MM

= k ■ Mfltm'O *= rHmm'M'.

On verrait de même que la somme tien pression* verticales de bai eu haut provenant de ecllei qui sont exercées contre Les autres éléments des parois, est représentée par la iomnic des rectangles analogues à Mmm'M'j c'est-à-dire paT Taire de la courba ACU. Or, lu pretifog de haut en bas sur le fmicl CD est proportionnelle à BHCD ou k ABDC -J- ÂCH. Donc la pression résultante du Fond est proportionnelle à ABDC + aire ACH — aire ACH, e'eiUâtitres ABDC. Donc çIJc équivaut au pouta Au Vu\uWfi ireuuiïtné dans le vase.

raunieaiion de ce vide se trouvant d'ail leurs interceptée par une surface plane qu'on ouvre ou qu'on ferme à volonté? et qui se nomme vanne, ou voit qu'il est nécessaire de calculer la pression sur cette vanne , afin de lui donner une épaisseur nécessaire pour résister aux effets de cette pression. Soit, par exemple,' A B (Gg. 442) une vanne fermant un réservoir dans lequel Tenu occupe le niveau MN; nommons l Ja largeur de l'ouverture de celte vanne dans te sens perpendiculaire au plan du tableau. Décomposons le fluide par tranches horizontales qui coupent la vanne en zones, dont la hauteur, telle que aD = #, est très-petite. Soit enfin À la hauteur du niveau M\ au-dessus de Tune de ces zones; la pression due au poids du fluide sur la zone ah de la vanne sera égale au poids du prisme d'eau ayant pour base la zone ab ei pour hauteur la hauteur A, Si je désigne par * le poids d'un mètre cube d'nu ou 1000 kilogr. , et que j'observe que Taire de la zone en question a pour mesure / X *i * a pression cherchée sera représentée par *■£ X ' X x * D'où Ton voit que la pression contre la vanne croit proportionnellement à la profondeur de ses divers points au-dessous du niveau, de sorte que ses épaisseurs devraient croître depuis son sommet jusqu'à la base. Ordinairement on donne à la vanne une épaisseur constante; mais en même temps cette épaisseur doit correspondre à la pression la plus grande parmi celles qui agissent nu\ divers points de la surface de la vanne. Considérons donc la zone la plus baise B6\ et nommant a cette hauteur fort petite , H la hauteur du niveau MR| au-dessus de son milieu ; il est évident que la pression sur cette zone aura pour valeur *H/ . a appliquée au milieu de cette longueur* Enfin . la loue repose par ses extrémités dans deux encastrements, et nous avons vu* au chapitre X, de la résistance de* matériaux , que la charge capable d'altérer l'élasticité d'une telle pièce était le quadruple de celle qui produirait un effet analogue à l'extrémité de la même pièce encastrée par l'autre «Iremitc (3° partie, 77, 8â)* Si donc j'appelle b l'épaisseur de la vanne» nous litrons l'égalité

*HZa Rrto 9 irH/ Rfc 1

ftft

Telle doit être l'épaisseur à donner à la vanne.

Cet exemple si simple nous conduit naturellement à la question de l'équilibre des batardeauxen maçonnerie destinés à soutenir aune hauteur donnée les eaux d'un réservoir. Nous supposerons , pour plus de simplicité, que ce bâtard eau soit terminé du cote du fluide par une face verticale, Nous conserverons les mêmes dénominations que tout à l'heure. H est la hauteur du niveau MN au-dessus du plan inférieur de la fondation (fig. 44$), /* renfoncement d'un élément quelconque ab de la face vcrùca\e Av\ \mVar&feW \ \ çsX

la longueur du batardeau; * est le poids du mètre eu ho d'eau. Enfin, la pression sur l'élément ah est <r£* X A. On trouverait pour tout autre élément que sa pression serait *fxh\ Faisant la somme de toutes ces pressions qui sont perpendiculaires à la face du batardeau, on aura leur résultante, ainsi que la pression totale dont la valeur sera

Or, tsh n'est autre chose que le moment de l'élément de la face plongée du batardeau par rapport au niveau supérieur, et nous savons qu'une pareille somme est égale à 1 aire totale plongée , multipliée par la distance du centre de gravité de cette dernière au niveau supérieur. Donc la pression totale contre une face plane rectangulaire plongée dans un fluide est égale au poîdi d'un prisme d'eau ayant pour base la partie plongée et pour hauteur celle du niveau au-dessus du centre de gravité de cette partie plongée ; ce résultat indépendant de l'inclinaison de la face.

