FORCE CENTRIFUGE

68. Idée de la force centrifuge ; sa mesure pour un corps de petites dimensions qui tourne avec une vitesse constante. — Représentons-nous un corps de poids P (fîg. 87 ) attaché à un point fixe G par une barre rigide AC, et imaginons qu'on lui imprime une vitesse quelconque dans une direction AT, perpendiculaire à la barre. Si ce corps était libre, il continuerait, en vertu de son inertie, son mouvement dans cette direction AT et avec la même intensité de «vitesse. Mais il n'en est point ainsi ; la rigidité de la barre le ramène sans cesse à la même distance du point fixe G et le force à décrire un cercle autour de ce centre. Il y a donc , pendant ce mouvement obligé du corps , deux sections centrales exercées le long de la barre , l'une de la part de celle-ci contre le corps pour le retenir au centre G , et l'autre de la part du corps contre la barre qui tend à éloigner le corps de ce centre. Les deux forces sont visiblement égales et contraires à cause du principe de l'action égale et contraire à la réaction. La première est dite force contripède et la deuxième force centrifuge» Nous supposerons d'abord que les dimensions ( du oorpft , à l'égard de sa distance au centre fixe , soient assez petites \*qv\y io ce éorjtt toit regardé comme un point matériel animé d'une VvtessfcN

quaut au cercle qu'il parcourt dans son mouvement, on peut lui substituer un polygone régulier ABCDE.... ( fig. 88 ) d'un très-grand nombre de côtés égaux et dont les sommets sont appuyés à la circonférence. Cela posé , je dis d'abord que le point matériel décrira chacun des côtés de ce polygone avec la même vitesse , ou que la vitesse primitive V se maintiendra lorsque le point passera d'un côté à l'autre. *

À cet effet on observera que si le corps possède la vitesse Y au moment où il arrive à l'extrémité B du côté AB , il est ensuite animé de deux vitesses simultanées en parcourant le côté adjacent BG. L'une de ces vitesses est la vitesse primitive BV = V , suivant le prolongement de AB. L'autre BU est le petit degré de vitesse communiqué par la force centrifuge dans la direction de BO , au bout du petit temps employé par le corps à parcourir chaque côté élémentaire du polygone. Or, on a vu ( 2° partie , 7 ) que quand un corps reçoit deux vitesses simultanées , sa vitesse résultante est la même que s'il les possédait successivement , et qu'elles fussent portées à la suite l'une de l'autre dans les directions qui leur sont propres. Ainsi, la résultante BU , avec laquelle le côté BC est décrit , a lieu sur la direction de ce côté , et de plus elle est telle que VU' , égale et parallèle à BU , appartient au parallélogramme UBVU' dont BV ou V est la diagonale. D'ailleurs le rayon OB partage l'angle ABC en deux parties ABO et OBC qui sont égales. ABO = BVU r comme angle correspondant. OBC = BUV comme angles alternes-internes^ Donc BVU' = BUT. Par conséquent le triangle VBU' est isocèle , et ses deux côtés BV et BU' sont égaux ; ce qui indique que la vitesse conservé* sur BC est la même que. celle possédée par le corps sur le côté antérieur Aft D'où il résulte que la vitesse communiquée au point matériel ne s'altère pcm dans son mouvement circulaire. La chose était facile à prévoir , parce qum la force centrifuge est toujours dirigée perpendiculairement au mouvement 1 et qu'elle ne travaille pas ; elle ne peut donc détruire ni la force vive ni I vitesse du point matériel. Remarquons que UB, ou VU', est précisément Ipetit degré de vitesse imprimé par la force centrifuge F pendant le temps employé à décrire chaque côté élémentaire du polygone , et que si or appelle M la masse du point matériel , la mesure de cette force ( l re partie , 74 ) sera F =— ^ . Tirons le rayon CO ; le triangle BOC est sem-

blable au triangle VBU' parce qu'ils sont isocèles, que l'angle OBC = BUV, et que l'angle BVU' étant égal à BUV , on a visiblement BCO = BVU. Donc on aura la proportion.

