AE

2<* Pour le plus grand allongement proportionnel^ acquis sous Tinfluence de la vitesse Q,

3*» Pour les allongements absolus correspondants, BC et BD,r=i'L = 0,0002.10™= 0™,002, L' = 2ta = 0,0004.10" =0»,004; 4** Pour la valeur du nombre k (313), attendu (117) que^ = 9m,809,

A =% /iL = % /M2?= /ïÔÔpÔ = 70,032 ; V r V 0,002 ^ ' ' '

S"* Pour celle de la vitesse maximum, Y, acquise à l'instant où l'allongement /, est précisément égal (314) à ^ ou BC,

Y = ki: = 70,032.0^002 = 0°»,14006;

O"" Enfin^ pour la durée d'une oscillation entière du prisme, ou de la char£f6

T=l"=2.%/^='l^-*f^^=0-,08972, * ^ V ^AE 70,032

1" ce qui donne ^ par seconde, ^„ ogoya =^*»^^S oscillations entières seulement, ou 22,29 demi-oscillations descendantes et ascendantes.

Mais, d'après la formule du N» 315, qui donne, en général^ le nombre N, des oscillations entières par seconde, si Q, au lieu d'être de lOOOOkii, n'était que de 625^", ou le 7*5 de la valeur qui vient de lui être attribuée, et qu'enmême temps la longueur de L se trouvât réduiteà^ 10"* =l«»,lll, le inombre dont il s'agit serait augmenté dans le rapport de l'unité à |la racine quarrée du produit de 16 par 9, ou de 1 à 4. 3 = 12; de sorte qu'il s'élèverait à 12.11,145 = 133,74 ou 134 environ par seconde, le nombre des demi-oscillations étant lui-même porté à 267,48-, dans le même tenofps.

Lois du mouvement oscillatoire des prismes dans ie cas où la charge possède une

vitesse initiale,

918. Données fondamentales de la question^ Dans ce qui précède, nous avons supposé que la charge Q, était posée à l'extrémité du prisme AB (Fig. 51), avec beaucoup de douceur '^u sans vitesse acquise; mais, s'il en ^lait autrement, il est évident que l'étendue des excursions ou des oscil-

25ft MECANIQUE iNDUâTftlËLLË.

latioBs do poids Q, serait augmentée, de sorte qne Tétasticité ûàtu^dle pourrait être forcée. Afin de s'en assurer directement, il faudra être en état (312) de calculer le plus grand allongement subi, par ce prisme, à l'instant où la vitesse de la charge se trouvera éteinte dans la première période du mouvement*

Équation du masimum d^allangemênt. Pour l'obtenir, il suffira d'exprimer, toujours d'après le principe du N° 136^ que la moitié de la force vive

initiale, possédée par la masse-^ de la charge ^ augmentée de la quantité

de travail Q.IL qui correspond (312) à la descente de son poids Q, de la hauteur L' = IL, relative à ce plus grand allongement, est précisément égale à la quantité de travail [ AL£P, développée, en sens contraire (^47)^ par la force élastique du prisme, ou que

Q^ + QlL=iALEP,

Vi étant la vitesse initiale dont il s'agit.

Cette relation, comme on voit, permettra toujours de calculer î ou IL, par les méthodes connues, quand on se sera donné les diverses autres quantités qui Y entrent ; mais on y parviendra plus directement en remarquant que, si la limite d'élasticité ne se trouve effectivement pas dépassée, la charge, après avoir atteint sa position extrême ou la plus basse D'^ reviendra en arrière, pour exécuter une série d'oscillations entièrement semblables à celles qui ont été considérées dans le cas précédent, et qui seront d'ailleurs assujetties à la même loi, si ce n'est que l'étendue CD' ou CW des excursions du point d'application B , de cette charge , de part et d'autre du point C, qui en demeurera le milieu ou centre^ se trouvera augmentée.

