EXERCICES ET DÉVELOPPEMENTS DIVERS

L’objet des Applications qui suivent étant de familiariser peu a peu le lecteur avec les principes de Mécanique les plus universellement utiles, nous ne nous attacherons pas à traiter chaque question avec tous les développements qu’on serait en droit d’exiger d’un ouvrage spécial. Et, afin deprocéder, autant que faire se peut, du simple au composé, nous commencerons par introduire, dans les termes de ces questions , quelquessuppositions qui, sans s’éloigner trop de la vérité, rendent plus faciles les raisonnements, les calculs ou la conception propre des phénomènes; puis, en y revenant par la suite, nous tâcherons d’y faire entrer quelques éléments de plus , et de tenir compte des circonstances physiques d’abord négligées, si non pour en calculer rigoureusement les effets, du moins pour en faire saisir la véritable influence. C’est ainsi que nous procéderons, entre autres, dans ce qui concerne l’impression ou le ehoc des corps et la communication du mouvement par la détente rapide des gaz. Entraitant, par exemple, cette dernière question, nous admettrons les principes de Mariotte et de Pascal (16 et 14) pour calculer le travail développé par la détente, bien que ces principes n’aient plus lieu alors (68) de la même manière ou pour l’étendue entière de la masse fluide, à cause du rôle que jouent la chaleur et l’inertie propres des molécules des gaz dans les détentes ou compressions brusques. Mais les solutions ainsi obtenues n’en seront pas moins vraies comme déductions de principes, et précieuses comme offrant une approximation raisonnable dans beaucoup de circonstances de la pratique.

Nous avons cru ce préambule nécessaire pour éviter qu’on se méprenne sur l’intention et l’esprit véritables de ces exercices, et qu’on n’accorde à chaque conséquence plus d’étendue que n’en comportent les hypothèses physiques mêmes sur lesquelles elle repose. Ces réflexions ne s’adressent d’ailleurs qu’aux personnes qui pourraient ignorer la différence essentielle qui existe entre les sciences d’application ou physico-mathématiques et les sciences purement rationnelles.

QUESTIONS CONCERNANT L’îNERTlE ET TA FORCE YIVE.

148. Travail nécessaire pour vaincre V inertie d'une voiture. Considérons une voiture de roulier cheminant sur une route horizontale : supposons qu’elle pèse, en tout, 10,000 kil. , et qu’elle doive être mise eu mouvement, par des chevaux , avec une vitesse moyenne (49) de l m par seconds; la consommation de travail pour vaincre, dans les premiers instants, son inertie indépendamment des autres résistances, sera (156) \ MV 2 =ï

APPLICATIONS, etc.

V v i m = 510 km ', puisque nous avons P= 10000% 9,81 A A

V = l m , g = 8 m ,Sl environ.

Or on sslt* par expérience ^ cju un bon chevâl de routier, marciiant régulièrement huit heures par jour, en 2 relais, et avec la vitesse du pas ordinaire qui est d’environ 1” par seconde , développe moyennement (81) un travail d’au moins 7Û tm dans chacune de ces secondes, bi donc il y en avait huit, de cette force, attelés à la voiture, ils donneraient au moins o60 tm dans le même temps; de sorte que le travail que devraient dépenser les chevaux, pour mettre cette voiture en mouvement dans les prenne! s instants, ne serait pas même égal à celui qu ils peuvent développe! , d une manière soutenue et par seconde, quand la voiture chemine régulièrement; d'où l’on voit le peu d'influence exercée alors par l’inertie propre

d’une aussi grande masse. .

Si la voiture devait aller avec la vitesse du trot , qui est de 2“ environ par seconde , alors le travail absorbé par l’inertie serait 510X2X2 = 2040 km c’est-à-dire quadruple; si elle devait aller au galop ordinaire de par seconde , la consommation de travail serait 510X 4 X4=8160 km , c’est-à-dire 16 fois celle qui répond à la vitesse de l m .

On voit, par là, que le travail nécessaire pour vaincre l’inertie dans les premiers instants, augmente très-rapidement avec la vitesse imprimée à la voiture ; ce qui tient à ce que la force vive croît elle-même comme ie

carré de cette vitesse. .