bo : bc :: bu' : vu\

en désignant par R le rayon BO du cercle et en se rappelant que BU' Tient d'être reconnu égal à la vitesse primitive Y. D'ailleurs , le côté BC du poly-

gone sera décrit par le corps pendant le petit temps t 9 et avec la vitesse Y , et sa longueur doit être V X * : donc, on aura

YU' = — ^— , et, par suite,

MX V a X' MXV a ~ TXR ~ R -

Telle est l'expression de la force centrifuge. Son numérateur M X V* étant le produit de la* masse du corps et du carré de sa vitesse , c'est-à-dire sa force vive, on voit que la force centrifuge d'un corps de petites dimensions comparativement à sa distance au centre autour duquel il tourne , est égale à h force vive imprimée à ce corps divisée par le rayon du cercle que décrit son centre de gravité. Supposons que le poids du corps soit de 100 kilogr. et qu'il décrive un cercle de l m de rayon avec une vitesse de 4 m comptée sur cette circonférence , on posera R = l m , P = 100 kilogrammes ,

M= ?. = i^?, V = 4 m , V 2 = 16, et l'on conclura g y,81

F = ^-qï X 16 = 160 kilogr. environ.

y,oi

Donc, le corps tend à tirer un effort de 160 kilogr. la barre rigide qui le retient dans son mouvement circulaire.

G9. Force centrifuge des corps à grandes dimensions. — Considérons maintenant une tranche fort mince ABCD (fig. 89) , tournant autour d'un poids O situé dans son plan, ou autour d'un axe perpendiculaire à ce plan, avec une vitesse angulaire V p la vitesse angulaire d'une petite masse m de cette tranche sera r Vj (2 e partie , 60) , r étant sa distance au point 0. La force vive de cette même masse sera wtr*. V^. Quanta sa force centrifuge, elle sera

mr*V * égale à — , ou mrYf , et de plus elle sera dirigée selon le rayon Om

du cercle que cette masse décrit autour du centre commun de rotation. Tirons par ce dernier point deux droites arbitraires et rectangulaires Ox et 0y; puis décomposant la formule centrifuge wrV, a en deux autres X et Y, dirigées suivant ces deux droites ; ces composantes et leur résultante étant proportionnelles aux côtés , et la diagonale du rectangle Oqmp , on aura la proportion

Om : Op ; ; MrV^ : X ;

on X = mrY] * ^x 0p = Y, 1 . mOp , à cause de Om = r. On aura

Om

également

Om : Oq :: mrV* : Y = Yfm . oq.

Pour une autre petite masse m\ sa force centrifuge , et les composantes X'

et Y' de cette force selon les droites Os et Oy, seraient m f rT, 1 , V, 1 * m r , Ofj et Vj 1 . m\ Oq\ etc * . * , ■ De cette manière toutes les forces centrifuges

sont réduites a deux groupes de forces respective me ut situés sur les

droites Ox et Oy et qui ont chacune pour résultante V t a (m X ®P -j-

m* X °/>' -) ), etV r '(m X Og-J-î»' X <V ..,.) Remarquons que.

m X Op -}- »*' X Pi ' -{-•.• . est la somme des moments de chaque masse par rapport à Taie 0y» et que cette somme est égale au produit de la masse totale M multipliée par la distance Qp eu # f du centre de gravité G

à cet axe* Il en est de même à regard de m X -f. «i' X Og' ~h . . ■ . , somme qui est égale à M X tfi s V\ représentant la distance QO du centre de gravité a Taxe Oj:. Ainsi les forces centrifuges se réduisent aux deux forces V/Mjp. et V^M^ , perpendiculaires entre elles et dont la résultante unique est égale à

Donc la force centrifuge d'une tranche très-mince tournant autour d'un point situe dans son plan est égale au carré de la vitesse angulaire multiplié par le produit de sa masse et de la distance de son centre de gravité au point ds rotation.

On voit également que cette force est appliquée au centre de gravité de la tranche, car elle agit suivant la direction OG.

