V AB

Donc, en définitive, on parviendra au moment F . R delà puissance dont le quotient qui résulte de la division par R donne la valeur cherchée de F.

130. Equilibre des moufles. — On nomme moufle le système de plusieurs genres de poulies portée sur une chape commune (fig. 207). Quand on fait usage de cette machine , elle doit se composer de deux moufles , dont Tune est fixe, et l'autre mobile; une corde tirée par une puissance F embrasse tour à tour les poulies d'une chape à l'autre ; enfin la moufle mobile porte le fardeau R qu'on veut élever. En observant le jeu de cette machine , on reconnaît facilement que la longueur du cordon sur lequel est appliquée la puissance F augmente de la somme de tous les raccourcissements des autres cordons partiels , et que ces derniers sont , chacun , égaux à la montée du poids R. Par conséquent, s'il y a quatre cordons en sus de celui de la puissance, le chemin parcouru par la résistance sera le quart de celui que décrit cette dernière ; il en sera le sixième , si le nombre des cordons , outre celui deF, est porté à six. L'équilibre est alors soumis à une condition bien simple, quand on fait abstraction des frottements ; car le travail de la puissance F , ou son produit par le chemin qu'elle parcourt , étant égal au travail de la résistance R , c'est-à-dire à son produit par la hauteur dont elle monte, cela revient à dire que la puissance serait le quart ou le sixième de la résistance, selon que le nombre des cordons qui soulèvent le poids est de quatre ou de six.

Mais, si Ton veut tenir compte des frottements , il faut marcher de poulie en poulie , ainsi qu'il suit. Pour la poulie n° 1 , la tension t t du dernier cordon est la résistance , tandis que la tension t % du cordon adjacent en est la puissance. Observant en outre que les cordons sont parallèles , et appelant ^n f i j/i K, I, le rayon de cette poulie, celui de son boulon , le coefficient du frottement, et les coefficients relatifs à la roideur de la corde , on aura , pour l'équilibre de la poulie n° 1 ,

/,R, = gi, + ^—^ R, + rj( !, + «.);

relation qui donnera t % au moyen de #,. Quant à l'équilibre de la poulie n° % , où * a devient la résistance, tandis que la puissance est la tension f 3 du troisième cordon , on aura

ce qui donnera /, au moyen de t % ou de t x . La poulie n° 3 donne lieu a cette autre relation

Enfin, de la poulie n° 4, en remarquant que t s n'est autre chose que la puissance cherchée F , on obtient

de sorte qu'en dernière analyse on arrive à la puissance F au moyen de *, qu'on ne connaît pas. Mais faisons attention que tous les cordons sont parallèles, et que les tensions * t , * f , t s et t A , qui supportent le poids R , peuvent être regardées comme des composantes de cette résistance , et cette dernière comme égale à leur somme. On aura donc

«. + '.+*. + '4 — »- Cette méthode ne laisse pas que d'être assez pénible ; mais on peut la simplifier par une considération suffisamment exacte. En effet , si les tensions t l , t a9 t 5 et t A servent à soutenir le poids R , y compris celui des chapes et des poulies, il est évident que sans le frottement et la roideur des cordes , elles seraient égales entre elles. On prendra donc t x comme étant

égal à —, et l'on cheminera de poulie en poulie pour en déduire des valeurs correspondantes pour t l9 t s ,t A , lesquelles seront plus grandes que t r ou

que -r , en sorte que leur somme surpassera R. Mais , comme cela ne saurait être , on en conclut que ces tensions sont trop fortes.

Maintenant, si Ton suppose que les véritables tensions soient proportion, nelles à celles qui viennent d'être obtenues et dont la somme est R' ]> R , on aura de nouvelles valeurs approchées des premières en partageant leur véritable somme qui est R en parties proportionnelles aux deuxièmes ; ce à

quoi l'on parviendra en multipliant celles-ci par =r-, ; la valeur de t r , qui en

"R R R résultera , sera j X «> ou "Td7 S puis on recommencera les calculs que l'on

poursuivra jusqu'à t A ; enfin , à l'aide de cette dernière considérée comme résistance sur la poulie n° 4 , on tirera une valeur plus approchée de la puissance F.

Pour mieux faire comprendre l'esprit de cette méthode , nous l'appliquerons à un exemple particulier. Les rayons des poulies n M 1 , 2 , 8 et 4, c'està-dire R, , R a , R 5 et R 4 , sont de m ,08, m ,12 , m ,16 et m ,20. Les rayons f i> r n r 5> f 4t de leurs boulons , sont tous de m ,02. La corde , qui passe

dans les gorges des poulies , est une corde blanche sèche et à m ,02 de diamètre , de sorte que les coefficients K et I relatifs à sa roideur sont encore, comme au n° 128, k ,2225 et k ,00974. Enfin , nous supposerons que le coefficient est j ou celui du frottement de fer sur cuivre sans graissage , et que le poids à soulever , y compris celui des poulies , est 1200 kilogr. , ou

1200 k que R = 1200 kilogr. Sans le frottement on aurait t x = — t— (parce que

le nombre des cordons qui supportent ensemble le fardeau est de 4) , ou t % = 800*. Faisant cette hypothèse dans la relation de la poulie n° î ,

fjssfj-} %o~ 1 ~{~ r wrf{ t i-h t »)> et imaginant que la valeur de #,

qui entre dans le terme du frottement est égale d'abord à 8Q0 k comme t t , on aura t % cas 889 k . Passant à la deuxième poulie et considérant la résistance t % comme égale à 839 k , on trouvera t s = 368 k . Passant encore à la troisième poulie, on tirera de la valeur de t s = 568 celle de t A = 89 l k . La somme t % + 1 % + t s + t 4 , ou I398 k , est évidemment plus forte que le poids total 1200 k . Pour avoir des valeurs plus approchées , on

ou par 0,86;

uiuiuuxiuia «luauui

C IC1I91UII |IICVCUC1IIC

irai ic

j ajjpvi t

ce qui donnera

pour t x ,

OU

Afin d'avoir la valeur de F ou de la puissance , on posera l'équation

et on substituera à t A la valeur 336 kilogr. $ ce qui donnera

T-Mfi» î 0^25 + 0,00974.336 0,02 1

= 886 k +9 k + 8 k environ = 3S3 k .

