MOUVEMENT DES FIXUÏES CONTENUS DANS DES VASES, CANAUX, RIV1KRES

101* Phénomène de Ncouhtmnt de Veau hors d'un vase. — L'objet de ce j chapitre est de rechercher les lois du mouvement des fluides; nous non* ' occuperons d'abord de celles qui sont relatives au mouvement de l'eau et de* liquides en général. ABDG (fig, 404) est un vase ou réservoir où l'eau oc- , cupe un niveau supérieur AB, et dont le fond est horizontal. Si on fait on petite ouverture en ah sur une des parois verticales, la pression intérieu poussera le fluide au dehors du vase; cette pression étant d'autant plus for que l'orifice ab est pratiqué plus bas, il s'écoulera d'autant plus vite et 1 quantité d'autant plus grande que celte ouverture se rapprochera du foi Lo quantité d'eau écoulée dans l'unité de temps, dans une seconde, qu'on nomme la dépense. L'eau en sortant forme une gerbe continue qu appelle veine fluide , filet ou jet ; ce jet affecte la forme de la courbe que ùrJrait un corps lancé perpendiculairement à la paroi, et avec la vitesse

î que tesse

Lia eaa fi

ile du

es*«

possède le liquide à l'orifice. C'est une parabole dont le sommet est ab. Dans tous les pointa de cette parabole la pesanteur tend continuellement a augmenter la vitesse des molécules ; mais en ab eïle dépend seulement de ce qui s© passe dans l'intérieur du réservoir.

Si l'orifice est pratiqué en ah* au fond du vase ABDC, le jet est vertical • Si l'orifice est pratiqué en a"b' f (Gg, 465) contre une paroi horizontale pressée e bas en haut par le liquide* le jet s'élève verticalement, et l'expérience déontre qu'il s'élève à la hauteur du niveau supérieur de Peau dans le rêrvoir; ce qui suppose (l ro partie, 64 ) que les molécules en a"o" ont une Vitesse due à la hauteur de la charge d'eau correspondante , ou à la hauteur h niveau supérieur au-dessus du centre de f orifice* Hais on peut démontrer la chose spécialement par le principe du travail*

102, Friteuse de feau sortant librement par un petit orifice mince, — Avant qu'on ne débouche l'orifice ah (fi£. 40(J ) f ta pression intérieure exercée sur lui est due à la charge k du niveau supérieur AB au-dessus du centre de cet orifice. À la rigueur elle devrait être augmentée du la pression atmosphérique qui agit sur ce niveau, mais, comme celle-ci a également lieu au dehors de lu paroi sur laquelle l'ouverture ah est pratiquée ■ la pression n'est en réalité due qu'à ta charge h du liquide. Donc, au moment où l'ouverture est débouchée , le fluide , en vertu de cette pression , est poussé au dehors et se dirige de toutes parts en décrivant des courbes qui convergent vers cet orifice : ce mouvement se propage ainsi de proche en proche, Quanta la vitesse réelle de sortie , elle augmente sans cesse et rapidement jusqu'à ce que le mouvement se soit étendu dans tout le vase et sott devenu uniforme en chaque point. C'est à cet instant que nous considérons le mouvement du fluide, en supposant d'ailleurs, comme c'est le cas ordinaire des applications, qu'il arrive par la surface supérieure du réservoir , dans le vase , précisc m eut autant d'eau qu'il en sort à chaque instant. Cela posé, le mouvement étant ainsi devenu permanent , il sera facile de voir que chaque molécule dont le poids est j*, en descendant de k aura reçu , quelle quo soit la courbe qu'elle décrive, de la gravité un travail p ,h (2° partie, 1%), Sien appelle v la vitesse do cette molécule à son entrée sur la surface supérieure

h réservoir et V sa vitesse à la sortie de l'orifice , — ( V 1 — c 2 ) représentera

Taicroissement de force vive qu'aura reçu la molécule qu'on considère pen- "lant qu'elle a parcouru la hauteur h. La même chose pouvant se dire de toutes les autres molécules qui doivent arriver en même temps dans l'orifice Kquî s'écoulent dans un temps donné, pendant une seconde , par exemple T ^reconnaît sans peine que 3 si P est le poids de l'eau qui s'écoule dans une

p tfeande, — (V*~~ t? 2 } sera l'accroissement de force vive imprimée à ce poids

'l'eau, pendant qu'il aura parcouru la hauteur ft, ou qu'il aur&vcwi fe\a, parité le Ira va;/ P . A. On aura donc , en vertu du principe ix% laites nVï**,

>ISÏÈ1E PARTIE.

