CALCUL DES ROTJES ET DE LETTUS RÉSISTANCES

126. Roue plane , sollicitée par deux forces situées dans son plan , et à égales distances du centre do rotation* — Une roulette plane (fig, SÛ2) tournant autour de son tourillon, peut être tirée en sens contraire par [deux forces F et Q, situées dans son plan et tangentes à sa circonférence , et clle fi donne lieu à des conditions d'équilibre qu'il importe de connaître pour la pratique. Les circonstances seront d ailleurs les mêmes lorsque ces forces ne seraient pas tangentes à cette circonférence : il suffit que leurs directions soient Tune et l'autre à des distances égales du centre :

^ca^ on peut toujours se représenter le cercle tangent à ces deux droites, et raisonner sur ce nouveau cercle comme sur la roulette- Cela posé , ces deux forces appartenant à un mémo plan perpendiculaire à Taxe du mouvement, il faudra, pour l'équilibre, que la force Fou la puissance détruise à chaque instant l'effet de la résistance Q ou que les quantités de trayail élémentaires qu'elles développent soient égales. Or, les points d'application A et B de ces forces appartenant à un même cercle, les chemins qu'ils décrivent simultanément seront égaux ; et puisque les produits de ces chemins par les forces F et Q doivent être aussi égaux, il en sera de même de ces forces. Donc on aura F= Q,

Il y aura effectivement équilibre dans le cas de l'égalité des deux forces, «Ton faisait abstraction du frottement produit par le tourillon de la roulette sur sa crapaudiric. Ce frottement existant, la puissance F n'aura pas seulement à vaincre le travail de la résistance Q ; elle aura encore à surmonter Je travail occasionné par Vautre résistance. D'après cela ^ on voit que la roulette est soumise à trois forces , qui sont la puissance , la résistance et le frottement, et qu'elle doiï-être en équilibre sur sa crapaudine ; ce qui ne peut avoir lien (2° partie t 99) qu'autant que la résultante de ces trois forces passe par le tourillon et à son point de contact avec la crapaudine. Or, déjà la force du frottement s'y trouve nature Ueraent appliquée ; il devra donc en être de même à l'égard de la résultante des deux 1 forces ïetQ, Cette dernière , que nous nommerons N , n'est autre chose que la pression sur l'appui t et elle y produit le frottement f * N dont le bras de levier r est le rayon du tourillon. Eh appelant R le rayon de la roulette , F ■ R , Q „ R et f É S , r seront évidemment les moments de la puissance , de la résistance et du frottement , dont le premier , favorable au mouvenient , est égal à la somme des deux autres qui lui sont contraires. On aura , ■w conséquent ,

Ayant le moment F . R , on divisera par R , et on en conclura l'effort F de la puissance ; mais cela suppose que Ton connaisse la çTcmon S \ Vwçtttoa

"■ y m ni

est la résultante de la résistance donnée Q et de la force F qu'on ne connaît pas encore. 11 peut arriver deux cas : ou que le rayon du tourillon r soit très-petit par rapport à R , ou qu'il lui soit comparable. Dans le premier cas , on remarquera que , dans la relation F.R = Q.R-{-r./\N, l'erreur serait fort petite en ne déterminant qu'approximativcment la valeur de N, et , par suite , de/ N. Car , en la multipliant par r , l'erreur à laquelle le produit r . / N donnera lieu sera très-minime , comparativement à F . R et à Q . R, vu la petite dimension du rayon du tourillon r.

Reste maintenant à expliquer comment on aura cette valeur approchée. Si l'on fait d'abord abstraction du frottement , on a F = Q. Prolongeons ces deux forces jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en M , et faisons attention que la résultante N de deux forces égales est la diagonale Me du losange Macft dont les côtés Ma et M& sont égaux à Q. Cette diagonale devra d'ailleurs passer par le centre C du cercle. Joignez les rayons AC, BC et la corde AB ; observez que les diagonales Me et ab du losange sont perpendiculaires entre

elles , que Ma* est la moitié de la diagonale ou — N.Les triangles ACD et aMd sont d'ailleurs semblables : car ils ont chacun un angle droit, l'un en D et l'autre en d. Enfin , l'angle CAD ayant ses côtés perpendiculaires à ceux de l'angle aMa* ; ces deux angles sont égaux. On aura donc la proportion

Ud : Ma ;; AD : AC,

AL ix

et , par suite ,

R MX

La pression N sur le tourillon sera alors facile à calculer , puisque cela se borne à multiplier la résistance donnée Q par le rapport de la corde qui sous-tend l'arc compris entre les directions des forces , au rayon du cercle. On aura donc

1 FR = Q.R+r/,^?.

Veut-on avoir la quantité de travail que doit dépenser la puissance en un temps déterminé ? S étant l'arc parcouru par son point d'application , FS sera cette quantité de travail , et si s { est le même arc décrit à l'unité de distance , on aura

S=R* I ouFS = F .R*!.

11 suffira donc de multiplier la relation des moments par s { ; ce qui donne

F . H# t = Q . R . s, + rs/ . 2^2. .

Cette nouvelle égalité indique que le travail de la puissance est égale à la

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 137 somme du travail do la résistance, et de celui qui est consommé par le frottement. Arrivons au deuxième cas où le rayon du tourillon r est comparable au rayon R de la roulette. On fera d'abord attention que la pression N est la résultante des deux forces F et Q, et que F devant toujours être plus grand que Q, la résultante est trop faible quand on substitue Q à F. Appelons Nj cette dernière résultante , c'est-à-dire — — . Si N ( est trop faible,

il en sera de même de la valeur de F déduite de cette relation

Toutefois cette valeur F l9 ainsi obtenue, est déjà plus grande que Q. Si donc je regarde maintenant la pression N comme la résultante de deux forces égales à F a et que je fasse