer, faisons connaître les circonstances qui , à la surface de la terre, accompagnent et modifient ce mouvement.
Déjà nous avons vu (61) que la pesanteur pouvait être considérée comme une force sensiblement constante dans l’étendue ordinaire des travaux de l’industrie. Mais, à la surface de notre globe , fous les corps sont plongés dans l’air, et cet air lui-même (8 et -4) est un corps matériel qui les presse de toutes parts (87) , et qui , en vertu de son inertie , de son impénétrabilité, s’oppose avec plus ou moins d’énergie , à toute espèce de mouvement (66). Nous avons vu (41) que l’effet de la pression de l’air, sur les corps solides , se réduit sensiblement à diminuer le poids de ces corps d’une quantité égale au poids du volume de fluide qu’ils déplacent de sorte que
cette diminution est d’autant pius sensible que , à égalité de volume d’un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l’air oppose au mouvement des corps , en vertu de son inertie et de sa force de ressort (63). l’expérience apprend que cette résistance varie selon l’étendue et la forme de la surface extérieure des corps ; mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mouvement. — En frappant l'air avec une palette plane et mince , la résistance qu’on éprouve est d’autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable , tandis qu’elle est à peine sensible quand le mouvement s’opère avec lenteur. Si, au lieu de frapper l’air ax^ec toute la surface du plan de la palette, on fait mouvoir cette palette de biais, la résistance est moindre à vitesse égale , et elle est la plus petite possible quand on oppose tout-à-fait le chan ou le côté mince de la palette à l’action de l’air ; c’est-à-dire quand on dirige sa face plane dans le sens même du mouvement.
Des choses analogues se passent à l’égard de tous les corps qui se meuvent dans l’air ; et l’on observe que la résistance croît généralement 1° avec Tétendue de la surface antérieure des corps , ou qui se présente directement à l’action de l’air ; 2° avec la difficulté plus ou moins grande que, par suite de la forme même de ces corps , l’air éprouve à glisser le long de leur surface , à se dévier ou à leur faire place ; 3° avec la grandeur de la vitesse qu’ils possèdent , et cela dans un rapport qui croit plus rapidement que cette grandeur, et qui surpasse même un peu son carré (I).
1 1-4. Chute verticale des corps dans l’air. On conçoit , d’après tout ce que nous venons de dire , que la présence de l’air doit apporter des modifications , plus ou moins sensibles , aux lois de la chute verticale des corps qui sont abandonnés librement à l’action de la pesanteur; et l’on peut même prévoir àl avance et expliquer une infinité de faits que l’expérience journalière confirme ; tels que l’ascension spontanée ou naturelle (81) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans l’atmosphère, la chute plus ou moins rapide des corps solides , etc. — En laissant tomber dans l’air et d’une même hauteur, des corps solides , on observe, en effet , que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (83), ceux qui présentent le moins de surface à l’action directe de l’air et dans le sens du mouvement , sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu’une balle de plomb creuse ou qu’une balle de bois pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi plus vite qu’une balle de liège, etc. ; enfin , un même poids de la même substance peut aussi tomber, plus ou moins vite , selon que cette substance est plus ou moins compacte , moins ou plus divisée.
(i) \ oyez , daus les Applications ,ce qui concerne les lois de la résistance des fluides en général.
La raison en est toute simple : dans le premier cas , la diminution du poid$ des différents corps et la résistance de l’air sont les mêmes pour chacun d’eux , tandis que (SS et Al) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide qui mesurent véritablement l’énergie de la pesanteur, sont très-différents ; dans le second cas , au contraire , le poids absolu reste le même , mais la diminution de ce poids , due à la pression de l’air , et la résistance de cet air qui croit avec la surface extérieure des corps , sont aussi moins sensibles pour les corps compacts que pour les autres.
118. Chute dans le vide, mode d’action de la pesanteur. Si l’on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace entièrement vide ou privé d’air, chacun d’eux, en descendant toujours de la même hauteur, arriverait nécessairement en moins de temps ou plus vite au bas de sa chute; car l’action de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L’expérience qui confirmerait un tel aperçu n’aurait donc rien qui dût nous surprendre ; mais il n’en serait pas de même si elle nous apprenait que les corps tombent tous également vite d’une même hauteur; car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont plus de poids , étant sollicités avee une force plus énergique , doivent aussi acquérir un degré de vitesse plus grand ; nous ne faisons pas attention , en effet , que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre en mouvement , dans le premier cas que dans le second , de sorte que la résistance de l’ir.ertie (66) est réellement plus grande.
