TV — *V)AL-H>OH' | V
-tV)AL+2QHf QIC
formules dont nous ferons bientôt l’application à un exemple particulier.
Quant au cas où la rupture du prisme s’opérera avec une certaine vitesse nue nous continuerons de nommer V, il est aisé d’apercevoir, en se reportant aux raisonnements du N° 324, ou au principe des 136 et 157, que la première des équations rapportées ci-dessus (542) demeurera applicable^ pourvu qu’on y remplace l par L' = IL , et TV par la résistance vive du prisme que fournissent directement les tables ou les données de le^périence ; c’est-à-dire qu’on aura la relation
r— ( £, T Pr l** i=ili - i- ï ^ v :, k
ILY!i= L '-
au
qui fera connaître immédiatement Y , ou sa hauteur due , H = —
moyen de Y l , ou de sa hauteur due (542) , H t = ^ - 3 HV quand tout
le reste sera donné à priori.
Cette même relation permettra , à l’inverse , de calculer la résistance vive TV . du prisme , quand il sera possible d’observer directement dans des expériences , la valeur finale de Y et de l ou L' ; ce qui peut se faire au moyen de procédés faciles à imaginer, et sur lesquels il serait ici inutile d’insister. La relation dont il s’agit donne , en effet , par des transformations algébriques très-simples , cette autre formule :
(Q + Q')(L— Q , (Q+Qn ,T, YY AL -H AL \2 g 2 gV
qui est, ainsi que les précédentes , susceptible d’une interprétation trèsclaire , et propre à en faciliter les applications et l’intelligence. Il suffit,
pour cela , de remarquer que le rapport ~ indique la charge , par
millimètre carré , qui a lieu après l’instant du choc ; que — 1
exprime la différence des allongements proportionnels, relatifs à la rupture et à la charge permanente , O ; qu’enfin le facteur, dans leque. entre V et Y, , représente simplement la différence H x — H , des hauteurs au -
à ces vitesses. . , hgc
1544. Questions particulières concernant la rupture des prismes par w Soit en premier lieu , un barreau de fer de 100 millimètres carres de -e tion, dé i mètres de longueur, soumis préalablement a 1 action
charge permanente de 20G kil , sous laquelle il a déjà pris un allongement de 0,0001 .5 m = O^OOOS, le coefficient d’élasticité , E , étant supposé de 20000 kH par millimètre carré; on demande quel est le poids qui, en tombant sur cette charge, de la hauteur H'=2“. ou avec la vitesse verticale, V'= 6 m ,26 par seconde , serait capable de rompre instantanément ce barreau , dont le fer est d’ailleurs supposé très-ductile , et d’une qualité comparable à celle du fer qui a été soumis, par M. Bornet, à une expérience dont les résultats sont consignés dans le tableau du jN To 289 ?
En consultant le tableau du N° 298 , qui découle directement du précédent, on trouve que la résistance vive de rupture d’un tel fer, par millimètre carré de section et par mètre de longueur, pour valeur approximative, la quantité de travail T' r ~ 4k™, 5; ce qui donne pour la résistance vive totale, T r , du barreau T r ,.AL= 4 ^ 5 . 10 OJ = 1850 km. D’im autre côté , on lit sur la ligne horizontale correspondante au premier de ces nombres, que l’allongement final, ou à l’instant qui précède immédiatement Ja rupture, est de lS2miii,S pour un mètre de longueur, ou de ü m ,§975 pour les B mètres , allongement vis-à-vis duquel on peut négliger celui qui est dû à la charge permanente des 200 tii, de même aussi qu’il sera permis de négliger le travail f, ou f T . AL = |200t.0 m , 0003=0^03, relatif à cette dernière (257) , par rapport à celui des 1850km que suppose la rupture effective. On aura donc approximativement, pour le cas qui nous occupe ,
(T',— t' r ) AL— 1 ioOkm. L' — ( = 0 m , 397 , 0 2 H' 80000
OH/=200k.2 m = 33375;
=400 km ,
ces quantités étant substituées dans la seconde des formules du précédent numéro, qui se rapportent au cas particulier où le choc est censé produire strictement la rupture, sans force vive excédante, il viendra
Q + Q,= Ü794 + V (iml — 5o575=448 k ,48-f-409 k ,58=8o8 k ,06;
d’où résulte, pour la valeur qui doit être donnée au poids du corps choquant , Q'= 858k.06 — 200k = 658t, 06.