— (V* — t?*) = 2PÀ, ou V= — «* = 2c/i.

Si la vitesse p du fluide en entrant dans le vase est très -petite, ou si v il reste V ne 2pA ; d'au

formule due à Torricelli, disciple de Galilée, laquelle indique que la vite! du fluide, en n'échappant par l'orifice, est due à la hauteur du niveau $ii| rieur au-dessus du centre de l'orifice* Cette hauteur s'appelle charge $\ ralîicz* On voit encore que cette vitesse est celle qu'acquerrait un corps H en tombant d'une hauteur égale à cette charge* On se rappellera enfin g t ou la vitesse imprimée par la gravité au bout de la première seconde, égale à 9 TO ,809 t II existe des tables a l'aide desquelles on trouve la vïtess due à une hauteur donnée, ou une hauteur due à une vitesse donnée. Ce sultat suppose que la vitesse v est fort petite ; nous verrons plus loin ce f convient de faire (Se partie, 10S) quand cette vitesse n'est pas négligeable.

103. Même écoulement sons des pressions quelconques* — Ou a supposé qu'ici que la pression exercée sur la surface supérieure du réservoir, et se transmet de haut en bas jusqu'à la surface de l'orifice, était la près* atmosphérique, et qu'elle était détruite par celle qui agit extérieurement a orifice contre la veine. Mais si ces deux pressions devenaient différentes vitesse de sortie serait évidemment altérée eu conséquence. Que, par exem i*orifice plonge dans un autre bassin extérieur rempli d'eau et dont le nîv au-dessus du centre de cet orifice soit h* (fig. -467), les molécules, a leur tie , seront refoulées vers le réservoir supérieur avec une force due à A', la charge génératrice de la vitesse ne sera plus que A — A'. On peut, enefi admettre que les molécules ne descendent plus que la différence de haute comprise entre les deux niveaux. Si celte différence était nulle, il n'y but plus d'écoulement; et n en général., on peut démontrer que la vitesse d'é ment est toujours relative a la différence des pressions extérieures et inl Heures de l'orifice.

Soit, en effet, un liquide quelconque ABDC(fig. 468) enfermé dans un ï et pressé à sa partie supérieure d'une manière quelconque, ou par un pisti ÀB avec un effort égal a p sur l'uni lé de surface ; cherchons dans cette ci constance avec quelle vitesse le liquide s'échappera par l'orifice ah* La pre sion sur cet orifice, rapportée h l'unité de surface et qui favorise le mouvemen serajp, augmenté de la pression atmosphérique supérieure et de celle qui due à la charge A du liquide au-dessus de cet orifice, Si le fluide s'écoule dehors à l'air libre, la pression qui s'oppose à son mouvement et qui est ci traire à la pré cède nie, sera égale à la pression atmosphérique* Donc, la prw sion résultante ou génératrice, ou la différence des deux genres de pressions précédents, équivaut à p augmenté du poids de la charge A, et si je noini

Je poids de l'unité Je volume du liquide, p^f^'* sei " a ^ a pression génératrice par unité de surface. Pour évaluer cette pression totale en charge du même liquida il faut observer que la pression unitaire p du piston peut être remplacée par une colonne rie liquide agissant au-dessusde cepiston,elquiaurait Tuniié de surface pour base* Sait A' la hauteur d'une telle colonne, elle devra être telle qu'on ait *A' = p ; d T où

ce qui est facile à calculer. Ainsi, l'écoulement actuel revient au cas où la

charge au-dessus de l'orifice est h -]- A', en sorte que la vitesse de sortie sera

l/%g[h^h>), ou

pourvu que la vitesse en ÀB soit très-petite.

