I -f- U,UU3/5 „ n
poids du mètre cube de l'air dans L'intérieur du réservoir, T 0171 X8S 1,41*1
= 1^87 environ.
D'ailleurs , p étant — d'atmosphère , et la pression p r contraire au mouvement étant celle d'une atmosphère, p — p' sera de - — d'atmosphère.
pression atmosphérique se mesure par î k : 038 pour un centimètre carré i surface ou par 10SâO k pour un mètre carré. Le onzième de cette quanti
ou — — = 939%10. Nous ferons donc, dans la formule, p — p'=939\]
et v = 1^37. On aura, par conséquent,
V = »/so. 9 -^ïi= |/VT68H^4S = 1 17 m environ.
$ û Si la pression intérieure excède la pression extérieure de plus de jr,
que ce soit de — d'atmosphère, on verra que la densité *- est de \ k JA
en supposant toujours la température de 1 0°* On aura alors recours à la fol mule
dans laquelle on fera * ^ 1,S0 f p =— X 10 330 = 13 396 k , p'= 10 :
et g = 9,81 ; ce qui donne
Il estbon de remarquer que l'excès de pression intérieure p sur la prcssio extérieure p s'obtient tout d'un coup par un manomètre à siphon efg {($$< 470) f contenant de l'eau ou du mercure , et ouvert à ses extrémités e et <
U différence de hauteur du liquide dans tes deux branches de /; suri est ta colonne de pression résultante, de laquelle on déduit facilement p — p* } et^ par suite, p et p\ en observant que la pression d'une colonne d'eiin , sur le mètre carré de surface , ayant un mètre de hauteur , est de 1000 kilofjr., et que celle d'une pareille colonne de mercure est de 13 598 kilogr.
107* Dépense hypothétique par une par&i mince, et dêpeme effective. — La détermination de la vitesse de sortie par I 1 orifice d'un réservoir conduit à ta solution d'une question intéressante; c'est celle qui a pour objet de trouver le volume ou le poids du fluide écoulé dans un temps donné, dans \'\ par exemple ; c'est ce qu'on nomme la dépense» Ce calcul serait facile si on connaissait la longueur À à' ( (ïg. 471) parcourue par la tranche supérieure AB pendant le temps qu'on considère, c'est-à-dire le volume ABB' A'. Maison ne peut pas toujours mesurer cette longueur. Or , nous pouvons trouver ce volume par la vitesse du liquide V à sa sortie a l'orifice ab; car , cette vitesse étant supposée constante ou uniforme, les molécules de fluide qui eofit en ab iu commencement du temps pendant lequel on veut évaluer la dépense . erunt en ab' au bout d'une seconde r et a une distance bb f = V , si on fait . comme on le doit, abstraction de la gravité. Donc, le volume de fluide nbb f a\ écoule pendant l'unité de temps , est celui d'un prisme qui a pour mesure te produit de Y multiplié par la surface de la section ab de l'orifice , et si je nomme a l'aire de cet orifice, nous aurons D =a X Y. Celte dépense ainsi estimée, qu'on nomme dépense hypothétique , est elle d'accord avec celle qu'on obtient par l'expérience et qu'on nomme dépense effective ? on peut prévoir déjà que ces deux dépenses doivent différer entre elles en examinant les hypothèses sur lesquelles reposent nos calculs. Dans ces cal col s , on suppose ;
1" Que Tonfice ab est très-petit par rapport aux sections AB d'arrivée du fluide dans le vase, sans quoi les vitesses ne seraient pas les mêmes aux divers points de la veine à la sortie de aè, surtout lorsque cet orifice est pratique dans une paroi verticale , et la vitesse d'arrivée t? ne serait pas négtig*able;
% 9 Qu'il n'y a dans le vase et au dehors ni obstacles -, ni rétrécissement qui gênent l'écoulement, de façon que le mouvement est continu partout ;
3° Qu'il n'y a aucun frottement de l'eau contre les parois du vase ; à la vérité, il est toujours très-faible, comme on le verra plus bas, quand la vitesse dans le vase n'est pas très-grande ;
4° Enfin, que le fluide arrive à la surface du vase par filets parallèles amenés d'une même vitesse v, et que les filets sont également animés d'une même vitesse parallèle V a l'orifice.