Or c’est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vide (36) dans un grand tube de verre (fig. 30) , après y avoir préalablement introduit des corps solides de diverses espèces, depuis les plus légers jusqu aux plus denses : ces corps parvenaient tous à la fois au bas de leur chute, quand, par un moyen quelconque et facile a imaginer , on les lâchait en même temps et de la même hauteur. Ils ont, de plus , remarqué que ces corps tombaient dans le même ordre, et conservaient les mêmes distances respectives dans toute la durée de leur chute; ce qui prouve que la pesanteur leur imprimait , à chaque instant , le même degré de mouvement ; nous pouvons donc admettre , comme parfaitement démontré , ce principe général qui! est important de retenir :
La pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes les particules de la matière quelle qu’en soit la nature particulière, et leur imprime , à chaque instant , le même degré de vitesse dans le même lieu et dans le vide.
On s’assure d’ailleurs très-simplement que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles au dehors , en obser vant qu’un même corps pèse également à l’air libre ou placé dans l’intérieur d’un autre corps, par exemple, dans une chambre, dans une boite ; ce q u ne peut avoir lieu qu’autant que l’action de la pesanteur se fasse sentir à travers la matière même de cette chambre , de cette boite.
On voit aussi que le poids absolu d’un corps n’est autre chose que le
sultat de toutes les petites actions réunies de la pesanteur sur les molécules matérielles de ce corps. Il ne faut donc pas confondre le poids aven la pesanteur, qui est véritablement la force élémentaire qui sollicite ces diverses molécules à se mouvoir avec le même degré de vitesse.
1 18. Expérience sur la chute des corps. Nous venons de voir que les corps les plus denses tels que l’or, le plomb , le cuivre , sont ceux qui , à égalité de surface . tombent le plus vite dans l’air, parce que la résistance est alors très-faible par rapport au poids total du corps. Mais , quand la hauteur de chute ne surpasse pas a mètres , par exemple , on trouve , par l’expérience, que des balles de ces diverses substances tombent dans le même temps, et qu’elles ne tombent même guère plus vite que des balles de marbre et de cire , égales en volume , dont le poids est 7 fois, 20 fois moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de l’air exerce réellement , pour de petites chutes , une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu’on peut très-bien admettre , par exemple , que la loi que suit la halle d’or, en tombant , dans l’air, d’une hauteur moindre que S mètres , est , à très-peu de chose près , la même que celle qu’elle suivrait si elle tombait. de cette hauteur, dans un espace entièrement vide.
Galilée , célèbre physicien italien , qui a le premier découvert cette loi par des expériences directes et suffisamment précises, a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesanteur est donc (107) une force motrice constante , agissant avec une intensité égale, à chaque instant et quelle que soit la vitesse déjà acquise par le corps. Athowd , physicien anglais, en reprenant depuis les expériences de Galilée avec des moyens plus ingénieux encore et plus précis, a obtenu les mêmes résultats. Nous pouvons donc poser les principes généraux qui suivent (109).
117. Lois de la chute des corps dans le vide. Lorsqu’un corps tombe verticalement et d’une certaine hauteur dans le vide,
1 ° Les vitesses acquises aux divers instants , sont proportionnelles aux temps écoulés depuis le commencement de la chute.
2° Z es espaces totaux parcourus aux mêmes instants, ou les hauteurs de chute , sont proportionnels aux carrés des temps écoulés.
8° Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bout de chacune d’elles.
4° La vitesse acquise au bout de la première unité de temps , est égale au double de la hauteur de chute déjà parcourue pendant cette même unité de temps.
Pourle point du globe où nous nous trouvons, la hauteur verticale parcourue, dans la première seconde de sa chute etdans le vide, par un corps qui est abandonné librement à Faction de la pesanteur , est égale à 4“, 9044 ; donc la vitesse acquise au bout de ce temps , est 2 fois 4“, 9044 ou 9™, 8088. Cette
dernière vitesse est ordinairement représentée par g dans les traités de Mécanique : ainsi ÿ=9 m ,8088 : c’est la connaissance de cette grandeur qui sert à calculer (HO) toutes les circonstances du mouvement accéléré des corps tombant d’une certaine hauteur dans le vide, ou des corps très-denses tombant d’une petite hauteur dans l’air.
