Q=AE

d'où il résulte que cet allongement est seulement la moitié de celui 1=:^ ^,

obtenu, en premier lieu, pour la fin du mouvement descendant de Q;c'està dire qu'il est précisément égal a rallongement de stabilité sous cette même charge Q.

Nommant d'ailleurs L'=IL, /'=t'LIes allongements correspondants à I, t", et qui sont relatifs à la longueur entière L, du prisme, on voit qu'on aura, pour calculer L' et T , les formules

toujours dans les hypothèses où la limite d'élasticité ne serait pas dépassée pour la première de ces valeurs; car, si elle l'était, il conviendrait alors de recourir aux données qui sont fournies (289 et suivants), par les résultats des expériences directes, relatives à chaque nature de substance ; ce qui serait toujours facile, en raisonnant comme nous venons de le faire.

313. Équation fondamentale du mouvement. Si l'on considère (310) combien est faible, en général, Tinfluence du poids des molécules du prisme, dans les questions du genre de celles qui nous occupe, où la charge Q, est toujours très-forte comparativement à ce poids, on sera conduit, non-seulement à en faire abstraction dans presque tous les cas, mais encore à négliger pareillement celle qui peut être due auxforces d'inertie et aux forces vives acquises , par ces mêmes molécules, dans le mouvement qui leur est transmis par l'intermédiaire de la charge. En effet, il parait évident en soi que, à moins de mouvements désordonnés^ ces forces doivent croître depuis le pehit d'attache supérieur du prisme, où la vitesse est toujours censée nulle jusqu'au point qui corresponde la charge suspendue à son extrémile inférieure, et qui est censé posséder absolument la même vitesse que cette charge. Or , si la somme des poids^ mg ( 126 ), des molécules du prisme est réellement négligeable vis-a-vis au poids Q, il en résulte nécessairement quela somme de leurs forces d'inertie, w-, ou de leurs forces

vives , mV^ , doit être , à fortiori , par rapport à celles de ce poids. Admettant donc ces conséquences qui reviennent, au fond, à supposer que la tension, la force de ressart des molécules du prisme, est, à chaque in-

l'« PARTII, 32

stant, la même dans toute son étendue, ou s'y propage, pour ainsi dire, sans perte et avec une rapidité infinie (87 et 63) , il deviendra facile de découvrir, par le calcul ou par des considérations purement géométriques , toutes les circonstances essentielles d'un mouvement, dont nous n'avons précédemment considéré que quelques particularités très-simples.

Considérant, à cet effet, le prisme, ou plutôt la charge Q, dans une des; positions intermédiaires qu'elle atteint pendant le mouvement, et supposant toujours que son élasticité ne soit altérée à aucun instant, on remarquera que / ou iL , étant l'allongement total relatif à cette position, la quantité de travail développée dès-lors, par la gravité, sut la charge Q, depuis l'instant où celle-ci occupait la première position, et où l était nulle, a pour mesure le produit Q/ou QtL, tandis que celle de la résistance élastique, AEt oUlAEr-, est mesurée (247) par cet autre produit ïAlE»2=-2L ; d'où il résulte que l'excès

de la première de ces quantités, qui appartient à la puissance, sur la seconde qui correspond à la résistance, mesure, dans nos hypothèses, le

travail employé à vaincre l'inertie de la masse M où ^ du poids Q. Donc, en vertu du principe du N° 136, on devra avoir l'égalité

de laquelle il est facile de tirer la valeur de la vitesse V> relative à chacun des allongements /, supposés donnés.

On la mettra sous une forme un peu plus simple, en remarquant que, si l'on a déjà calculé, d'après ce qui est exposé à la fin du précédent article,

l'allongement »' ou-^, correspondant à l'instant où la vitesse acquise est

la plus grande, et qui est la moitié de l'allongement maximum ou £nal, il

sera inutile de calculer, sur de nouveaux frais, la quantité —^ qui entre

Là

dans cette équation. Car, puisqu'on a

Q = AEt' = AE^, on aura aussi — = î^ ;

ce qui permettra de supprimer le facteur Q, devenu comnmn à tous ses termes, de sorte qu'elle deviendra simplement

d'où l'on tire, par l'extraction de la racine quarrée, et en posant pour simplifier ,

Or À, racine quarrée du rapport entre deux longueurs, g et /', est un simple nombre ou coefficient facile à calculer, et j/(2/' — /)/est la moyenne proportionnelle entre les longueurs 2/^ — / et /, qu'on pourra également calculer ou construire géométriquement quand on se sera donné /à /mort; donc, rien ne sera plus simple que de se représenter la loi qui lie ces

flllonçements variables, /, du prisme avec les vitesses correspondantes, V, de la charge Q, suspendue à son extrémité inférieure.