Si, comme nous l'avons dit, on suppose verticale la face intérieure batardeau , toutes les pressions, deviennent horizontales et tendent à fair glisser le batardeau sur sa base* Nommant P le poids de ce batardeau, f\ coefficient du frottement de la maçonnerie contre le terrain , coefficient <

est environ — , /*P ou — sera la résistance que le batardeau oppose à l'effet de

pressions horizontales. Si on trouve que--- est moindre que la résultante

ces dernières, on élargira la base du batardeau des extrémités de Jaque!

partent les talus qui le terminent, jusqu'à ce que le poids P du batardeau

été augmenté de manière que — soit égal à la résultante des pressions;

nous parviendrons ainsi à la connaissance des dimensions du batardeau cessaires pour qu'il résiste au glissement.

Ce batardeau pourrait néanmoins encore tourner au tour de l'a rèle extérieure K de sa base, si le moment de la résultante des pressions n'était rendu egaà^ au moment du poids du batardeau par rapport à cette même arête K. E supposant que le batardeau soit terminé par deux faces verticales, et enaj pelant E son épaisseur inconnue, ?' le poids d'un mètre cube de maçonneri lequel est d'environ 2000 kilogr,, ^ H X E X 'sera le poids du batardea Son moment, attendu que la verticale de son centre de gravité passe par 1 milieu de l'épaisseur, aura pour valeur

,HXE.,.!=^'-

=2000. 5^ = 1000. RIEK

Arrivons a la détermination du moment de la pression résultante du 11 elle se réduit à trouver le point d'application de cette dernière. Pour obtenir ? point cTanpJ/caiion, nous chercherons d'abord le moment de ces pression

nire;

par rapport n un plan quelconque, et nous choisirons pour ce plan le plan de ïïireao supérieur MN. Il est évident que , dans ce cas, le bras de levier de la i sur l'élément quelconque ah sera A, en sorte que le moment de cette pression partielle sera /* % *lxh t ou *J,x. h?. Un moment analogue s'obtenant pour une autre pression partielle, il ne s'agira plus, pour avoir la somme de ces moments, que de chercher une somme de produits tels que j/* 1 . Considérez une pyramide régulière dont la base sort un carré qui a pour côté sa hauteur U, il est évident que toutes les sections de cette pyramide parallèles a cette base seront des carres, et que leur côté est aussi égal à leur distance au sommet (fig, 444), Désignant par h une de ces distances , et cherchant le volume intercepté entre deux tranches distantes entre elles d'une quantité ; élite et égale à i ar, le produit œh* sera ce volume intercepté, et la somme de tous ces volumes équivaudra au volume total de la pyramide , I ou à

SI y ÏP = *- 8 * * *

Donc, la somme des moments J (.r4* -[- &'h f2 + ,.,.) aura pour valeur *

tel

Y^ïprcssion dans laquelle H représente la hauteur totale du niveau MN ao-dessus du pied du batardeau. Si nous divisons — t ^- par la pression totale

ou par WH X ai ' e quotient^ H indique que le point d'application de la

pression totale ou le centre de pression , est situé aux - de la hauteur entière

de la face verticale à partir du niveau, ou au tiers de cette même hauteur à partir du point le plus bas K. Donc le moment total de la pression par rapport à ce dernier point sera

Egalant enfin ce moment à celui que nous avons obtenu pour le poids du bandeau, nous aurons cette relation ,

]00OH/E*= 1000 — , ou E s =—-

w enfin ( E^Hi/ —*= 0,408 . H P

= Hv />-o,

L'expérience apprend que les batardeaux doivent avoir au mains f m d'é- Poseur, pour ne pas laisser l'eau s'y infiltrer* On fera donc toujours E — l"\ ta &i que la hauteur 9 du batardeaa sera moindre que 2 m . Dans les construc- Ns on se sert d'une règle empirique fort simple pour ùxet Ycpaw&wat fe^ ®m de quai qui soutiennent h la fols Teati et la poussée des Veixe%, \& ^*&

3 m " WtTfe. VS

extérieur de ces murs étant de à—, on prend à la moitié Je la hauteu l'épaisseur égale au ^ de celte hauteur. Pour les bajoyers d'écluse, cet

même épaisseur s'élève a [a moi Lié de la hauteur j c'est plus que le calcul pr cèdent n'Indique.