■147. Idée du temps nécessaire pour imprimer le mouvement à la voiture, il

est essentiel de remarquer qu’on ne peut rien inférer , de ce qui précède , relativement à la durée du temps qu’emploient les chevaux pour mettie effectivement la voiture en mouvement à compter du repos. Car, dun côté, nous avons fait abstraction de la résistance du terrain et des divers frottements, et, de l’autre, il peut bien arriver que la voiture acquière, au bout de la première seconde et sous 1 effort réuni des huit chevaux, une vitesse qui soit plus petite ou plus grande, par exemple, que celle de l m considérée dans le premier des cas ci-dessus : cela dépend principalement de i’intensité absolue de cet effort (129 et suiv.) dans chaque

instant infiniment petit.

Pour mettre la chose dans tout son jour, nous supposerons que 1 effort exercé par les huit chevaux agissant à la fois, soit seulement de 560 kii., c’est-à-dire égal à celui qui répond à l’allure du pas ordinaire, et qu au lieu de varier, comme cela arrive effectivement au moment du départ, it demeure constamment le même; on trouvera facilement la valeur de la vitesse qui serait transmise, par cet effort, au bout de la première seconde de temps écoulé, au moyen de la formule F — MY t du K° 132. qui s’applique au cas actuel, puisque V t est aussi la vitesse imprimée, a la fin de l’unité de temps et par une force F qui resterait contante, a une

masse M — — représentée ici par la masse même de la voiture. Or nous

9 P 10000 kil -

avons, par hypothèse , F =560 kil -, M= — = -g m gj = environ ,

donc la vitesse cherchée Y. — — = G m ,549 : cette vitesse est loin o éga.er

un mètre; mais aussi le chemin décrit et le travail développe, par les chevaux, pendant la première seconde de temps, sont bien moindres que l m et 560 km . En effet, nous savons que le chemin décrit, au bout de a première seconde, sous l’action d’ime force constante (110) , est égal a la moitié de la vitesse acouise à la fin de cette seconde ; e’esl-a-dire qu il est

ic ; i 9m 549 C m ,273. de sorte que les chevaux n’ont réellement déve-

loppé, dans la supposition ci-dessus, qu’une quantité de travail de 5S0 k X'0 m 275 = 154 km \ sous l’effort des 560 ki!.. censé constant.

Pour développer réellement , dans la première seconde, la quantité de travail nécessitée par l’inertie et qui répond à la vitesse de l m acquise par la voiture, il faudrait que les chevaux exerçassent, à partir du repos, un effort constant qu’on trouvera encore au moyen de la relation F = MY T ; car ici Y, doit être égai à i m , et par conséquent F = MY t = 1020 kil.; ce qui donne, pour l’effort constant de chaque cheval, f 1020 = I27\5. Or on sait, par expérience, que l’effort d’un cheval ordinaire, contre un obstacle qui cède peu au mouvement, peut être beaucoup plus grand et surpasser même 530 kil. dans les premiers instants; d’où il résulte qu’en réalité, nos huit chevaux mettraient beaucoup moins d’une seconde de temps à imprimer la vitesse d’un mètre à la voiture , s’ils n’avaient pas à vaincre, outre l’inertie, la résistance du terrain, des essieux, etc.

148. Observation générale sur le travail des moteurs. Ce que nous venons de dire relativement à l’accroissement d’effort dont sont susceptibles les chevaux, dans les premiers instants du mouvement de la voiture, a lieu généralement pour tons les moteurs animés ou inanimés ; on observe même que l’effort qu’ils exercent sur les corps est d’autant plus grand que leur vitesse est moindre , tandis qu’il diminue au contraire forcément et d’une manière plus ou moins sensible , à mesure que la rapidité du mouvement augmente , de manière à devenir tout à fait nul quand la vitesse égale la plus grande vitesse que ces moteurs peuvent s’imprimer ou acquérir par le développement libre et complet de toute leur activité. C’est ainsi, par exemple, qu’il arrive qu’un homme, un cheval, courant ou se mouvant d’une manière quelconque et avec toute la vitesse qu’üs peuvent prendre, ne sont susceptibles d’aucun effort extérieur tant soit peu soutenu, et que lorsqu’ils agissent, au contraire, sur un obstacle qui cède avec lenteur, ils peuvent exercer des efforts considérables.