118 . Formules et exemples de calcul. Ordinairement on représente par la lettre h. ou H, la hauteur, en mètres , d’où le corps est tombé à un certain instant ; en nommant toujours T le temps employé, par ce corps, à décrire le chemin vertical H , ou à tomber de H , et V la vitesse qu’il a acquise à la fin de ce temps, on aura, d’après ce qu’on a trouvé (1 10) pour le cas général,
H=fVXT, H=xXT 2 , V 2 =%XH, V=?XT, <7=9™, 8088, ou 11=2 VT, E=kgT\ Y 2 =%H, Y=gT,
formules fréquemment rappelées en Mécanique, et d’un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesants.
Supposons qu’on veuille trouver la vitesse acquise V, et le chemin H décrit au bout de 7" de chute; T représentant ici les 7 ,r , on aura Y — gYJi — 9 m ,809 X 7== 68 m ,66 environ, H=jÿX T 2 =4 m ,9044X 49=280“, 4 16.
Si l’on se donnait seulement la hauteur H de chute , on calculerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au moyen de la relation Y X H- Supposons, par exemple, H=10 m , on aurait Y 2 =19 m ,6176X10 m =196,178 mètres carrés; et il ne s’agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donnerait cette quantité. Or cette racine est ici 14 m environ, puisque 14 X 14 ou 14 2 =196.
Pour montrer une nouvelle application des principes ci-dessus, nous supposerons que deux corps différents tombent verticalement d’un même point A (Fig. 81), où ils se trouvaient d’abord au repos , mais ne tombent que l’un après l’autre , et à un intervalle de temps qui soit seulement de de seconde ou CF'Ol. Cela posé , nous nous demanderons à quelle distance A'B' se trouveront entre eux , ces deux corps , à la fin de la première, de la deuxième seconde , écoulées depuis l’instant du départ du second corps.
Puisque ce corps ne part, du point A, que 0 ,r ,01 après le premier, il en résulte que celui-ci aura déjà parcouru un certain espace AB avant l’instant où 1 autre aura été lâché de A ; cherchons d’abord cet espace au moyen de la formule E=±g T 2 = 4“ 9044XÎ 2 (118). IciT=0",01; donc H=4”9044 X0, 01X0, 01 = 4X9044X0,0001=0”, 00049; c’est-à-dire que la distance AB, entre les deux corps, n’est pas même de { millimètre.
Cherchons maintenant à.quelle distance A'B' se trouveront, l’un de l’autre, les memes corps, à 1 instant où une seconde entière se sera écoulée depuis l’instant du départ du deuxième corps ; et, pour cela, calculons séparément les cnemins AB , AA décrits par chacun de ces corps, à partir du
ps>int A, en observant que, puisque la durée de la chute AA' du second corps est de 1 ", celle de la chute AB' du premier est 1 r "~\-0,"0l= 1"01 • on aura l’espace AA' = -4“, 9044 X I" X 1" = 4 m ,90i-i, et l’espace AB' = 4“90-UX 1,01 X 1,01 =4 m , 90-4-4 X 1 ,020 1 =o m ,00S; donc l’intervalle A'B' ou AB' — AA' = 5 m ,0030 — 4 m , 9044 ~ 0“, 0980 ou environ 10 cent .
A la fin de la deuxième, de la troisième seconde de chute, les deux corps seraient déjà à une distance, l’un de l’autre, de près de 20, de 30 cent., etc.
Ces résultats expliquent très-bien pourquoi les jets d’eau des jardins, des pompes à incendies, qui s’élèvent verticalement ou sous une certaine inclinaison, en filets compacts et continus , retombent , au contraire, en se divisant en gouttelettes, en pluie plus ou moins fine ; car la résistance de Pair loin de séparer les parties, comme on pourrait le croire d’abord, tend au contraire à les réunir en diminuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C’est aussi là l’explication très-simple de l’effet si connu des cascades naturelles, dont l’eau , en se précipitant du haut des montagnes, se divise en une pluie tellement fine qu’elle ressemble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suite, que de telles remarques ne sont pas seulement un objet de curiosité, mais qu’elles peuvent aussi recevoir des applications dans les arts.
119. Observations diverses. L’opération par laquelle il s’agit de trouver la vitesse V, acquise à la fin de la chute verticale d’uu corps, quand on a la hauteur H de cette chute, se reproduit très-fréquemment dans la Mécanique pratique; aussi a-t-on construit exprès nneiaWequi fournit immédiatement la vitesse répondant à une hauteur dunnée : son utilité toute particulière dans les applications nous a décidé à la rapportera la fin de cet ouvrage.
On dit ordinairement que la vitesse V est due à la hauteur H, et réciproquement que cette hauteur est due à la vitesse V , expressions abrégées qu’il est bon de retenir.