On remarquera que la dépense effective s'obtient par expérience en recueillant dans un vase l'eau qui s'écoule dans une ou trois minutes . et en divisant cette quantité par le nombre de secondes ccmlexiwe& 4îw» V* \to8Mfl*
TROISIÈME PARTIE, de l'observation. Mais il est impossible de mesurer directement la vitesse sortie, parce qu'on ne distingue pas les molécules et qu'elles marchent trop vile. Toutefois, si le vase est uni, s'il n'a pas de rétrécissements ou d'étranglements, s il est très-grand par rapport à Taire de l'orifice pratiqué soît aa fnnd soit aux parois verticales , si lu paroi de l'orifice a peu d'épaisseur, si le fluide tombe librement dans l'air, alors le fluide ne sera gène nulle part, et la plupart des conditions précédentes seront remplies, Si donc on prend ■> dans ces circonstances, pour A, ou pour charge du fluide, la hauteur dt* niveau supérieur au-dessus du centre de l'orifice, on devra trouver, pou ^ vitesse moyenne V de sortie, la même que celle qui a été trouvée ci-dessus —
108, \ phénomène de la contraction. — V expérience prouve néanmoins qu^^^ les filets fluides ne sortent pas parallèlement de l'orifice; la section de \^^ m veine n'est pas partout la même, et elle diminue à partir de l'orifice jusque** la distance a f b f comprise entre une demi-fois et une fois sa largeur la plutf-J 3 grande ; c'est là ce qu'on nomme contraction de la veine. Cette contracta est visiblement due à ce que les filets s'infléchissent ou changent de direction^" pour arriver de toutes parts de l'intérieur du réservoir à l'orifice; ce qi montre qu'elle ne sera pas la mémo dans toutes les circonstances. Elle ser£3i moindre si l'intérieur du vase est disposé tellement que la déviation des filet— ^ soit Faible par rapport à Taxe L31 (Gg É 472) , perpendiculaire à 1 orîfkeE — Ainsi , elle devra diminuer si l'orifice ab se rapproche soit de AD soit de BC -, ou si les deux faces AD et BC se rapprochent entre elles.
Dans le cas où l'orifice est vertical (fig. AÏS), la contraction est moi» « sensible à mesure que le niveau supérieur A8 s'approchera de l'orifice, o «J que ce dernier ab se rapprochera du fond CD. Elle sera égalementplus faible * si la paroi de lorificej au lieu d T êlre plane, est convexe au dehors (fig t 474 } . puisqu'il y aura moins de molécules divisées latéralement; et elle deriendn* au contraire, plus forte, quand la paroi de l'orifice est convexe vers le dedans (fig. 475).
La contraction est rendue la plus forte possible, lorsque l'orifice est repor tvers l'intérieur du vase (fig, 476) par une sorte de tuyau EFGD > parallèle Taxe de L'orifice et dont la section diffère peu de l'orifice.
Corda, célèbre académicien, a trouvé qu'alors la contraction réduisait fc a section des filets à moitié de celle de l'orifice ; et corn nie cette section des filer *$ ne peut surpasser l'aire de l'orifice, la valeur du rapport entre ces deux se
tïiins est évidemment comprise entre ï et — . Prenant grossièrement * a
moyenne, ou 0,7a" , cette valeur donnerait, à un huitième près, le rapport la section contractée à celle de l'orifice.