Nous pouvons vérifier la chose directement. Supposons que le piston 5 se mouvant parallèlement à lui-même, ou avec une vitesse constante pour tous les points de sa surface 7 descende en Bit' en un très-petit temps, et qu'il s'écoule Je volume abb'a pendant le même temps. 11 est évident que si le liquide l incompressible, les deux volumes ABDC et AfVDCabb'a seront c^aux, et n'en retranchant de chacun leur partie commune A r B'DC, on auraABB'À'= AVa\ De ce que le mouvement du piston s'opère parallèlement , le volume B'A' sera exprime, en nommant À la surface du piston, par le produit de et du chemin AA f parcouru par ses divers points. De même , si ou admet levers l'orifice ah, le mouvement s'opère parallèlement a lui-même, le vo- Bie abb'a' sera un prisme et aura pour valeur le produit de a et du chemin ««',« représentant Taire de la section ao. Ainsi, tant que le mouvement du liquide s'effectuera par tranches parallèles dans la section AB et dans la section aft, et quel que soit d'ailleurs le mouvement opéré dans les sections întermédiaires, on aura

i x aX? — i X <R

D'ailleurs, les chemins À A' et au r 7 parcourus simultanément dans un temps bèa-petil par le piston et parle fluide sur la section ab } seront proportionnels vitesses e et V qui ont lieu à la section AB et à la section ah : d f où Ton

A . v =^a . V, Mûiatenant un doit faire attention que l'accroissement de la force vive de louieîa masse du liquide, comprise entre les sections AB et ah pendant un temps très- petit , doitéquivaloir au double du travail produit par le piston et <le celui de la pesanteur de toute la masse pendant le même petit temps. Valions chercher ces trots valeurs successivement, t accroissement de la force vive de tout le fluide compris entre Ves ratiûorc& et a&est facile h obtenir. En effet, quand le piston ètaW eu k^,\^^vee £"" faxtie. %§

ri k

TaOtSIÊMfe PARTIE.

vive était celle que possède ABB'A' plus celle de A'B'DC. Le mouvement tant permanent, la force vive de cette dernière partie demeure la même que le piston passe en A'B', et dans cette position la force vive totale est ê à la force vive de À'B'DC plus celle de abb'a\ Donc, l'accroissement de fo vive acquis par toute la masse fluide pendant le petit temps qu'on conside est égal à la différence des forces vives de ahb'a' et de ABB'A'. Ces deux mas

étant égales, si nous nommons q leurs poids, leurs forces vives seront— et 1 . Ainsi , l'accroissement cherche sera

XAA'

Le travail du piston pendant le même petit temps est égal àÀXpX Quant au travail de la pesanteur de la masse fluide totale, si G est son cen de gravité^ quand elle occupe la position ABDC, et G' son centre de gra\ quand elle occupe la position A'B'DCa&fi'a', le travail produit pendant V tervalle de ces deux positions équivaut au produit du poids total par GG\ t a la différence du moment de A'B'DCgtogV pris par rapport à AB et du m ment de ABDC pris aussi par rapport à ce plan supérieur» Or, ïe premier m ment est égal au moment de la partie commune A'B'DC, plus le prnduilde tranche ahh'a el de sa distance au plan AB. De même, le moment de AB se compose du moment de la partie commune À'B'DG s augmenté du prs de la tranche ABB'A', multiplié par sa distance au plan ÀB. Donc, enfin travail cherché de la pesanteur est égal au produit du poids q de la tran ABB'A', ou ahh'a i multiplié par fa dislance h qui sépare ces deux l ranch Ce travail sera donc q A, On aura ainsi , en appliquant le principe des for vives ,

2 (V* — ç") = 2Â , p X ÂT-f- %q . h ,

'-**=% (j. a xaa' + h y

Or, on a, en représentant par * la densité du liquide «oui !e piston , ou poids de l'unité de volume; on a, dis-je,

q = *X a xaa\

PXAXÂV f q 7'