Enfin on devra se ressouvenir que , dans l’air, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul ; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement diffèrent très-peu des véritables, dans les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (1 16). Nous ferons d’ailleurs connaître, dans la partie de cet ouvrage qui est consacrée aux applications , les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s’élèvent verticalement dans l’air; ces calculs conduisant, de suite, à la théorie des parachutes et des ballons, pourront servir à démontrer l’utilité immédiate des principes de la Mécanique.
120. Ascension verticale des corps pesants. Lorsqu’un corps, une balle de vusil par exemple, est lancé, de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément retardé , et, d après ce qui précède (112), la vitesse finira par s’éteindre, quand le
l” e partie. 40
corps sera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l’action de là gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse qu’il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à lm, à à 3m au-dessus de terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, soit dans l’ascension, soit dans la chute ; il n’v aura que la direction du mouvement de changée : par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu’il avait primitivement. Nommant V cette vitesse et H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, on aura donc Y 2 — %H; d’où il sera facile de déduire H de V, ou réciproquement, avec la taV.e (119).
On pourra d’ailleurs calculer toutes les autres circonstances de l’ascension verticale du corps, par les méthodes du N 0 112; mais il ne faudra pas oublier , je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que l’air n existe pas ou n exerce aucune influence sensible sur le mouvement. Car, oans la réalité, les corps s élèvent à une hauteur un peu moindre que celle qui répond, ou est due à leur vitesse initiale , et, de plus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.
F orce vice , niasse et quantité de mouvement.
^ ■ -travail relatif à la vitesse de chute des corps. Nous pouvons mainte-
nant apprécier la quantité de travail ou d’action que dépense la pesanteur pour engendrer une certaine vitesse dans un corps, ou pour vaincre l’inertie de ce corps. Nommons, en effet, P le nombre des kilogrammes que pèse le ( orps, c est à-aire 1 effort total (60 et lia) que la pesanteur exerce sur ce corps, et qui, faudrait employer pour le soutenir dans une certaine position ; ce sera aussi la mesure de l’effort constant exercé, sur le corps, pendant sa descente de la hauteur fl. La quantité de travail, développée par la pesanteur et consommée par l’inertie (66), pendant cette chute, sera donc représentée (78) par le produit PH ; et cette quantité de travail aura engendré, dans le corps, la vitesse Y calculée (1 18) par l’équation V 2 =%1. lais, si 1 on divise le produit % X H ou V 2 par l’un de ses facteurs 2çr, on aura V 2
1 autre H ;et par conséquent, P X H es t la même chose que
P X— ou)-XV 2 .
Ainsi donc la quantité de travail , développée par la pesanteur pour imprimer une certaine vitesse V à un corps , est égale à la moitié du produit obtenu en multipliant le carré de cette vitesse par le poids P de ce même corps, divise par la vitesse g ou 9^,8088, que la pesanteur imprime, â tous les corps (117). au bout de la première seconde de leur chute.
122. Force vive des corps-, sa relation aveu le travail mécanique. Le piij-
duit —y^y- ou — V 2 , étant précisément ce que les mécaniciens sont con-
venus de nommer la force vive du corps dont le poids est P et la vitesse actuelle V, on voit que la quantité d’action ou de travail, dépensée par la pesanteur pour produire la chute verticale d’un corps, est la moitié delà force vive imprimée au bas de cette chute ; ou , si l’on veut, la force vive imprimée est le double de la quantité de travail dépensée par la pesanteur. Lorsque le corps est lancé verticalement , de bas en haut , avec une certaine vitesse , le travail de la pesanteur , toujours mesuré par le produit du poids et de la hauteur à laquelle le corps a été élevé verticalement, est employé, au contraire , à détruire cette vitesse. Par conséquent, dans les deux cas de la descente et de la montée, la moitié de la force vive acquise ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre l’inertie du corps ; c’est-à-dire, que cette mesure reste la même, soit que la pesanteur imprime une certaine vitesse à un corps, soit qu’elle détruise une vitesse égale et qu’il possédait déjà.
Nous prouverons bientôt que ce principe a lieu , quelles que soient et la force motrice et la nature du mouvement qu’elle communique au corps , dans sa direction propre. Mais il est nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et de poser quelques autres définitions généralement admises par les mécaniciens.
