DH L+34.D
DH
et , pour l'air ,
On pourra même adopter la première formule pour l'air et les gaz , parce que n est très-peu différent , pourvu toutefois qu'à l'égard de ces derniers on remplace H comme on vient de le dire.
Enfin y si l'orifice de sortie a'b' (fig. 490) est plus petit que la section a du tuyau, Y étant la vitesse intérieure de ce tuyau, aV n'en serait pas moins la dépense. Si on appelle Y' la vitesse de sortie , a' Taire de a'bt et m' son coefficient de contraction , on aura
aV=fnVV, ou V'^-^.
' ma
La force vivo acquise par le fluide serait donc
g — g wV X '
•ulieu de 3. X V 2 » D faudra donc , dans l'égalité précédente , remplacer
!• et
• nnité par ,. „ , et elle deviendrait «V 1
lorsque a' est très-petit par rapport à a , on fera m' = 0,80. Si cet orifice est peu différent de a , ou si a est terminé par une buse ou tuyau additionnel (fig, 491) , le coefficient m' variera de 0,82 à 0,96, comme il a <tfdh(l« partit, 111).
dpplicmtion* — Les eaux qui arrivent de Scy à Metz , pour alimenter les fontaines de cette ville * sont conduites par des tuyaux de 8000 mètres environ de longueur et de 0",08 de diamètre; la hauteur du niveau du réservoir supérieur au-dessus du bassin de distribution dans la ville est supposée de 20 mètres. Cherchons la quantité d'eau fournie dans vingt-quatre heures. A cet effet , dans la formule
'•"Vr
DH
,-f 54.D nous poserons H « 20 m , L = 8000 ra , D = 0,08 ; ce qui donne
v-im* • \/ °' 08 - 20 - m,« . v/-i
3000 + 54.0,08 V «tfAjKl
= 36,44 , |/0,000532 =* 26,44 X M2» = 0m ( 608. Telle est la vitesse do l'eau dans le tuyau de conduite. L'aire dû la sectlj^ de ce dernier est déterminée par
{ * } = ' ^ ; = ffi «005024 .
Le volume de la dépense par seconde sera , par conséquent, 0,608.0,005 = 0™ ™ b ,00,804. Dans vingt-quatre heures il y a 86400"; ainsi la quantité d'eau fournie en vingt-quatre heures sera environ O mcub , 00304 X 864(10 < ou 202*^,656,
PRESSION EXERCEE PAR LES PI.U1DI5 EN MOGVÊHEHT CONTRE LES FARCIS DES VISES QUI
ies <:(.iynr..NM,!\T.
117, Mesuré de ta pression pour un vase de forme quelconque, — Koi avons jusqu'ici uniquement recherché la vitesse d'écoulement et la dépci d'un fluide a la sortie des réservoirs ou des tuyaux de conduite. Il n'est moins intéressant , dans certains cas , de savoir déterminer la pression qui* les fluides exercent aux différents points d'un vase, afin de proportionner l'épaisseur des parois qui les contiennent a cette pression. Or, ce calcul est très-facile , comme on ta le voir , pour toutes les sections où il est permis d'admettre que le fluide se meut par filets parallèles et avec la même vitesse dans tous les points de la section.
Suit ABEFGHCD (fîg, 492) un vase de forme quelconque, contenant un fluide en mouvement qui s'écoule par un orifice inférieur ah , après avoir circulé dans le tuyau EflGF. Nous avens vu précédemment comment nn pouvait calculer la vitesse et la dépense qui se fait en ah par chaque seconde. Nous nommerons V cette vitesse dans la section contractée de é* donnée par les formules , a Taire de l'orifice de sortie , m le coefficient Je la dépense, relatif à la contraction à la sortie» de sorte que la dépense véritable sera m*e. V, Cela posé , soit cd une section plane queleonqueia vase, mais dans laquelle on suppose que les filets fluides se meuvent parallèlement entre eus et à la paroi de l'enveloppe ? laquelle sera à peu près cylindrique sur une certaine étendue. Appelons b Taire de cette section quelconque cd r et v la vitesse moyenne du fluide qui y passe, et commune à tous les filets- Le produit h . v sera aussi égal a la dépense »iaV, de sorts
que d = . Soit également p la pression moyenne sur l umte de
surface de h section cd, et remarquons que la pression effective sur le
ontour de cd sera un pea plus petite pour la position supérieure c , un eu plus grande pour la position inférieure d 9 si la section cd n'est pas hoiiontale, attendu que la charge totale du fluide au-dessus de d, comptée la niveau supérieur AB du réservoir , est un peu plus forte pour d que pour c ; mais nous négligerons la différence de niveau entre ces points dans la supposition qu'elle est très-petite par rapport à la charge totale qui leur correspond. Nous nommerons pareillement p' la pression pour l'unité de surface , exercée extérieurement et en sens contraire snr les tranches ab qui sortent par l'orifice. Enfin , nous désignerons par h' la hauteur du centre de gravité de la tranche infiniment mince cdc'd' au-dessus du centre de l'orifice ab , ou, plus exactement, au-dessus de sa section contractée, et, pour abréger , nous désignerons par q le poids de fluide écoulé à la fois par ab et par cd dans le petit instant où les molécules de cd arrivent en c'cf , et celles de ab en a'b\
«•étant la densité ou le poids de l'unité de volume du fluide dans Tintérieur du réservoir, - sera la masse correspondante, et on aura j = ffX volume cdc'd' = * X fi X ce' ;
d'où ô.cc r =i.