514. Représentation des lais de ce mouvement par des formules ou vonstruc" tions géométriques. Expression de la vitesse. Soit AB (Fig. 51), la longueur de la tige dont il s'agit ; BG son allongement de stabilité, /', sous la charge Q; BD ^ â BC = 2/^ son allongement maximum sous la vitesse acquise par cette charge (S12) ; enfin Bm, rallongement /, qu'elle a prisa Tinstant où la vitesse est V; il résulte , de ce qui précède , que, si, sur BD = 2/', comme diamètre, on décrit un demi-cercle , il rencontrera Thorizontale njenée par w, en un po int n, tel qu'on aura

[/mD7mB= /(BD — wBjmB = ]/W^t,

et par conséquent

V = ^. mn. Rapport des espaces aux temps élémentaires. Supposant que mm^ représente l'allongement infiniment petit, reçu parJmB ou L, pendant le temps élémentaire^ ', on aura aussi (132 et 153)

Y= — =A.mii; doù tz=z-. .

/ k,mn

Cette dernière expression indiquant qiie le temps croit proportionnellement au rapport de mm' à mn, on en déduira un résultat encore plus simple, en observant que mw est égal à la perpendiculaire ou verticale np, abaissée de n, surl'ordonnéemV, du cercle, infiniment voisine demn. Car, si Ton mène le rayon CN=/' qui est perpendiculaire à l'extrémité n,de l'arc infiniment petit, nn\ de ce cercle, on aura, parles triangles, rectangles et semblables, nn'p, Cmn, à cause que leurs côtés sont respectivement per^ pendiculairesy

np mm' nn' nn'

-£. ou =— = — ;

mn wn C» l

ce qui donne finalement

fin' nn' ,,

et prouve, attendu que kV = V % / ?. = ^^est une quantité constante

I pourtouteslespositionsdel'extrémitéBil^'quelesaccroissements infiniment petits, /, du temps, sont proportionnels aux accroissements nn\ de l'arc Bi»

3ui correspond a l'espace Bm = /, déjà décrit, par le point d'application e la charge Q , à l'instant où la vitesse est Y; 2« que la vitesse de circula-

iion — (48), du point n, sur le cercle auquel il appartient, est ici constante

et égale à kt, de sorte que son mouvement est rigoureusement uniforme, encore bien que celui du point m, auquel il correspond à chaque instant, varie sans cesse.

Expression géométrique du temps. Nommant donc T le nombre des se-* coudes écoulées depuis l'origine du mouvement, où m était en B, on aura», pour calculer T, la formule

-, arc> B»

ou, ce qui est la même chose, on aura, pour calculer l'arc Bn et, par suite, Bill ou /, '

arc.Bn = *rT.

Formules trigonométriques. Ordinairement on nomme, dans le cercle dont

m MECANIQUE INDUSTRIELLE.

le rayon BC, ou Cn, serait pris pour Tuaité : mn le 9inu$ d^uaarc tel qse Bn, qui est aussi la mesure de Taugle au centre correspondant BCn, Bîm son ainus'verse^ et Cm sonçosinus, £n adoptant ce langage des géomètres, et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui soutendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, aussi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants,, on aura donc

arc Bit ang. BC»=gp^f~ = *T, Bm ou /= /' sin vers BC» == /' sin ver& iT,

ou bien / = BC — Cw = r — r cos *T = r (i — ços ^T).

Ces formules, après y avoir substitué les valeurs de k et de /', d'après le N° 313, permettront de calculer, au moyen des tables trigonométriques connues, celles des allongements /^ qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés ; ce qui, avec la formule

V = k.mn = hA.ûn *T,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de >d^ouvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de la charge Q , ou de son point d'attache, B.