123. Comment on doit entendre la force vive. L’expression de force vive.
employée pour désigner le produit x V 2 , pouvant induire en erreur
beaucoup de personnes , il est bonde remarquer ici que, d’après notre manière de voir , ce n’est point à proprement parler (aô) une force, pas plus que la quantité P x H, que nous avons nommée, en général, quantité d’action , quantité de travail: c’est tout simplement le résultat de l’activité d’une force motrice ou de pression, exprimable en poids, qui a été employée, pendant un temps plus ou moins long (87), à vaincre l’inertie de la matière d’un corps, à imprimer un certain mouvement, une certaine vitesse à ce corps. Sous ce point de vue, la force vive serait véritablement l effet dynamique (80) de la force motrice , ou plutôt le double de cet effet, P
puisque — X V 2 = 2 P V H.
Lors donc que nous emploierons le mot force vive, ce ne sera jamais que pour désigner la valeur numérique d’une certaine quantité essentiellement relative au mouvement actuel d’un corps, ou au mouvement qu’il pourrait réellement acquérir dans des circonstances déterminées; et, sans s’arrêter aucunement à la signification propre des mots par lesquels on l’indique dans le discours,, il faudra seulement se ressouvenir que sa valeur , en
nombre , équivaut au produit du carré de la vitesse effective d'un corps , parle poids de ce corps , divisé par g on 9 m ,8088. Ainsi nous ne confondrons pas, comme on le fait quelquefois (80), la force vive des moteurs avec la quantité de travail qu’ils développent contre des résistances qui leur sont opposées ; et, s’il nous arrivait, par exemple, de parler de la force vive d’un ho i me ou d'un cheval , nous entendrions uniquement spécifier le produit ci-dessus concernant leur vitesse et leur poids réels, produit bien différent de celui qui mesure la quantité de travail mécanique même développée par ces moteurs, à chaque instant ou pendant un certain temps, lorsqu’ils sont appliqués à une machine, à un outil quelconques (74 et 77).
124. Référions sur la force vive et les forces motrices en général. Ce qui a porte autrefois les mécaniciens à adopter le mot force vive , c’est qu’ils ont confondu V effet avec la cause , 3e résultat du travail d’une force motrice avec ce travail même ; par la seule raison que les mesures, en nombres, de ce travail, de cet effet ou de ce résultat, sont directement comparables entre elles , ou ont une certaine relation numérique. Ayant d’ailleurs admis l’expression de force pour dés : gner les effets, les résultats de l’activité d’un moteur' qui travaille , et voulant les distinguer de l 'effort ou pression simple (89) que ce moteur exercerait sur un corps qui resterait en lepos ou céderait très-peu (89) à son action , ils ont dit que c’était une force vire , et cette pression , cet effort , ils 1 ont nommé force morte. De là aussi la dispute qui s’est élevée, parmi les géomètres du dernier siècle, sur la manière de mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles; dispute fort oiseuse et qui n’a fait qu’embrouiller des choses très-claires par elles-mêmes , puisqu’il est impossible de confondre l’effort, la pression simple qu’exerce un moteur sur un corps , avec son travail mécanique, et ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d’un corps.
A la vente, uncorps mis en mouvement, un certain effet dynamique { 121) peut, à son tour, devenir une cause, une source de travail : c’est ainsi, par exemple, qu’un corps lancé verticalement, de bas en haut, est élevé, en vertu de sa vitesse, à une certaine hauteur, tout comme il le serait par j action d’un moteur animé. Mais il arrive ici la même chose que lorsqu’une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élastique (97) : l’inertie de la matière a été mise en jeu de la même maniéré que les forces moléculaires l’ont été dans ce dernier cas; cette inertie (106), quand elle a été ainsi vaincue , devient capable de restituer la quantité de travail dépensée , de même que le ressort qui a été bandé. Eu un nuit, inertie comme les ressorts (96) , sert h emmagasiner le travail mecamqne, en le transformant en force vive , de sorte que la force vive est un véritable travail disponible ,
Nous avons vu (102) qu’on peut en dire tout autant d’un corps qui a été elevea une certaine hauteur , par un moyen quelconque; ce corps, solli-
ci , é par la pesanteur, est ia source d’une quantité de travail , dont on peut disposer subséquemment pour produire effectivement du travail mécanique. Mais , de même que nous ne disons pas , en termes absolus, que ce eorns, actuellement élevé à une certaine hauteur, est — force, quan ressort bandé est un e force-, de même aussi il est peu exact de dire qu un
P v» nnp force Ces réflexions sont également corps en mouvement , que V est une jorce. v,es
applicables d’ailleurs aux hommes et aux animaux en général , aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (99), aux cours d'eau, au veut, etc. ; ce sont des agents de travail, des moteurs si l’on veut , mais non
de simples forces, de simples pressions (59).
