F. e= JOOOe + 40. f. 1000 e

DEUXIÈME PAaTIE.

et si noua posons encore /*= — , noua trouverons

IO s

II faut observer que 4000 e est la quantité de travail absorbée par le frottement, que 1000 e est le travail utilisé et que le travail de la puissance devient 5000 «?. Ainsi , dans cet exemple T on voit que la résistance utile ne reçoit que le cinquième du travail de la puissance. Divisons Impression précédente par e ; on aura

F Tn — F T"- 1 ™ Tr-

d'où

SQF^IOOO*

F = I o^ + 1 |o 5ûk+ ^ ok= ^ 0k;

puissance qui est Fort petite comparativement à la résistance 1000k. Ainsi, l'avantage de la presse à coin est que son travail peut s'exécuter avec ur faible puissance. Toutefois cette machine est défectueuse à cause de grande quantité de travail que les frottements absorbent a eux seuls.

Il y a deux espèces de dispositifs pour une presse à coin. Le premier un grand bassin ABCD (fig. 173) dans lequel on établit la matière E a presse contre une de ses parois CD, et qui reçoit un ou plusieurs coins a, a% a" que Ton enfonce de force entre des blocs £, b\ 6", «.* « . terminés par de plans inclinés comme ceux des coins que Ton enfonce. Le second consist dans un châssis (fi g. 174} placé debout et compose d'une semelle, d'un cha peau r et de montants fortement consolidés par des liens de fer boulonnés Ce ebapeau est rempli de coins alternatifs , tels qu'on les voit dans figure 174 et qui serrent le corps que Ton veut comprimer contre un phi teau supérieur, Il convient dans ces divers systèmes que les extrémités de coins soient extrêmement solides, ou qu'ils soient susceptibles de la nioindr déformation possible. On voit d'ailleurs que le placement et le dcplaceiner de ces coins exigent une perle considérable de temps.

117. Effet du choc dans remploi du coin- — Presque toujours IVnfonc ment des coins s'opère par le choc: en indiquant les diverses actions qui : développent alors, nous montrerons que ce mode est une source de nou velles pertes de travail. Quand un marteau vient frapper la tète du coin , y a deux époques distinctes d'action ; l'une qui correspond à la durée du choc, c'est-à-dire à l'intervalle compris entre l'instant où le marteau frappe et l'instant où la compression mutuelle du marteau et du coin est la pli grande ; l'autre qui vient ensuite et pendant laquelle le corps ou matière

» vcsser donne par sa réaction naissance à une résistance analogue à la force :£«ae nous avons précédemment designée par P et à des frottements dus aux pressions Q et R que cette résistance produit sur les côtés du coin. De plus, l'inertie du coin qui est mis en jeu parle choc, agit d'abord comme résistance pendant la durée du choc ; puis elle devient puissance contre la véritable résistance P à vaincre.

Qu'arrive-t-il pendant la première époque ? c'est que le choc développe à chaque instant, entre le marteau et le coin, des pressions variables et mesurables en poids ; ces pressions sont d'autant plus considérables que la durée du choc pendant laquelle elles ont lieu est plus courte. Or, la résistance de l'inertie qui augmente avec ces pressions motrices leur fait continuellement équilibre , ainsi que les frottements produits par celte inertie contre les côtés du coin ; d'où il suit que le travail de ces frottements pendant la durée du choc est perdu pour l'inertie, quand celle-ci devie/it une puissance contre la résistance P. Ce n'est pas tout. Une partie du travail des pressions motrices a été consommée par la déformation du coin , qui ne peut manquer de s'opérer par suite de leur grande intensité. Quant à Faction que conserve l'inertie du coin , après le choc, on reconnaîtra sans peine, comme dans le cas précédent (2 e partie, 116) , que son travail ou la moitié de la force vive du coin sera égal au travail de P augmenté du travail des frottements dus à cette dernière résistance. D'où l'on voit qu'en partant immédiatement du travail du marteau ou de la moitié de sa force ▼ive, une grande partie de ce travail est consommée inutilement par la déformation du coin et par les frottements que la résistance de l'inertie occasionne pendant la durée du choc et que ces pertes n'auraient pas lieu si le coin était simplement soumis à des pressions ordinaires.