Faisant cette substitution dans l'égalité précédente, on trouvera

et, par suite,

Vi*»=2j{^ + *)i

et si v . vitesse du piston t est assez petite pour être négligée , on ret< sur l'égalité précédente

Si, outre la pression atmosphérique, l'extérieur de la section ah avait été pressé eu sens contraire du mouvement par une pression p pour l'unité de

surface, il faudrait diminuer A de— ou pdep. On peut s'en rendre compte

par un raisonnement simple, en observant que la pression extérieure qui agit sur la section ah, contrai renient au mouvement, est />' X ,° 5 °i ue son travail pendant le petit temps dans lequel ab s'est rendu en a'I? est égal à P X Q X 44'* Mais comme le poids de abh'a' est égal à g, ainsi que celui de

ABB'A', et que ce poids est aussi égal à * X « X **' % on trouve • . . .

a X ad = - . Donc, le travail de cette pression contraire est — X P'* H

p' 1 faudra, dans l'égalité ci-dessus , le diviser par gr, ce qui donnera — à relran-

P cher de ; de sorte que , dans ce dernier cas , la vitesse de sortie devient

t -\Ai^M

On doit maintenant bien concevoir comment on agirait dans tous les cas semblables, et nos raisonnements resteraient d'ailleurs les mêmes si le piston se mouvait horizontalement, h sera alors la charge verticale du fluide depuis •e point supérieur jusqu'au centre de l'orifice d'écoulement. Si la vitesse v du piston était appréciable , il faudrait s'y prendre autrement pour avoir la vi- [ tesse de sortie V.

Nous avons vu ci-dessus qu'on avait Av = oV; donc

t>=«^, et t,*= Tï V;

doù

Soit posé I — 42 = K >

-p — «■ » on aura

C'est la valeur précédente de V, mais divisée par |/ K 5 celte nouvelle

valeur sera donc plus grande. Lorsque a =-«jr A , 1 — Ti~ ou ^ ne diffère

<k l'unité que de -7757; 9 et on prendra V comme ci-dessus. Nous terminerons

c * paragraphe en observant que l'effort du pîslon çexxl fcVrç t*\k^&kâ \fcrc

une pression quelconque agissant sur la surface Ali du niveau supérieur, que pendant que ce dernier descend en Â'B', le vide ÀBB'A' esl une masse d'eau afïluentc égale à celle qui s'ccoule, de telle sorte que la charge au fluide A esl toujours constanie.

104, Écoulement des gaz ou vapeur ^ dans le cas ou ta pression intérieurene surpasse que de peu la pression extérieure. — Ce qui précède suppose I e que le volume du fluide écoulé par l'orifice égale celui qui passe par la tranche supérieure; % que la densité reste la même dans tous les points du réservoir. Cela est très-sensiblement vrai pour les liquides peu compressibles, tels que l'eau, mais non plus pour les gaz. La pression étant plus forte dans le réservoir près du piston que près de l'orifice où elle se réduit à celle de l'atmosphère, le fluide est aussi plus dense ^ c'est-à-dire qu'à poids égal il occupe un plus petit volume auprès du piston qu'auprès de l'orifice. Néanmoins, quand la pression intérieure ou la pression totale supérieure que le fluide éprouve à la fois de la part de l'atmouphère et du piston ne surpasse pas U

pression extérieure de-r^-ou de fe ,10 par centimètre carré , ce qui est le \

de beaucoup d'applications pratiques, on peut négliger la différence de densités , ou îa différence qui existe entre les volumes ÀBB'A' et ahh'u\ admettre que le fluide s'écoute sous la densité qu'il a dans l'intérieur du servoïr; on aura donc encore pour la vitesse de sortie en désignant parjî 1 pression intérieure par unité de surface, par// la pression extérieure qu s" oppose au mouvement, par * la densité du fluide dans le réservoir, et pari la hauteur de sa charge ,

