PS

a'où 1 on déduira finalement celle de T par l’avant-dernière des formules qui précèdent.

Dans le mouvement vertical accéléré, descendant ou ascendant , la première des équations ci-dessus deviendra

a et b prenant de nouvelles valeurs numériques également faciles à calculer , et l’on i supposant la vitesse initiale V’ , nulle , comme cela arrive ordinairement ,

i rT = log

iV ’

2flE = log

j'T — log (X — {/ X 2 — i),oE=log

aY ’ " Y 2 4-i’

n y i , r , X ayant les mêmes significations que ci-dessus , et Y désignant , de plus , le nombre qui dans les tables hyperboliques , a pour logarithme le produit rT ou {/ ab T , quand on se donne T à -priori.

Nous avons réuni ici ces différentes formules pour la facilité des applications ; mais il ne faut pas oublier que les logarithmes étant hyperboliques, X et Y ne sont autre chose que les nom-

tzT V Obi

bres ou exponentielles e aL , e r u ° , dans lesquelles la lettre e représente la base 2,718282 de ces logarithmes; de sorte que , si l’on fait usage de tables ordinaires dont les logarithmes doivent être multipliés par 2,3o2585 pour reproduire les précédents, les valeurs X et Y, X 2 et Y a seront donnéës par les nombres qui y ont pour logarithmes respectifs y les produits de aE , j/^5T, 2aE, 2 }/âôT, multipliés par le logarithme ordinaire de 2,718282 , ou par 0,4342945.

Pour la question particulière traitée dans le texte,

f=|/ôè= 0,44233, T = 2", 5, rT— i,io583, log Y = 0,4342945. rT; ce qui donne Y = 3,02173 , et, paria cinquième et la sixième des formules ci-dessus , relatives au mouvement accéléré ,

sE = 2, 302585 X log 1,676325 = o,5i66i , E = 25m,8g9,

Dans le texte , nous avons trouvé, par une méthode de calcul qui n’est guère plus pénible et demeure applicable à une loi de résistance quelconque, E = 25 m ,976. Y — 1 / 5 ’ résultats dont la différence avec les précédents est à peine de quelques millièmes de leurs valeurs , et qu’il eût été facile d’obtenir à un plus grand degré d’approximation encore , sans compliquer beaucoup plus ^ es calculs,

en prenant </ = et divisant , haut et bas, la valeur de f, par

celle de P«

La limite de la vitesse que pourrait acquérir la boule dans sa chute indéfinie , devant satisfaire à la condition F = 0 , on obtiendra pour sa valeur Ÿ = 22 m ,18 , vitesse en dessous de laquelle devra se trouver sensiblement celle de la boule à Finstant où elle touche terre. D’un autre côté, si la chute se faisait dans le vide, la vitesse acquise au bout des 2", 5. serait (118) V = gT = 9“,809 . 2", 5 = 24“, 32 , quantité supérieure à la précédente, et qui, parce motif, ne saurait être prise ici pour limite encore plus rapprochée de la vitesse effective ou de celles qui doivent entrer dans les calculs (441) , quoiqu’il puisse en être autrement dans le cas des fortes densités Ou des petites chutes. Enfin la hauteur de chute dans le vide absolu ayant pour valeur E = |s'T 2 = ï’VT = 12 m ,26 . 2",o = 36™, 18 , on est assuré , à l’avance , que la véritable lui demeurera inférieure d’une certaine quantité.

Cela posé , on commencera par rechercher, à 1 aide d’un tâtonnement plus long qu’il n’est difficile , la vitesse finale qui, dans 1 air, répond effectivement à la durée de 2".5 ; car on en déduira ensuite sans hésitation (441), celle de E. A cet effet, on supposera arbitrairement cette vitesse finale de 16 m par seconde , c’est-à-dire plutôt trop faible que trop forte , et partageant ensuite l’intervalle de 0 à 16 m , en quatre parties égales , d après la marche déjà employée au N° 444 , on dressera la table suivante des valeurs du quotient de P par gF, facteur de v dans t :

Vitesses o m , 4™, 8 m , 1 i6 m ,

Valeurs de — ... 0,1019$, o,io537, 0,11720, o,i 44*6, 0,2126$;

ce qui donnera pour le temps que le mobile met à acquérir la vitesse de 16' dont il s’agit ,

valeur un peu forte , mais qui probablement est exacte à 0", 01 près* puisque la division en deux parties égales seulement , donnerait 2",089o pour première approximation.