L’objet delà Mécanique industrielle consiste principalement à étudier es diverses transformations ou métamorphoses que peut subir le travail es moteurs par le moyen des machines ou des outils, à comparer entre elles les quantités de ce travail , à les évaluer en argent ou en ouvrage de tehe
ou telle espèce , etc. . .
12o. Définition de la masse des corps. Puisque la pesanteur agit in is-
tinctement sur toutes les particules matérielles d’un corps, et tend, a chaque instant , à leur imprimer le même degré de vitesse dans le même lieu (lia), on voit que le poids de ce corps, qui est le résultat de toutes ces actions partielles , peut donner, jusqu a un certain point, une idée cie Quantité de matière qu'il renferme ou de sa masse. Suivant cette notion masse serait donc proportionnelle au poids ; souvent même on prend , dans les applications , les poids pour les masses. Mais , comme l’intensité de la pesanteur varie d’un lieu à un autre (61) , et que la quantité de niutièie < u la masse absolue d’un même corps ne varie pas , on voit que cette dern.ère serait dans certain cas , mal définie par le poids simple de ce coips. Or l’expérience apprend que la vitesse imprimée , par la pesanteur, au bout de la première seconde de chute , demeure constamment proportionnelle à
son intensité ; c’est-à-dire (117 et 121) que le rapport — - reste le meiiie
pour tous les lieux. Ainsi , P et P' étant les poids absolus (60) et dans ie vide, d’un même corps transporté, par exemple , à deux hauteurs différentes ; g et g’ les vitesses qu’à ces hauteurs, la pesanteur imprime , dans le vide et à la fin de la première seconde de chute , à chaque particule de matière , on a
C’est donc à ce rapport invariable — i et non au poids P lui-nieme. que
s’applique véritablement, en Mécanique, la définition de la masse d un corps; et l’on commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves , en prenant le poids pour la mesure de la masse.
126. Expression abrégée de la masse et de la force vive, dans les calculs Ordinairement on représente la valeur de la masse par la lettre rn ou !>i ; 0:i
a donc ïï= — ; et, par suite , P = M X 9 — Mgr ; P exprimant l’effort
absolu exercé , par la pesanteur, sur un certain corps , et g la vitesse qu’elle lui imprime , dans le même lieu et dans le vida , au bout de la première seconde de sa chute verticale.
D’après cette convention . la valeur ci-dessus V 2 de la force vive d’un
corps (123) se trouve aussi représentée, dans les calculs mécaniques , par M X V- ou MV-, c’est-à-dire par le produit de la masse de ce corps et du carré de sa vitesse acquise ou actuelle.
127. Quantité de mouvement des corps. Les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d’un corps , le produit de sa masse, définie comme on vient de le dire , par la vitesse simple et actuelle
que possède cette masse; c’est-à-dire que M X V ou -1 X V, qu’on écrit
PV
aussi 5IV, __ pour la simplicité, est ce qu’on nomme une Quantité de
mouvement en mécanique. Cette quantité est , comme on voit , très-différenle de ce que nous avons appelé (80) la quantité d'action ou de travail des moteurs ; et on ne peut la confondre avec cette dernière qu’autant (84) que
' ° n Ç onfoildrait auss * Effort d’un moteur avec le poids réel , ou plutôt avec la masse d’un corps; ce qui n’est évidemment pas permis (1).