Ces réflexions nous mettent déjà à même de prévoir que , pour toute espèce de moteur , il doit exister un degré de vitesse qui soit le plus avantageux possible sous le rapport de la quantité de travail communiquée ; car ce travail devient sensiblement nul (90) dans les deux cas extrêmes dont il s’agit. Mais c’est ce qui sera démontré plus clairement, par la suite , quand nous en viendrons à examiner les conditions du maximum d’effet, pour chacun des moteurs en usage dans l’industrie manufacturière.

149. Exemples relatifs à la force vive des fardeaux et des eaux courantes des rivières. Supposons qu’un moteur soit employé à élever , à une certaine hauteur verticale, un poids de 3000 kil., soit directement, soit par l’intermédiaire d’une machine quelconque , et que la vitesse du mouvement, à l’instant où elle est la plus grand*e (143) , soit de 0 m ,g par seconde, ce qui est déjà une vitesse considérable pour un si lourd fardeau ; le travail

consommé par Finertie, avant l’instant où ce degré de vitesse est acquis, P KOAnt

aura pour valeur 1 Y 2 = i X 0,09 = 25 km environ. Si le moteur 9 9,81

devait élever seulement le fardeau à l m .2 de hauteur, il dépenserait SOQOt X l m ,2 = 6000 km , c'est-à-dire , au moins 260 fois le travail qui est nécessaire pour vaincre l’inertie dans les premiers moments; encore arriveraitil que cette inertie restituerait (145), dans le ralentissement du fardeau vers le haut de sa course, le travail qu elle avait primitivement absorbé.

Considérons encore le mouvement des eaux d’une rivière , telle que la Moselle, par exemple : on sait qu’à Metz, en particulier, elle fournit, même dans les pins grandes sécheresses, au moins 10 mètres cubes d’eau

APPLICATIONS , elc.

par chaque seconde, dont le poids (34) est environ 10000 kil. Or cette eau coule naturellement, soit au-dessous , soit au-dessus de la ville et dans les endroits où il n'existe pas de barrages ni d'obstacles, avec une vitesse qu’on a mesurée et qui est moyennement de 0 m ,8ü par seconde: donc la force vive du volume de fluide qui passe par chacun de ces endroits, dans

une seconde de temps, est

X 0x8 X 0 m ,8 - - 652 environ , ce qui

répond à une quantité de travail disponible (136 et suiv.) égale à } 652 - 326 kilogrammètres , c’est-à-dire (82), d'environ 4 j chevaux-vapeur , et qu’on pourrait utiliser directement contre une roue de moulin , etc. Mais si, au lieu de se servir de la vitesse possédée par l’eau dans son lit naturel, on construit des barrages ou digues, comme on Fa fait à Metz, ou pourra élever son niveau et l’obliger à descendre, du haut de ces barrages, pour agir sur les machines par son poids ou de toute autre manière : si, par exemple , le barrage fait élever ce niveau de 2 m ,o seulement , comme cela a effectivement lieu dans certaines parties de la ville, la quantité de travail disponible , répondant aux mêmes 10 mo d’eau et qu’ils pourraient fournir, dans chaque seconde, par leur descente verticale de la hauteur de 2 m ,5, sera égaie à 100ÛO k x 2 m ,o = 25000 km = 355 f chevaux-vapeur; quantité qui est, comme on voit, presque 77 fois plus grande que celle qu’on obtiendrait en utilisant simplement la force vive naturelle des eaux de la rivière. Or cela explique suffisamment futilité des barrages artificiels dans la pratique des usines hydrauliques.

150. Exemples relatifs à fart de lancer Veau à distance. Nous venons de montrer comment le mouvement acquis d’une certaine masse d’eau , qui coule et se renouvelle constamment dans chaque seconde, représente une quantité de travail mécanique qu’on peut immédiatement calculer en chevaux de machine à vapeur, recherchons , à l’inverse , combien il faudrait de ces chevaux pour imprimer continuellement une vitesse donnée à un certain volume d’eau qui devrait être extrait d'un bassin ou réservoir quelconque où le liquide serait au repos. Ce problème trouve son application particulière dans le jeu des pompes a incendie , où il s’agit de lancer, d’une certaine distance , un volume d’eau qui suffise pour éteindre le feu) et dont la vitesse de projection doit ainsi être d’autant plus grande que le trou ou l’orifice par lequel sort l’eau, se trouve plus éloigné du but qu’on veut atteindre. Supposons, par exemple, qu’il faille lancer cette eau, par l’orifice, avec une vitesse uniforme de l5 m par seconde, et qu’il doive en arriver continuellement, sur le lieu de l’incendie et dans chaque seconde fie temps , un volume de 6 litres pesant 6 kil. ; la force vive à imprimer ,