S'il s'agit de la presse à coin dont le détail a été donné (2° partie, 116) , on fera attention que, par suite du choc de la masse m (6g. 173) contre le °oin mobile ABC, ce dernier doit glisser le long de la face ab du coin fixe, et que tous les points du coin ABC sont animés d'un mouvement de transport parallèle au côté AC. Par conséquent, les résistances opposées à chaque Petit instant par l'inertie des diverses parties du coin ABC , seront autant tffc forces dont la résultante , c'est-à-dire l'inertie totale du coin , passera

P*r le centre de gravité G et sera égale à M X — 5 M étant la masse du coin,

^t v le petit degré de vitesse imprimé dans le petit temps t . Connaissant la direction de cette force, on pourra exprimer sa pression sur le côté BC et l**lr suite le frottement qu'elle doit faire naître. Enfin, en formant les pro- **tiits de l'inertie et du frottement par les petits chemins respectifs de leurs ï**>ints d'application et en égalant leur somme à la quantité de travail de la ^arce de percussion du marteau diminuée de celle que consotïvvcve \sv &è&vvc- 2"* part;/?. YS>

tout

ji'it faut pour conclure la force d'inertie regardée comme puissance à l'égard de lu réaction du corps H que Ton veut comprimer»

118. Formes diverses du, coin et son application aux outils . — Malgré le désavantage du coin sous le rapport des consommations inutiles de tra vail qu'il occasionne, celte machine est universellement eu usage. La forni prismatique n'est pourtant pas toujours celle qu'on lui donne. Lorsque I coin est une pyramide à trois ou quatre faces (fig, 170) t les considérations relatives à l'équilibre entre la puissance et la résistance sont analogues a celles du prisme. La première est égale et opposée à la résultante de trois ou quatre forces qui dépendent des longueurs de ri i a que face et de ta grandeur de» côté* qui forment la tète. Le coin consiste encore dans un prisme tronqué. Souvent enfin, ce n'est autre chose qu'un cône surmonté d'une tète cylindrique ; mais la condition de son équilibre rentre dans celte du coin isocèle, c'est-à-dire que la puissance est à la résistance dans le rapport du diamètre de la tète à la longueur du coté du cône,

Exemples d'outils, — Presque tous les outils des arts se rapportent a a coin - tels sont les divers ciseaux , les couteaux , les clous, les limes, etc. — Les limes sont des prismes méplats dont les surfaces sont striées d'entailles faites au ciseau. Ces entailles pratiquées sous un certain angle sont recroisées par d'autres faites sous un angle différent , de manière à former de petites pyramides , ou un grand nombre de coins dont les pointes ou tranchants arrachent la matière* — Les scies (fig. 177) sont un assemblage de coins, dont la face inférieure est légèrement inclinée en se dirigeant vers le tranchant h. Ce dernier dans le sens de l'épaisseur de la lame s'incline alternativement d'une dent à l'autre, tantôt à gauche et tantôt à droite* Enfin , ces dente sont dévoyées de part et d'autre du plan de la lame , de manière à former ce qu'on nomme la voie , afin que l'ouverture Faite dans le bois soit plus large que l'épaisseur de la scie , et que celle-ci puisse jouer plus librement*

Tous les coins , quels qu'ils soient , sont toujours destinés à agir par leur tranchant ou par leurs extrémités pointues. Il y a donc pour chaque oulïl un angle convenable selon lequel il convient de le terminer, Trop aigu il pourrait se rompre; il ne saurait s'enfoncer au contraire s'il était trop obtus. Pour avoir la Limite des inclinaisons des faces qui aboutissent au tranchant de chaque outil , il faudrait étudier parmi les outils destinés au même usage celui qui inarche le mleui $ cette éluda est du plus haut intérêt pour l'ouvrier* Quoi qu'il en soït , ou voit qu'il y a une relation nécessaire entre l'angle du coin, et la résistance des matières à diviser. Si cette matière est très-dure^ comme du fer percé à froid , l'angle du biseau (fig. 178) sera de 90* ; les emporte-pièces , les burins sont de ce genre. Pour des matières moins dures , l'angle n'a pasbesoin d'être aussi ouvert.