Considérations géométnquea. Sans recommencer la série des raisonnements et des démonstrations relatives au cas particulier où la vitesse initiale Y^ est nulle , on peut remarquer qu'on a toujours (312), pour déterminer l'allongement BC ou r, à l'instant où la plus grande Vitesse est acquise , la relation

Q=AEt , qui donne BC ou r ^ ft = ^,

même valeur que cî-devant. Et * comme Thorizontale ou ordonnée BN , correspondante à B , dans le cercle B'ND', qui donne la loi du nouveau mouvement , doit avoir, avec la vitesse V| ^ la relation déjà trouvée (323)

Vi = A . BN ,

* ayant une valeur indépendante de Vi et toujours égale a

^ / ^ — m / £^ , on voit qu'après avoir pris BC == f , d'après ce qui

est indiqué ci-dessus, etBN=: -rp i il ne resteraqu'à décrire, du point C,

comme centre , avec CN pour rayon , une circonférence du cercle coupant AB , prolongée , aux points B^ et D\ pour être en état de calculer (*t de discuter toutes les circonstances du txM)uvement oscillatoire qui nous occupe.

Ailongement marimnrM. D'après ces donnée^sl , on aura immédiatement pour calculer le plus grand allongement , IL , la formule

BD'=BC + CD'= f-f CN ^Z' + [/WF+B¥^t+%/ n 4.^,

qui, en remplaçant /' et * par leurs valeurs ci -dessus, prend la forme plus générale ,

BD'ouIL = Qïl+./Q!L!.^V^

sous laquelle cet allongement eût été obtenu directement , en résolvant réquation ci-dessus , du 2« degré , par rapport à IL. On a donc aussi , pour le plus grand allongement proportionnel ,

AE^V A*E^^AEi7L*

Effort qu'il suppose. L'effort Pj^qui serait capable de produire et de maintenir!, d'une manière statique ou permanente (312), le plus grand allongement du prisme , étant mesuré (236) , par le produit AEI , en deçà de la limite où l'élasticité cesse de demeurer parfaite , il en résulte que Ton aura , en outre , pour calculer cet effort ,

de sorte que l'excès de cet effort sur c elui de la charge Q , aussi bien que

l'excès d'allongement %/ n^^, subi par le prisme sous l'influence

du mouvement acquis, croîtront, l'un et l'autre , avec la grandeur de la vitesse initiale V, , mais croîtront d'une manière d'autant plus lente ou moins sensible que la longueur absolue, L , de ce prisme , sera , elle-même, plus considérable.

Rien ne sera plus facile d'ailleurs que de s'assurer , dans chaque cas, au moyen de ces différentes formules , si la limite d'élasticité n'a pas été atteinte ou entièrement dépassée.

Application numérique. Prenant pour exemple , les données du N° 317, où l'on a

on trouvera , en supposant seulement la vitesse initiale de la charge , Vi = 0",20 , par seconde ,

r' = 0,000004, p=2:^^=o,ooooo8.5,

et , pour le plus grand allongement subi par le prisme ,

BD' = 0",002 + (/ 0,00001218 == 0">,002 + 0»,0055 = 0'",00S5 ; ce qui répond , attendu qu'ici L = 10™, à un allongement proportionnel ou par mètre , I , de ^ O'",0055 = 0^,00055, sous lequel l'élasticité serait, en effet , sensiblement altérée (292) pour certains fers, quoiqu'ici la charge soit seulement de 4^»! par millimètre carré (310) , et que la vitesse initiale, Vi = 0",2 , corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine 0«>,002 ou 2 millimètres.

On trouvera , de même, pour l'effort P, qui serait capable de produire ce plus grand allongement,

P=AEI=50000000k. 0,00055=27500k, dont l'excès , ITSOOtii sur le poids Q= lOOOOWi^de la charge, représente proprement la part qui doit être attribuée à l'influence de l'inertie ou du mouvement acquis par cette charge.

Maximum dé contraction. Rerenons à nos premières considérations , et remarquons que la partie BB' de Toscillatiou en retour ou ascendante, de rextrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse où la charge Q, lui serait invariablement attachée*, à un véritable accourcissèment . à une véritable contraction , subis par ce prisme, et pourra, à son tour, être calculée par la formule