Or , sans les frottements et la roideur des cordes la puissance n'eût été que de 300 kilogr. ; ces dernières résistances l'augmentent donc de 53

kilogr. on de -~ environ ; et , comme la quantité de travail de la puissance

est proportionnelle à son intensité , on voit que le moteur doit dépenser pour vaincre la roideur et le frottement un sixième de travail en sus de ce qu'il lui faudrait si ces résistances n'existaient pas.

Équilibre des roues en général. — Les conditions d'équilibre n'offrent pas

m DEUXIÈME PARTIS

plus de difficultés à l'égard des roues quelconque» montées sur un même arbre qui repose lui-même sur deux tourillons ; ce qu'il importe c'est que Je* forces soient appliquées dans le plan de ces roues ou dans des pians perpendiculaires â fuse j autrement les composantes de ces forces , parallèles à Taxej pousseraient celui-ci contre les cpauleinents des coussinets et y produiraient un frottement (2° partie, 120) dont le bras de levier peut être considérable.

Toutefois tl y a des cas où la décomposition est nécessaire; cette circonstance arrive pour les roues d'angles. On cherchera alors l'effort qui pousse dans la longueur de l'arbre , ainsi que le travail des frottements qui s'exercent aux ëpatiLcuicnls , et ce travail sera compris parmi ceux que doit vaincre le travail de la puissance. Si la résistance utile est un poids Q (fig, 208) suspendu â une corde qui s'enroule autour de l'arbre, la puissance F appliquée tungentielleraent à la roue tirera de bas eu haut et de haut en bas, selon que son point d'application sera , par rapport au treuil . du même coté ou d'un côté différent que le point d'application delà résistance. Quelquefois la puissance agit au bout d'un levier, comme dans ce: mécanismes appelés hoquets, à l'aide desquels on charge les tonneaux <J « vin sur les voitures. Tantôt encore la puissance agit sur des roues â chevilles j sur des roues à marcher, sur des cabestans, sur des roues dentées sur des roues à cordei sans fin , etc. ; le tour prend toutes sortes de dispusï Uons différentes, mais qui rentrent les unes dans les autres, quant ai conditions de l'équilibre,

Quoiqu'il en soit, la force F étant appliquée tangeMiellement à uu ccrcl de rayon H {fîg. 208), son plan perpendiculaire a Taxe du tour coup* l'arbre suivant un autre cercle égal à celui qui correspond à la section plan qui contient la résistance Q, Si E est Je point d'application de ccll résistance , nous pouvons imaginer par ce point et par Taxe un nouveau pJ qui rencontre le petit cercle contenu dans le plan de la force F, en u.i point E' situé de l'autre côté du treuil et symétrique par rapport au point I£ Appliquons au point E' deux Forces Q' et Q ( , égales et parallèles à Q , qui soient directement opposées. Ces deux forces qui s'entre-détruisent fatigueront pas la roue, et ne sauront en rien altérer le mouvement, plus, la force Q ] et la force Q se composeront en une seule S , égale double de l'une d'elles ou à 2Q et qui passera par Taxe, en sorte qu'elle pourra faire aucun travail. L'équilibre est donc rëdu.'t à celui des det* forces F et Q', égale à Q , qui sont ainsi ramenées dans un seul plan perpe diculaîre à l'axe du tour, En suivant la marche du numéro 127, on ver que, sans la considération du frottement > les travaux de ces forces doive être égaux , ou qu'en appelant s, le petit arc décrit par le tour à l'unité distance, et K T W les distances des forces F et Q f ou Q à l'axe , on a FÏU ( = QR's n ou FE = QR\

L'équilibre exigeant que la résultante des forées F et Q' ou Q passe par l'aie ou que l'on reproduise ces forces en G (fig. 209) , on aura alors les forces F , Q et S , toutes trois appliquées à Taxe , et qui pourront être , chacune , décomposées en deux forces parallèles appliquées aux centres des tourillons A et B. De cette manière on aura deux groupes de forces dont les unes concourent au premier tourillon et les autres au second. Appelons B, la résultante des unes et N, la résultante des autres, /. N { sera le frottement exercé sur le tourillon A, et/, N, le frottement exercé sur le tourillon B. Leurs quantités de travail seront d'ailleurs rs { f. N t et rs { /"N,, et devront Aire vaincues par le travail de la puissance F , en outre du travail de la résistance Q. Donc , on a

FR* t = QR'^ -f rs v /N, -f rs { / . N, ,

eu, en divisant par s l9

FR = QR'4-r/ , N I +r/Tî a .

Ces calculs de la décomposition des forces F , Q' et S ou 2Q , en couples de composantes parallèles appliquées aux tourillons A et B , prouvent que , lorsqoe ceux-ci ont des rayons égaux r , le résultat est le même que celui qui est relatif à un seul tourillon pressé par la résultante de toutes les forces extérieures données , et transportées en un même point ; on comprendra d'ailleurs parmi ces forces le poids de tout le système du tour , et , en désignant par N cette résultante totale , on aura

F.R = QR' + r./\N.

