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ÉCUtrtEtfEWT DES FLUIDES FMI DES TUYAUX DE CONDUITE ET CANAUX DËCOL VERTS.
lia. Perte de force vive d'un fluide tombant dans un vase en repos marche dans la direction du mouvement du fluide, — Jusqu'ici nous avo>/ principalement étudié le cas où le fluide s'écoule sans obstacle par un or: fice pratiqué à la paroi mince d'un vase » ou dont l'épaisseur n'est pus te" que le fluide rejoigne ou rencontre les parois de manière à être forcé à couler à plein tuyau ou a gueule bée, Nous avons aussi indiqué ce qui arrive quand le contraire a lieu et que le tuyau est fort court : la vitesse au sortir du tuyau a diminué par les chocs et par les frottements; cette derniers cause, peu influente pour une petite longueur de tuyau , amène une rnodi" hcnlion d'autant plus sensible, que le tuyau est plus long.
On a cherché a évaluer ces influences et à en tenir compte ; voici à quoi 1 ri est parvenu pour estimer les pertes de travail ou de force vive occasion* nées par le choc et par les résistances qu'éprouve le fluide -
Soit ÀBDC (%. 436) un vase rempli de liquide jusqu'en AU. Imaginez qu'un filet fluide KL, animé d'une vitesse Yen I* ou en ÀB, parvienne dans ce vase supposé au repos, Le fluide, no pouvant s'échapper du vase, tourbillonne dans son intérieur, et, en vertu du frottement et du chue des molécules, il sera lai- même, comme le vase , bientôt réduit au repos. Si M = —
es! la masse du fluide qui arrive dans un certain temps, dans l'unité de
temps, par exemple , MV 2 exprimera la force vive que le filet aura perdue pendant ce temps.
Supposons maintenant que le vase, au lien d'être immobile, fuie devant la gerbe d'eau avec une vitesse V et dans la direction de V, la gerbeaffluentc atteindra le vase avec une vitesse relative V — V% c'est-à-dire que ses molécules y entreront avec la vitesse V — V, et perdront cet excès de leur viease par les tourbillonnements et les chocs; par conséquent, la force vive (Y — V') f sera perdue dans l'unité de temps et employée tout entière à nacre les résistances * .
On suppose ici que le vase chemine dans la direction des filets ; c'est le
as pratique de presque toutes les applications. Cependant, on aurait pu le
Éduire immédiatement de ce qui a été dît, dans le Cours de la 1" année
(161 et suivants), sur le choc de deux masses m et m* animées de vitesses
"figées dans le même sens est égale à V et V; on a vu que la perte de force
f ÎTe résultant du choc était égale à , — /- (Y — V')*. Seulement ici la
f« ^- tn
fiasse choquante *n de fluide, qui tombe dans chaque petit temps sur la
Basse totale m f du fluide contenu dans le vase, est très-petite par rapport
âft-j de sorte que l'expression précédente, qui peut se mettre sous celte
a uire forme m L , se réduit, en définitive, à m (T — V)- T et, par
1 m ttïte, à M {V — Y')* pour la perte pendant l'unité de temps,
1U. Perte de force rive due au& étranglements, — On concevra actuel* huent sans peine comment il est possible d'avoir égard à des pertes analogues dans le mouvement général desfluides. Supposons que ÀBCD(fig,487) «oit un vase renfermant un liquide dont ÀB est le niveau, aa IWîfice de mite, et que co vase soit en outre traversé en A'B' par une paroi solide ou diaphragme, percé aussi d'un orifice ah r dont Taire est a r s celle de ah étant o. Le fluide, obligé do passer par a f h\ se contracte; puis il vient choquer les molécules en avant et perd de sa force vive une portion mesurée par Teicès de sa vitesse sur celle que reprennent le* moVècuYe* mv xvwl ^a*
$** 1-AllTIE. "*
loin» Si ah est assez distant de dh r pour que les tourbillonnements soifc ^f éteints en t?W% par exemple, ou pour que les QEets marchent parallèi *> ment et avec la même vitesse en A"B", comme cela a lieu en AB et aux sections contractées de ah et de a*b\ il sera facile de calculer les vitesses en ces différents endroits au moyen de Tune d'entre elles. Nous négligerons d'ailleurs encore la force vive du fluide eu AH,
Soit V la vitesse inconnue du fluide a la section contractée de l'orifice ah, V celle qui correspond à la section contractée de a*h\ et V'ia vitesse du fluide à la section A" W du vase, wila valeur du multiplicateur de la dépense en ah, m f le multiplicateur de la dépense en ah' , multiplicateurs qui sont donnés par la table du n° 109; la dépense en ah sera égale à «taV. Maïs H doit passer la même quantité de fluide par la tranebe Â"B" et par îa scciioti contractée de ah'. Le fluide qui passe en k fr W f sera mesuré par
surf. A"B"X V" = ÂV".
La dépense en a* h* vaudra m'a'W Donc, on aura
ma\ = AV" , et, par suite, V"= —7- .
De même 7
ma\= «W f ou V'=-5i V.
mm
La vitesse relative avec laquelle le fluide qui sort de a' h* vient choquer cela de A"B" est donc
A m'a \A ma]
La perte de force vive qui se fait au delà de a' est donc la masse 1 du fluide?