128. Observations générales. Dans le fait, c’est principalement pour
(>) Nommons Qlavaleur.ee nombre jZyv „ p
, g \ j °n aura — -XV, ou, ce qui revienl
au même, O ♦ P V- /r , 9
la Yitesse que la pesanteur iinnrV ° ^ ^ ^ Certai ° C ° rpS ’ * ’ 0U 9” ’ 8ü88 > es ‘
dans le lieu où rousso 306 cor P s > au boiltd e la première seconde de chute et
^an s le , ieu Z ^ ^ ^
seconde de chute c’est-à-d' v I 6 * 111 lm P rimer la vitesse V au bout de la première
vite. On voit aussi que l a MV^ÔuMV X !" ’> “T C0 ”î re 1,aCti ° n ^ CeUC gfa *
dernier poids , de cet effort ■ X v , n est eile-même que le produit de ce
meqt le corps dans l’unifé d ? ' Kcss e 4 , ou par le chemin que décrirait (48) uniforme'-
..... «ni, » £ *r P ‘:,' n O, ,,»•
la force vive, ainsi qu’à mnnl ,,•! ^ man ‘® re a ksolue, la quantité de mouvement et
mécaniciens ont attribuée à Z à ^ ^ ^ Certai ' 1 P oint de ™ S ’ leS
mécanique véritables • elles r ' S ° rtes de S ran< 3eurs , ainsi qu’au poids et au travail garder la quantité de Luvemen t”* ^ 0 '‘ Se 'P 61met q-lquefois de re-
sans énergie, et la quantité de -, 6 UIÎe ^°’ ^ morte ( I2 4) comme un effort simple ou nullement besoin de nous ion • ** cornrl1e ,I!le for °e vive. Au surplus, nous n’avons vraies subtilités. ‘ “ de Ces d:s,itla ‘ions qui , à le bien prendre, sont de
abréger et simplifier tout à la fois les calculs et les raisonnements , qu'on emploie les dénominations de masse , de quantité de mouvement , et qu’on les représente par des lettres particulières ; on pourrait aisément s’en passer, ainsi que du mot force vive, dans l’exposition des principes de la Mécanique industrielle. Mais , comme tous les auteurs en ont fait usage , il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification , et de ne pas oublier qu’elles se rapportent toutes à des corps matériels et au mouvement véritable de ces corps; ou plutôt qu’elles sont des expressions purement conventionnelles pour exprimer, d’une manière commode , certaines grandeurs numériques , certains résultats qui présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique , quand il s’agit du mouvement des corps.
r,E LA CO'MKOÎHCATIGS DIRECTE dü mouvement par les forces motrices en GÉNÉRAL , ET DU C3ANGESIENT DU TRAVAIL EN FORCE VIVE.
129. Rapport des forces motrices au mouvement imprimé. Nous venons de voir (125) que la pesanteur communique , à un même corps et au bout de la première seconde de chute verticale , des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité , ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Mais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie , en effet , très-peu (61) dans toute la hauteur de cette chute; de sorte que la vitesse totale , acquise en une seconde , est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés dans chaque élément du temps (107 et suiv). Lorsque la force motrice , au lieu detre constante , varie à chaque instant , il est évident qu alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse totale qu’elle imprime dans le sens propre de son action , à un même corps et au bout de l’unité de temps , mais qu’elle dépend uniquement du degré de vitesse infiniment petit qu elle lui communique à un instant donné.
L’observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans les mouvements de notre système planétaire , prouve que
Les forces motrices ou de pressions sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse qu’elles impriment , dans des temps égaux infiniment petits, à un meme corps qui code hbiement a leur action , et dans le sens propre de celte action.
Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement , et il doit être considéré comme une loi générale des forces motrices de la nature.
Pour éviter désormais des répétitions inutiles , nous rappelerons qu’ici, comme dans ce qui précédé et dans ce qui va suivre, les forces sont censées agir d’une manière directe sur les corps . c’est-à-dire dans le sens propre
gQ mécanique industrielle.
d„ mouvement qu'il, prennent ou tendent à prendre , et que dttn, ee ventent , le, diverse, partie, de ce, corp, .ont ri* cen.ee, chen.n.r parallèlement et de 1. même quantité , ainsi qu'il arrive dan, une tnfint.e de ctrcun, tances. Si l'on veut encore , on peut considérer le, corp, comme dépouillé, de leurs dimensions, ou leur matière leur masse, comme concentrée en un seul point sur lequel agit immédiatement la paissance.
ISO. Mesure des forces motrices et d'inertie par la vitesse imprimée et réciproquement. Soit F la mesure, en kilogrammes, d’une certaine force de pression qui agit ainsi directement sur un corps cédant librement à son action ; soit v le degré très-petit de vitesse quelle imprime à ce corps, à une époque quelconque et pendant le temps infiniment petit f, soit pareillement P le poids ou la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu , sur ce même corps , et v’ le petit degré de vitesse quelle tend à lui imprimer , ou qu’elle lui communiquerait, en effet, pendant la durée de t, s’il était parfaitement libre de céder à son action. On aura, selon ce qui précède ,
F : p : : © : ©' d’où F = — - X ® = — .•
Mais , d’après la première loi de la chute des corps (117), nous avons
«'ta;: t '. V ; d’où v r . — gt ; donc F == — = M X •—
qt t ,
M étant la masse du corps (125).