Ce qu'il est essentiel de retenir des raisonnements qui viennent d'être exposés , c'est que dans le calcul on peut agir comme si les forces étaient dans un seul plan , quelle que soit la distance de ceux qui les contiennent en réalité , et calculer le frottement comme s'il n'y avait qu'un seul tourillon. Quand l'axe des roues est vertical , le poids P de ces roues porte sur le pivot inférieur qui fait fonction de tourillon , et produit sur le fond de la crapaudine un frottement /*P dont le bras de levier est (2° partie , 120) deux tiers du rayon de ce pivot que j'appellerai r\ On comprendra donc parmi

ks moments des résistances le moment -=• /Tr\ Le reste rentrera dans le

eu général que nous avons détaillé.

112. Roues combinées. — Les roues dans les machines sont souvent combinées entre elles de manière à se transmettre le mouvement selon des conditions données. On connaît trois moyens principaux pour ces combinaisons dans le cas de deux roues à axes parallèles : 1° l'emploi de tordes , de courroies ou de chaînes sans fin ; 2° le contact naturel et le rotlement des couronnes ou tambours de ces roues ; 8° l'engrenage de faits ou de courbes en sailfies fixées aux couronnes. Dans ce& gyyqow*-

lances les puissances , en transmettant leur action d'une pièce à l'autre font naître des frottements qu'il est utile de connaître , parce qu'ils ne sau raient être toujours négligeables»

183, Résistances dues aux tentions des courroies* — Lorsque deux toui se communiquent entre eux par une corde ou courroie sans fin (fi>. 210 la puissance F est appliquée à l'un d'eux ; son action se transmet par des branches de la corde à l'autre tour sur lequel la résistance opère. 3 désignant par T la tension de la branche de corde qui tire sur le deuxièn tour et par t la tension de l'autre branche qui cède, et en considérant qui so passe sur ce dernier tour , on reconnaît qu'il ne tourne qu'en ve*de la différence X — t des tensions, et qu'il est ainsi sollicité d'une pc par 9a puissance T t — et de l'autre par la résistance Q. Faisant d'abo abstraction du frottement 7 on trouvera cette différence T — t par l'ëgaîi de sa quantité de travail à celle de Q. De cette manière on n'obtient , d'une manière approchée , que la différence des tensions , et non les te siens individuelles sur chaque branche.

On remarquera toutefois que quand le système est en mouvement , I branche qui entraîne le tour auquel la résistance est appliquée , est plt tendue que celle qui cède, et que les tensions sont les mêmes quand J système est au repos; de sorte qu'il est permis de supposer que Tan s'augmente de ce dont l'autre diminue, ou que la première a sur la tensîo> primitive un excès précisément égal à celui de îa tension primitive sur 1 seconde. Donc , la différence entre les tensions T et t est double de c* excès, et si Ton appelle celui-ci IL, la différence approchée T — t déj obtenue précédemment pourra être représentée par 2K. Si nous désigner par T' la tension avec laquelle la corde ou la courroie a été primitivemei bandée, nous aurons

T = r + K , et t = T — K .

D'après cela, on voit que si Ton connaissait T', on en déduirait T et t puis regardant la pression exercée comme la résultante N des trois for ce T, t et Q, on égalerait de nouveau le travail de T — t à celui de Q augnienl du travail absorbé par le frottement du deuxième tour sur son tourillo proportionnel à la pression ainsi calculée.

On considérerait de même le travail de T — t ainsi obtenu comme 1 travail a vaincre sur le premier tour par la puissance F f laquelle aura également à vaincre le travail consommé par le frottement autour de so tourillon ; ce frottement serait d'ailleurs lui-même proportionnel a résultante des forces F,T et* j et l'on verra enfin que le travail de cet 1 puissance est égal au travail de Q augmenté des quantités de travail abso: bées par les frottements sur l'un et l'autre tourillon. Mais cette connaissant dépend évidemment de celle de la tension primitive T\ Or, cette teniia

est arbitraire ; il suffit qu'elle soit seulement capable d'entraîner le deuxième tour dans le mouvement imprimé par le premier à la corde. 11 est vrai qu'en augmentant outre mesure cette tension primitive, ce serait aussi augmenter le frottement des tourillons qui croit avec cette dernière. En général, la tension primitive de la courroie doit être telle que le deuxième tour ne puisse glisser sous l'action de la résistance Q , ou que cette dernière soit moindre que le frottement de la corde ou courroie sur ce même tour. Soit R' le rayon de l'arbre sur lequel la résistance Q agit, et R/ le rayon du tambour qu'embrasse la corde et qui est monté sur

OR' cet arbre ; ~y sera la force qui , appliquée au rayon R/ , devra produire

le même effet que Q, et cette force devra être au plus égale au frottement de la courroie pour qu'il n'y ait. pas glissement. Remarquons que la courroie est sollicitée par une résistance T' — K et par une puissance T' -{- K, et que le frottement de la courroie sur le tambour de rayon R/ et sur l'arc égal à s' (2° partie , lia) a pour expression

On devra donc avoir l'égalité

de laquelle on déduira la valeur de T'. Dès lors il n'y a plus aucune difficulté pour calculer T, t, les frottements exercés sur les tourillons, et leurs quantités de travail. En un mot, on aura la quantité de travail de la puissance qui sera égale à la somme de ces dernières et de celle de la résistance. La considération de la tension primitive d'une corde ou courroie sans fin n'est pas indifférente , parce qu'elle est tendue avec un effort qui n'est pas moindre que 800 à 600 kilogr. [Exemple : scierie de M. de Neuville).