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. il 9

Les ciseaux des varlopes, par exemple, sont terminés par des angles réduit* à 30°. Remarquez que ces ciseaux taillent le bois «dans la longueur de ses fibres, et que ces dernières offrent une résistance beaucoup plus forte perpendiculairement à leur longueur , aussi donne-ton un angle plus obtus à labesaguë, laquelle est destinée à travailler le bois dans un sens perpendiculaire à ses fibres. Celle angle devient au contraire extrêmement aigu pour l'instrument avec lequel on coupe les substances molles , telles que les viandes et le pain. 11 en est de même à l'égard des rasoirs, parce que les poils, quoique durs, ne sont pas, à cause de leur isolement sur la peau , susceptibles d'une grande résistance.

En général , tous les outils donnent lieu à des frottements qui consomment, ainsi que nous l'avons vu , une quantité énorme de travail comparativement à celle qui est utilisée. Mais si elle augmente à mesure que l'angle du coin devient plus aigu , elle diminue aussi avec le rapport du frottement à la pression , et l'on sait que ce rapport est moindre selon que les surfaces sont plus polies ou plus onctueuses. C'est ce qui démontre la nécessité de donner du poli aux outils, et de frotter fréquemment leurs tranchants avec d^s matières grasses; et parmi ces dernières on devra préférer le suif an v *eax oing. Enfin, comme on agit par le choc, il faut que l'outil soit résistant et de bonne qualité.

X'inclinaison sous laquelle on présente l'outil à la matière n'est pas non

F^lvis indifférente. Soit un ciseau ABCD (fig. 179 ) terminé par le plan incliné

GO et chassé perpendiculairement à la surface LM de la matière par une

Kcnrce F. Si le tranchant C se trouve à l'extrémité de la face AC parallèle à la

force F , il est évident que la résistance Q contre cette face est bien moindre

cfuela résistance R exercée contre la face inclinée CD: car, d'après ce qui

précède , l'une est proportionnelle à aC , tandis que l'autre est proportion*

Belle à CD. Il résulte de là que le ciseau tendra à marcher vers la gauche

plutôt que vers la droite, et qu'après un petit enfoncement aC il cessera de

s avancer. Mais alors l'ouvrier ne manque pas de retourner l'instrument ,

'a face CD en avant , et la face AC en arrière ; puis il enlève la partie aCD ,

e *t inclinant légèrement et en faisant mordre le tranchant de façon que la

a Ouvelle face inférieure éprouve à son tour une résistance moindre. Ces

■*^ux opérations seront continuées alternativement jusqu'au fond du trou ou

*^ la mortaise que l'on veut pratiquer en LM.

Dans le rabot, le ciseau est couché, et le fer tendrait à s'enfoncer de plus '**. plus, si l'instrument appuyé sur la surface du bois qu'on veut aplanir ne ^ opposait ( fig. 180 ) , et si d'ailleurs la face cd par sa grande résistance ^ tendait à relever l'instrument. Aussi le fer a-t-il deux positions distinctes , ^lon qu'on veut enlever de minces copeaux , ou faire des rainures dans le '^*is. Pour le premier objet, le tranchant C est en avant , et la face cd cou- ^"*ée en arrière. Dans le second cas , l'outil est retourné et\aîate cd wsns^

)EUXIÉUE PARTIE,

une position antérieure ut verticale. Ces exemptes dé munir eut dune bleu le rôle que joue l'inclinaison des faces dans l'effet des outils.

PIECES QUI TOURNENT OL ROBLENT LES VITES SPfi LES ACTflES.

