Y^V + Î-L, OU V—V = Z

Mais il est visible que si V=^V 1 -J * et t?=V t * ,

on a aussi V -f- v = 2V|. Donc , si on multiplie V -[- *> par V — t?, et qu'on se rappelle que le produit de la somme de deux quantités par leur différence est égal à la différence de leurs carrés, on en conclut

V^ — ^ — ïii-.

Substituons cette dernière expression dans la relation (b) du volant, on trouvera

et, par suite, PV t * = 2,204 X^r • r ' F -

On voit ainsi que PV,* sera connu. Mais on obtient la vitesse moyenne V, du v oIant d'après le nombre de tours qu'il doit faire dans un temps déterminé e t d'après le rayon de son anneau. Par conséquent, l'équation finale à laquelle 1 n °us venons d'arriver, nous donnera le poids P du volant.

On peut parvenir à l'expression du produit PV, 2 sous une autre forme, et

'* déûnir par le nombre des chevaux de force qui constitue le' travail du

Voleur et par le nombre de tours que doit faire le récepteur dans un temps

^terminé, dans une minute par exemple. Si nous appelons, en effet m ce

^rnier nombre, 2m . r . F sera le travail du moteur pendant une minute,

e * ! ! ou ^-— - — ce même travail pendant une seconde. Dési-

>*>«nt par N le nombre de chevaux-vapeur contenus dans le moteur et capa-

**^s d'un travail de 75 kilogr. élevés à 1 mètre pendant une seconde, on

-— ^ asTS^XN, ou r.F= — = .

an ' mm

Après avoîr remplacé r , F par cette nouvelle valeur, dans l'expression de

'lV

pv l » = a,ao4x ? ^X

aîso.w

et, en mettant pour y sa valeur S™,^, on trouve, tout calcul rail,

PV t a =^X«XN . ,

Ainsi que nous l'avons dit, !e nombre m est relatif à la bielle à laquelle la puissance est appliquée , et non au volant, si ce dernier était , comme cela arrive quelquefois, monté sur un arbre différent de l'axe de la puissance. Il n'y a que le nombre n qui soit arbitraire. A la vérité pîua n sera grand, moins sera considérable la variation de la vitesse, et si Ton veut que la vitesse ne varie que très-peu , ce ne pourra être qu'à l'aide de très-grandes valeurs données au poids P du volant, Si n = 1000, ou si la vitesse varie seulement

de — eu plus ou en moins, le poids P sera dix fois plus considérable que 1000 F F ^ n

quand n = 100. Or, les volants eoûtent cher, et une augmentatien de leur

poids produit sur leurs appuis des pressions d'où résultent des frottements

capables d'absorber à eux seuls plus de la moitié du travail du moteur. Par

exemple, un volant du poids de 20 000 kîlogr. éprouvera sur son tourillon

un frottement de 2000 kitogr., lorsque le rapport /"du frottement à la près

sion est — .Que ce volant fasse 30 révolutions par minute ou une demi 10 r

révolution par seconde, et que son tourillon ait 30 centimètres de diamètre*

c'est-à-dire rt ,60 de circonférence t le travail absorbé par le frottement dut

volant pendant 1" équivaudra à

ou à 600 k - m ;

c'est-à-dire que cette résistance absorberait à elle seule le travail de huit chevaux à 75 km chaque, par seconde*

On ne peut donc arbitrairement choisir le nombre n r et sa détermination dépend de la comparaison qu'il faut faire des avantages et des inconvénients qui y sont inhérents. Au reste, cela dépend du but qu'on veut remplir, Si ûe$ machines doivent marcher avec beaucoup de régularité, on fera «= 15 oti 20, et on réduira ce nombre à 10 quand les machines ne doivent avoir qu'une régularité médiocre. Les Anglais, pour les machines à vapeur destinées à faire mouvoir des filatures, élèvent le nombre n à 30 , mais il y a exagération «

87. Folant de* manivelle* à doubleeffki.— Lorsque la manivelle est à double effet, le calcul du volant est analogue, si ce n'est qu'ici le travail do la puissanec dans une révolution s'clcveà -ir . F* Par conséquent, pour que ce travail