134. Résistance des chaînes. — Dans le calcul précédent de la quantité de travail de la puissance , on n'a pas eu égard à la résistance de la courroie. Si elle est mince , sa roideur est peu de chose ; la petite épaisseur de cette courroie la rend flexible , et susceptible d'une résistance que Ton peut négliger sans qu'il en résulte une erreur sensible. Si c'est une corde, la roideur ne se manifeste qu'aux points des tambours où elle s'enroule, et nullement vers ceux où la corde se déroule. Ainsi , au point a cette résis

tance sera — 3kt-^ > au point h elle sera — ~- — ; au point c elle sera

K' L l'T nulle 5 elle a lieu au point d avec une intensité égale à — ~ ; enfin

de est nulle aux points e et /*. Ces résistances ainsi évaluées donneront 2 ma partie. \^

Keu d'ailleurs à clea quantités de travail à comprendre parmi celte que doit

surmonter la puissance F.

Si la communication est établie au moyen d'une chaîne sans fin , les articulations de cette chaîne seront regardées comme des tourillons qui tournent sur des crapaudines, en même temps que celles-ci sont emportées dans le mouvement des tambours. Dans qe cas l'angle décrit par chaque Loulou d'articulation dans sa crapaudine est égal à celui qui est décrit par le tambour, en sorte que si s x est Tare décrit à l'unité de distance par ce dernier et que r soit le rayon de chaque boulon, rs t est le chemin décrit par le point d'application du frottement de la chaîne contre son boulon. Quant au frottement, il est proportionnel à la tension qui a lieu dans la partie de la chaîne qui commence soit à s'enrouler sur le tambour, soit à se dérouler. Ainsi , il sera/ * t du côté où la branche de la chaîne sans fin éprouve une tension t \ et il sera/ 1 , T du côte* où l'autre branche est tirée avec une force T, On comprendra alors les quantités de travail f . $ . rs t et f . T * rjj parmi celles qui doivent être vaincues conjointement avec la résistance utile.

135. Résistances des roues à conronnû f et des roues oV engrenage — Nous avons dit que les roues se transmettent le mouvement en roulant l'une sur l'autre. Il faut que leurs circonférences soient garnies chacune d'une couronne de buffle, que Ton rapproche Tune contre l'autre au moyen d'une pression extérieure convenable. Désignons par T {tlg, 211) l'effort mutuel qu'elles exercent Tune contre l'autre. Il est évident qu'il agira de haut en bas sur la deuxième roue pour faire monter le poids Q, et que son travail sera égal au travail de ce poids augmenté de celui qu'absorbe le frottement du tourillon de la roue que Ton considère. La pression sur ce tourillon sera d'ailleurs la résultante des forces T et Q et de la pression extérieure transportée parallèlement sur le centre C. Pour avoir la puissance F de la première roue, on l'obtiendra en observant que son travail est égal au travail de la force T déterminé sur la deuxième roue, plus le travail consommé par le frottement du tourillon C, Ce frottement est d'ailleurs proportionnel à la résultante des forces F, T et de la pression extérieure transportée parallèlement sur le centre C'. Ou voit d'ailleurs que le travail do la puissance F équivaut a celui de la résistance Q augmenté des quantités de travail consommées par les frottements autour des centres C et C f . On n'a pas tenu compte du frottement des couronnes de buffle l'une contre l'autre , parce que ce frottement est de la deuxième espèce et qu'il peut être négligé.

Supposons maintenant deux roues portant à leur circonférence des dents qui engrènent Tune dans l'autre (6g. ^12). Quoique celles-ci se touchent par des points qui varient à chaque instant, le mouvement est le même

que ti ces roues se pressaient immédiatement sur leurs couronnes moyennes. Les rayons de ces dernières s'obtiennent en partageant l'intervalle CC des centres en parties proportionnelles au nombre des dents , ou réciproquement proportionnelles aux nombres des tours que les deux roues font simultanément. Soit T le point qui satisfait à cette condition sur l'intervalle CC , CT et C'T seront les rayons cherchés. En appelant comme tout à l'heure T l'effort mutuel de ces deux couronnes, on le déterminera par la deuxième roue et par la condition que sa quantité de travail vainque celle de Q et du frottement exercé autour du tourillon C. Or, la puissance F n'a pas seulement à vaincre le travail de T et celui du frottement autour de C , il faut encore qu'elle surmonte le frottement des dents les unes contre les autres, lequel sera /T. Toutefois, puisque le point de contact de ces dents change continuellement , le bras de levier de ce nouveau frottement est nécessairement aussi variable. En cherchant la quantité de travail consommée par le frottement des dents les unes contre les autres, on a reconnu qu'elle était la même que si ce frottement s'exerçait à la circonférence C avec un bras de levier égal au rayon de cette roue >

et avec une intensité constante et égale à /T — ^£-, — *-. Par conséquent,

on tiendra compte de cette résistance , en substituant à T dans le calcul

de F la résistance T + /T m «"^V * u T', et en considérant la pression

1 ' mm

exercée en C et à laquelle le frottement de ce tourillon est proportionnel , comme étant la résultante des forces F et T' transportée parallèlement sur ce centre.

DEUXIÈME PAHTIE.

CALCULS II KL ATI F S A LA VIS El" A SOI* ECU OU.

