OG X MN

QO =

MN

Remarquons que QO est la tension t due au poids de l'élément MN, que OG représente son poids ou p X MN, et que MN' = mn. D'où l'on tire

p X MN X mn

MN

Ce dernier produit est le poids d'un morceau de corde égal à mn 9 ou dont ! la longueur est celle de la projection verticale de vIVIN. Or, le total déjà partie AF se compose d'une somme d'éléments tels que MN et qui produisent chacun une tension égale au poids de sa projection , et la somme de cet tensions, ou la tension totale qui entraine AF de haut en bas , sera égale à la somme des poids des projections verticales de tous ces éléments , c'està-dire au poids de la projection verticale afde cette partie AF. Par conséquent , la tension ou la force nécessaire pour empêcher une portion de corde de glisser sur une surface est mesurée par le poids d'un autre morceau dont la longueur est la même que la projection verticale de cette portion. On démontrerait de même que la .tension de la partie AP qui tend à entraîner la corde en sens contraire à celui de la tension AF est égale à ap; de sorte que la corde sera entraînée avec une force mesurée par/?/* ou par le poids d'une longueur égale à la différence de niveau entre ses extrémités, et cette tension résultante agira du côté de l'extrémité la plus basse. .

Si les deux extrémités d'une même corde sont à même hauteur, ou si la corde est sans fin (fig. 163) , la tension qu'elle éprouve de la part de son poids est nulle , et il n'y a pas lieu d'en tenir compte.

111. Centre de gravité d'un arc de cercle. — Nous pouvons encore trouver par le même principe le centre de gravité d'un arc de cercle. Car ce qui précède est indépendant de la flexibilité de la corde ou de la chaîne , et subsiste encore lorsque celle-ci est rigide, comme, par exemple, une jante de roue. Soit donc M AN (fig. 164) un arc de cercle composé d'une Jante inflexible , et disposé de manière que le rayon AO qui passe par

ion milieu À soit horizontal. Appelons F l'effort tangcntiel appliqué en M pour empêcher la jante M AN de tourner sur son propre cercle autour de 0. La condition d'équilibre entre cette force F et le poids. P de la jante exige que leurs moments soient égaux. Or, le bras de levier de ce dernier est la distance GO du centre de gravité de Tare au centre de rotation, distance que je désigne par or. On aura donc

E X R = P X *• Remarquons que P est le poids de la longueur S de lare MAN , et que la force F est celui de la projection verticale de cet arc , ou de sa corde MX que nous nommerons C. On pourra donc remplacer P et F par S et C dans l'équation d'équilibre ; ce qui donne

C xR=sx x,

ou la proportion

S : C :: R: ar,

qui nous apprend que le centre de gravité Sun arc de cercle est situé sur le rayon qui le partage en deux parties égales , et que sa distance au centre est une quatrième proportionnelle aux longueurs de Varc , de sa corde et de son rayon.

lia. Frottement d'une corde qui glisse sur un rouleau fixe. — Considérons encore une corde qui glisse sur un rouleau fixe ( fig. 165 ) et qui supporte un poids P à une de ses extrémités a , tandis que l'autre est tirée par une force T qui l'entraîne. Cette dernière doit non-seulement soulever le poids P , mais encore vaincre le frottement que produit la corde en glissant sur tout l'arc du rouleau enveloppé par elle ; de sorte que si cette surface était parfaitement polie , le frottement serait nul et T serait égal a P dans le cas de l'équilibre. Partageons Tare enveloppé at K en un nombre de partie» très-petites et égales ; et menons par les points de division des tangentes qui se coupent deux à deux et parmi lesquelles les directions des forces extrêmes P et T sont évidemment comprises. J'ai dit que les divisions devaient être très-peu espacées, afin que les arcs de cercle qui les embrassent puissent se

1 confondre sensiblement avec les cordes at l , t x t %% * 2 / 5 , .... qui lessoustendent. La tension de la corde sur la tangente ab est évidemment égale à P. Soit /, la tension qui agit en t x sur la deuxième tangente bb\ Elle doit [vaincre à la fois et le poids P et le frottement qui a lieu sur l'arc élémentaire at t compris entre les points de contact. Appelons p la pression exercée |iur cet élément, f le coefficient relatif au frottement de la corde sur le rouleau qui , comme nous l'avons dit , ne tourne pas , f . p sera ce frottement, et l'on aura ',=?+/■.*>.

