OR' F R
tion que F t est plus grand que -^- , ou Q moindre que -^-. Donc , si je
F R remplace Q par cette valeur -jL- , déjà trop forte, et que je la compose
avec F, pour obtenir la résultante N, , cette nouvelle pression sera trop considérable , et , substituée à N dans la relation des moments , elle donnera pour F une valeur
QR' r
qui sera trop forte. Mais , comme la véritable expression de la puissance diffère très-peu de F t et de F s , et qu'elle est comprise entre ces deux quantités , elle pourra donc être représentée par
F « + F « oanar QR '-1- r A + F « _____ , on par + - . /— .
128. Équilibre de la poulie fixe. — Nous pouvons maintenant déterminer les conditions d'équilibre entre une puissance et une résistance , lorsqu'elles sont appliquées à une poulie fixe dont la surface extérieure est creusée en gorge et reçoit une corde aux extrémités de laquelle ces deux forces sont censées tirer. La résistance sera, par exemple, un poids Q (fig. 204) qu'il s'agit de soulever. Lorsque la poulie est fixe , ses deux tourillons font corps avec elle et tournent pendant le mouvement, chacun sur un œil pratiqué dans une chape immobile. On a soin de renfler la poulie vers ses épauleméats , afin que , dans le cas où elle serait poussée parallèlement à son axe , la surface frottante de ces épaulements soit diminuée le plus possible. La puissance F n'aura pas seulement à vaincre la résistance Q $ elle aura encore à surmonter celles de la roideur de la corde, et du frottement sur le tourillon. Remarquez d'ailleurs que cette roideur ne résiste que du côté D où la corde s'enroule sur la poulie , et nullement du côté où elle se déroule ; ûjr a plus, c'est que si la corde était élastique , elle favoriserait la puissance vers ce dernier côté. Ainsi , la résistance de la corde est en B. Quand les cordes ont de très-gros diamètres, on peut regarder que la puissance et la njmstance agissent sur leur ligne milieu ; ainsi , les deux forces ont taux*
directions tangentes à une circonférence dont le rayon eit égal à celui de poulie augmente de celui de la corde»
Nous raisonnerons donc comme au n° 126, afin de parvenir à I équilibre» des forces F et Q, On aura d'abord F — Q , en faisant abstraction de tonte résistance. Appelons N t la résultante des deux forces égales à Q et appliquées au centre C de la poulie parallèlement à la direction des deux forces données ; N t sera d'abord considéré comme une première valeur de la pression sur Taie du mouvement; /"Nj sera le frottement., et fH^r sou moment. Quant à la résistance de la roideur de la corde qu'il faut ajouter à la résis<
tauco Q, son expression (2* partie, 125) est égale à
K-MQ
KetI étant
les coefficients relatifs l'un à la tension naturelle» et l'autre à la tension du poids Q, et R étant le rayon de la poulie augmenté comme il a été dit. On aura, par conséquent , en vertu du principe des moments,
Divisant par R , on trouvera
n(i±L«) + ,.,. Bl .
K+IQ
su
Mai* cette valeur F ( est trop faible pour la puissance, parce que dans l'estimation de la pression N, nous avions supposé cette puissance simplemen égale à Q* Toutefois F, étant déjà plus grand que Q , il est évident que i nous prenons pour pression la résultante N a de deux forces égales à F t < appliquées en C , la nouvelle valeur
F -04- K + IQ + r /
sera à son tour trop forte. On voit donc clairement que comme d'ailleur véritable puissance ne diffère que de très-peu des quantités obtenues F, et 1 elle sera suffisamment exprimée par la moyenne
Il arrive fréquemment dans la pratique que les deux forces, puissance résistance , tirent les deux branches de la corde (fig- SOS) selon des dir^^^ tions parallèles et verticales. Telle est > par exemple, la circonstance *ï^ l'homme qui lire de l'eau d'un puits* Non-seulement il tire verticalemeim* sur une poulie , mais il en est de même à l'égard du sceau qui apporte fea Dans ce cas il y a une simplification notable, en ce que la pression N exer sur les tourillons de la poulie, et qui est la résultante des forces paralL F et Q, devient ici égale à leur somme F + Q. Si d'ailleurs la pouli très-pesante T ou que , les deux forces étant peu considérables , le poi
de cette poulie leur devienne comparable , ce sera nne troisième force qu'il faudra comprendre dans les deux autres pour l'évaluation de la pression sur le tourillon. On aura donc
N = F-[-Q + m, ouN = F-fQ-m,
selon que les cordons seront tirés l'un et l'autre de haut en bas ou de bas en haut. Il en serait de même du cas plus général où les deux forces F et Q ne seraient plus parallèles , et où Ton aurait à tenir compte du poids de la poulie ; la pression N , à laquelle le frottement sur le tourillon est toujours proportionnel , serait encore la résultante des trois forces F , Q et m que Ton combinerait deux à deux à l'aide du principe du parallélogramme.