31 S. Principales circonstances du mouvement oscillatoire des prismes. Pour en acquérir une idée précise^ il faut remarquer que le point m (Fig. 51), une fois parvenu en ]>, rétrogr^idl^ra eo^uite, taiàdis qiue le temps T, qui devient alors égal à

arc. BnD cr^ ^r . /r . / Qt

4r, étant le rapport S,M16 de la circonférence au diamètre, erottra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, BnD^r, comptés toujours dans le même sens, à partir du point B; qui pourront embrasser phsieurs demi-circonférences ou circonférences entières, et auxquels correspondront des vitesses constamment proportionnelles dux ordonnées, ou sinus mn, xy, de leurs extrémités, et des allongements également proportionnels aux abscisses ou stnus-verses l^m^ By, relatifs à ces arcs respectifs.

On voit d'ailleurs que, quand le point y au x^ aura atteint S, ee qui arrivera au bout d'un temps mesuré par la circonférence entière BwDjtB, divisée par lalongueu^r kJ^ c'est-à-dire au bout ^wl nombre de secondes égala

et, par conséquent, double de celui de la demi-période descendante, les mêmes choses reviendront régulièrement , dans le même ordre, et ainsi alternativement et indéfiniment. Toutefois on suppose ici que l'élasticité demeure parfaite , et l'on n'a égard ni à la résistance opposée par l'air , ni aux ébranlements, aux B)iouvemen.ts vibratoires qui , en se transmettant à la ma^sse du point d'attache , A , par 1 interioiédiaire des molécules de la tige de suspension ÂB , détruisent ainsi continueliemeat des. portions de plus en plus sensibles de la force vive priniitivement acquise dans la demioscillation descendante de la charge Q, et finissent» comme l'expérience le démontre , par réduire le prisme au repos , en très-peu de temps.

yémplilude, durée , nombre et vitesse moyenne des oscillations. Le plus grand allongement^ S/', subi par le prisme dans ses mouvements alternatifs, n'est ici autre chose que ce qu'on nomme, en général, l'amplitude de9ôsciilations de la charge ou de son point d'application , B, et, par conséquent,

rallongement permanent, T ( 310 )^ qui aurait lieu sous Faction de cette cbarge , n'est elle-même que la demi-ampHtude de ces oscillations , ou ce qu'on peut nommer l'amplitude des excursions de cette charge > de part et d'autre de sa position moyenne de stabiliié^ G. Donc d'après ce qui précède, la durée des oscillations entières du prisme est proportionnelle à la racine quàrrèe du rapport de cette dernière à la vitesse^ g , que la gravité imprime aux corps en chaque lieu ( 117 ). Quant OU nombre de ces oscillations^ de ces retours de la charge à une même position, pendant la durée d'une seconde sexagésimale, sa valeur que nous nommons, en général, n, sera évidem^ ment donnée par la formule

de sorte que ce nombre croîtra précisément dans le rapport inYers.e de celui qui précède, ou, pournous énoncer d'une manière plus explicite:»/ croîtrai directement comme ia racine quarrée de la résistance élastique naturelle ^AlEt , du prisme, et inversement comme la racine quarrée du produit ^ QL, de sa Iongueur^par la charge qm lui est constamment appliquée.

Enfin , la vitesse moyenne des oscillations de cette charge étant ici égale (49) au quotient du double de leur amplitude , %' , par leur durée , ou au produit de 4/', par le nombre N, cette vitesse sera également fournie par l'expression

toujours dans l'hypothèse où l'élasticité demeurerait parfaite, et où le mouvement se conserverait, lui-même, indéfiniment et sans perte. Mais nous verrons par la suite que ces divers résultats sont indépendants de cette dernière circonstance , ou du décroissement plus ou moins rapide de la vitesse effective et de l'amplitude des oscillations.

Notions directes sur /a nature du mouvement. On se formera une idée trèsclaire du mouvement oscillatoire , pour ainsi dire théorique , dont nous nous sommes jusqu'ici occupé, si l'on imagine que le point n, dont l'extrémité inférieure du prisme représente, à chaque instant, la projection sur le diamètre vertical , BD , du cercle , B«Dj?B (Fig. 51) , chemine d'un mouvement rigoureusement uniforme,et avec une vitesse mesurée(323)pàr W=j/^/,5UP le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait l'extrémité de l'aiguille d'une montre, la mesure, la marche régulière du temps. Le système d'une manivelle qui se meut cireulairement et uniformément autour d'un axe sur lequel elle est implantée, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par l'intermédiaire d'une longue bielle, offre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, «ifi-iort, une notion géométrique également précise , en construisant la courbe qui a pour abscisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses correspondants ( S14 ), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu'on nomme sinusoïdes,.

