LP

L«=â-\ P^lOOOfc,

et R (tableau du n°7â) = 830.1 00 ou 8150000, D'où a-B.I000 43

et, par suite,

a = V^ 0,014 = ©M» environ.

Ainsi, nour qu'une pièce de bois de S 1 ", encastrée horizontalement, supporte,

sans perdre ton élasticité, une charge de 1000 k . à l'autre extrémité, il convient de lui donner un équarrissage de 28 centimètres de côté.

78. Solide d'égale résistance. — On a vu que quand une pièce prismatique est encastrée par une extrémité et qu'elle est fléchie perpendiculairement par une force appliquée à l'autre, le point dans lequel elle est plus exposée à se rompre, est évidemment celui de l'encastrement. Si la résistance est suffisante en ee point, la pièce sera partout ailleurs plus forte qu'il n'est nécessaire. Cherchons la figure de la pièce de manière à ce que sa résistance soit partout suffisante et jamais excédante, en supposant d'ailleurs que toutes ses sections transversales soient rectangulaires. Une pièce ainsi déterminée est ce qu'on nomme solide d'égale résistance. Il suffira évidemment que la re-

ab % lation P = R. -jrr- soit satisfaite pour toutes les sections. Dans cette formule

a représente la largeur horizontale constante de la section transversale de la pièce AB = L (fig. 403} ; b est la hauteur LI de la section d'encastrement; et on aura la valeur de LI au moyen de l'équation

6LP ~àR'

Si nous voulons avoir maintenant la hauteur y de la section MM', située à une distance OÀ e= x du point A d'application de la force P, on remplacera fi et L par y et x dans l'équation précédente ; ce qui donne

Donc, la courbe LMÀM'I est telle que ses ordonnées MM', ou y, croissent proportionnellement à ses abscisses OA, ou #, comptées du point A : cette propriété appartient à une parabole qui a pour sommet le point d'application delà force fléchissante. Voici, au reste, un procédé pratique pour tracer cette courbe quand la longueur AB (fig. 404) de la pièce est donnée , et quand on a calculé sa hauteur LI de la section d'encastrement d'après la formule précédente. Partagez l'axe BA et la demi-corde BI en un même nombre de parties; en quatre parties, par exemple. Joignez l'extrémité L de la demi-corde non divisée à chacun des points de division de l'axe BA par des droites ; leurs intersections avec les parallèles à l'axe menées par les divisions de même numéro de la demi-corde BI, seront des points de la courbe Ah L'autre partie AL est symétrique par rapport à la première. C'est de cette manière qu'on détermine la forme d'un balancier dans les machines à vapeur. La résistance qu'il oppose au mouvement a lieu vers ses points de rotation ; ceux- ci peuvent être regardés comme des points fixes sur lesquels la section milieu du balancier est encastrée, et l'extrémité de la moitié de sa longueur comme sollicitée par une pression égale à la tension de la vapeur. On a coutume de garnir la ligne milieu longitudinale , et

les rebords du balancier, de nervures qui , comme nous l'a/onsdit, ajoutent a sa résistance

79* Déformation d'une pièce encastrée soumise à une force de torsion appliquée sur son autre extrémité, — Imaginons un cylindre encastré par son ex trcmilé D (flg. 405), et soumis par l'autre extrémité libre à une force P , qui tend à le tordre autour de Taxe DC avec le bras de levier CB. Cette déformation sera telle que, pour chaque fibre longitudinale ou parallèle à Taxe DC, rexlréiniLe située dans ta base encastrée À A se maintiendra constamment à la même position, tandis que l'extrémité £ du côté libre se déplacera le plus possible de manière à décrire Tare hb\ On suppose en outre qu toutes les extrémités analogues à cette dernière , décrivent dans le plan delà section passant par la force P, des angles égaux autour du centre C. Cela posé, en admettant que la résistance à la torsion de chaque fibre longitudinale est proportionnelle a Tare que son extrémité libre décrit, ainsi qu'à sa grosseur, et réciproque à sa longueur ou à celle du cylindre, on trouve le résultat suivant Nommons Tare décrit à l'unité de distance dans le plan de la section extrême du côté de la force P, L la longueur du cylîndre 1 K Ij longueur du bras de levier CE, Y le moment d'inertie de la section transver sale du cylindre par rapport à Taxe central DC perpendiculaire à cette sec lion, t le coefficient de torsion , on a

Quant au travail absorbé par la torsion ou par la déformation de la pièce

il est égal à — - — np — ■ Si le cylindre a pour base un carré, on a I' = 3H r

, , 6LPK L'arc de torsion fl décrit à l'unité de distance est égal a -j^r-'t et te travail