Pour mieux faire apprécier l'influence du frottement , et de la roideur des cordes dans la poulie , nous appliquerons un exemple au cas particulier d'une poulie à deux cordons parallèles. On aura alors N=F + Q + m,
et F = Q+ ?i±iQ +/ -(F+Q+m)^
Supposons Q = 1000 kilogr. , R ou le rayon de la circonférence à laquelle les deux forces sont tangentes =* 0,20 , r ou le rayon du tourillon = m ,02, /le coefficient du frottement = -^ pour du fer sur du cuivre sans graissage, et enfin imaginons que la corde soit une corde blanche sèche dont le diamètre soit de 2 centimètres. Des trois termes de la valeur de F, le premier Q est la résistance 1000 kilog. qui serait aussi celle de la
puissance F, abstraction faite des autres résistances. Le deuxième — 5^-—
est relatif à la roideur de la corde ; les valeurs de K et de 1 , d'après le tableau n° 1 du paragraphe 125 , sont pour la corde de 2 centimètres , k ,2225 et0k,00974. On a d'ailleurs R=0 m ,20. Donc, on aura, pour l'expression numérique de la roideur de la corde ,
= 24k,906 = 25k environ.
Quant à la résistance du frottement /(F + w + Q) r" » nous prendrons
pour F la valeur approchée 1000k , qu'elle aurait sans le frottement , et pour m 20k qu'on suppose être le poids de la poulie ; et nous aurons
AF + «+Q)£-g(*0W + » + HK»>jjjg- = Jx2020 X -Jô = ^ = 2BS28.
m DEUXIÈME PARTIE
On aura donc, en définitive,
F = I000 k -j- S5 k 4, 8«*,*fl = 10500 k ,25. Sans les résistances t celte valeur de F eut été de 100 kilogr
Si an lieu de R = 0,20, nous avions R se 0,1, la raideur de In corde deviendrait ;\Q kilogr* , et le frottement 50 k ,l56 3 en aorte que la puissance serait augmentée de 100 k sur 10Û0 k par suite de ces résistances. Or, le travail consiste ici dans le produit du poids Q ou de 1000 k et du chemin parcouru. Ce dernier chemin étant aussi celui de la puissance , on reconnaîtra facilement que son travail , par l'effet des résistances tant de la roideur de la corde que du frottement, est augmenté d'un vingtième, ou d*un dixième, selon que le rayon est de 2 décimètres ou de 1 décimètre; fractions qui ne sont point à négliger.
129. Equilibre de h poulie mobile, — Jusqu'ici Taxe de la poulie a été supposé demeurer immobile ou n'avoir aucun mouvement de transport ; et cependant les poulies peuvent être mobiles , ou soutenues par leur gorge sur une corde dont un bout est tiré par une puissance et dont l'autre est attaché à un crochet fixe en Q {fift. 203). Cette même poulie est, en outre, embrassée par une chape ou espèce de fourche qui porte les tourillons de la poulie, et dont la queue se termine en un crochet destiné a recevoir le poids qu'on veut soulever. Ce système est précisément celui des réverbères des rues* De quelque manière que la puissance F soit appliquée, son objet est d'élever un poids P qui presse immédiatement l'essieu de la poulie sur sa chape, et qui fait naître au point fixe Q une tension telle que la résultante de cetto dernière composée avec la puissance F détruise le poids P ou loi soft égale et immédiatement contraire; ce qui exige que les deux branches de la corde de suspension suffisamment prolongées se rencontrent en un même point sur la verticale de P, Donc , réciproquement, si on regarde le poids P comme immédiatement appliqué en et qu'on le décompose en deux autres forces On et Ûb t dirigées suivant les tangentes au cercle de la poulie , Tune sera la Lension Q et l'autre la force F* Or , l'équilibre serait ainsi établi indépendamment du frottement et des autres résistances ; toutefois cette décomposition donne déjà une première -valeur approchée de la puissance F.
Pour avoir la véritable, il faut observer qu'elle doit vaincre non seule ment la tension Q de l'autre branche de corde, mais encore le frottement qui s'exerce au tourillon et qui est proportionnel au poids à soulever P ; il faudra également tenir compte de la roideur de la corde en B, ou du coté de la tension résistante Q. Ainsi , le moment de la puissance F sera égal celui de Q augmente de ceux de la roideur et du frottement» Donc, o: aura
fixant à la valeur de Q, cette force est la composante de P décomposée suivant un losange, attendu que la verticale de ce poids passe par le centre de la poulie et partage l'angle des directions de F et Q en parties égales ; et l'on ferait voir, comme au n° 126, qu'on aura