Supposons encore un corps quelconque ÀBG ( Gg. 90 ) , tournant autour de Taxe LM. Décomposons ce corps en tranches très-minces perpendiculaires à cette ligne. Elles donneront lieu à autant de forces centrifuges appliquées au je centres de gravité G , G\ G",.--, de chaque tranche, et égales au carré de la vitesse angulaire du corps f multiplié par le produit de chaque masse et de la distance de son centre de gravité à Taxe. Toutes ces forces seront perpendiculaires à LM, sans être généralement parallèles entre elles. Tantôt elles auront une résultante unique \ tantôt elles se réduiront à deux forces; tantôt enfin leur résultante sera nulle, et dans ce dernier cas ce* forces n'exerceraient aucun effort , aucune pression sur Taxe de rotation.

Si tous les centres de gravité G, G' , G" , * , , . sont une même droite ÀR (fig, 91) T parallèle à Taxe de rotation , les distances de ces centres à Taie LM sont les mêmes et égales à R. Les forces centrifuges deviennent parallèles et sont toutes situées dans un même plan passant par ÀB et par LM ; leur résultante passe par le centre de gravité de la masse entière et est égale

à la somme.. V T *R (M +3T + M" -f ....)■ Or, M-\-W -f M"-]

est précisément cette masse totale : donc pour un corps dont toutes ks tranches perpendiculaires à l'axe de rotation ont leur centre de gravité sur un*

même parallèle à cet axe y la force centrifuge est la même que si toute la masse du corps était concentrée à son centre de gravité. Cette simplification est par* liculiêrement applicable à la sphère, au cylindre , aux surfaces de révolulion dont les axes sont parallèles à celui de rotation. Leur force centrifuge se réduit à celle de leur centre de gravité , en y concentrant leurs masses respectives.

70. Exemple de la force centrifuge* — La considération de fa force centrifuge explique une foule de faits rapportes dans le Cours de Mécanique de M. Dupin, Quand ou fait faire le manège à un cheval, l'instructeur, placé au centre C (fig. 92) du cercle décrit par l'animal, retient ce dernier au moyen d'une longue attachée au bridon , afin de détruire autant que possible Tac* lion de la force centrifuge. Elle est, comme on Ta vu (2 a partie, 68), proportionnelle au poids du cheval et au carré de sa vitesse. L'effort du cheval sur sa longe devient ainsi quatre fois, neuf fois plus grand pour une vitesse double, triple. Celte même force exerce sur le cheval un effort horizontal qui tend a le renverser en dehors du cercle. C'est afin de résister à cette action qu'il incline son corps en dedans. Cette inclinaison est telle que sa direction doit se confondre avec la résultante du poids du cheval et de la force centrifuge et passer au milieu de l'intervalle de ses pieds. Si donc, sur la verticale et l'horizontale du centre de gravité G du cheval, on prend des parties GF et GP proportionnelles h la force centrifuge et au poids du cheval, el que Ton construise le rectangle FGPR, la diagonale GR do mera l'inclinaison cherchée. V et R exprimant la vitesse du cheval et le rayon du cercle, la force centrifuge

«-7XT

Par conséquent 7 la pression GR ou

/gp' + fg' = p y/i 4- ^Ç.

Enfin, pour que le cheval ne puisse glisser en travers du chemin qu'il parcourt, il faut que l'inclinaison ÀB de ce dernier soit perpendiculaire à la direction GO de la pression totale.

Les écuyers qui se tiennent debout sur un cheval courant au galop penchent leur corps de manière que la résultante de leur poids et de leur force centrifuge passe entre les points où leurs pieds sont appuyés sur le cheval. Quant une voiture tourne sur une route ( fîg. 9B J > son mouvement circulaire produit une force qui tend à la renverser du dedans au- dehors; et le risque qu'elle ne soit renversée croit avec son poids el avec le carré de sa vitesse , tandis qu'il diminue à mesure que le rayon du tournant devient plus considérable. Voilà pourquoi il y a de l'avantage à faire des raccordements dont les rayons soient très-^taxvd% , «\