écoulé dans le petit instant que l'on considère multiplié par (V — V*) 1 , ou
par m 7 a s f- — - , V 2 . Si on nomme K la quantité m* a* - j- } -*
facile à calculer t la perte de force vive en question sera -•K.V, quicorre^
pond à un travail perdu représente par -i-.K.V 3 . Le travail de la gravit. ■*
çft, produit pendant la durée du petit temps j est donc diminué de cett- ^ dernière quantité de travail. Mais la force vive acquise pendant ce mèim^
petit temps est — V 1 . On aura, par conséquent,
Divisant par q et multipliant par a tous les termes de celte égalité , ^* réunissant dans un même membre tous les termes qui contiennent V 3 , a* 1
trouve
V'(1 + K)=%A, ou V
On volt que la vitesse est ici moinàtc rçn» \/ IqK, «ra^u* celle qui est doc
\ 1* charge, et qu'ainsi elle est diminuée par l'étranglement intérieur a'b\
115. Perte de force vive danêles tuyau* de petite longueur. — Appliquons
ee calcul aux tuyaux additionnels coulant à gueule bée. Ici l'étranglement
provient de h contraction intérieure dans le tuyau, s'il n'y a pas d'obstacles
dans le réservoir, comme on le suppose. Le fluide, après s'être contracté en
m (fig. 488), se dilate en a'b'. Soit Via vitesse moyenne effective en &b' y dont
faire est égale à a. Les filets sortant parallèles par l'orifice extérieur a, la
dépense est
V X *'V = aV.
Quant à la vitesse V dans la section contractée m, elle peut se trouver, en observant que si a! est l'aire de l'orifice intérieur ab , et m le coefficient de contraction relatif à cet orifice, la dépense est encore ma'V. D'où
aY = tnaV, ou V' = -^-V.
ma
(V'-V) 3 , ou Ï-W- l) .
g \ma' I
La perte de force vive est
Telle serait la manière de procéder si les orifices ab et a'h' étaient réellement inégaux ; mais, dans le cas d'un tuyau additionnel cylindrique , on a
a = a> , de sorte que la perte de force vive devient — ( 1 J V 9 . Faisant
K=»= ( — — 1 J , on arrive encore à la formule
Ordinairement, lorsque la contraction est complète en m et pour des charges on peu fortes de Ira 2 mètres, on a m = 0,62; d'où
et V=0,85.|/2^
L'expérience a donné dansle fait le multiplicateur 0,82; mais cela peut tenir à ce que nous n'avons pas tenu compte du frottement du fluide le long du tuyau, lequel diminue encore le travail qh de la gravité.
Avec la formule ci-dessus, on pourra donc calculer la vitesse dans les petits tuyaux, puis la dépense.
Si le réservoir portait un diaphragme comme ci-dessus , percé d'un orifice mince, on. agirait en outre comme plus haut. Enfin, si le diaphragme était très-épais , de manière à former un tuyau d'une longueur d'une à deux fois le diamètre , il faudrait calculer en conséquence la vitesse au sortir de ce tuyau, qui serait moindre que dans le cas ci-dessus.
116. Dépenses dm Ikfuidea ou fluides qui s écoutent longueur quelconque. — Les résistances du frottement ï la vitesse dan* le tuyau est forte et quand ta surface mouillée par le liquide l'est aussi. Sait doue nhnh' (fig, 489) un tuyau de grosseur Uniforme, joignant deu\ rases remplis de liquide jusqu'en À'B" et ÀB, II la différence totale entre ces niveaux, ou la charge génératrice, a l'aire du tuyau, ou des orifices, L la longueur développée du tuyau, C le contour ou périmètre de la section uniforme du tuyau, V Ja vitesse constante dans ce dernier. Le» expériences connues, et les calculs de Coulomb, de Mes!, Girard , Prouy, Eyleîwein et Navicr, ont appris que la perte de travail occasionnée par le frottement ou la résistance d T un tuyau est proportionnelle dans le très-petit temps pendant lequel s'écoule le poids q du liquide, à
ce travail est une certaine fraction n de ce produit; en un mot, il est présenté par
q LXCXV^
Si donc il n'y a pas d'étranglements , de coudes brusques qui occasionner des chocs, les résistances se réduiront à celle dont il s'agit et à la perte de force vive qui a lieu après la contraction en ah* On aura donc, en considé rant a'h r comme orifice de sortie,
9 • 2«LC . V 2
ou
ou
De 1% on tire aisément Y, puis la dépense a\\ quand on connaîtra n et I
valeur l-]-K, qui, calculée comme précédemment, est environ 1 ,5 Ui. Quant
à », les expériences apprennent qu'il est 0,003S^pourreau, et 0,00321 pour
l'air et les gaz* On remarquera que s'il s'agit de l'écoulement de ces derniers,
on doit remplacer (S* partie, 10S et 106) la charge génératrice H pir
- j lorsque les pressions extérieure et intérieure ne diffèrent pas entre
elles d'un dixième, ou par- si cette différence est plus grande (T est le
travail de Sa dilatation du gaz sous l'unité de volume primitif en passant d la pression p a la pression j?'.} Soit D le diamètre du tuyau * ïi aéra le contour C de la section transver»
Bute ? et — — son aire a \ en sorte que
Si maintenant, dans la valeur de Y, on fait ces diverses substitution* , on trouvera ,
pour Veau , V = 28,44 . \/ .