T -\Af^+'>

On suppose, d'ailleurs, que la vitesse t? de la tranche supérieure ou du piste est Fort petite; la dépense est égale encore à aV ; son volume est suppo donné sous la pression p intérieure du réservoir • et si on nomme ht la hau teur en centimètres d'une colonne de mercure représentant la pression in térieure du réservoir, «le nombre de degrés centigrades de sa températur Ja densité *, ou le poids du mètre cube du fluide dont aV esl le volume, ser

donnée (Cours de la 1" année, § 21 1) (I) par la relation *r = n '

1 -f-U,UUa75 * Lorsque le fluide est de la vapeur, on suppose qu'il n'y a point de coudons lion. Enfin, le poids du volume du fluide écoulé par seconde sera uV . c» ! le poids du fluide est tres-pelii , ou si /* est négligeable par rapport

(i) Le Coursée ia t™ mtnêe , au quel Taulenr renvoie tel lecteur* cînni ce chapitr (huis les chapitre* iubséquenU, d été publié iout \t titre de Mécanique IndustrieiU - , su ut i*s êijpfamteê méthodes pour déterminer et mesurer tes forées motrices ,- Bruielle* , 1 8 tin volume m-# - ,

DES MACHINES ET DES MOTEURS- 1«l

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, on prendra

V=t / Jj j? — £.) ; c'est la règle proposée par Daniel Bernouilli, elle est fautive lorsque p surpasse p' de plus de y*- de p\

mais

105. Écoulement des gaz quand la pression intérieure est sensiblement plus grtnde que la pression extérieure. — Pour trouver la formule vraie dans le «M où la pression intérieure dans le réservoir surpasse sensiblement celle qui s'oppose à la sortie du fluide , on négligera à fortiori la charge h toujours très-petite, ou l'action de la gravité , ainsi que la vitesse v de latran- ^ che supérieure, en sorte que la force vive acquise pendant le très-petit

£ôM temps de l'écoulement du volume ABB'A/ (Gg. 469) se réduira à-^— V 2 ; q re-

1 présente encore le poids de ABB'A', ou est égal à *. ABB'A'. Quant au volume M sorti abb'a\ il ne peut plus être égal au volume ABB'A'; mais il doit être avec ce dernier, d'après la loi de Mariotte, dans le rapport inverse des pressions extérieure et intérieure p f et p. On aura donc

volume ABB'A' : volume abVa' \ \ p' \ p;

d'où volume abb'a = ABB'A' X ''•

Ainsi , pendant le petit temps où la force vive -2 V* s'acquiert, il faut, outre

les quantités de travail produites par chaque pression intérieure et extérieure p et p f , considérer le travail favorable au mouvement du fluide et restitué par la dilatation du volume ABB'A' qui devient abb'a'. La quantité de travail de la pression p sur la tranche AB est

p X A X AA'= p X volume ABB'A'.

Quant à celle de// sur l'orifice ab — a, laquelle s'oppose au mouvement , elle sera

La différence de ces quantités de travail étant évidemment nulle à cause de p X ABB' A' =/>' X àbb'a' ,

la force vive -f- - V 2 est donc uniquement due au travail communiqué par la

y dilatation du volume ABB'A' du gaz qui passe de la pression je? à la pression />'. Ce travail est évidemment proportionnel au volume primitif du gaz ; car il sera double, triple, etc., selon que le volume primitif sera lui-même double ou triple. Si donc je nomme T le travail dû à la dilatation du même gaz en tant que son volume primitif soit un mètre cube , le travaille dû à la dilatation du volume primitif ABB'A' qui s'écoulera pendant le \>etit tetn^*

qu'on conBifJcro, sera représente par AB8'A' %

ADB'V

AIWA'

et,

i, Mais puisqu'on a g ■

quantité do ta

produite par la dilatation du gaz. D'où noua conclurons, en vertu du principe de* forces vives #

R#tli enfin a trouver T. Pour plus de simplicité, nous supposerons

UrH If volutue primitif est l'unité , est renfermé dans un tuyau dont 1 s.vi ion aurait pour aire I unité vie surface , de manière qu'à Tétai primitif on sou» la pression p, sa hauteur serait aussi égale à l'unité de longueur. Lors-