2 m * PARTI/?. 1

il c

i tic la voiture ne

les vitesses de la voiture ne prennent pas trop d'accélération , que les pentes longitudinales soient très-douces* On déterminera connue précédemment, la pression totale ou la résultante du poids de la voiture et de ta force centrifuge déduite do îa vitesse moyenne que l'on peut supposer. Quant à la petite à donner du dehors au dedans à l'inclinaison transversale du tournant , elle doit être perpendiculaire à cette résultante. En France on a coutume de terminer les chaussées de route par une surfasse bombée, Cette forme est éminemment dangereuse dans les raccordements pour une voiture qui en rencontre une autre et qui est obligée de circuler sur le versant extérieur. La fronde , la hache et la masse d'armes . exercent sur la main quand on les fait mouvoir eîrculairemcnt un effort de Iracliuu égal à la force centrifuge* Il s'obtient en divisant la force vive due à la vitesse imprimée, par le rayon du cercle que décrit la fronde, ou par la longueur du manche, soit de La hache, soit de la masse d'armes. Une grande roue de volant se compose de plusieurs jantes partielles réunies par des bras à un moyeu commun (fig. 94). L'effort avec lequel la force centrifuge agit pour tirer les bras hors du moyeu et pour détacher chaque jante partielle se calcule au moyen de la masse de la jante, de son rayon et de la vitesse que possède le volant. Cette même force arrache encore les clous qui fixent les bandes de fer contre les roues de voitures lorsque celles-ci prennent une grande vitesse. Et c'est afin d'éviter un pareil inconvénient, qu'on a le soin de traverser les entremîtes de chaque bande et In jante par un boulon qu'un écrou arrête contre la face intérieure de cette dernière.

73- Variations de la force centrifuge à ta surface de la terre. Explication de Vapplatissement de celte dernière, — On saitque la terre tourne autour de son axe en vingt-quatre heures et que tous les parallèles , c'est-à-dire les cercles perpendiculaires à cet axe , ont des vitesses qui vont en diminuant depuis féqua ter jusqu'aux pôles* Imaginons que cet axe soit perpendiculaire au plan du tableau, de façon que ces cercles s'y projettent de grandeur naturelle selon deë circonférences concentriques*

Soit un corps  (fig. 9a) de masse quelconque M, placé a la surface de la terre et dans un plan parallèle quelconque dont K est le rayon. Ce corps, emporté dans le mouvement terrestre, éprouvera une force centrifuge mesurée par MR . V t *, V t étant la vitesse angulaire de la terre; ce qui nous apprend que cette Force varie à la surface de cette dernière proportionnellement a la grandeur des rayons des parallèles. Elle est la plus grande possible à. Téquateur, et nulle vers les pôles. Enfin* comme elle tend à diminuer l'action de la gravité, celle-ci est par conséquent la plus grande possible aux: pôles et diminue dans les parallèles qui se rapprochent de Téquateur, où elle est réduite a son minimum, La terre n'est point tout fait sphérique. et les observations s'accordent à démontrer qu'elle est ren-

fiée a l'équateur et aplatie vers ses pôles. On conçoit en effet que si elle a été primitivement couverte d'eau , les parties du liquide comprises sous l'équateur et cédant à l'action centrifuge se sont élevées au-dessus de l'axe de rotation, et qu'au contraire les parties du liquide voisines des pôles ont dû abandonner les pôles pour remplacer les premières vers l'équateur. C'est au reste ce que confirme le mouvement de rotation qu'on imprime à un vase contenant de l'eau à une* certaine hauteur, et composé de quatre tubes fermés en croix qui se communiquent (fig. 96). Le mouvement ayant lieu autour de deux de ces tubes maintenus horizontalement, on aperçoit l'eau gagner les parties les plus éloignées de l'axe dans les deux tubes verticaux , et s'écarter des tourillons dans les deux autres.

72. Mouvement d'un corps dans un canal circulaire. — Il peut arriver qu'un corps , au lieu d'être retenu autour d'un point fixe par une verge