109. Multiplicateurs delà dêpeme à paroi mince, — L'expérience prnn^ e encore que pour les orifices circulaires, la veine fluide conservera sensible menl la même section à partir de la section contractée \ que , si on prolonge lorifice par un bout de tuyau (fig. hll) &y&T\V\&£vmûfcdfc iou(e ta partit q 11 '
se contracte ou se rétrécit, et qu'on pousse l'orifice à la dernière section du tuyau, la dépense donnée par le calcul pour ce nouveau vase, égale à trèspeu de chose près celle qu'on obtient directement par le jaugeage et qu'on nomme effective. D'où il résulte qu'il suffirait généralement de remplacer l'orifice véritable par l'orifice contracté, ou de multiplier Taire a du premier parle nombre qui indique la contraction de cette aire et qu'on appelle le coefficient de la contraction. D'ailleurs, l'observation des jets d'eau indique que ceux-ci s'élèvent aussi haut et décrivent la même courbe qu'un corps qui s'échapperait de l'orifice avec la vitesse V, due à la pression du réservoir ; on a donc pu admettre que la vitesse dans la section contractée était effectivement celle que donne le calcul, Mais cette conséquence varie dans quelques cas, et ne se soutient pas toujours, parce qu'elle suppose qu'il n'y ait point de force vive ou de travail perdu dans le mouvement du fluide, ou que la vitesse V ne serait jamais susceptible de s'altérer. C'est pourquoi il ne conviendrait pas toujours de multiplier la dépense théorique aV par le rapport ci-dessus, de Taire contractée à l'aire de l'orifice 9 et nous appellerons le véritable rapport de la dépense effective à la dépense du calcul aV, multiplicateur de celte dépeose. Nous le désignerons parla lettre grecque *, de sorte que la véritable dépense sera, en définitive, »aY. Reste à voir quelle est la valeur de <* suivant les cas,
A cet égard il a été reconnu, par expérience, que le multiplicateur * reste le même à circonstances semblables, d'ailleurs, soit que l'orifice soit carré, rectangulaire, ou circulaire, ce qui comprend tous les cas de la pratique, pourvu qu'en comparant des orifices rectangulaires à des orifices circulaires* OÏ * compare leur plus petite ouverture à celle du diamètre de ceux-ci, * dépend donc principalement de celte plus petite ouverture des orifices rectangulaires, et des diamètre» des orifices circulaires, à circonstances égales * ^aia, si ces circonstances changent si notamment la charge du fluide est plus 'or-te ou plus faible, * varie, et il varie aussi selon que l'orifice est plus près 011 plus loin des côtés du réservoir ou du fond ($° partie,, 108).
Cela posé, voici les valeurs de g, on du multiplicateur de la dépense hypotné Uque aV, suivant les cas.
TGB
TABLEAU des valeurs de * pour les orifice» en mince paroi et tVe, complètement des faces du réservoir*
UliïlGE ,
du
Dui4c sur Le centre de la
section.
VALEUR
DE «■ HÉPOKDAST AUX DMtt&TUFJ) OC PLUS PETITES OLVEHTl RES DES OK1FICES CIRCULAIRES.
0™,âU O^iO ra ,05 0">,03 0^,02 0»>,0I
OBSERVATIONS
O f OÎ
0,04 0,06 0,08 0,10 OG B0 0,i>0 ■1,00 1,50 8,00 10,00
Pour lo9 %az . la eh.it oratrice est toujours heure à Bu», et ou pr» 1 ; multiplicateur uy>, un *\.< dans tous le» cas.
Pour des orifices au-det&ui de m ,2l* d'uuvoriuiv prendra lu valeur de* pour Ù m ,2H, Pour les oriflna au-dessous de U^t, on coin me pour ceux ne Enfin pour le* orifices mérfiaircs entre ceux de hle.on prendra dei rnuyeam rdatfre* aux ouverture* charge* voisines Imtnédiai ment ju-deasui et iiu-dcssau:
Ce tableau est déduit des résultats des expériences de SI. le en pi ta) De du génte Lusbroa, et il s'accorde avec le résultat des expériences faites ante rieurement par Bossut, MicheloUi et d'autres physiciens habiles; il n'y ai douteux que les résultais qui concernent les très-petits orifices et tes très fortes charges; mais l'incertitude n'est que de 0,001 sur les dernières décimoles, et ce cas n'est pas celui de la pratique.