13G, Description succincte de la visa filets carrés et de son ècrou* — IV « te faire une idée de la forme d'une vis à filets carres, qu'on se représer^mte un cylindre BCED ( fig. 213 ) plein à base circulaire qu'on nomme noy*. u , et dent Taxe ÀÀ' est vertical. Si en fixe à la surface do ce noyau un reclan^^îe abcd dont Je pian contienne L'axe AA' et qui n'est autre chose que le nr«zi>Ml du filet de la vis, il est évident que , par suite d'un mouvement de rotai ï on autour de Taxe A A', ce rectangle engendrera un anneau, tant qu'il dem «étirera à la même hauteur. Mais si en même temps qu'il tourne, il descend le long de Taxe de quantités proportionnelles aux arcs décrits, ou si pour- tin quart de révolution, il est descendu du quart de ta hauteur verticale que ce profil parcourt pendant une révolution complète, on aura ce qu'on ag^*~ pelte un filet carré en saillie sur le noyau. Chacun des sommets du re*^" tangto a décrit une courbe rampante qu'on nomme hélice , et qui jouit de &• a propriété que l'un do ses points étant pris pour origine, tant par rapport la courbe elle~mème qu'à sa projection sur un plan horizontal quelconque les hauteurs de tous ses points au-dessus du premier sont entre elles comm les ores décrits horizontalement à partir de ce point d'origine. On nomin encore pas de la vis la hauteur dont le profil s'est élevé après avoir pai couru une circonférence entière autour de l'axe A A'; cette hauteur est èi tore mesurée par l'intervalle aa f entre les surfaces supérieures de deu "^ filets consécutifs. Chaque surface supérieure se compose d'un faisceau d'he^^ u lices qui toutes ont le même pas, maïs qui appartiennent à des cylindres (C ^ rayons différents. Celle qui est tracée sur le noyau est celle dont le rayo ' m est le plus petit , tandis que le rayon le plus grand appartient à l'hélice ei~»~ gendrée par le sommet extérieur a du rectangle. La pente ou la roideLi» r d'une hélice sur une même surface du filet va donc en diminuant du noy» Ll h l'arête extérieure du filet, Après s'être ainsi figuré la génération de la vi-^^* il faut en outre concevoir que Ton taille en creux un autre corps de ^ fl même manière que la vis est taillée en plein ; c'est ce qu'on nomme l'écrcJ^ a de celte dernière. Des lors lY'crou et la vis pourront s'adapter, et ils auro ^^ nécessairement l'un sur l'autre un double mouvement de rotation et *r^s translation. Dans tous les cas, si Ion imprime un simple mouvement ^3 C rotation a l'un de ces corps, l'autre sera posé sur la surface supérieure d'»-* Blet du premier comme sur i\n [dan incline.

1$7. Iliade d'action de la vis à ftlots carrés ; son équilibre indcpendatnïn& *' des frtftempufs. — Pour élever des fardeaux ou produire du travail , on e *- u " ploie le système de la vis et de son écrou de deux manières 7 soit en fixa* ïl * invariablement l'ecrou, et en laissant la vis tout à fait libre, soit encore ^ n fixant invariablement la vis, et en laissant à l'écrou la faculté de se mt^ 11 "

im e un ° iar^

voir. Dans le premier cas, c'est-à-dire dans celui où l'écrou est fixe et la vis mobile, on agit sur cette dernière au moyen de leviers R ( ûg. 214 ) embarras dans sa tête; non-seulement alors elle tourne dans son écrou, mais en. core elle soulève le poids Q attaché à son extrémité.

Mais quand la vis est fixe , et que l'écrou est mobile , la puissance est alors appliquée sur des leviers R ( Gg. 215 ) insérés dans des ouvertures pratiquées à la surface de l 'écrou ; et ce dernier , en tournant autour de la vis, chemine dans le sens de la longueur de son axe et soulève en même temps la charge Q'.

Dans tous les cas , en appelant F la puissance et Q la résistance à vaincre, il est évident que la première doit agir dans le plan du mouvement de son levier, ou perpendiculairement à Taxe de ce mouvement , comme dans le treuil; et si Ton fait abstraction du frottement, son travail doit être égal à celui de la résistance produit dans le même temps. Or , remarquons que lorsque cette dernière s'élève d'une certaine hauteur, le point d'application de la puissance a dû parcourir un certain arc , et qu'en vertu de la propriété de la vis, le rapport entre ces deux quantités est toujours le même au bout d'un temps quelconque , quels que soient la hauteur dont a monté la résistance, et Parc décrit par la puissance , pourvu que cette hauteur et cet arc soient simultanés. Nous pouvons donc considérer ce quia Heu dans une révolution complète. Or, la puissance a décrit une circonférence, pendant que la résistance s'est élevée d'un pas de vis; et si on appelle h la hauteur de ce pas, et R la distance du point d'application de la puissance à Taxe , h et2*R seront les chemins décrits par la résistance Q et par la puissance F dans leurs propres directions. Ainsi, F . 2tR sera le travail de la puissance etQ . h celui de la résistance au bout d'une révolution complète; et l'on aura pour condition d'équilibre , indépendamment des frottements ,

FXU = QX/i, ou F : q ; ; h : 2*R :

ce qui indique que la puissance est à la résistance comme le pas de la vis est à la circonférence décrite par le point d'application de la puissance.