Si les digues sont en terre, on leur donne 2 mètres d'épaisseur au somme et comme elles sont terminées par des lattis naturels en amont et en av; on s'assure seulement qu'elles peuvent résister au glissement.

9o* Épaisseur des chaudière t à vapeur , des tuyaux de conduite , etc, — No avons vu que quand un fluide est contenu dans un vase, il exerce en to ses points deu * pressions , dont l'une, dite hydrostatique , due soit ai pression extérieure exercée par un piston on de toute autre manière à surface, soit à la tension même du fluide, se distribue uniformément si tons les points du vase, et dont l'autre, due au poids du fluide , est propoi liuiinelle à rabaissement de chaque point du vase au-dessous du ni m supérieur. Mais il arrive souvent que la pression hydrostatique est très-cou sidérante par rapport à la charge du fluide, et qu'on peut faire abstractio de la pression due au poids. Cette circonstance esl principalement applica ble à la vapeur contenue dans une chaudière ou dans des tuyaux de duite, et rend très- facile le calcul des épaisseurs des vases dans Jesque elle est renfermée.

Considérous donc une chaudière ou tuyau cylindrique (fig. 445) dans lequ la vapeur exerce une pression ou tension représentée par p par unité de su face* Si R est le rayon intérieur du cylindre et / sa longueur parallèle Taxe , 2wR X * sera sa surface intérieure et 2*rRf X P ^ pression totale q cette surface supporte. Si , en vertu de cette pression, le tuyau tend à se di ter, et que son rayon devienne R -J- r T r étant un très-petit accroisseme de ce rayon, ce petit accroissement représentera le chemin parcouru par divers points du vase dans les directions de la pression, en sorte que 2* X >' sera le travail dépensé par la pression totale pendant la dilatation Mais la circonférence intérieure, de 2&-R qu'était son développement, devenue 2*- (R -[- r) , et s*est aussi accrue de 2*-r.

Cette dernière valeur sera évidemment le chemin parcouru par le po d'application de la résistance des parois à cette véritable traction, Nommo B le coefficient de la résistance a la traction de la substance qui constitue luyau, e son épaisseur*,/ X G sera Taire de son profil, et B/ la mesure la résistance. Par conséquent, le travail de la résistance de la chaudière se B/*X &*ft Mais, en vertu du principe de sa transmission du travail» travail de la puissance est égal à celui de la résistance ; d'où

ou bien t en supprimant les facteurs communs aux deux termes ,

et, par suite t e = — -.

Dans cette formule les longueurs sont rapportées à l'unité démesure qui est le mètre ; p est la pression de la vapeur par mètre carré. On ferap = 1WJ0*, . . . . = 20660 k , .... selon que la pression de la vapeur sera del,2, .... atmosphères. On se rappellera que la valeur de B est égale à 8.000.OOO k pour le fer laminé , égale à 4. 000.0 00 k pour la tôle de cuivre , égale à S40.000 k pour le plomb, et à 500.000 k pour le verre.

Lorsque dans un cylindre vertical , la charge dû fluide cesse d'être négligeable, on décomposera le cylindre en tranches, et on cherchera sur chaque tranche la pression exercée par unité de surface en y comprenant celle qui est due à la charge. La formule précédente donnera pour chaque tranche dès épaisseurs différentes et plus considérables à mesure que la tranche se rapproche du fond. Mais, comme en pratique on construit les chaudières ou les tuyaux avec une épaisseur uniforme, on choisira celle qui est trouvée pour le fond.

Jusqu'ici on a supposé au tuyau ou à la chaudière une longueur indéûnie ; et fl arrive souvent que l'un ou l'autre est terminé par un fond qui rend le système plus solide. Dans tous les cas on ne doit point compter sur cet excès de solidité. Si ce fond n'était pas appuyé contre un plan inébranlable , il conviendra de lui donner une épaisseur capable de résister à toute la charge du fluide qu'il supporte. Cette question, qui n'a point encore été abordée dans toute sa rigueur, peut être traitée ainsi qu'il suit, avec une approximation suffisante pour la pratique.