Raisonnant d'ailleurs comme au n° 10$, et considérant ce qui se patae dans l'intervalle de fluide compris entre cd et ab, on trouvera que la force vive
acquise par cette portion de fluide est — V* t? a ; que le travail développé
dins le sens du mouvement sur cd ou h par la pression bp est
b.pXcY = P X h
que celui qui est développé en sens contraire par la pression extérieure ap'
sera
et qu'enfin le travail développé par la gravité sur tout le fluide compris entre cd et ab sera q • h'. On aura ainsi, par le principe des forces vives, légalité
et divisant par 2</,
îg % r r ^
P v* •» . p' , , >onc -= «-— ÔT„+T "T * •
Remarquez maintenant nue — est la haulnur due a la vitesse de sortit
l'orifice afi, qui est censée avoir été calculée par nos formules précédent
—-est la hauteur due à la vitesse dans la section considérée cd du v\
et qu'on sait aussi calculer, puisqu'on ai) =
, Enfin
et
d'après les principes d'hydrostatique, représentent les hauteurs de colon verticales du fluide sous la densité intérieure *■, qui produiraient parle poids les pressions p et p r sur l'unité de surface, ou, si Ton veut, ce sont hauteurs dépression correspondantes. La dernière égalité signifie, par c séquent, que t la hauteur moyenne de pression du fluide sur la section « que Von considère, est égale à la hauteur due à la vitesse de sortie , plu « hauteur de pression exercée à F extérieur de {'orifice^ diminuée de la haut tt due â la vitesse dans cette même section cd et de la hauteur de son centre « gravité au-dessus du centre de V orifice» »
Telle serait aussi la charge génératrice en vertu de laquelle le flu s'écoulerait par un très- ji élit orifice pratiqué en cd, Riais il faut que orifice soit très-petit , pour quu la dépense et la vitesse par l'autre orifice ne soient pas sensiblement altérées. S'il en était autrement , on aurait cours au .principe des forces vives pour évaluer chacun des écoulements multanés et chaque vitesse de sortie en particulier.
118. Mesure de la pression quand le vase est très -grand par rapport Vérifiée* — Lorsque le fluide , avant d'arriver a l'orifice ab (fig. 49 n'éprouve aucune résistance quelconque , aucun choc , et que de plus section supérieure et d'arrivée ÀB du fluide dans le vase est très-gran relativement à l'orifice ah ou a , nous savons que la vitesse V de sortie
due à la charge totale H de fluide sur ab , de sorte que = H Par co
% séquent , on aura , pour la pression autour de la section cd.
E — h f étant ici la charge de fluide au-dessus de la section cd, on enco> dut que « la hauteur de pression sur une] section cd d'un pareil ra nest mesurée par la charge du fi aide au-dessus de celte section , plus la k wteur de pression exercée à t extérieur de Forifwe de sortie , diminuée de la ha nteur due à la vitesse qui a lieu dans cette section, »
119* Diversité des pressions dans un tuyau, — Soit cd (%. -19-4( section transversale quelconque d\iu tuyau par lequel s'écoule un f]ui< Imaginez qu'en cet endroit on insère la branche recourbée yt f d'un in vertîcst) tu f ouvert par les deu* bouts , et que la pression exercée sur
sommet ouvert u soit égale à p qui sera la pression atmosphérique , comme cela a lieu contre l'orifice de sortie du tuyau d'écoulement. Le fluide s'élèvera
dans le tube vertical tu à une hauteur te , telle que J— -\- te sera égal à la
hauteur de pression intérieure correspondante à la section cd ou à jL. Donc , on aura
S'il se trouvait que Faire de la section cd ou b fût telle que soit sim-
plement égal à — . -f- A'> la hauteur tz du liquide dans le tube serait nulle.
Hais si Taire de la même section était telle que — - fut moindre que -
+ A', alors le fluide extérieur tendrait à remonter dans le vase, la hauteur
de la pression intérieure — serait inférieure à celle de la pression exté- *• w neure— • Par conséquent, si on établissait le tube vertical dans la
position y Vf' , l'extrémité en bas et plongée dans un fluide MN de même densité «* , ce dernier remontera dans ce tube au-dessus de son
niveau en *', tellement que la hauteur de la pression intérieure — ,
W augmentée de fV, ferait équilibre à celle de la pression extérieure — ,
ou qu'on aurait
Si , d'ailleurs , la hauteur %'%' était plus grande que la hauteur de x' audessus du niveau mn du vase inférieur, le fluide de ce dernier serait en quelque sorte aspiré , et monterait continuellement avec une vitesse due à la différence *V — *V. Cette dernière conséquence n'est , au reste , qu'approximative; car elle suppose que la section cd du tuyau puisse recevoir <%t excès de fluide sans augmenter de vitesse , et nécessairement il faut que w vitesse v et celle de l'orifice V s'augmentent ; modifications qui influeront
elles-mêmes sur la pression — et par suite sur la hauteur tV.