138. Equilibre de la vis à filets carrés en tenant compte des frottements. — Nous venons de dire que l'on pouvait comparer Fécrou qui marche sur une vis fixe, ou une vis sur son écrou. à un corps posé sur un plan incliné. Toutefois à la puissance F destinée à faire monter le corps sur le plan , et qui est horizontal , il convient d'en substituer une autre horizontale comme elle, et qui, étant capable du même travail , est immédiatement appliquée *w l'hélice dont l'inclinaison est celle du plan incliné que l'on considère. 11 fcut d'ailleurs se rappeler que toutes les hélices d'un même filet ont des ndinaisoDS d'autant plus roides que les cylindres auxquels elles appartiennent ont des rayons plus petits , et que l'inclinaison qui représente simultai* inclinaisons de ces diverses hélices correspond a c*\\fc à&

iU DEUXIÈME PARTIE

l'hélice moyenne du filet et qui a pour rayon une longueur que je désignerai par r. Or, la puissance horizontale capable du même travail que F et appliquée à la distance r de Taxe du mouvement sera telle que Ton aura 2x.F'. r=î2îr • F , H (R étant toujours la longueur du bras de levier de la véritable puissance F),

Concevons maintenant que le cylindre de rayon r soit développé sur plan ; dans ce développement le cercle de sa section perpendiculaire aui arêtes va devenir une ligne droite f el celles-ci des perpendiculaires à celU droite ; et comme les hauteurs des points de l'hélice de ce cylindre moyei ne sont nullement altérées par l'effet de ce développement , et qu'elle sont proportionnelles aux arcs correspondants, celte hélice deviendra un< droite inclinée ayant pour base ÀCfHg. 216) le développement du cercle 2sri et pour hauteur BC le pas de vis h* Cela posé, la puissance F' horizontal devant élever le poids Q sur un plan incliné dont la base et la haulcc sont les quantités précédentes, cette puissance F f et ce poids Q seront, pou que l'équilibre ait lieu sans la considération du frottement (2° partie , 10 dans le rapport de la hauteur a la base de ce plan. Donc, on aura

et, par conséquent, 2srr*F'=Q*A;

ou bien , a cause de 2jrr . F' = 2jtR . F , on trouvera encore

2*rR.F = Q .A, relation qui conduit à la même conclusion que tout à l'heure.

Cette manière d'envisager le mouvement de la vis s'applique trcs-facil* ment au cas où Ton veut faire entrer en considération les frottements. E effet , on a vu que, dans le cas d*un plan incliné, toute force horizoï taie T capable d*y élever un poids Q, et de vaincre en même tem| la résistance du frottement , était donnée (2 e partie, 108) par la formul

F' es (■ ' T . Nous ferons remarquer que, dans cette formule

ac — f.bc *

le coefficient/* est le rapport du frottement à la pression, relatif aux su

faces des substances en contact, c'est-à-dire ici de la via et de son écrou

que BC et AC (6g. 217) représentent des fractions qui expriment le rappo»

de la hauteur et de la base du plan à sa longueur , que ac et bc sont des fra<

tîons exprimant les rapports des composantes parallèles et perpendiculaire

au plan, à la force horizontale motrice F prise pour unité , et qu'enË

le terme f * bc dans le dénominateur est pris négativement conformément

l'observation quia été faite au même n* (108). Or, le triangle abc 7 qi

représente la force motrice ah prise pour unité et ses deux composantes i

etàc, est semblable au triangle ABC, parce que l'angle mb est égal à l'angp

BAC etl'angle eba égal à l'angle CBA É Donc, la fraction cb sera égale

aie à

Caution CB, et la fraction ca à la fraction GA. Faisant cette substitution &3MS F, nous aurons

Q(BC + /.AC) CA — /.BC * n es! évident encore que les longueurs BC et AG sont toutes deux proportionnelles au pas A et à la circonférence 1*r de l'hélice moyenne dont l'inclinaison est celle du plan incliné que Ton a substitué à la surface du filet. Cela résulte immédiatement de la propriété qu'a cette hélice, que ses éléments en projection horizontale et en projection verticale sont toujours dans un rapport constant. On pourra donc mettre h et 2*7* à la place de BG et de AG : car cela revient à multiplier les deux termes de la fraction qui entre dans l'expression de F , par le rapport commun des deux dernières grandeurs aux premières. On aura donc évidemment

F ,QJJL+/- 2 ^)

ï*r—f.h ' et, par suite,

Hais on a toujours 2*R . F = 2*r . F' , donc on aura , en définitive ,

relation qui nous apprend que la quantité de travail 2jtR • F. de la puissance est plus grande que la quantité de travail Q . h de la résistance , et qu'elle est augmentée de toute celle qu'absorbe le frottement , c'est-à-dire

439. Dimensions à donner à la vis à filets carrés; influence de son frotte-

«en*.— Si l'on fait attention que dans l'expression f . Q ^ — ' f , de la

quantité de travail absorbée par le frottement de la vis à filets carrés , le numérateur crott plus rapidement que le dénominateur quand on fait augmenter 2arr , c'est-à-dire la circonférence ou le rayon de l'hélice moyenne, on reconnaît sans peine que ce rayon influe pour beaucoup à l'égard de ce travail nuisible. C'est pourquoi l'on doit tâcher de le diminuer le plus possible dans ebaque cas , sans rienôterà la solidité de lavis. Soit ho (fig. 218) le r *yon de l'bélice intérieure ou du noyau, ao celui de l'hélice extérieure ; °n donne ordinairement à la saillie ab des filets une longueur égale à son épaisseur ad mesurée dans le sens de l'axe, et pour la facilité de l'exécution °n fait les vides égaux aux pleins , c'est-à-dire que ad = ad'. D'après cela , «'ùVy a qu'un filet de vis, ou si les profils abcd, a'b'c'd' consécutifs appartiennent au même filet , le pas aoJ sera égal à 2ad = %ab : autrement dit >

ta saillie du filet est égale à la moitié du pas. S'il y avait deux fileU i

tincts , c'est-à-dire, si a', a" appartiennent au même filet, le pas «'

serait double du précédent ou âab, La saillie serait alors le quart

pas , etc. On emploie ainsi plusieurs filets de vis , afin de pouvoir Fa

varier le pas sans changer la grosseur du noyau qui a des dimensiuns

terminées, ainsi qu'on va le voir.