Gomme ce fond fait corps avec le cylindre , on le supposera réduit à une zone ABDC (fig. 446), symétriquement placée par rapport au centre O et ! dont la largeur AB soit égale au rayon R. Puis on regardera cette zone comme nn corps prismatique encastré à ses deux bouts et chargé à son milieu d'un poids égal à la pression totale du fluide sur le fond. On calculera l'épaisseur de cette pièce comme on l'a fait pour celle de la vanne (3 e partie, 94) et il est évident que l'épaisseur obtenue pour la zone ABDC conviendra à fortiori P°or les autres bandes du fond. EuGn, il est encore une dernière considération qu'on ne doit pas négliger, c'est que le fond ne puisse pas être arraché du cylindre. Or, en cherchant la pression totale sur le fond, qui comprend , «fen entendu, la pression hydrostatique et celle qui est due au poids du " u *de, on la supposera également répartie sur la surface de l'anneau. Si on ^terminé la résistance de ce même anneau , laquelle est proportionnelle à sa ^frface et s'estime facilement , on verra si cette dernière est plus grande que * pression totale.

$6. Équilibre des corps flottants. — Considérons un liquide en équilibre ^tw un vase ; il est visible que cet équilibre ne sera pas troublé si on suppose

qu'une masse quelconque (fig. 447) de ce liquide sVnveïoppe d'une croiVe très-mince et parfaitement solide, Dès lors cette masse pourra être regardée comme un fluide renfermé dans un vase, lequel repose sur la tranche PQ qui Lui est immédiatement inférieure, comme sur un plan invariable ; et, d'après ce que nous avons vu (3° partie, 9^)* la pression que la masse exercera sur cette tranche, ou qui sera détruite par cette tranche, sera égale au poids du volume du fluide remplaçons maintenant ce volume Ode fluide par un corps de même volume et de matière différente; puisque la tranche fluide oppose à ce corps une pression éfjaleau poids du volume fluide dont ce dernier tient la place, on doit en conclure que ce corps ainsi plongé perd de son poids une quantité précisément égale à celui d'un pareil volume du fluide. Ce principe, découvert par Archimède , est employé en physique pour trouver la pesanteur spécifique ou la densité des corps

Lorsque le corps est moins pesant que le volume du fluide égal au sien , i flotte à la surface de l'eau de manière à y rester en équilibre* Ce qui exige que la résultante des pressions verticales qu'il éprouve de bas en haut delà part du fluide soit e*gale et directement contraire à la résultante de tout les forces de pesanteur qui sollicitent ce corps de haut en bas* La premier résultante est, comme nous venons de le voir, égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps, la seconde est le poids du corps lui-même Ainsi, pour première condition de l'équilibre du corps (luttant, il faut qu le poids du volume de fluide déplacé soit égal au poids total du corps. La seconde condition résulte de ce que les résultantes des deux genres de près sion sont Tune et l'autre verticales t et qu'ainsi elles doivent se confondn sur la même verticale, et comme Tune passe parle centre de gravité d fluide déplacé et l'autre par le centre de gravité du corps, on reconnaît qu'i faut en outre que ces deux centres de gravité soient situés sur la même ver ticale. Telles sont les deux conditions relatives à l'équilibre des corps flot tants.

Mais la stabilité de cet équilibre est indispensable pour empêcher le corp de chavirer. Soit, par exemple, un bateau en équilibre sur un fluide dont le niveau est ÀB (Gg. 448), Ce dernier plan, qu'où nomme plan dç flot faisan est tel que, prolongé dans Tinté rieur du bateau t il en sépare au-dessou de lui un volume dont le poids en fluide est égal à celui du bateau et de s: charge, et cela quelle que soit la position du bateau. D'où il suit que si dans L'intérieur de ce dernier, ou fait passer une suite de plans séparant A la carène des volumes égaux entre eux et à celui de feau déplacée par t bateau , ces plans se confondront tour a tour avec le plan de flottaison tout les fois que le bateau prendra les positions convenables. Mais ces plans peu vent être regardés comme enveloppant une même surface courbe abc, à la quelle ils sont tangents * de sorte que , dans toutes les positions possibles cette surface demeurera tangente au pUui de ftoUAvttm NR* T&waft^iasw

es ra de

ic la regarder comme liée invariablement au bateau, et nomme forcée de couler sur le plan ÀB. Si maintenant on mène à cetle surface deux normales t Uniment voisines qui se coupent en o, ce point sera le centre de rotation tatour duquel la surrace ûûb tournera en même temps que le bateau et le