Légal à celui de la résistance au bout d'une même révolution, on poserait -*r. F = 2*-R . Q- Les positions du bouton de la manivelle où les vitesses maximum et, minimum sont également différentes, sont ici fixées par une autre Valeur de AD es 0,64 * r. Calculant enfin la corde qui joint * dans une même demirévolu Lion, ta position où une vitesse minimum a lieu à celle qui correspond à mie vitesse maximum t ainsi que l'arc sous-tendu par cette corde, on sera à même de trouver , comme précédemment , la différence du travail de la puissance et du travail de la résistance pendant l'intervalle d*unc vitesse minimum à une vitesse maximum. Si ou égale le double de cette différence à raccroïssement de force vive que le volant a absorbé, si de plus on fait attention que Je travail de la puissance pendant une seconde est représenté

P 81 — * '■ 1 on aura , pour le votant de la manivelle à double effet cette relation f

* I Maintenant} si on compare cette expression à celle qui est relative à la manivelle à simple effet , tout s'y trouve semblable à l'exception du facteur numérique , qui est cinq fols plus considérable pour la manivelle à simple HTet que pour la manivelle à double effet. Donc à vitesse égale la première esige un poids de volant cinq fois plus grand. Cette conclusion démontre tout J'avantage qu'il y a à régulariser autant que possible le mouvement indépendamment de l'emploi du volant : car Je poids de ce volant se réduirait au quart si la puissance était repartie sur les deux bras d'une manivelle double a simple effet ; et il ne serait plus que de — si la puissance agissait sur

une tnantvetle triple, etc.

88, Idée sur le calcul d'autres volante. — L'exemple précédent de la manille pour lequel nous avons déterminé les dimensions du volant, et qui so rapporte aux machines à vapeur, cesse d'être applicable dans une infinité de circonstances. Tout à l'heure la résistance était supposée constante et continue! et la direction de la puissance variait à chaque instant par rapport nu bras de la manivelle. Or, il arrive souvent que l'action du moteur demeure constante, et que la résistance qui varie, soit parce que l'outil, comme '* scie, est doué d'un mouvement alternatif, soit parce que la direction de ■^ résistance change continuellement , soit encore parce que la résistance e (trouve des intermittences. Les calculs sont alors différents les uns des au- ****«spourJa détermination du volant nécessaire à la régularisation ilu mou- ^ ornent. Il conviendra toujours d'étudier comment les choses se passent dans ^* ^*ie révolution ou plutôt dans une période complète, et de rechercher leg ^^««ux positions d'équilibre, ou celles pour lesquelles le travail instantané de ^^ puissance et celui de Ja résistance sont égaux , parce qpe cw taux, ^fc-

3 m « MTIE. W

tiens correspondent a l'instant nù la vitesse est devenue mazimimi et minimum* Si, en outre, on calcule les quantités de travail dépensées par la puis- — sauce et absorbées par la résistance pendant l'intervalle de ces positions, etz^m

qu'on égale le double de Leur différence absolue à l'augmentation ou à Ja di

mi nation de force vive du volant, cette relation traitée, comme on l'a fait

avec la condition que les plus grande et plus petite vitesses ne dépassen

point de certaines limites, conduira à l'estimation convenable des dimension» du volant. Mai» , comme ces calculs doivent être renouvelés autant de fo^E* qu'il y a de cas particuliers, il est impossible d'assigner une règle générâtes. Nous allons donner quelques exemples qui serviront de guides dans la mato— che qu'on doit suivre.

1° Laminoirs, — Un laminoir consiste dans deux cylindres en fonte , tout *•nant , chacun , sur deux tourillons , selon un mouvement convergent du c«V té où une barre de fer rouge est présentée à leur intervalle, et divergent <iu côte où cette même barre s'en échappe (Gg. 868) P Le fer se trouve aplati et allongé par l'effet de ces deux cylindres; mais comme il ne peut être d'une longueur indéfinie, et que la barre, après avoir passé une première fois entre les deux cylindres, doit être replacée au-dessus du cylindre supérieur pour être ramenée à l'ouvrier chargé de la présenter de nouveau , il arrive que le travail du laminage n'est point continu et qu'il éprouve des interruptions. Le moteur continuant à agir pendant la durée de ces intermittences, la vitesse augmente graduellement et acquiert sa limite supérieure au moment ou U barre va être présentée, puis elle diminue, parce que le travail instantané de la résistance du fer l'emporte sur celui du moteur, et elle se réduit à sa limite inférieure a l'instant où la barre est entièrement sortie du laminoir. 1* détermination des dimensions du volant est ici fort simple , attendu que ^ vitesse maximum correspond à l'instant où la barre est présentée, et la vitesse minimum à l'instant où la barre s'est échappée des deux cylindres. Si, f»* 1 l'observation ou par le calcul , on pouvait trouver la quantité de travail née? saire pour faire passer la barre et qu'on en retranchât ce! le du moteur déf»* iv sée pendant la durée de ce passage , le double de cette différence sera ég«^* a la perte de force vive du volant pendant que sa vitesse descend àumaxim J **" 1 au minimum. Nommant donc S la différence absolue de ces deux quant * ieâ de travail , parmi lesquelles celles de la résistance du fer est ici la plus grai^ *''"* V et c les vitesses maximum et minimum de la circonférence moyennevolant, P le poids de ce dernier, on aura la relation