Il arrive souvent que l'orifice est prés d'une face du réservoir; la contra* Itou devient alors nulle sur ce cèle, et le multiplicateur est rendu un poo plus grand que ne l'ïn di que le tableau. S'il est près de deux faces du réser voir, la contraction est nulle sur deux côtes de l'orifice, et le coeflieiea augmente encore, Voici comme on tiendra compte de ces circonstances : Si la tiontraction est nulle sur un côté seulement, on prendra, au lieu ào*
d-jtmc par la table, . • . * \$* ë
Si elle est nulle sur deux côtés 1#W
Si elle est nullesur trois côtés l v ui
Il n'arrive point dans la pratique que la contraction soit nulle, surtout I
pourtour de l'orifice; ces derniers résultats sont déduits de ceux; de MJ
doue; mais ils ont besoin d'être vérifiés en grand.
Enfin, nous terminerons ce paragraphe \^r uuu dernière obseevauV
c'est que tout ce qui précède est seulement applicable toutes les fois que le fluide sort librement du réservoir sans toucher le pourtour des parois ou des bords de cet orifice; car il n'y a pas plus d'obstacles que si la paroi était mince.
1 10. Ce qui précède est seulement applicable au cas où l'orifice est fermé de toutes parts (fig. 478), et il arrive dans la pratique que quelques orifices rectangulaires n'ont pas de bords supérieurs. L'orifice se nomme alors épancitoiV, déversoir, réservoir; il est placé vers le niveau supérieur AB (fig. 479) de l'eau du réservoir. On peut encore ici calculer la dépense, comme dans ce qui précède, pourvu qu'on change le multiplicateur de la formule, selon ce qu'apprend l'expérience pour les cas divers. Soit l la largeur horizontale fie cet orifice, et supposons ce dernier rempli jusqu'en B, prolongement du niveau dans le réservoir; nous aurons toujours A comme représentant la hauteur de AB sur le centre ou milieu l de BC; mais H représentera la hauteur totale de fi ou A au-dessus du seuil C , de sorte que h = "f-H» La vitesse moyenne étant V, on aura
. et, par suite, V = 0,707 . V/"2^fi7
La dépense théorique ou hypothétique sera
/XHXV = 0,71./.H.\^h7 Quant à [/~2Ïrf[ on en trouvera à l'ordinaire les valeurs dans les tables.
; Mais la dépense ainsi obtenue est trop forte, et il conviendra de la multiplier par un coefficient qui est environ 0,57 pour les cas ordinaires delà pratique, c'eit-à-dire que la véritable dépense est donnée par la formule 0,405 . / . H . |/ 2 ^h7
H étant la charge totale au-dessus du seuil.
Les expériences connues de Dubuat, Bidone, Eytelwein, et celles de M. Lesbros, ont appris que la valeur du coefficient 0,405 doit être réduite à 0,19 environ pour H plus grand ou égal à m ,20, et qu'elle s'élève à 0,415 pour H très-petit ou de 1 à 2 centimètres, mais qu'elle demeure sensiblement la même , quelle que soit la contraction totale ou la position de l'orifice par rapport aux côtés verticaux du réservoir, pourvu qu'on mesure la «auteur H du niveau dans le réservoir au-dessus de la base ou du seuil C de ''orifice, en uu point A assez éloigné de B ou C pour que le fluide y ait peu de vitesse ; cette distance est environ une à deux fois la largeur de l'orifice, lorsque cette largeur est très-petite par rapport à celle du réservoir, et faux à trois fois si elle lui est égale.