Les vis à filets carres étant ordinairement en fer, et les écrans en euh

le noyau et les filets doivent avoir une solidité suffisante pour ne pas

déformer sous le poids Q de la charge qui les sollicite parallèlement à f\

■ — * Or, Ja surface de rupture du noyau étant r* ho, et chaque millimètre en

de cette surface pouvant porter moyennement sans perdre son élastic

6 kilog. environ ; on aura fîir , ko r = Q ; d'où Ton tirera la valeur d en millimètres. Admettant ensuite que l'écrou ne doit pas embrasser m< de trois filets successifs , afin que l'engrène ment soit convenable et s*use moins vite , son épaisseur sera égale à Gad ou Gab , et la surface de

ture des filets le long du noyau sera--— . % , bo, à cause qu'il y a au

de plein que de vide. Comme la charge pourrait agir toute entière sui

extrémités a , a f des filets et qu'elle aurait ainsi un bras de levier doub

celui de la surface de rupture cb 5 c f b f de ces filets, on ne devra pren

que la moitié de ta quantité ci-dessus , c'est-à-dire 5g& . * . bo ; la ré

tance de la matière (cuivre et élain) qui compose l'ëcruu , différant peu

celle du fer, on devra égaler la quantité ci-dessus à la surface *- . ou, rupture du noyau ; d'où l'on tirera la saillie

afe= — bo environ*

Il est évident que ces dimensions ne sont pas tellement absolues qu'on

puisse aucunement s'en écarter; seulement elles nous paraissent les p

convenables en général relativement aux hypothèses qui ont été fail

Très-certainement l'usure et le frottement seraient moindres en augment

la hauteur de Pécrou , et en faisant la saillie ah plus petite que aef > ]

exemple moitié. Quoiqu'il en soit, en reprenant nos premières n y poïb es

le rayon ho ou celpi de l'hélice intérieure étant de 5ab , le rayon de J'hél

extérieure sera Âab j donc le rayon moyen r sera égal à leur detni-sonjii

ou à — ffj&, ou enfin à — h , à cause que la saillie ab doit être moitié du po

Faisant cette substitution dans le travail consommé sur la vis par le fret

ment au bout dune révolution complète, ou dans fQ^-~ — ^- t

22 1 2*2f Qh trouve, toute réduction faite, et en remplaçant * par — , --—— -,

Supposons l'écrou en cuivre et la vis en fer nous pourrons prendre (deuxième tableau du n° 106 ci-desius)/ , =0,17 , ce qui se rapporte au cas oùlei surfaces ont longtemps frotté et se sont polies; on aura donc, pour la quantité de travail absorbée ,

■ m ' 0<17 - QA= 1,92 X QA.

Ainsi, la condition d'équilibre de la vis à filets carrés, en tenant compte des frottements , donne

2*R . F = QA-f 1,92 . QA, = 2,92 . QA,

tandis que, si le frottement n'existait pas, on aurait simplement 2* R . F = Qft. D'où Ton voit que ce frottement occasionne un surcroît de travail mesuré par 4,92 , ou presque double du travail utile QA pour la vis à filets carrés.

140. Frottements des épaulements et pivots des vis. — Jusqu'ici on a considéré la vis ou l'écrou comme tout à fait libre , tandis que l'un ou l'autre est tout à fait fixe : autrement dit , la puissance en tournant s élève en même temps que la vis ou l'écrou, et alors il n'y a d'autres résistances en sus du fardeau à soulever, que le frottement qui a lieu sur les filets. Mais il arrive souvent ou que la vis fixée à ses extrémités n'a qu'un mouvement de rotation, ou que l'écrou appuyé sur une base stable tourne autour de la vis en restant à même hauteur. Dans le premier cas , et c'est celui d'une barre à deux écrous traversée par deux vis qui tournent sur deux pivots et dans deux colliers supérieurs au moyen de barres fixées à leurs tètes (fig. 219) , l'écrou chemine suivant une direction verticale; sa charge se répartit en deux parties pour chaque vis, et si on nomme Q cette charge partielle, chaque pivot est chargé d'un poids Q , qui y produit un frotte-

ment/Q , dont le bras de levier moyen (2 e partie , 120) est les -^du rayon

f du pivot. La quantité de travail de ce frottement au bout d'une révolu-

lion complète sera 2*. f. Q X t p j et sera ajoutée à toutes les autres résis-

tances déjà expliquées précédemment, et que devra vaincre la puissance.

On aura alors sur chaque vis

2cR.F = Q.ft+/Q£±^-f2c./-.Q.!,.

lorsqu'au contraire , l'écrou tourne autour de la vis en demeurant à la

*&éae hauteur (fig. 220) , la vis s'élève verticalement en entraînant la

c barge qu'elle supporte ; les résistances a vaincre sont la charge , le frot-

**toetit des filets de la vis contre ceux de l'écrou , et enfin celui de l'écrou

^Ontre la base fixe qui le supporte. Cette circonstance a lieu dans la roa-

***Buvre de$ vannes, des grilles de pont ; l'écrou pressé contre des supports

fixes porte à in partie inférieure un anneau qui glisse dans une rainure

circulaire , et est mis en mouvement au moyen de leviers e m barres danj

les faces verticales, La surface par laquelle cet écrou frotte est un anneau j la charge Q produit sur cet anneau un frottement /Q dont le brus de terrer moyen (2° partie , 120) est égal au rayon moyen p de cet anneau, U quantité de travail de cette résistance, étant 2* * / • /". Q , il faudra l'ajouter à toutes les autres pour en déduire celle de la puissance.