ne- dLl

Ce volant doit être monté sur Taxe de l'un des cylindres , et comme cun de ces derniers doit faire environ moyennement vingt tours par wm ' nute, on connaîtra la vitesse moyenne V t du volant. Si , d'ailleurs, o«»** donne pour condition que les vitesses maximum et minimum ne dépas*^'

point h vitesse de régime , au V t , de — t * en plus ou en moins , on pourra

effectuer te calcul comme pour la manivelle , en faisant «= iiS ou 20, On sa donnera, en outre, pour première condition, que le travail du moteur dépensé pendant une période complète, ou pendant l'intervalle où une barre est présentée deux fois, soit égal au travail de la résistance consommée par la barre, augmente de celui des frottements*

P2 q Scierie. — Le volant d'une scierie exige des considérations qui ne ressemblent plus à celles du laminoir. On saitque le mouvement vertical de vaet-vient est transmis au châssis de la scie, par l'intermédiaire d'une bielle, au moyen d'une manivelle énarbrée à un axe qui reçoit son mouvement de la puissance (fig. 369), Dans ce travail la scie ne mord qu'en descendant, et elle remonte à vide. Ainsi , le bouton de la manivelle , dans la demi-révolution ascendante, est chargé du poids de la bielle et du châssis ; en descendant, an contraire 7 le boulon favorise l'action de la puissance , et est poussé de haut en bas par le poids de La bielle et du châssis , diminué de la résistance de la scie contre le bois. Cette dernière, qui augmente avec l'épaisseur et la nature jlu bois, sera supposée d'une valeur moyenne, ou telle qu'elle conviendrait pâtir une pièce de bois de chêne, sans nœuds et d'un piedd'ëquamsage. Cela poaé, vous examinerez de point en point et pour Ions les petits arcs élémentaires égaux décrits par le bouton , comment varient le travail instantané de 'a puissance et celui de la résistance pendant une révolution complète; les positions où ces travaux deviendront égaux seront évidemment celles où les vitesses sont devenues minimum ou maximum. Si on calcule ensuite la quantité totale de travail dépensée par la puissance et par les résistances pendant l'intervalle du minimum au maximum de vitesse ,, et qu'on égale le double de c *tle différence absolue à l'accroissement de force vive du volant, on déduira encore te poids de ce dernier pour que les vitesses demeurent dans une limite ^signée,

§• Filatures. — Il y a certaines machines dont toutes les pièces sont douées de mouvements continus, et dans lesquelles il s opère des variations *I*ii rendent leur action fort îr régulière. Telles sont les filatures, dont tous les Métiers sont mus à la fois par un môme moteur, et où quelques-uns d'entre ey s sont souvent arrêtés momentanément par leurs ouvriers respectifs *ans *ï**\m puisse immédiatement modifier le travail du moteur. Il serait alors ^■îfïîcile de régler le mouvement, si on ne voyait par soi-même ce qui se passe *J^ns l'atelier, et si on n'observait moyennement le nombre des métiers dont ■^ mouvement est suspendu, ainsi que la durée de celte interruption, Suppo- ****»&, par exemple, que le travail de tous les métiers réunis soit de $4 chev ^ux ï et qu'il soit réduit à 20 quand on suspend trois ou quatre métiers tendant un nombre moyen de secondes représenté par f. Le travail de la 'élance ainsi réduit pendant ce temps équivaut à Hft Y/IV/^** ^«*»