Ki prosM.m Ml réduite à p>\ le volume est dilaté; et comme les volumes I ou les hauteurs t parce que ces volumes sont censés avoir toujours la mèn base, «ont en raison inverse des pressions , la hauteur du volume dilaté <

dbvtQOi r* Itonc le chemin total parcouru en vertu de la dilatation est I P

différence des deiu hauteurs extrêmes, c'estA-dirc f-, — l ou J- £-»

vgeura maintenant cet intervalle en deux parties égales-, il est c? dent qu'au milieu de l'intervalle dont il s agît , la longueur du fluide

M __ p* p JL. p*

1 + - ^ , f ou , - ; el qu en nommant y la pression correspond

*u Aura b proportion

• Su* • • 5 * F •

m wuattoaiit on »bs«ne que 1«$ trots pressions wnséailires sodI p ,

H s»\ et que te chemin constant parcouru dans Tîntervatk qui sépare MsstaftU ou elles ont lieu successivement esl -

■ , on voit qa* Te

ItM ** travail Mal T est facile tu Moyen du théorème de et qu'd est cjp 1 a

lirons vc% , pour la vitesse de sortie*

J <ftu a fien

du gaz au moment où il sort est celle qui correspond à la pression extérieure p\ Cette dernière densité sera visiblement k . . Par conséquent, le poids de

gaz écoulé dans une seconde aura pour expression a . V* . — , sauf les corrections dues à la contraction dont il sera parlé plus loin.

106. Application* numériques à V écoulement par un orifice très-petit pratiqué dans Une paroi mince. — Nous allons offrir trois exemples numériques sur la recherche de la vitesse de sortie par un orifice très-petit pratiqué à paroi mince, soit que le fluide soit un liquide ou qu'il soit un gaz.

1° Supposons que de l'eau à sa surface supérieure soit pressée par un piston ou de toute autre manière indépendamment de la pression atmosphérique, avec une pression de k ,30 par centimètre carré de surface ; que la hauteur du niveau supérieur de l'eau au-dessus du centre de l'orifice soit de 4 m ; il s'agit de trouver la vitesse V à l'orifice; et on aura recours à la formule du n? 103,

Si la pression du piston est de k ,20 par centimètre carré, la pression totale au-dessus du niveau de l'eau p sera égale à la pression atmosphérique augmentée de k ,20. Mais la pression de p' qui s'oppose à la sortie du liquide est aussi une pression atmosphérique. Ainsi, la prsesion résultante sera de 0^,20 par centimètre carré ou de 2000 k pour un mètre carré de surface, ou 10 000 centimètres carrés. On fera doncp — p' = 2000k. Quant à la densité r, elle

est de 1000 k , poids du mètre cube d'eau. D'oui- IL = = 2 m . Nous

avons dit que la hauteur h du niveau au-dessus du centre de l'orifice était de 4 m ; d'où h = 4 m , et g = 9 m ,809. Faisant ces substitutions, on trouve

On voit que la vitesse de sortie est due à 6 mètres de hauteur. Pour avoir cette vitesse que les tables donneraient immédiatement, on remplacera, sous le radical, g par 9 m ,809 ; puis, extrayant la racine carrée du produit, on aura

V = |/2X 8,809 X 6 = 10 m ,84 ; telle sera la vitesse de sortie.

2° Supposons que l'air soit chassé par un piston qui le presse avec une

1 d' force mesurée par la pression de y- atmosphère. ïci nous ne parlons plus

de la hauteur de la charge du gaz , parce qu'on doit en faire abstraction comme nous. l'avons dit. La formule se réduit alors à

%,p=JL

Four trouver 1a densité * , nous imaginerons que la température soit de t degrés centigrades. Si la pression du piston est de =-r d'atmosphère ,

pression totale p de l'air dans l'intérieur du réservoir, qui se compose de

précédente et de la pression atmosphérique supérieure, sera égale à — d'[

mosphère. La hauteur en centimètres d'une colonne de mercure quirepi

sente la pression atmosphérique, est de 76; donc la colonne qui représeï

celle de >— d'atmosphère = 76 + ■ — = 83 centimètres* Faisant, dans

relation * =. ■ ' ' |> = 83 , et n= 10- on aura , pour !