Pour trouver p , nous ferons abstractions du poids de la corde , et nous ^observerons que les deux tangentes ab et bt sont éga\ea. Tta \>W .> «\\wt

construit le losange abtjn , et si Ton considère le côté ab comme proportionnel à la force P , cette même force sera encore la tension qui a eu lieu de h en i t . La diagonale bm du losange étant perpendiculaire à la corde at t et la partageant en deux parties égales , on voit qu'elle sera égale à la pression p exercée par la tension de la courbe sur l'élément at t . Les deux triangles tnab et t x oa sont isocèles ; les angles de leurs sommets respectifs a et o sont égaux, parce qu'ils sont suppléments du même angle abt x . Ainsi ces triangles sont semblables et donnent la proportion

mb : at t \\ ab : oa.

mb est la pression p ; at t corde de Tare compris entre a et t t équivaut à ce même arc que nous appelerons s ; ab équivaut à P ; enfin , oa est le rayon R du rouleau. Donc la proportion revient à cette autre ,

pis :: P:R;d'oùj> = i- X p.

Donc enfin on a t t = P -|- fp ,

Appelons t % la tension qui agit sur la troisième tangente b' r t % , et au troisième point t % de division de l'arc total à partir de a ; on reconnaîtra que cette tension aura à vaincre la tension t t sur i'* t et le frottement produit sur l'arc élémentaire 4 % t x égal à * ou à l'arc at t . En un mot , t % sera dans les mêmes circonstances par rapport à t x , que t t par rapport à P. Donc on aura

Si on appelle f 5 , t t les tensions qui ont lieu sur les autres tangentes consécutives , et aux points f s et t 4 , et si l'on observe que la dernière tension t K est égale a la force T , on aura

L'arc du rouleau , au lieu de contenir quatre petits arcs élémentaires , aurait pu en contenir 8 , 6 , .... ou n ; et l'on aurait eu

Ts =p(l + f) S ,T = p(l+f)',

ï-(-+îr

On voit que le rapport de la puissance T à la résistance P croît très-rapidement à mesure que l'arc enveloppé est plus grand ou contient plus d'arcs élémentaires s : car , pour obtenir ce rapport, il faut multiplier la quanta tité 1 -{- fir toujours plus grande que l'unité 8 , 4 , 5 , . . . . (n — 1) fois par

elle-même , selon que l'arc enveloppé contient -4,5,6,... . n de ces parties. Supposons. , par exemple , qu'une corde soit enroulée trois fois autour d'un rouleau, ou d'un pieu cylindrique de 1 décimètre de rayon. L'arc enveloppé sera égal à 3 circonférences ou à

8 . 2t . R = 8 X2.yXl dm = 18 dm ,8= 19*° environ. Le coefficient du frottement d'une corde sur du bois ou sur toute autre substance étant environ — , on a

lJ-^—14-1 L-*

en prenant ici Tare élémentaire égal au rayon. D'où 1 et, par suite,

w !9. dm 19

(i)0n peut ramener cette formule à sa valeur comme sous la forme d'exponentielle, ainsi qu'il suit : développant le binôme on a

T rfl-L "fj.. »(— <)»y ,».(» — !) (« — 8) ^ •/* t \

Si on remarque que le nombre n est très-grand quand Tare * élémentaire est très-petit , on pourra négliger toute puissance de n devant celle qui lui est immédiatement supérieure ; t>n réduira alors la valeur de T' à cette autre :

T=I V+Tr + TR" r ~+OR'-i ;•

Or, n* est l'arc entier S enveloppé par la corde; d'où

« est égal à 2,71825; c'est la base du système des Logarithmes iVépérieu*.

2 m * PARTIE. ^

Par conséquent , la force eapabîe de Faire glisser la corde autour du pieu devrait être 236 fois plus grande que celle qui l'y retient. Réciproquement, si un très-grand effort agit sur l'extrémité d'une corde enroulée autour d'un rouleau cylindrique semblable au précédent, il suffira d'une force 236 fois moins grande à l'autre extrémité , pour s'opposer a l'effet de ce même effort.