n'oublions pas que le cheval représente le travail de 7£> k élevés a un metre pendant une seconde. Supposons, en outre, que le travail du moteur qui fait marcher rétablissement soit de 2£ chevaux. L'excès de ce travail sur celui de la résistance réduite par Interruption des quatre métiers sera de 23 — 20 ou S chevaux; cet excès répété pendant t secondes, équivaudra à &X?5X*t et produira au bout de ce temps sur le volant une vitesse V plus grande que

la vitesse V t correspondant au régime ordinaire de la machine, Donc — (V 2

— V t ') sera l'accroissement de force vive du volant, et il sera égal à 2 X $ X 75 . t w On aura donc

imaginons qu'on veuille que la vitesse V n excède pas Y 1 de t^-, ou posera

ou V*=I,Ï1

V, 9 ; doù

-X0^.V=* M '* ou pv - 3=

De cette relation rien n'est pins facile que de conclure le poids du volant H Au lieu de —il sera bon de prendre pour r*xcès de la limite — ou r^*

Quand, au lieu d T un moteur quelconque, la filature est mue par une machine à vapeur, on détermine le volant de cette dernière, indépendamment de la considération des métiers, el en faisant n == 30, pour rendre ce volant un peu puissant. Telle est au moins la méthode des Anglais, Nous croyons, au contraire, qu'il vaut mieux d'abord chercher ce premier volant, en faisant » = 15, et calculer ensuite un antre volant pour régulariser la machine filante. Si te poids de ce nouveau volant est plus considérable que celui de la machine à vapeur, c'est une preuve que n doit dépasser J5 et qu'il faut l'augmenter; s'il est moindre, c'est une preuve qu'on doit se borner au premier volant de la machine à vapeur, ta régularisation d'action dans les filatures est d'autant plus essentielle, que la perfection du travail en dépend*

S'il s'agit d'un moulin mû par une roue hydraulique, il n'y a point àétablir de volant, parce que la meute agit symétriquement sur le grain et qu'elle fait elle-même fonction de celte pièce. Mais si le moulin marche au moyen d'une machine a vapeur., celle-ci n'aura pas besoin <l'un volant a beaucoup près aussi puissant , et en général ce genre de machine doit être régularisé indépendamment de l'outil, saufàrégularisercc dernier, si ses intermittences étaient trop fortes.

ÛICS li^GKIitÀCtS.

69. Tmcè des engrenages ; conditions. — Lorsqu'on se propose do Iransmellre le mouvement circulaire continu d'une manière uniforme et régulière, nous avons vu (3° partie, 2(1 ) que celte transformai ion pouvait s'opérer à raidie de chaînes ou courroies enroulées sur des tambours , Mais quand les machines sont puissantes, il vaut mieux armer les couronnes de dénis qui s'engrènent et conduisent les couronnes de la même manière que celles-ci roulaient Tune sur l'autre par simple contact primitif* Pour trouver les circonférences de deux roues destinées à rouler Tune sur l'autre, nous avons vu qu'il suffisait de connaître le rapport qui existe entre les nombres do leurs révolutions simultanées, ainsi que la position de leurs aies dont l'intervalle peut d'ailleurs être quelconque , et cependant tel que les diamètres des roues consécutives soient compris entre deux pieds et six pieds, parce qu'en effet en dehors de ces limites les roues exigent beaucoup de sujétion pour être exécutées. Enfin, si les axes sont parallèles (et c'est le cas dont nous nous occuperons d'abord) , on partage leur intervalle CC (%« 370 ) , en parties CT et C'T, réciproquement proportionnelles aux nombres de révolutions qui s'opèrent en même temps autour de ces axes , et on obtient ainsi les rayons des circonférences primitives. Si, maintenant, on monte des tambours égaux a ces circonférences sur les axes CC de manière à se presser l'un et l'autre , et qu'on fasse tourner le premier autour de C , il entraînera Fautre tambour autour de G', eteelui-ci décrira deux ou trois révolutions pendant que l'autre n'en décrira qu'une seule, selon que sou rayon sera Ja moitié , le tiers , etç # , du rayon du second. Pour remplacer ces tambours par des roues dentées dont les vitesses leur soient proportionnelles , les dents ne sont point placées sur les circonférences primitives, mais sur des couronnes intérieures a ces circonférences, et elles s'étendent au dehors de ces dernières. Chaque circonférence primitive est la séparation de ce qu'on nomme le creux vl h saillie d'une dent*

