PENDULE

74. Définition du -pendule. Idée générale de son mouvement. — Un pendule est en général un fil à plomb attaché par une de ses extrémités à un point fixe, et dont l'extrémité inférieure supporte un corps pesant. Lorsque le pendule se trouve dans la position où son centre de gravité G et son point de suspension A (fig. 100) sont dans la même verticale , le pendule est à l'état d'équilibre stable (2 e partie , 51) 5 mais aussitôt qu'il en est dérangé et abandonné ensuite à lui-même , il prend autour de la position verticale un mouvement oscillatoire que la résistance de l'air affaiblit continuellement. C'est afin de diminuer l'influence de cette résistance , que

IÊJHE FABTfE.

Ton donne au corps pesant la firme d'une lentille dont Tarife circulaire est tout entière dans le plan du mouvement du centre de gravité, flous réduirons d'abord te pendille a l . ■' d'un point matériel pesant suspendu à l'extrémité d'un fil sans pesanteur j vt nous ferons voir , plus loin, comment on ramène à ce cas tous les pendules ordinaires. Ainsi ÀC [fig, 101} étant la longueur du fi! fi té en A et qui supporte le point matériel, on conçoit que ce point décrira un cercle de rayon ÀC autour de À, et que si , après avoir amené ce point pesant en C , on le lâche ensuite , il descendra vers la position B d'équilibre- Appelant H la hauteur BD du point de départ C au-dessus du point le plus bas B, et U la vitesse acquise en ce dernier point , on aura , diaprés le principe dei forces vives , U a s=2gH. Mais , en vertu de la vitesse U que le point pesant a acquise , au Heu de s'arrêter en B , il continuera sa marche de l'autre coté et remontera jusqu'au point C di cercle où cette vitesse U aura été éteinte et qui sera à môme hauteur que C. Puis le mouvement recommencera en sens contraire à partir de C\ La pesanteur aura restitué en B la vitesse perdue en C , et cette même vitesse s'éteindra de nouveau en C ; de telle sorte que les mêmes oscillations se continueraient indéfiniment , si , comme nous l'avons dit , la résistance ne diminuait par elle-même les petits degrés de vitesse éteints ou communiqués à chaque instant,

75\ Lois de mouvement du pendule simple. — Il est indispensable de connaître la durée des oscillations du pendule ; nous verrons en effet qu'à l'aide de cette détermination , le pendule devient un instrument commode pour mesurer le temps ainsi que la valeur^ de la vitesse que dans les divers lieui de la terre la pesanteur imprime au bout de la première seconde. Considérons l'instant où le pendule est arrivé en M après être parti du point! (fig, 102) \ appelons V la vitesse acquise au point M , et y la hauteur PU dont le mobile est descendu \ on aura toujours V* = 2^ * y» Si l'on suppose qu'à partir de l'instant de la position M , le pendule décrive Tare M Pi ou . dans un temps très-petit r, on pourra regarder le mouvement comme uniforme , pendant cette courte durée t et cet arc MN comme ayant été pareour avec la même vitesse V, Donc on aura

et , par suite ,

tmm r

Élevée au carré* cette égalité devient f* = — T ou, à cause de V 1 = 2yy,

Représentons-nous un deuxième pendule d'une longueur différente du pr inier, inajVscmbLablement écarté et tel que l'angle B'À'C'aoit égal à BAC, Si

d'ailleurs sur ce nouveau pendule une position intermédiaire M' semblable à celle de M , et pour laquelle l'angle M'A'C est égal à l'angle MAC. Appelons V la vitesse du deuxième pendule à l'instant de la position M', et f le petit temps employé à parcourir l'arc M'N ou s f semblable à Parc MN. Enfin, nous supposerons que les deux pendules ne soient pas dans le même lieu de la terre , ou que la gravité étant g pour l'un , elle soit g' pour l'autre* On aura visiblement

Si maintenant on compare entre eux les temps t et f , employés à décrire les petits arcs semblables s et a? , on aura

**~ g A «^ / Or , ces arcs sont proportionnels à leurs rayons AC et A'C' , ou r et f , et ils donnent la proportion

Tont étant semblable dans l'une et l'autre figure , on a

PM : P'M' .* .* AC : A'C , ou y : y' y. r : t*.

Divisons ces deux proportions terme à terme , on trouvera

On aura donc enfin

T** g *r" «, par suite, 7"\/ * *\/ 7

Ainsi , lorsque deux pendules ont été dérangés de leur verticale dans une Position semblable et qu'ensuite on les abandonne à eux-mêmes, les temps élémentaires employés par chacun d'eux pour décrire des petits arcs semblables sont toujours dans un rapport constant. Or, les arcs CB et C'B', décrits dans les descentes totales , se composent d'un même nombre de

T T' petits arcs semblables , et les temps respectifs -ret-, qui expriment les

dorées de ces descentes , se composent en pareil nombre , des petits temps 2 m * partie. fc

élémentaires qui correspondent aux petits arcs semblables, et dont le rapport

ne cesse pas d'être * / — Xl/ ~* Donc ce dernier rapport est aussi

T Y commun aux temps -.- et ' - des demi-oscillations complètes, et l'on aura

Cette dernière relation apprend que , pour deux pendules semblables ou dont rétendue des oscillations mesure des angles égaux, les temps de ces oscillations en deux endroits différents de la terre sont entre eux comme les produits des racines carrées du rapport de leurs longueurs et du rapport Inverse des valeurs de la gravité à ces deux endroits Si les deux pendules sont au même lieu , on a

ff = j?', et jf—y/jr*

Donc, dans un même lieu, les durées des oscillations sont entre elles comme les racines carrées de leurs longueurs.

Si les longueurs des deux pendules sont les mêmes et qu'ils soient placés en deux lieux différents f on fera r = r'j d'où

c'est-à-dire que , dans deux endroits quelconques de la terre , les durées de l'oscillation de deux pendules égaux et d'une même amplitude sont réciproquement entre elles comme les racines carrées des valeurs de la gravité dans ces deux lieux.

76. Durée de Votciltation d'un pendule dont l'écart est fort petit , — À l'aide des conséquences précédentes, il serait possible de déduire, de la longueur d'un pendule qui bat les secondes, celle du pendule qui oscillerait dans un quart de seconde ou dans une minute au même lieu, ou de trouver , avec deux pendules égaux en longueur et d'égale amplitude, la valeur de la gravité d'un endroit , quand on connaîtrait celle qui correspond à un autre lieu de la terre. Toutefois cela suppose dans Tune et l'autre circonstance que les deux pendules s'écartent de la même quantité à partir de la verticale 9 au bout de leur oscillation. Mais on arrive plus directement à ces deux solu* lions en ne faisant faire à ces deux pendules que do très-petites oscillations, parce que leur durée est indépendante de leur amplitude : c'est ce qu'il est facile de démontrer, Rappelons-nous que M ( fig. 10% ) étant un point quelconque de Tare parcouru par un pendule , nous avons représenté par y la hauteur VM dont il est descendu à partir de C , par H la hauteur de chute BD au bout d'une demi- oscillation BC 4 et parV la vitesse acquise au point M.

Soit MN un petit arc décrit pendant un temps t à partir de l'instant où le

pendule a acquis la vitesse V en M, ou a à la fois V 2 = 2#y, t =-^

— — , et, par suite, t 2 = ^ — • Les deux triangles semblables MQN et

MEA donnent la proportion