Ce principe explique pourquoi en générai l'amarre qui retient un vaisseau ne glisse pas quand elle est enroulée un certain nombre de fois autour d'un pieu cylindrique ; il en est de même des, effets du cabestan , de la chèvre et en général de toutes les manœuvres de force

Les tonneliers ont aussi recours à ce principe, pour faire descendre les tonneaux de vin dans les caves. Chaque tonneau repose sur un traîneau qui glisse sur l'escalier de la cave, et il est embrassé par une corde dont les deux bouts, après s'être enroulés un certain nombre de fois autour de deux cylindres debout appuyés à l'extérieur de la porte de la cave, sont retenus par deux hommes. L'effort que ces deux hommes opposent à la descente du tonneau est d'autant plus faible que le nombre des enroulements autour du cylindre est plus considérable; et comme d'ailleurs cet effort est ici Ja résistance h un travail dans lequel le poids du tonneau est la puissance, on voit que les hommes avec un effort très-minime peuvent empêcher que celte descente ne soit trop rapide. Le calcul de cette résistance est même facile à faire, quand on connaît le poids du tonneau et en ayant recours à la théorie du plan incliné et du frottement des cordes contre un rouleau fixe,

113* Équilibre* Théorie du coin. — Toutes tes applications présentées jusqu'ici n*ont été relatives qu'aux corps posés sur une surface; et cependant un corps peut poser à la fois sur deux ou trois surfaces, Tel est , par exemple , Je coin ou prisme triangulaire dont les trois faces sont perpendiculaires au triangle ABC (fig. 160). L'arête C qui correspond à l'angle ïe plus aigu du triangle se nomme le tranchant du coin j la face opposée BA en est la tête et les faces BC, BA les cotés. L'usage du coin réduit à sa plus grande simplicité, consiste à enfoncer cette machine par son tranchant C dans la substance que Ton veut diviser en fendre, do manière que lors d'un en fan ce ment quelconque, le coin repose ou s'appuie par ses cotés en deux points a et h (fig. 167) de la substance* Nous supposerons que la puissance F qui le fait descendre soit perpendiculaire à la tète , parce que si elle était oblique , elle tendrait à Faire tourner le coin sur lui-même < et donne* rait lieu a des complications inutiles à considérer en ce sens et que la puî sance agît toujours de la première manière dans la pratique. Cette force F, perpendiculaire à la tête AB , a d'ailleurs pour but de vaincre les résistances que la matière oppose au mouvement du coin conlre ses côtés , nous avons vu (2° partie, 98j que ces résistances devaient être respecti-

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. Mi

Veraent perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles ont lieu , et passer parles points de contact de ces surfaces. Ainsi, les résistances de la matière contre le coin seront deux forces Q et R appliquées en a et h et perpendiculaires aux côtés AG et BG du coin. La force F, qui leur fait équilibre , sera égale et directement opposée à leur résultante ; et comme celle-ci doit passer par le point de concours des forces Q et R , il faudra nécessairement que les trois forces F , Q et R se coupent en un même point ; autrement le coin prendrait un mouvement qui tendrait à le renverser et qui serait ainsi étranger à l'objet qu'on se propose. Donc, enfin, si ces résistances sont données , la diagonale du parallélogramme construit sur leurs intensités et à leur point de concours donnera l'intensité de la forceF à appliquer perpendiculairement à la tète du coin, pour que celui-ci vainque ses résistances. Or, remarquons qu'en prenant sur la direction de Q, à partir de , une ligne Om égale à cette force, et en menant par le point m une perpendiculaire à BG égale à mn ou à l'intensité de R , on obtiendra un triangle Omn , dont deux côtés représenteront les deux résistances Q et R , et dont le troisième On représentera leur résultante ou la puissance F qui lui est égale et directement opposée. Le triangle Omn est semblable au triangle ABG : car leurs côtés étant respectivement perpendiculaires, l'angle Omn est égal à l'angle G ; l'angle mnO est égal à l'angle B ; enfin, l'angle tnOn est égal à l'angle A. Ainsi , les côtés On et AB opposés à ces angles sont homologues ; il en est de même des côtés tnO et AG , et des côtés mn et BG. On aura donc la proportion

On : mO : mn [ \ AB : AC : BC ,

ou , en remplaçant les grandeurs On , mO et mn par les forces F , Q et R qu'elles représentent,