Le tracé des engrenages est soumis aux conditions suivantes : 1° que les dénis d'une même roue soient égales; 2* que leurs espacements soient les mêmes sur les deux roues; 3" que leur forme extérieure soit symétrique par rapport à la Jrgne milieu de chacune d elles ; 4° quelles ne se pressent point avant d'arriver à la ligne des centres CC, ou plutôt que ce soit sur cette Jrgne que les dents commencent à se toucher; o u enfin, qne les courbes par lesquelles tes dents se poussent ou se conduisent soient tellement tracées que les roues se conduisent avec des vitesses angulaires <\m %uwaV caraV%TOKUH\V

dans un même rapport ou dans celui qui a lieu pour les circonférence -s [ natives , si ces dernières se conduisaient parleur simple contact.

frejuèrb coNMTiQj. — La simplicité de Ja solution et la facilité de l'exécution matérielle des engrenages exigent que les dents d'une même roue soient toutes égales et disposées régulièrement autour de la couronne. Mais il n'est pas nécessaire que l'épaisseur , c'est-à-dire la dimension comptée sur la circonférence primitive , soit la même d'une roue à l'autre. Pour une roue eu fer | la dent sera moins épaisse que pour une dent en bois : il faudra, au contraire, plus d'épaisseur aux dents de la roue qui tourne le plos vite , parce quelles sont plus exposées à Tu sure*

deuxième no«MTroi«. — On nomme pas d'un engrenage la distance mesurée sur ta circonférence primitive de la racine d'une dent à la racine de sa consécutive* Ce pas doit être le même non-seulement d'une dent à l'autre , mais encore sur les deux roues, Car , puisque Fengrcnement est successif d'une roue a l'autre, ces dents se généraient réciproquement 4 si les espaces décrits simultanément par les circonférences primitives pendant Icngrenement n'étaient égaux entre eux. Il résulte de cette condition que les nombres des dents des roues sont proportionnelles aux diamètres des circonférences primitives, de sorte que Tune d'elles ayant, par exemple , 13 dents, l'autre en aura 30 si Je rayon de celle-ci est double de celui de la première. C'est ordinairement sur ces circonférences primitives , dites aussi circonférences de panées , que la division s'effectue, et nous reviendrons sur les méthodes les plus convenables à cet effet* Nous ferons remarquer qu'une dent pendant son engrènement avec une roue se trouve logée entre deux dents de celle-ci, et qu'elle a besoin d'un certain jeu qu'on réduit au douzième de l'épaisseur des dents pour des roues bien faites et à un sixième pour des roues plus grossières. L'intervalle vide entre deux dents d'une roue équivaut, par conséquent, à l'épaisseur des dents de l'autre roue , augmentée du jeu , en sorte que le pas est égal à la somme des épaisseurs de chaque dent de Tune et l'autre roue plus le jeu.

TBOiSTÈBU cowDiTiox, — Comme il arrive souvent dans les machines, que les roues ne tournent pas toujours dans le même sens, il faudra que chaque dent soit terminée symétriquement par deux courbes semblables, afin qu'elle soit propre à conduire les dents de l'autre, ou à en être conduite indifféremment.

QiuTtuÈMK convrrioff. — Lorsque les dents de deux roues s*approehent de la ligne des centres CC% ces dents vont à rencontre l'une de l'autre. Lorsqu'au contraire ces dents engrenées s'éloignent de CC, elles tendent à s'écarter. D'après cela , conformément à la 4° condition , il faut faire en sorte, autant que possible , que les dents ne commencent à se pousser qu'à partir de l'instant où eltus sont arrivées h la ligne des centres CC. On évitera ainsi l'effet des aspérités et des arcs-boîiteuaeuts > en vertu desquels deux dents viennent

a se froisser ou à se heurter en avant de ta ligne des centres, en présentant la pointe ou la Lète, et se brisent si elles ne suspendent entièrement le mouvement, La forme des dents n'est, en général; point arbitraire; jamais on ne leur donnera celle d'une courbe concave, ou d'un carré ou d'un trapèze, non pas parce que les roues ne sauraient encore se transmettre le mouvement uniforme, mais bien à cause des arcs-boutements dangereux qui résulteraient si deux dents de cette espèce se rencontraient avant la ligne des centres. On voit, en effet, qu'en A (ûg* 371), où le sommet commun des dents tend à se rapprocher de CC, il est impossible que le mouvement se continue sansqu'il y ait rupture , parce que la somme des distances CA-J-CA' est^> CC. Au delà de la ligne des centres , où l'angle B tend à s'ouvrir, le mouvement peut s'opérer librement*