Quand le fond C est au niveau du fond du réservoir, la vitesse ett^ttaxà. ootible, et \m formule ci-dessus donnerait trop peu -, peuV-èVte <\u« ^ tara *»
cas, la valeur du coefficient s élèverait a 0,45. Elle donnera, ou contraire trop, quand l'orifice sera prolongé par un bout de cernai ou coursier qui aurait peu de pente et où il occasionnerait des remous par suite de tare* sistance du canal. Ces cas se présentent trop rarement dans la pratique, pour nous en occuper.
Nos raisonnements ci-dessus supposent que l'oriGce est plein jusqu'ai niveau général dans le réservoir. Le fait est que l'eau se déprime an] en arrière de l'orifice a partir de B (fig. 480), et que sa surface suit un courbe dans le genre de la trajectoire parabolique. Ainsi , l'orifice n eslps rempli sur toute la hauteur H* L'expérience prouve que le rapport do ÏÏJ l'épaisseur moyenne CK de la tranche n l'orifice demeure compris entre 1 et 1,40 (1 étant relatif aux fortes valeurs de 11, et 1,40 aux petites valeu de 1 a 2 centimètres), de sorte que 7 moyennement f
H=l,2o,CK, ou CK = 0,80.H =^H.
Néanmoins, on prendra toujours H en amont de l'orifice dans la forma ci-dessus y parce que le coefficient 0,40-5 corrige l'erreur commise en posant l'orifice plein jusqu'en ÀB prolongé.
Si on considère CK comme véritable orifice et qu'on prenne pour cha de vitesse la hauteur de H au-dessus du centre de CK, la dépense théoriq sera
/.CK
CK
mais il faudrait multiplier par 0^8 pour H =50 à SO centimètres t pw 0,60 pour H = 10 cent., parO ? 6S pourH = o cent,, et par 0,70 pour 11 = 1 centimètre (ce qui est a peu près conforme au tableau du n° 109.Cep8H" dant la règle qui a été donnée au préalable est plus facile à retenir*
1 IL Dépende par une paroi épaisse, on par un tuyau de très-petite longueur, — Toute la tbéorie exposée jusqu'ici est seulement relative au cas où l'orifice par lequel le fluide s'échappe est mince % ou à celui où le fluide sortit brement, sans toucher les parois: de l'orifice; en un mot il faut que la paroi ait une épaisseur qui ne dépasse pas une, fois à une fois et demie la pin* petite dimension de l'ouverture. Voyons maintenant ce qui arrive qaaocl lo ri fi ce est pratiqué en parois planes très-épaisses, ou qull est prolooi par un bout de tuyau prismatique ou cylindrique (ûg. 481) d'une Ion égale à deux ou trois fois cette plus petite dimension de l'ouverture circonstances seront d'ailleurs supposées les mêmes, si ce n'est que T est censée toucher exactement les bords ou côtés du conduit dans tout pourtour intérieur ; c'est ce qu'on nomme écoulement à gueule bée. Les extérieurs suivent ici une marche p&r&Uèta» Les OTçtawnc&t^QwV. «tà que pour les orifices de 1 à 20 centimètres aovi* as Vifeft-ftrtVfc* d&aa^w,
ont donné t moyennement, pour multiplicateur de la dépense, 0^815, pour des circonstances identiques à celles où> l'orifice étant en minces parais, on obtient * = 0,619. Nous verrons plus loin (S* partie, 115) comment on peut trouver la valeur du multiplicateur pour les cas où a serait différent.
Supposons que le tuyau soit une buse ou tuyau additionnel conique ou pyramidal. Si a'b' (fig, 482) est semblable à V orifice ao, que ses côtés soient le* 0,8 ou les | de ceux de ah t et que ces deux sections soient distantes entre files d'une à deux fois la largeur a.B f on prend aV pour orifice dans le calcul de la dépense, et le multiplicateur 0,82, qui s'applique entièrement à la vitesse dans le cas des tuyaux cylindriques, s'élève ici à 0,95. Quand la forme de la buse diffère plus de la précédente, laquelle est à peu près celle
la veine contractée, le multiplicateur devient 0,90.