Si, tout restant d’ailleurs semblable , on se donnait, à priori, cette même valeur, et qu’il s’agit, à l’inverse, de rechercher quelle devrait être la hauteur minimum , H', d’où il faudrait laisser tomber verticalement ce poids, pour produire la rupture immédiate du prisme, on aurait recours à la première des formules mentionnées , par laquelle on obtiendrait , en effet ,
H ' = miw ( lâS °- 8S8 ’ 06 • °’ S97) = im - 9998 ;
ce qui peut servir de vérification au résultat de nos premiers calculs.
Si, au lieu d’un barreau de fer ductile, on en avait considéré un de fer fort ou d’acier trempé , on aurait dù s’attendre , d’après les observations de l’article 296, à des résultats très -différents, c’est-à-dire beaucoup plus faibles que ceux qui viennent d’être obtenus. Et, en effet , si l’on prend , conformément aux indications du tableau de cet article, pour l’acier trempé et recuit au bleu de ressort, T'^Otm^OoS, I =0,00252, et qu’on tienne compte, ce qui est nécessaire alors, des valeurs 0 m ,0003 etO k “,OB, de / et de t r , on trouvera, en prenant, par exemple, Q'= 658 k ,06,
h = jÈÈw (d 7km - 87 - 858k ,0 6 ,° m , 00726 )= ° m ,° 02 1
hauteur de chute fort petite par rapport à celle qui produisait la rum dans le cas précédent. * Ure
545. Autre question relative au cas où le choc ne serait pas suivi de la tare immédiate du prisme. Si Q', H' ou V', étaient à l’avance connus^' donnés pour le barreau de fer qui nous a (l’abord servi d’exemple , on s° U rait naturellement conduit à rechercher l’état auquel le choc le ferait nar~ venir, à l’instant où le plus grand allongement se serait opéré, etnotam' ment , on aurait à s’assurer si la rupture immédiate pourrait s’ensuivre et quelle serait , dans cette hypothèse, la vitesse finale, Y, conservée nar les masses qui se sont choquées. Or l’avant-dernière des formules posées dans le N° 843 , donne, sur-le-champ, pour calculer la hauteur due à cette vitesse,
ou
(Q+QO
(TV— f,)AL Q + Q' ’
où il n’y aura qu’à substituer, aux différentes lettres , les valeurs qu’elles représentent, et qui, par hypothèse, sont toutes connues.
Par exemple si , tout restant le même que dans la dernière des questions du N“ §45 ci-dessus, on se donnait de plus, arbitrairement, Q'= lO00t on trouverait :
=l m , B89-fO m , 397— 1”, 125=0“ 661,
hauteur à laquelle correspond , d’après la table (119) , une vitesse de 8 m ,60 par seconde.
Mais si , au lieu d’un résultat positif et absolu, tel que le précédent, on en eût obtenu un négatif, c’est-à-dire si la somme des termes soustractifs de H , l’eût emporté sur celle des termes additifs, alors la valeur de V, fût devenue imaginaire ou impossible , et l’on eût , par là , été averti que l’hypothèse de la rupture était absurde, et qu’il eût été nécessaire de recommencer les calculs sur une tout autre base.
Cette circonstance arriverait, en particulier, si l’on prenait Q' = SaOC par exemple, au lieu de 1000L, et c’est ce qu’on voit , à priori, par le résultat que nous avons obtenu ei-dessus (344) , pour la valeur de Q', qui pro- ■ duit strictement la rupture. II conviendrait alors de se reporter au cas
général (343), où V devient nul sans que, pour cela L' ou i
et T „ cessent d’être inconnus ; ce qui donnerait ici , en continuant de négliger la considération des quantités très-petites f r et ï ou
-Q+<L..- Q' 2 fj/ 750 . , (550)*
A ~ AL(0-f-0; 100 +£00.750'
pour l’équation de la droite dont il a été parié dans cet endroit , et à l’aide de laquelle on effectuera les constructions ou tâtonnements qui s’y trouvent indiqués.
Supposant, par exemple, « = 0,1000, allongement proportionnel voisin de celui, 0,1325, qui correspond (344) à la rupture du prisme de fer dont on s’occupe, on en déduira