cinquième condition. — Les dents doivent toujours avoir une forme arquée qui leur permette de se mettre en tangeance Tune à l'autre dès qu'elles sont en prise. On tient de plus à cette condition dans le tracé des faces qui se poussent, que la vitesse d'une roue soit transmise à l'autre dans un rapport constant, afin que les engrenages soient bien déterminés. Mats on y satisfait encore d'une infinité de manières. Car on peut se donner à volonté la courbe des dents de l'une des roues, de la roue C', et on trouvera toujours pour l'autre C une courbe analogue qui sera conduite uniformément par la première, ou comme si les deux, roues roulaient par leurs cercles primitifs. En effet, si a'mb' (fig. 372} est la courbe attachée à la couronne de C'^et que amb soit la courbe correspondante sur l'autre roue T cette dernière courbe devra être constamment touchée par lapremïère pendant que les deux cercles C et C tournent simultanément, ou bien encore, ce qui revient au même , pendant que le cercle C demeure fixe , l'autre C f roule autour de la circonférence primitive du premier j enroulant lui-même sur son propre cercle primitif. Dans ce dernier mouvement la courbe a'mb* changera de place, et de point de contact avec la courbe amb , de sorte que cette dernière sera précisément l'enveloppe de toutes les positions de la première. Si on Fait attention que, dans le roulement du cercle C autour du cercle C demeuré fixe, tous les points du cercle C, ainsi que ceux de la courbe a'mft, décrivent de petits arcs élémentaires autour du point de contact T des deux cercles primitifs, et que les éléments de contact desdeux courbes de dents se confondent avec l'un de ces arcs, c'est une preuve que les normales communes à Tune et l'autre dent pendant qu'elles se touchent, doivent passer par le contact des deux circonférences primitives.

60* Méthûds générale pour h tracé des courbes des dent*. — Lorsque , se donnant la courbe des dents de l'un des cercles , on veut trouver la courbe correspondante sur l'autre cercle , la question est susceptible de se résoudre physiquement. Prenez en effet deux cercles de planches égaux aux circonférences primitives, que vous appliquerez tangenlie\lemeuVY\vtt^Y&>fcVTftis\vt

la surface d'an plan. Armez le cercle dont la courbe est donnée d'un patra\ ou modèle égal a cette courbe, et fixez l'autre cercle invariablement. Ces autour de ce cercle que vous ferez rouler le cercle qui porte un patron, vou rendrez d'ailleurs ce mouvement non susceptible de glissement; 1° enlian les deux centres par une verge ayant un jeu autour des aies de ces centres S° en enveloppant te cercle mobile d'une bande de parchemin dont les exlrd mîtes sont fixées sur les circonférences de ces cercles* Quand lemouvemen sera donné au cercle mobile, tracez sur le plan ou table avec un crayon toute les positions du patron , et l'enveloppe do toutes ces positions vousreprésen tera la courbe de la dent du cercle ûve. Mais un pareil système devientd*un< exécution trop difficile pour en espérer une exactitude suffisante.

Voici un procédé graphique qui s'applique à tous les patrons de dent imaginables donnes a l'un des cercles. Soit al h {fig* %1Z) la courbe du patroi fixée au cercle C\ et at f b f la même courbe embrassant entre elle et la pre: mlère sur la circonférence primitive de C un arc de cercle Ti\ égal au pa de l'engrena ge* Soit de même Tf le même pas sur la circonférence primitif C; ici on suppose que les dents des deux roues se pousseront à partir de! ligne des centres. Ainsi on a arc TY = arc Tf # On divisera ces deux arcs un même nombre de parties égales, en trois par exemple; nous aurons sur premier les points de division T\ 1% T et i\ et sur le deuxième arc T* points de division T T 1, S et*. Maintenant de T comme centre on décrira arc de cercle dont le rayon est la plus courte distance de ce point à laconrl att?}y m Cette plus courte distance est donnée par une ouverture de comp» telle que Tare de cercle touche la courbe sans la couper. Chercbezde la mèwn manière la plus courte distance de la division 1' sur Tare T*\ à la courbe aWi et du point 1 correspondant sur Tare T* décrivez avec celte plus courte d i tance un nouvel arc de cercle* De même, du point '2 de cet arc Tl décrivez m troisième arc de cercle dont le rayon est donné par la plus courte cl lance de la division ^ à la courbe a<t f b\ Sachant en outre que la eoui-1 de dent cherchée pour le cercle C doit passer par le point t, on n'aura p qu'à tracer l'enveloppe à tous ces arcs de cercle ainsi obtenus.