120. Pression dans les tuyaux cylindriques additionnels» — Toutes ces circonstances se présentent dans le tuyau cylindrique additionnel horizontal (%. 498). Ici A' est nul; d'où
*■ ir 1g ^g
Supposons qu'il s'agisse de la section contractée, et que vers cet endroit on
insère le tube vertical j-V plongé dans un fluide inférieur. Je dis que ce
fluide est susceptible d être élevé ou aspiré par la veine^ ou que la hauteur
P âe pression intérieure —est moindre que la hauteur de pression extérieure
P ri
— , CarV étant la vitesse dans le tuyau cylindrique plein, et a étant sa section
et m' le coefficient de la contraction ; m'a sera la section contractée, et si est la vitesse de cette dernière section, on aura
tj*'ac=aV , ou r>= — ;.
Mais, comme m f est fractionnaire, on voit que v est plus grand que V, *
M* Kavier, est confirmée par les expériences de Venturi. Si nous considérez» a* une section cd srn delà delà section contractée, on a h =«., v ■■
par suite , ^~^>i^~- Ainsi — l'cmpor te sur — . Cette théorie a donnée
et, par conséquent — -= — , Ainsi, le fluide inférieur ne montera plu
quand le tube vertical xt r sera inséré à la section cd t
121. Pression dans les canaux découverts. — Si dans un tuyau fermé où la section est constante ainsi que la vitesse , la pression est la même partout et égale à h pression atmosphérique, on conçoit qu'il doit en être de même dans un canal découvert où Je mouvement est uniforme, La pression serait égale partout à \n pression atmosphérique; maïs, comme dansce'qui précède?, nous avons fait abstraction de la hauteur du fluide dans chaque section, on voit que dans un canal découvert à régime règle, la hauteur de pression ea chaque point se mesure par la pression atmosphérique augmentée do la charge de fluide correspondante , ou de la distance verticale du centre de gravité de cette section au point le plus élevé de cette même section.
122. Observation générale sur les pressions d'un fluide, — Tons les principes exposés sur les pressions sont applicables aux fluides élastiques copn je aux liquides, si la pression intérieure surpasse peu la pression extérieure ou d'un deuxième environ- Lorsque cet excès sera devenu plus grand, ° a raisonnera sur la portion de fluide élastique comprise entre l'orifice et 1* section pour laquelle on cherche la pression , absolument de la même ma^ ni ère qu'on en a agi au n° 3 Otf .
drtttl
txtéràl
on sidéral V, À'=(J
>ntera ] Fermé où
ÉCOULEMENT DE l'eAV FAB LES CAHAUX DÉCOUVERTS.
123. Mouvement de Veau dans les canaux découverts, à pente uniforme et de grande longueur. — Les canaux découverts par lesquels les eaux sont conduites, ont un profil en forme de trapèze ou de rectangle (Gg. 496 ) ; et leur fond, horizontal dans le sens de la largeur, a, dans le sens de la longueur, une pente qu'on rend autant que possible uniforme. 11 faut distinguer deux cas: tantôt un canal a une très-grande longueur et peu de pente- la vitesse y devient uniforme, de façon que les sections d'eau sont les mêmes dans tous les points du canal; c'est ce qu'on nomme régime réglé. Tantôt le canal a une faible longueur, comme il arrive dans les coursiers des usines; le régime varie alors d'un point à Vautre; des cbocs, des pertes de force rive, des tourbillonnements se manifestent , et il devient difficile de soumettre le mouvement du liquide au calcul. Il faut donc ne pas confondre la circonstance où le canal a une longueur de dix à trente fois sa largeur, avec •elle où cette longueur est cent fois la largeur; car, dans cette dernière, Je régime est constant, et la vitesse se calcule ainsi qu'il suit :
me part» -^ ^ * a v * lesse moyenne et constante dans chaque section, G le contour Je la partie mouillée du profil, a l'aire du profil transversal de l'eau , n la faction qui multiplie la valeur du travail dû à la résistance des bords et du fend, L (fig. 497) la longueur du canal pour une hauteur de pente H , longueur qui se confond sensiblement avec la base, parce que la pente —■ est
déjà excessive ; enfin ~- est la pente pour un mètre de longueur. Pour une
tranche quelconque, l'accroissement de force vive pendant sonpassaged'une section à l'autre est évidemment nul, puisque la vitesse V reste la même. la quantité de travail çH, imprimée par la gravité , sera, par conséquent, détruite par le travail de la résistance du canal sur la longueur L qui correspond à la hauteur H, et on aura, n°H6,
nq LXCXV
d'où V = \/^.
V ncL
Si on remplace n par sa valeur 0,0085 , et g par 9 m ,809, on trouve
=— étant la ponte du canal, on voit que cette formule dvmt\era\vx n\V^
184 TH01S1ÊMB PARTIE.
quand la pente est donnée. Réciproquement, si on veut trouver lu pente
pour uns vitesse donnée , on se servira de la formula