- «ire de gravité de ce dernier, pour passer à une position ïnGnimcnt voiw~?e de l'équilibre voisin* Or f on sait (2* partie , SI J . que l'équilibre sera i^ble ou non stable, selon que, pour un changement de position très-petit T

centre de gravité du système s'cicvc ou s'abaisse; ce qui arrive ici selon jm e> sur la verticale primitive d'équilibre or, le centre de gravité du bateau » C au-dessous ou au-dessus de ce point o T qu'on nomme métacentre. Donc 9 quiiihre sera stable toutes les fois que le centre de gravite du bateau est .m -dessous du mëtacentre^ et que, par conséquent, la stabilité de l'équilibre

- m-ù. assurée quand le centre de gravité du bateau est plus bas que le centre & gravité du fluide déplacé. Mais il ne s'ensuit pas que cette condition soît

* «dispensa ble ; car cet équilibre aurait encore Heu, lors même que le centre «^ gravité serait plus haut, pourvu qu'il demeurât inférieur au métacenlre. u pposons deux bateaux égaux entre eux et flottant dans un liquide dont le ■ veau est en MflJ (fîg, 449). À vide ils déplacent un certain volume d'eau t«Dt(t le poids est égal aux poids des deux bateaux. Si on ajoute dans leur ** rêne une charge de 2CCQ kilogr- , ils s'enfonceront dans l'eau jusqu'à ce [Ue le volume d*eau déplace se soit augmenté d'un nouveau volume pesant !Q«0 kilogr.

Imaginez que dans cet état on attache au système des bateaux une corde l*>nt l'extrémité est Gxée à un objet qu'un veut enlever au fond de l'eau , et i**e la corde ait été fortement tendue au moyen de cabestans; on conçoit iiae si on enlève à ces bateaux la surcharge des 2Û0O kilogr.; la pression du luide contre les bateaux de bas en haut surpassera de cetle même quantité e ur poids : ainsi ils agiront sur le fardeau qu'on veut soulever avec cet efc*rtde 20Û0 kilogr,, et l'enlèveront si la résistance de ce fardeau est infe- *«u.re à cet effort.

Au lieu d'avoir recuurs au mode des chargements, on peut, dans les ports l ^ la Manche, profiter de la marée montante; on en a même agi ainsi à

- licrbourg pour enlever les débris du batardeau dont on avait fermé le pas*

8ge de Tavant-port pendant la durée de l'excavation de son bassin* Si ou suppose une masse fluide dans un vase, en communication avec un be mince vertical , ouvert à sa partie supérieure a (fîg. 450), il est évident t v»e , dans l'état d'équilibre entre les pressions hydrostatiques qui ont lieu, ^^nt dans le vase que dans Je tuyau, Je liquide occupe dans l'un et l'autre le

* fcème niveau MIN. Si on ajoute une surcharge à la surface de l'eau dans le

* <Qse, Teau s'y abaissera, et elle s'élèvera dans le tuyau jusqu'à ce que la hau- L *>ut de la colonne en h au-dessus du niveau ÀB dans te vase fasse équilibre ** la s u r eh a rge. C e t te p rop rie Lé f b u m î t u n n u v c au n\o^ ei\ &u çtstT \ta wt^v^

peut

même établir sur Je tube une échelle indicatrice des poids \ m places sur le piston Ali, font élever la colonne d'eau à la hauteur des degrés de cette échelle* Mais les inconvénients de cette méthode consistent dans les frottements du piston ÀB ; il faudrait avoir recours à l'expérience pour en tenir compte et tracer l'échelle. C'est sur ce principe qu'est fondé le système Je la balance destinée a peser les voitures sur les routes. Fout-être vaudrait-il mieux faire reposer les voitures sur un grand cylindre flotteur qui f à mesure qu'il s'enfonce , déplace un plus grand volume d'eau, et fait élever le niveau supérieur de l'eau dans le vase même qui le contient. On aurait également un tuhe indicateur en communication avec le vase, et où l'eau s'élèverait à la même bailleur que dans le vase. De cette manière on éviterait l'inconvénient des frottements dont nous avons parlé à regard delà pre micro balance.