rigide, soit forcé de marcher dans un canal circulaire. Mais il n'en a pas

y* moins une force centrifuge égale à M X -jp M et R étant la masse du corps

et le rayon du cercle qu'il décrit, et V la vitesse de ce corps, parce que dans le mouvement qu'on lui imprime, il est contraint par la résistance du canal, de rester toujours à la même distance du centre C (fig. 97). Si ce canal est horizontal, la vitesse demeure constante, et la pression du corps contre les parois est uniquement égale à la force centrifuge. Mais si le canal occupe une position verticale, la pesanteur exerce alors de l'nfluence; non-seulement elle altère la vitesse du corps, mais encore le poids P du* corps se décompose en deux autres forces, l'une tangentielle, et l'autre perpendiculaire au mouvement. Celle-ci a lieu tantôt dans le même sens que la force centrifuge, tantôt en sens contraire, de sorte que la pression totale devient plus grande ou moindre qne la force centrifuge, selon ces deux circonstances. Il est facile de trouver toutes les vitesses du corps quand on connaît Tune d'entre elles, et cela au moyen du principe des forces vives. Si, par exemple, cette dernière est la vitesse V qui correspond au point le plus bas , et que l'on veuille avoir la vitesse V qui a lieu dans une position élevée de la hauteur H, au-dessus de ce point, M . V* — M . V 2 sera ici la perte de force vive, et cette perte sera égale au double de la quantité de travail que la pesanteur absorbe, dans l'intervalle dont il s'agit, c'est-à-dire à 2PH. On aura, par conséquent ,

M(V' a — V»)=2PH, oll y'* — V* =» 2^H, et V = [/ V' a — %H,

Ainsi , la vitesse est diminuée par la gravité pendant l'ascension du corps ; mais comme, pendant sa descente, cette force restitue ensuite les quantités de travail qu'elle avait d'abord absorbées , on voit que la vitesse, rextev^va

»6 IME PARTIE.

la même dans les points ait. e hauteur ; qu'elle est la plus petite:

ou la plus grande possible au 'us haut et au point le plus bas , et

qu'enfin à chaque révolution , les variations de cette vitesse sont périodiques . 73, Force cantrifuge d'un corps qui décrit une courbe quelconque, application à ta trajectoire de la bombe, — Quand un corps f en vertu des forces motrices qui le sollicitent, décrit une certaine courbe dans l'espace, c'est comme s'il parcourait successivement les petits arcs osculateurs dont celle-ci est composée, ou ceux qui appartiennent à des cercles dont la courbure se rapproche le plus possible de celle de la courbe en chaque point* Si l'on connaissait les centres c, c\ c Tf (H% t 98) de ces arcs successifs , ainsi que leurs rayons respectifs Àc, AV, A"c", la courbe serait immédiatement donné© par la suite des arcs À À', A' A", A" A"', décrits de ces centres et termines de part et d'autre aux extrémités des rayons. Cela posé » il est facile de voir que la considération de la force centrifuge f jointe à celle des forces motrices, suffit pour obtenir la position des centres et la grandeur des rayons des ares oscillateurs , et par conséquent pour en déduire le tracé et la forme de la trajectoire que le mobile doit parcourir. En effet, appelons P la résultante ÀP des forces motrices qui agissent sur le corps au point À , M la masse de ce corps, V la vitesse qu'il possède en ce point et qui est dirigée suivant la tangente AT. Puisque le corps est censé parcourir Tare de cercle A A' très-petit , non seulement il conservera sur cet arc la même vitesse V , mais encore la force centrifuge F, qui tendrait à l'éloigner du centre C , sera éga c a

M XV 1 = MX? 2

ÀC r

Hais comme le mobile , en décrivant la courbe, n'abandonne pas le petit arc AA^ il faut qu'il y soit retenu par une force égale et immédiatement opposée à F ? ou que la force motrice AP étant décomposée en deux autres , l'une A3 langentielle à Tare, et l'autre Àp perpendiculaire à la tangente AT, cette dernière composante soit précisément égale à F. On aura donc

MX V* Ap ou ^=^^ — ,

P Telle sera la grandeur du rayon Ac de Tare initial ÀA f . Son centre sern sur

la perpendiculaire à la tangente AT, L'arc AA' étant décrit par un petit

temps donné f, ou pour un dixième de seconde, par exemple, on cherchera

la quantité de travail produite dans cet intervalle par la force motrice Ap

supposée constante, de A en À\ Appelant K' cette quantité de travail , et

V La vitesse que le corps possède en A' et sur la tangente A'T', on aura , en

vertu du principe des forces vives ,

d'où

d'où V" = V* -f 2K'