dans ce même temps, sera donc égale à ' = 137,6 environ ,

dont la moitié 68 k “,8û mesurera (136) la quantité de travail nécessaire pour imprimer le mouvement à l’eau ou pour vaincre son inertie. Ce travail devant se reproduire dans chaque seconde’, nécessitera, comme on '■°jM 0,688 = 0,917 de cheval-vapeur environ (82); mais il est clair 9 U d faudrait en appliquer davantage au balancier de la pompe, attendu les frottements et résistances de toute espèce , qui consommeraient, en pure perte (103), une portion notable du travail-moteur.

S il s’agissait de lancer continuellement et dans chaque seconde, un volume d’eau de 40 litres avec la vitesse de 30m 5 on trouverait , par les es ca ‘ cu is , que le travail strictement nécessaire à dépenser serait de ï83a km , par seconde, équivalant à celui de 24, a chevaux-vapeur environ. 4m peut croire que, par l’intermédiaire d’une machine à pistons analogue aux pompes à incendie, le moteur devrait développer le travail d’au

moins 50 de ces chevaux, c’est-à-dire . par exemple qu’il faudrait employer une machine à vapeur de cette force au moins, pour mettre la pompe en mouvement et produire l’effet désiré.

On remarquera que la vitesse de l’eau à sa sortie de l’orifice, et Je volume qui s’en écoule uniformément dans chaque seconde de temps, étant donnés, les dimensions de cet orifice et la grosseur du jet à la sortie, ne sont pas arbitraires, et doivent être calculées suivant les règles de l’hydraulique qui seront enseignées la seconde année de ce Cours. On trouve, par exemple , que , si l’orifice est percé dans une paroi plane et mince du réservoir, et qu’il soit à une distance convenable des parois latérales^, son diamètre doit être d’environ 28 millim. dans le premier cas, et de 25 mili. dans le second.

Enfin, en répétant les calculs qui précèdent relativement à un volume d’air de l mo aO, contenu, dans un réservoir, sous unepression telle que son poids (40) soit d’environ 2 tu, et qui devrait être lancé, à chaque seconde, avec une vitesse de 14G m , ce qui est le cas des machines soufflantes de certains kauts-foumeaux employés à convertir les minérais de fer en fonte, on trouverait que la force vive à imprimer, dans le même temps , serait de 2000 environ, et le travail à dépenser par conséquent de lO0Okm=i3 5 oo chevaux-vapeur, qu’il faudrait presque doubler à cause des résistances étrangères inhérentes à la machine à piston qui serait ici encore mise en usage pour lancer l’air.

151. Observations particulières sur les jets d’eau verticaux et inclinés. Au

moyen de la formule Y 2 ==2ÿH (118), qui donne H= — ■ on trouvera, sans

peine, qu’avec la vitesse de 15 mèlres, relative au premier des exemples ci-dessus, l’eau pourrait s’élever verticalement à la hauteur de ll“,47, qui est celle des étages supérieurs des maisons ordinaires, dans ce pays; et qu’avec la vitesse de 50“ qui répond au second, elle s’élèverait à une hauteur de 45 m ,88; mais, à cause de la résistance de l’air, le jet atteindrait véritablement des hauteurs un peu moindres, surtout dans ledernier cas. Il faudrait recourirà d’autresprincipes, qui seront exposés par la suite, pour calculer la distance et la hauteur auxquelles le jet parviendrait dans le cas oùonlancerait l’eau sous unecertaineinclinaison; néanmoins, comme il conviendrait peu alors de revenir sur les applications particulières qui font le sujet de cet article, et que, non-seulement ces applications sont utiles pour apprécier les effets des pompes à incendie, mais qu’elles ont trait encore à des questions d’une haute importance pourla défense desplaces de guerre, nous ajouterons, sans aucune démonstration et seulement en faveur des lecteurs qui voudraient approfondir de telles questions, quelques remarques qui ne seront peut-être pas sans utilité.

