Q X AB
AC
Prenons en outre sur les prolongements de AC et BC deux portions à'C, et o'C, proportionnelles à /Q : la diagonale Ce' du losange Cba'c' donnera Vintensitc de la résultante due aux deux frottements qui ont lieu sur les deux côtés du coin ; on a d'ailleurs Ce' = 5£C1. Enfin , cette dernière résultante des frottements est évidemment située sur la ligne CD aussi bien que cell
elle
de* deux résistances Q , et , par conséquent , elle s'ajoute à cette dernière pour contrarier le mouvement que doit produire la puissance F. On aura donc pour l'équilibre
F = On + sa.
IHais l'autre diagonale h' a! du losange b'Cac' est perpendiculaire à Ce' et le triangle a'CI semblable à ÀCD donne la proportion
a'Cou/\ Q: AC # # # # CI : CD,
Substituant à On et CI leurs valeurs trouvées au moyen de Q et /Q dans la valeur de F , on a
Veut-on juger quelle est l'influence de l'augmentation que le frottement Apporte à la puissance ? considérons la circonstance où ce frottement est le moindre possible, c'est-à-dire celle où son rapport fà la pression est un dixième ; et cela arrivera lorsque le coin est en cuivre bien graissé avec du suif et pénétrant un morceau de fer ; imaginons que la forme du coin soit telle que sa tête ait une longueur dix fois moindre que son côté ou que
AB = — AC. 11 est évident que la perpendiculaire CD diffère très-peu de
CD ^C, et que— sera sensiblement l'unité; enGn , supposons la résistance
Q = 1000 k . Nous aurons, après ces diverses substitutions,
F -, (lOOO* X -^) + 2 (-L x 1000 X 1 ) — 300". ^r, en ne tenant pas compte du frottement, on aurait simplement
F = QX^=100".
Ajnsi, la puissance en ayant égard au frottement dans le coin est triple de ^^^ qu'elle serait si le frottement n'existait pas.
115. Forme nécessaire au coin. — Un cas très-remarquable est celui où , * J>rès avoir été enfoncé dans une substance, du bois , par exemple, le coin ^«relève naturellement. A cet effet, il faut faire attention que les deux J>arties de la substance séparées par le coin tendent à se rapprocher et produisent contre les appuis a et b des côtés ( fig. 171 ) deux résistances égales à Q dans le cas du coin isocèle , et dont la résultante pousse le coin *îe bas en haut. Cette résultante , comme nous l'avons vu , est égale à
*3 X TF* Toutefois les deux frottements Q , /Q qui naissent sur l'un et l'au- Al*
tre côté s'opposeront ;i ce mouvement, pnroeque le frottement est toujours
contraire, dans quelque direction que Je mouvement tend à s'opérer. Or,
CD nous savons que leur résultante est 2/".Q)( --=* et que de plus elle agit
Au
dans la direction de CD , comme la résultante des résistances Q. Donc le
coin s'échapperait au dehors de la tète ÂB , s'il n'y avait pas frottement , ou
AB bien encore si la résultante des résistances Q X tt^ était plus grande que
2/ ■ Q X ~. Si l'on pose l'égalité Q X ~
prime le facteur commun ~ , on aura AL
CD
2/Q X 77; et 1 1lB l t(m sll P" AL
AB = y. CD.
Donc, quand AB sera plus grand que ^f . CD % le coin , au lieu de s'enfoncer, sera poussé au dehors du corps* Supposons /*== -rrr - on trouvera quo
AB ou la tête du coin devra être moindre que 2 . y^ X CD, ou que -^CD,
pour que ce coin puisse pénétrer dans le corps. Ce résultat donne encore le
moyen de mesurer le frottement ; car si pour une certaine ouverture de
l'angle du coin , ce dernier ne se relève ni ne s'enfonce , quand on l'insère
dans la substance, pour laquelle ce frottement est recherché , ce sera une
preuve que le rapport f du frottement à la pression est le même que le
rapport ^.
116. Prewe à coin. — La presse à coin , réduite à son état le plus simple t consiste dans un coin tronqué ÀBFE ( fig. 17^ ), qui glisse entre deux blocs , dont l'un , ahgft repose contre un appui Og fixe et qui ne peut céder . et dont l'autre , bikl , transmet l'action du coin contre la substance H à presser ; et il en résulte de celte dernière une réaction qui dépend de l'état où se trouve cette substance et que Ton peut regarder comme la résistance à vaincre par la puissance F perpendiculaire à la tète du coin. Cette résistance P produit en outre une pression Q perpendiculaire au côtcBC, et donne naissance a un frottement/' . Q qui agit le long de ce coté, Enfin , la même pression et le même frottement se manifestent de la part du bloc fi\e afgh contre le côté AC du coin. Cela posé, pour l'équilibre, il faut que le travail de la puissance F soit égal au travail de la résistance P en vertu de laquelle la substance est pressée , et au travail des deux frottements qui ont lieu le long des côtes ÀC et BC t lesquels sont égaux et également inclinés. Or , puisque le bloc afgh est fixe , les chemins décrits par les divers points du coin ABFE sont parallèles à ah, en sorte que si la tête AB a pris la position A'B', le corps se sera comprimé de ÏÏÏÏ, = AA", tandis que les chemins par-
courus dans les directions de AG et de BG seront AA' = BB" et que le chemin parcouru perpendiculairement à la tête AB sera DD' ou la hauteur verticale x du triangle AA'A". Le travail de la résistance opposée par la réaction du corps à comprimer sera P X AA" ; ceux des deux frottements contre AC et BC, qui sont égaux, seront 2/*. Q . A A', et enfin celui de la puissance F sera F X DD'. Donc, on aura