En pratique, on peut se contenter de diviser les deux pas des cercles milifs en deux parties égales, de tracer deux arcs de cercle, et de faire pas la courbe par le point f et ÉangentieUement à ces deux arcs, Veut-on a g; plus simplement encore ? cherchez l'intersection t delà première normale (fig, 374) avec la courbe a't'è' ; joignez t , et par le milieu n de cette droï t élevez une perpendiculaire no qui coupe le cercle primitif C en o. Ce point * sera le centre d'un cercle ayant pour rayon otWof, et Tare décrit représ^ tera d'une manière suffisamment exacte la courbe de la dent du cercle C *nj doit conduire la courbe donnée du cercle C. En y réfléebissant t on ?e*" sans prine que ce procédé est fondé sur ce que la ligne qui joint le coni des dents au point de contact T des circonférences primitives , est , coro

nous l'ayons lait voir, en même temps une normale commune aux courbes des

deux dents en prise.

61. Divisions des circonférences primitives* — La plus grande difficulté

consiste à obtenir sur chaque circonférence primitive les points de division

dont l'intervalle constitue le pas. En se rappelant d'abord que les nombres de

cet points sont proportionnels aux rayons des cercles primitifs, on connaîtra

d'abord en combien de parties ces circonférences doivent être partagées pour

satisfaire aux conditions du mouvement. Si ces nombres sont des multiples

de 3, de 4, de 5, et de 6, on partagera d'abord les cercles dans le nombre de

parties indiqué par l'un de ces derniers facteurs , et cela à l'aide des procédés

que la géométrie enseigne; puis on agira séparément sur chacune de ces

grandes divisions, de manière à avoir les nombres de dents voulus sur les

cercles primitifs. En général, r étant le rayon de l'un deux, 2*r sera sa cir-

coo£érence;et si le nombre desdents doit être 17,31 ou n, l'arc qui mesurera

i j » , . 2*r 2rr - 2 r r

le pas de 1 engrenage sera représentée par -^=- , ou par -~-t- , ou enfin par — .

la difficulté n'est pas ici d'avoir l'arc, mais plutôt la corde qui le sous-tend. On y parviendrait en divisant 360 par 17, par 31, ou par ti, et le quotient représenterait le nombre de degrés d'un tel arc, de sorte qu'avec un rapporteur, on pourra marquer sur chaque cercle primitif les points de division, lais les rapporteurs ne sont jamais assez divisés pour que l'opération se fasse avec précision. Connaissant les angles au centre de ces arcs, on pourrait eu core employer une table de cordes. Mais de tous ces moyens, le meilleur est le suivant quand l'arc est fort petit, ainsi que cela arrive à l'égard du pas

2*r desdents. Désignons par z le quotient , la corde qui sous-tend cet arc est

fgalà * ( 1 — ^r. — ). Ce calcul fait, donnera le degré d'ouverture de

pas pour tracer le pas sur chaque circonférence primitive.

62. Des courbes génératrices dans les engrenages. — Nous appellerons courbe génératrice celle que, dans un engrenage, on se donne sur une des deux roues, pour en déduire la courbe convenable à chaque dent de la roue qui doit engrener avec la première. Toutefois, le nombre des courbes génératrices employées dans la pratique est fort petit ; ces courbes sont (fig. 375) : 1° Un cercle entier dont le centre est sur la circonférence primitive de la couronne à laquelle il est attaché ; 2° une droite dirigée au centre de la couronne; 3° la développante dont le tracé s'obtient en divisant le cercle dont elle dérive en une infinité de parties égales très-petites, en menant des tangentes par chaque point de divisions égales en longueur à la somme des divi. ■ions comprises entre les points de contact et celui d'origine de la courbe, tf en faisant passer une courbe par les extrémités de ces tangentes. Celte <*Hirbe est d'ailleurs engendrée par l'extrémité d'un fil tendu qui se déroule k long d'une circonférence. Les formes des denta coTVfcs\m\w\art\Vç* & v\\v«.