119, Idée du frottement produit par le mouvement des pièces qui tournent sur elles-mêmes. — Les pièces de rotation, telles que les roues , et qui tournent sur d'autres pièces , occasionnent dans leur mouvement des frottements auxquels on doit avoir égard dans le calcul des machines , et dont la nature est, différente selon que ces roues portent sur leurs appuis par des tourillons ou par des pivots» On nomme tourillons des cylindres au {fig, 181) dont le diamètre est le plus petit possible et qui sont fixes perpendiculaire' ment au plan de la roue, dans le prolongement de l'ave de cette dernière, et aux extrémités de l'arbre de couche. Ce dernier consiste d'ailleurs dans un cylindre AB beaucoup plus gros que les tourillons et qui traverse Ja roue â son milieu et dans le sens de l'axe de son mouvement. Ces tourillons a reposent dans une buile GuiD ( fig, 182 ) de forme cylindrique concave, pai une arête perpendiculaire à leur circonférence. — Le pivut a une foriin uiuilog-ue a celle du tourillon > sî ce n'est qu'il appuie par le cercle qui termine sa tète, contre le fond d'une crapaudine EFGII1K (fig, 183). Si 1 directions des forces qui font tourner la roue dans ce dernier cas étaient telles que le cylindre du pivot fût en outre presse latéralement par uni arête, contre le cylindre de sa crapaudine , la résistance serait compliquée des deux frottements simples dont il s'agit; mais ordinairement on s'arrange de manière que la pression totale s'exerce dans la direction de l'axe du pivot. De ces deux frottements , l'un qui a lieu de la part d'un pivut contre le fond de sa crapaudine, est analogue à celui de deux surfaces glissant l'une contre l'autre , et sou rapport à la pression s'obtient encore h. l'aide des deux tableaux exposés au a m 106. Quant à celui du tourillon dans sou palier , Coulomb a fait des expériences qui démontrent que ce frottement, est de beaucoup inférieur au premier, il n'y aura d'ailleurs plus à tenircompte de l'adhérence parce que dans le mouvement de rotation des pièces , sur des paliers , les surfaces nu frottent que sur une arête ou sur une surface fort petite. Nous donnerons en son lieu le tableau de Coulomb f sur ce nouveau genre de frottement ; mais il convient auparavant de parler q celui d'un pivot contre le fond de sa crapaudine.

ISO. ^Frottement d J un pivot centre sa crapaudine. — 11 ne suffit pas de

connaître le rapport du frottement à la pression dans le mouvement des pièces de rotation ; il faut encore savoir comment ce frottement se corn* porte avec les autres forces qui le sollicitent , selon les deux dispositions que nous venons d'indiquer. Commençons par le cas d'un pivot qui tourne autour de son axe, et pressé contre sa crapaudine par une force N (Gg. 184) qae nous supposerons agissant dans la direction de cet axe. Mais si cette force N perpendiculaire à la surface pressée passe par le centre du cercle du pivot, il est permis de la regarder comme la résultante des pressions partielles qui ont lieu sur tous les éléments de la base , de sorte qu'elle est répartie proportionnellement dans tous les points de cette surface. Ainsi ,

désignant par a un petit élément et par A la surface totale , — sera

flTV évidemment Ja partie de la pression qui supporte cet clément ; et/"X -r-f

le frottement qui s'exerce sur cet élément. Non-seulement ce frottement sera censé appliqué au centre de cet élément , mais encore il agira dans une direction immédiatement contraire à celle du mouvement du pivot , c'est-à-dire perpendiculairement au rayon du cercle décrit par ce centre autour du centre du pivot.

Si donc on appelle r ce rayon , ou le bras de levier de ce frottement

partiel, /*X ■ X r ne sera autre chose que le moment du frotte-

ment qui est exercé sur l'élément a. Maintenant , si je considère tous les cléments du cercle ABD , tels que mnqp qui sont groupés dans un même secteur ACB dont l'angle au centre est très-petit ; il est visible que les frottements produits dans ce groupe d'éléments pourront être regardés comme perpendiculaires au rayon Co qui passe par tous leurs milieux, ou comme parallèles entre eux ; et en vertu de leur parallélisme , leur résultante sera égale à leur somme , parallèle à leur direction commune , et appliquée au centre de gravité de la surface ACB , dont tous les points sont

NX ACB sollicités par ces forces parallèles. Ainsi , la résultante sera/*. ;

qnant à son bras de levier, il sera — R (R étant le rayon du cercle),

étendu que le secteur ACB est un triangle dont le centre de gravité est aux deux tiers du rayon Co qui va du sommet C au milieu o de la base AB. Ainsi, le moment de celte résultante , ou la somme des moments de tous les Petits éléments qui entrent dans la composition du secteur ACB sera égale à