Nous avons vu Ko 118, qu’il est impossible qu’une nappe d'eau retombe même d’une hauteur médiocre, sans se diviser en parties plus ou moins fines; or c’est un effet qu’on doit chercher à éviter quand on se propose de concentrer l’eau en masse sur un point déterminé. Car, non-seulement la divergence naturelle du mouvement des parties ainsi désunies augmentera avec le chemin parcouru dans la descente, de sorte que l’effet sera disséminé sur une grande surface; non-seulement la résistance de l’air aura alors (116) plus d’action pour retarder le mouvement et diminuer le chemin décrit; mais encore cet air absorbera ou s’appropriera, en vertu d’une de ses propriétés physiques bien connues, une portion beaucoup plus grande de la masse de l’eau; de sorte que, si le trajet doit être tant soit peu long, il pourra, dans certain cas , arriver que rien n’atteigne le but. Ces considérations prouvent donc qu’il est indispensable de diriger l’eau

APPLICATIONS, etc.

sous un angle tel que le sommet de la courbe qu’elle suit dans son mouvement, s’élève au plus de 1 ou 2 mètres au-dessus du point qu’on veut atteindre; la résistance de l’air ayant nécessairement peu de prise sur la portion ascendante du jet, on pourra la négliger, et calculer toutes les circonstances du mouvement comme s’il avait lieu dans le vide, d’après les théories connues et que nous exposerons en leur lieu (1).

Dans le cas ci-dessus, par exemple, où la vitesse de l’eau à son point de départ, est seulement de 3G m , on trouve que, la hauteur du but au-dessus de ce point étant de i i à 12 mètres, la distance horizontale à parcourir ou la portée utile devrait être au plus de 40 à 42 mètres; et que si le but se trouvait très-peu élevé au-dessus du point de départ, sa distance à ce point ne devrait pas surpasser de beaucoup 53 m , sans quoi la dispersion du liquide deviendrait considérable. Pour obtenir des portées plus grandes, doubles par exemple, il faudrait aussi doubler la force vive initiale ou augmenter la vitesse de projection de façon qu’elle fût de 43 mètres environ au beu de 50 ; on trouverait aiors que la force de la machine proore à lancer, dans chaque seconde, les 40 litres d’eau à cette distance, devrait être d’au moins 60 chevaux-vapeur; de sorte que , si on ne pouvait réellement disposer que de la moitié de cette force, il faudrait aussi se résoudre à ne lancer qu’un volume d’eau de 20 litres par chaque seconde. Du reste on voit que, quand il s’agit d’inonder les travaux de l’assiégeant d’une place de guerre, l’emplacement le plus convenable pour la machine, est le fond du fossé de l’ouvrage voisin de ces travaux.

152. Réflexions sur V influence de F inertie. Les exemples qui précèdent suffisent pour donner une idée de l’influence qu’exerce l’inertie des corps dans certains travaux industriels, et des cas où il serait permis de la négliger ainsi que les variations de la force vive : on voit bien, par exemple . que.

W ^ la -vitesse initiale des molécules liquides , ou en général d’un mobile quelconque. lancé sous une inclinaison , à l’horizon , dont a soit la hauteur de pente pur mètre de distance horizontale , hauteur qu’on nomme ordinairement !a tangente trigonométnque

de l’angle correspondant; soit, en outre, H = ~ ldi hauteur due h V(voyezIeN° ngtt

■a table des vitesses à la fin de ce volume) ; k la pins grande élévation du jet ou de la trajectoire parabolique, au-dessus du point de départ ; e la distance horizontale de ce point “ celui de plus grande élévation ou au sommet du jet , distance que ne doit pas excédez de beaucoup celle du but quand il s’agit de lancer le liquide sous un très-grand angle ; soit enfin E l’écartement du point de départ et de celui d’arrivée du mobile , mesuré sur le plan de uivean qui contient le premier point , écartement qu’on nomme la portée ou P amplitude total, du jet. On aura, entre les diverses quantités dont ii s’agit , les relations suivantes :

■p 2 a ia a 2

t = 36 ’ e =7T^.-=-r- H ,ft=i/sae =— H,e-= 4 (H — h) h