La durée des 2", 0655 étant surpassée par les 2", 50 données, d’une quantité moindre que le \ de sa valeur , et les différences consécutives de» quotients fournis par la table ci-dessus, ne pouvant (444), à cause de leur marche croissante, appartenir qu’à une courbe qui s’écarte rapidement ae l’axe des abscisses auquel elle tourne sa convexité , il en résulte que fa vitesse cherchée sera de beaucoup inférieure à 16 m + 1 16 ou 20®, « qu’il deviendra nécessaire de resserrer davantage les intervalles d’abscisse- On formera donc cette nouvelle table :

Vitesses i6 m , 17*", 18“, ig m , 2 ° m )

Valeurs de — .. 0,2126a, 0,24726, 0,29887, 0,38897, 0,54634,

où l’intervalle de 16 à 20® se trouve divisé en quatre parties égales ; ce donne 1",2966 pour le temps écoulé dans cet intervalle, ou l",50o0, si ^ se borne à la division en deux parties égales ; résultat qui montre que l ,e valeur doit être exacte jusque dans la gm c décimale au moins. , Cette même Valeur, ajoutée à celle de 2'', 0655, déjà trouvée, donn ^ ên somme 5", 5600, on voit qu’en effet, elle est beaucoup trop forte, -

des résistances.

comme elle correspond a une vitesse de 20m, fort voisine de la vitesse limite 22 m, 18, on doit, en conclure que, bien que celle-ci ne puisse jamais être atteinte par le mobile , cependant il faut à ce dernier assez peu de ternes pour en acquérir une qui en diffère assez peu. D’un autre côté, si l’on considère 1 intervalle de 16 à 18 m , on trouve

s im (0,21265 -f 0,29887 -f- 4.0,24726) = 0'',5002;

ce qui donne 2", 5635 pour le temps que la boule met à atteindre la vitesse de 18 m. Ainsi cette vitesse, encore trop forte, doit différer très-peu de la véritable, qu’on découvrira en observant que, si l’intervalle de 2 m entre les 16 et I 8 >n de vitesse, donne un accroissement de temps de 0 V 5002. l’intervalle qui répond à la différence O'^OBlo entre les temps 2'\5635 et

2", 5060, doit différer fort peu de Il^^2 m =0”,254, que nous réduirons

à 0 m ,2o puisqu’en substituant ici la corde à l’arc (447), nous devons trouver une valeur un peu trop forte. Finalement donc, la vitesse correspondante aux 2", 5 données , est , à une petite fraction près , 18m — 0m, 25 = 17m, 75.

Maintenant que cette vitesse est connue, ou trouvera l’espace qui lui correspond, en multipliant, comme on l’a fait au N° 445, les valeurs déjà trouvées du quotient de P sur gV, par les valeurs respectives de V, afin d’obtenir celles des facteurs de® dans l’expression de e (441), etc. En procédant à ces nouveaux calculs, dans l’ordre qui a été précédemment suivi, on trouvera : 1°, 18m, 511 pour la hauteur de chute relative aux 16 premiers mètres de vitesse acquise ; 2°, 8m,5S2 pour celle qui répond à l’intervalle compris entre la vitesse de 16 à 18m -3° enfin, 1 0,25.8m, 552 = lm,067 pour celle que décrit le mobile pendant qu’il passe de la vitesse de I7m,75 à celle 18m ; ce qui donne pour la hauteur de chute effective, 18m, 511 8 m , 532 — îm,067 = 25m, 976; valeur qui ne doit surpasser la véritable que de quelques centimètres. On trouverait, par une marche exactement inverse, la durée relative à une hauteur de chute donnée, et il va sans dire que des calculs absolument semblables, serviraient à faire découvrir toutes les particularités du mouvement ascensionnel des corps dans l’air ou dans des fluides quelconques.