Ainsi, quand on connaîtra le degré de vitesse v imprimé, dans le temps infiniment petit t , par la force F, on pourra calculer cette force, qui est égale et contraire à la résistance qu’oppose , au mouvement (66), l’inertie de la matière du corps ; résistance que nous avons nommée simplement force d inertie , et qu on pourrait aussi appeler (12S) la force dynamique des corps, parce qu on attache ordinairement au mot dynamique , l’idée d’un changement de mouvement. Lu relation F = M X ~ = AI — , nous apprend donc
que
La force d'inertie F croît proportionnellement à la masse du corps et aux degrés de vitesse v qu’il reçoit dans des temps élémentaires t, égaux et infiniment petits.
De la relation ci-dessus, on tire réciproquement la valeur v = F X * • donc
Le degré de vitesse qu’une force motrice imprime à un corps , pendant un même temps élémentaire infiniment petit , croît proportionnellement à l’intensité de cette force et inversement à la masse du corps.
On remarquera d’ailleurs que tout ce qui précède s’applique aussi bien au cas ou la force F ralentit le mouvement acquis du corps qu’à celui où elle l’accélère; seulement, au lieu de degrés de vitesse acquis on a à consacrer des degrés de vitesse détruits dans ce corps, et la force F devient
«ne résistance véritable, qui s’oppose à l’action de l’inertie devenue puissance (58). C’est généralement ainsi qu’on devra entendre les choses dans tout ce qui va suivre.
131 . Rapport des forces motrices aux quantités de mouvement imprimées. D’après nos définitions (127) , le produit MX® 0,1 Mc n’est autre chose que ce qu’on nomme une quantité de mouvement , en Mécanique. On voit donc que la première des propositions ci-dessus, revient à dire que
« La force d’inertie croit proportionnellement à la quantité de mouve- » ment communiquée ou détruite dans un même instant infiniment » petit. :>
Ou que
<: Les forces motrices communiquent ou détruisent , dans des instants » égaux et infiniment petits, des quantités de mouvement qui leur sont « proportionnelles. »
Soient, en effet, F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant , pendant un même instant infiniment petit t , sur deux corps différents, de masses M et M' ; soient c et v' les degrés de vitesse qu’elles leur impriment respectivement, à la fin de cet instant , on aura, selon ce qui
précède, F = M j , F'= ïï' - , et par conséquent
F ; F' ’ * M t I lïb V 'Mc: MV.
Si donc les forces motrices F, F' , ou les forces d’inertie qui leur sont directement opposées , avaient la même intensité ; la même valeur en kilogrammes , les quantités de mouvement qu’elles imprimeraient, dans le même instant très-petit f, seraient aussi égales ; ce qui résulte immédiatement de ce qu’on aurait alors
M -= M' — , ou M©=ilV.
On voit enfin que, si deux forces appliquées à deux corps libres différents, demeurent sans cesse égales entre elles pour les mêmes instants, c’est-à-dire, si elles varient de la même manière, les quantités de mouvement totales et finies qu’elles auront imprimées à ees corps, entre deux instants quelconques , seront aussi égales entre elles; car chacune d’elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Mc, MV, qui ont les mêmes valeurs pour les divers instants successifs et égaux dont se compose la durée entière de l’action.
C’est ainsi qu’il faut entendre le principe parlequel les auteurs admettent quelquefois que des forces motrices égales impriment les mêmes quantités de mouvement finies ou totales à des corps quelconques, principe qui conduit à considérer ces quantités comme des forces véritables, tandis qu’elles ex-
MÉCAMQCE IKDUSTRIELlE.
priment uniquement des sommes de produits tels que F./, relatifs aux forces ordinaires de pression (59 et 60) et à la durée du temps pendant lequel elles agissent. En effet, quelle que soit la petitesse de cette duree , elie n’est pas nulle (87) , et, quelle que soit la grandeur ou Fintensité des forces, elle ne sont pas infinies , elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression ou de traction. Au surplus, je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous, qui n'admettons le mot quantité de mouvement que pour désigner un certain résultat des calculs, et pour abréger les énoncés des principes (127 et 128).
1S2. Autre mesure des forces motrices et d'inertie. Revenons maintenant à la considération simple d’une force unique F , agissant sur un corps de poids P ou de masse M (ISO), et supposons qu’à une certaine époque du mouvement , cette force cesse tout à coup de varier , ou continue d’agir sur le corps avec Fintensité qu’elle possède à cette époque ; la vitesse augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps (107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu’elle imprimerait au corps, à la fin de la première seconde, s’il partait du repos au commencement de cette seconde.
Désignant par V t cette vitesse finie, on aura