Four faire voir combien ce frottement peut être considérable , nous supposerons une charge de 3000 kilogr. et le coefficient du frottement de

l'anneau dans sa rainure égal à — ; on aura /Q — SOOkilogr. Si le rayon

moyeu de l'anneau est 0,50, le moment de cette seule résistance sers 300 X 0?^Û* Appelons w le surcroit d'effort à exercer par la puissance pour la vaincre , et imaginons que la puissance agisse avec un bras de levier de 1,S0, on aura

x X MO = S0O X 0,50 } ou^ 100k.

L'effort ordinaire d'un homme qui agit en poussant étant moyennement de 10 kilogr., on voit que le seul frottement de l'écrou par son anneau exige dix hommes de plus h la manoeuvre. Aussi , doit-on chercher à éviter toutes les dispositions dans lesquelles c'est l'écrou qui tourne, Quand un est contraint, on en diminue les inconvénients , soit en imprégnant d'huili ou de graisse la rainure ci roulai re, soit en faisant rouler Ta pin eau sur des galets qui réduisent le travail de ce frottement (2 a partie, 1 2-4} dans li rapport du rayon de leur essieu à celui de leur circonférence. Encore c< galets s'usent-ïls souvent inégalement , et n'offrent que peu d'avantages La meilleure manière est d'appuyer la vis sur des pivots tournants, et de faire monter l'écrou dans le sens de son axe. C'est ce que l'on pratique dans la plupart des pressoirs ; les vis reçoivent leur mouvement de rotation en appliquant des hommes à des roues fixées aux tètes des vis*

141. f^îs triangulaires. — Les grosses vis que l'on emploie dans les pressoirs sont toujours à filets triangulaires (fig, 221)* Leur génération ne diffère de celle des visa filets carres, qu*en ce que leur profil est un triangle isocèle abc dont la base hc est attachée au noyau , comme le rectangl* de ces dernières j mais il s'élève encore dans le sens de l'axe, de hauieui proportionnelle aux arcs décrits autour du noyau. L'équilibre de cette vi ne saurait d'ailleurs s'obtenir par des considérations aussi simples que te* précédentes. Toutefois le calcul conduit à une relation qui dépend encore de l'hélice moyenne du filet triangulaire : cette relation est même inut-àfak semblable à celle des vis à filets carrés , si ee n'est qu'au lieu du coefficient

du frottement/, un le remplace par J-, La quantité m exprime le rappfU^j

de la hauteur ad du triangle générateur à son côté ab, et elle est en général plus petite que l'unité, parce que toute perpendiculaire ad est moindre que l'oblique ab qui part du même point a. Le seul cas où m soit égal à Vunité est celui ou le côté du filet ab est perpendiculaire au noyau ; ce qui revient à la circonstance du filet carré.

Ainsi, dans le cas de l'équilibre de la vis à filets triangulaires , r étant le rayon de l'hélice moyenne , h le pas de la vis , R le bras de levier de la puissance , on a

x ' m x 2srr — fh

QA étant le travail nécessaire pour soulever la charge,

f J>2 I JE ** **

"" Q — sr^" 7i — est évidemment celui que les frottements des filets absor-

m x % x r — fh n

bent dans la vis à filets triangulaires ; et il est plus considérable que pour les filets carrés, attendu que m est moindre que l'unité. Ce frottement diminue d'ailleurs à mesure que m est plus grand, ou que la perpendiculaire ad augmente. Donc les vis dont la saillie est plus considérable frottent moins que celles dont la saillie est moindre.

Pour bien se rendre compte de l'influence des frottements de ces vis, il faut avoir quelque idée sur la forme qui leur est la plus convenable. En général , dans la vis à filets triangulaires en bois dont la dureté n'est pas très-grande , comme le chêne, l'orme, etc., on prend ordinairement pour triangle générateur abc, un triangle isocèle rectangle en a. Lorsque lavis est en bois dur tel que le buis , le cormier , le sorbier, le charme, on prend pour le profil abc, un triangle équilatéral; on en agit de même quand la vis est en fer et l'écrou en cuivre : dans tous les cas, le pas est mesuré par la base 6c = aa' du triangle s'il n'y a qu'un seul filet, par deux fois cette base s'il y en a deux, efc. Quant à l'épaisseur de l'écrou, elle est égale à trois fois aa' ; enfin la saillie ad est le tiers du rayon do du noyau , et ce dernier se détermine de la manière déjà indiquée (2° partie, 139), en observant que pour le cas du bois, on ne doit pas supposer la résistance supérieure à 0k,80 par millimètre carré. Imaginons, par exemple, une vis dont le profil est un triangle équilatéral. On a d'abord

«*=\/ ab- bd = \/^- -£ = -| ]/ S = 0,866 X h.

U rayon intérieur do du filet est égal à Zad, et le rayon extérieur ao à Âad :

i A , aoA-do

,e rayon moyen r est donc — ^ — , ou

\ad = l-y. 0,866 . h =. 8,031 . h.

ad h X 0.866

oh

ab

Si noua faisons ces su bâti Lu lions dans Je travail du frottement , et qu'on prenne /*= 0,17, nous trouverons pour ce travail 3,78 . QA . Donc, on aura pour l'équilibre de La vis à filets triangulaires