316. Recherche de la force motrice variable qui sollieùe le prisme pendant le mouvement. Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire des prismes , dans le cas élémentaire qui nous occupe^ il est nécessaire de moAtrer comment on peut obtenir et calculer directement les efforts qui ^eiercent réellement à leur extrémité inférieure , B (fiç. 51), pendant la

S54 MÉCANIQUE IMDIJSTRIELU;.

durée de chacune des périodes d'oscillation de la charge Q, efforts qui sont dus , évidemment (i50 et suiv.) , à Texcès du poids de cette charge sur U

force 4*inertie — ^ 9 à tous les iqstants où il y a accélération de mouve-

ment , et à Texcès contraire de celle-ci $ur le n)éme poids , lorsqu'il y a simple rallentisseiqent.

En nomnaant P, Teffort dont il s*agit , et que nous savons déjà (312) être égal à Q ^ aux instants où Toscillation commence et finit , et devenir précisément^nul quand Textrémité B est arrivée au milieu, C, de sa course, BD , nous aurons , en particulier, pour calculer P, dans toute la partie BC de Toscillation descendante où le ^louvement s'accélère , et plus spécialement pour la position «n de B ,

Mais , comme nous savons aussi (314) , que le temps infiniment petit , ^« est mesuré par le rapport ^^-y , et que la vitesse V, de la charge supposée

parvenue en nt, est mesurée par le produite , mn^ ou son accroissenientv» par * , n'/i , il en résulte immédiatement

t nn ^ nn ^ Ln i

attendu que *'=--- (313), et que les triangles, semblables et rectangles^

nn'p , mCn , donnent n'p : «n' :: Cm l Cn = f. Donc , enfin , la force cherchée ,

^ /^ .X Cm ^ f^ — Cfn\ ^ wiB l ^ P=Q-Q. -y-^Q [.,-p^J=Q.>jr -yQ,

ou bien, en adoptant (314) les notations de la trigonométrie,

P = Q (1 — cos AT) = Q — Q. cos kl ; ce qui prouve que Tintensîté de cette force suit la même loi de périodicité que les allongements mêmes du prisme , fait que nous eussions pu considérer comme évident dpnort, puisque ces allongements doivent, d'après nos hypothèses , demeurer exactement proportionnels aux efforts qui les produisent.

En effet , si on continue ici à nommer t , l'allongement proportionnel ou parmètreque subissent les divers éléments du prisme, sous l'action variable de P, allongement qui , dans nos hypothèses encore (342 et 313) , est le même pour tous» à un instant donné, et ne dépend uniquement que de l'intensité de P , on aura , pour le déterminer,

/ f t = Y-=j^ (1 — cos AT);

ce qui donne immédiatement

p = AEf = lf-(l — cos AT)=Q (1 — cos AT) ,

la

attendu qu'Ici (315) QL = AE/' ; mais nous avons été bien aise de montrer comment ou pouvait arriver à cette expression par la voie directe.

Ces résultats permettront d'ailleurs de calculer et de discuter, d pnon", les diverses valeurs que prennent, P et «, aux instants successivement écoulés depuis l'origine du mouvement ; mais cette discussion est trop

facile pour qu*il devienne nécessaire de s*y arrêter. Nous ferohs seule* ment remarquer que ces valeurs oscillent périodiquement, autour de leurs moyennes respectives , en changeant de sens ou de signe ^ absolument comme le fait , lui-même, rallongement, /ou mfi, du prisme , aux divers instants du mouvement (314).

317. application à un exemple particulier. Considérant notamment la barre de fer mentionnée au N*" 310 ^ et pour laquelle on a L = 10m , A = Oraq ,0025 , Q = 10000k,

on trouvera, en vertu des formules exposées dans les trois précédents numéros , où Ton suppose la charge Q , simplement suspendue à l'extrémité inférieure de la tige AB , sans vitesse antérieurement acquise :

l"* Pour rallongement de stabilité, i\ lequel se rapporte à un simple effort agissant çans vitesse appréciable >