Le phénomène de l'écoulement à plein tuyau (fig, 483) est dû à ce que le fluide, après s'être contracté, se dilate, et rencontre les parois» Ou explique l'augmentation de la dépense en ce que les filets sortent parallèlement aux parois du tuyau, on remplissent sa section. Mais la vitesse est réellement moindre que la vitesse théorique V; elle en est les 0,812 dans le cas ci -dessus dos tuyaux ou buses cylindriques , et les 0,9 pour les buses coniques. La
;e vive acquise par l'eau a sa sortie du tuyau est simplement proportion-
le à (0,81 J) 3 V B ou à -|- V* pour les uns, et à (0,9) 3 V 2 ou à 0,81 . V 1 pour
autres, La perte de la force vive ou du travail de la gravité, ou le déchet ns la chute A, est par conséquent d'un tiers pour les tuyaux cylindriques d'un cinquième pour les tuyaux coniques, De telles dispositions sont éviment vicieuses, puisque la force vive est rendue moindre que celle lest due à la chute ou que deux fois le produit de la dépense multipliée h. Ce résultat, en apparence contraire aux principes ci-devant, est justifié en ce que la résistance le Long du tuyau additionnel , et le choc des molécules qui affluent du réservoir contre Teau en avant de la section contractée font perdre une partie du travail moteur. Nous montrerons plus loin (^partie, 115) comment on peut mesurer ces pertes, La même raison fait <p a mesure que le tuyau s'allonge , la vitesse de sortie V diminue \ car les distances de ce tuyau augmentent.
112. Dépense par un canal découvert de très-petite longueur. — Souvent il ■rrive que l'ouverture d'un orifice est prolongée du côté d'aval par des i aûattï additionnels découverts, nommés coursiers. LWifice rectangulaire par lequel l'eau se rend dans un te! canal , est fermé ou ouvert au moyen d'une ïarme dont Fépaisseur est toujuurs fort petite. Ici la contraction s'opère complètement comme pour un orifice en mince paroi , l'eau est libre a sa surface supérieure quand elle est sortie. Le calcul s'établit comme si le canal n'existait pas ou était enlevé, et que le fluide tombât librement dans l'air . 484} , pourvu cependant que In pente du canal soit a^^t fctte ^vut
laisser échapper librement le fluide à mesure qu'il s'écoule, ou que m soit très-court.
Quand des obstacles s'opposent au libre écoulement dans le (HHtftti l'eau gonfle en avant de l'orifice, ou forme ce qu'on appelle un remc (fig. 485), qui souvent s'étend jusque près de l'orifice et couvre la ?ef contractée. La contraction n'est plus alors apparente, et il s'établit m pression extérieure contre l'orifice. La vitesse et la dépense sont à la fo altérées. Conformément à ce qui a été dit plus haut, il faudra dans le ealca de V diminuer A de la charge moyenne immédiatement en avant dn l'orifice c'est-à-dire prendre
fiée
<qii
eau bo
ibted serli<>
h* est la hauteur du remous au-dessus du centre de l'orifice de la vanne laisse passer l'eau dans le coursier; h — h* est la différence du niveau bu përîeur au-dessus de la surface d'eau qui couvre la veine; puis on ctirrî| la dépense calculée en la multipliant par le coefficient pris dans La tabh n° 109.
Dans tous les cns r la veine venant choquer le fluide au delà de la si contractée , c'est-à-dire à deux ou trois fois la largeur horizontale de ft>H fice 3 la vitesse est altérée à l'endroit où elle choque le canal, et. cnmm pour les tuyaux fermés, elle est réduite à environ 0,82 do ce qu'indique 1 calcul. On (obtient directement eu chaque endroit, en prenant le profil il la surface du fluide par des ordonnées rapportées à une horizontale sua< rieure, en calculant Taire de la section d'eau , et en divisant par cette ai ■ la dépense calculée: ce dernier quotient donnera précisément la rfcê§4 moyenne de l'eau en cet endroit.
