BB

ou un accourcissement de 0*^,00015 par mètre de longueur seulement. Mate nous reviendrons , d*une manière plus particulière , sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul , quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles de la question.

Enoncé et forme particulière des résultats. Les formulesqui précèdent sont susceptibles d'un énoncé très-simple en langage ordinaire : car si l'on

observe (313) que *^=v et si l'on nomme Hj la hauteur ^ due à ;la vitesse Vf, il en résultera par exemple, pour le plus grand allongement que subit le prisme , sous Tinflueuce de cette vitesse ,

' ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de rallongement de stabilité, /% relative à la charge Q, d'une quantité égale à la moyenne proportionnelle entre l^ et sa valeur augmentée dudoublt; de H^ : moyenne qui donne ainsi la mesure directe de l'influence exercée par l'inertie ou le mouvement deQ.

319. Formules relatives auûP diverses circonstances du mouvement oêcilia^ toire de la charge. Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on l'a fait dans les précédents numéros, on nommera, en général , afin d'abréger , r la demi-amplitude , ou le rayon CN =CB' = CD' (Fig. 51) , du nouveau cercle, et T' le temps que, dans ses oscillations périodiques , l'extrémité B , de la tige , met à parcourir l'intervalle BB'. Ce rayon et ce temps qui sont déterminés par les relations de la figure, se calculeront directement au moyen des formules

r=% / njuL T-^ a^-cB'N ^ angB-CN V *" ' ^r k '

dont la dernière suppose qu'on ait préalablement calculé l'angle B'CN , à l'aide des tables mentionnées au N° 314, et de l'une ou de l'autre des rela-

tions

BC ou f == rcos B'CN, BN= -j^ = r sin 3'CN ,

qui donnent

Cos B'CN ou cos kT=i, sin B'CN ou sin CT'= ^. r kr

Expressions du temps et des allongements variables. Comme, en continuant de nommer T, le temps que l'extrémité inférieure de la tige met à décrire

l'espace quelconque , Bm = /, auquel correspond l'arc MN sur le cercle B'PïiyB' on a pareillement

rp arcMN angNCM t„^„ '^tj

T=— y — ='-^j — , ou angNCM =î=*T,

il en résultera , pour calculer , à un instant donné , cet espace qui représente rallongement total alors subi par le prisme, la formule

Bm ou /=BC — Ctn = r — CM . cos EGM = /' — r cos A ( T+ T' ), puisqu'on a : ang B'CM=ang B'CN + ang NCM , et acg B'CN= kT, ang. NCM = ;kT.

Expression de la vitesse. Quant à la vitesse dont la charge est animée au point quelconque,' m, on la calculera , soit directement , au moyen de la formule

\=k.fnM = k |/mC*~^* == * /r« -{/'-/)* ,

soit par des tablés trigonométriques, au moyen de la formule (1)

Y=k. mM=*. CM. sin. B'CM=fcr sin. k (T+T').

Enfin, on aura toujours (316), pour calculer Teffort moteur variable, P, qui agit à l'extrémité inférieure, B, du prisme, ainsi que l'allongement proportionnel, t, qui en résulte, aux divers instants du mouvement

P=AE.=AEi=f .•=^,

formules dans lesquelles il faudra substituer à /, la valeur déjà obtenue ci-dessus.

Amplitude, durée et nombre des oscillations. S'il s'agit, en particulier, des oscillations entières exécutées par le prisme et sa charge , on observera que leur durée correspond ici encore (315| à un arc, NM, devenu égal à la circonférence entière ND'B'N=2îrr, ou a un angle , NCM , devenu égal à quatre droits et mesuré par 2«r sur le cercle dont le rayon est Tunité , de sorte que cette durée et le nombre N des oscillations, par seconde , seront fournis par les formules

(i) On peut mettre^ soos une forme plus expUcite, les expressions de V et de /^ et par tuile ceUes deP et de», en développant lesTaleurs de •in.A(T4-T') et co8A(T-|-T') , d'après les formules connues de la trigonométrie ; car on aura

\=zkr sin. kl cos. A:T' + kr cos. kT sin. A:T' = kl' sin. kT + Yt, cos. kT,

r= ^-r COS. *T' COS. )fcTH-r sin. A:T' sin. OT = /'-/' COS. /;T+^sin. CT.

On trouvera de même , pour calculer directement les valeurs de T, au moyen de celles de / et de y, la formule

r^ kr^ r* r*k*

ou bien

(^-0^. ^'v (^^-^Vj

r* •^ ^ ' kr* r*k r*k

dans lesquelles on se rappellera d'ailleurs que

Ces formules qui coïncident avec celles du N"" 315^ sont d'ailleurs indépendantes de la vitesse initiale , Y^ , imprimée à la charge Q, aussi bien que de l'amplitude |B'D'=2r, de ses oscîllatious ; par conséquent cette dernière peut décroître ou augmenter par des causes quelconques, sans que la nature du mouvement en soit modifiée , tant que la charge , la tension et l'élasticité naturelles du prisme ne seront point changées. Enfin, il est évident, àpnon, qu'on arriverait aux mêmes résultats, si l'on considérait, en général, le temps nécessaire pour jque la charge ou l'extrémité inférieure B, du prisme, revint à l'une quelconque des positions qu'elle peut successivement occuper, par exemple à la position B', qu'elle avait déjà dans l'oscillation précédente; car ce temps serait toujours mesuré par la circonférence entière, 2îrr, du cercle B'MD'B', divisé par le produit kr,

320. Remarques et conséquences diverses. L'accourcissement BB' (Fig. 51), |

qui a été calculé à la fin du N° 318 , et que subit le prisme dans le mou- |

vement d'ascension de la charge, à laquelle, par hypothèse, il est étroi- i

tement lié, cet accourcissement étant généralement très-petit, par rapport à l'allongement maximum, BD', qui lui correspond dans chaque cas , on voit qu'il sera inutile d'y avoir égard dans les questions relatives à la i

solidité des prismes ; mais il n'en est pas moins utile de remarquer qu'en vertu de la compression qui en résulte, lors de ce mouvement de retour, le point d'attache supérieur, A, du prisme, se trouvera, lui-même, pressé ou choqué en vertu d'un effort absolument analogue à celui qui le sollicite dans l'oscillation descendante et dans la partie BD' de l'oscillation contraire. Supposant d'ailleurs^ qu'en raisonde sa longueur (268,280 et suiv.), le prisme ne puisse fléchir a l'instant où cet effort de compression atteint sa limite , on Voit qu'il sera facile de calculer l'intensité de ce dernier au moyen de la formule P = AEi, qui s'applique aussi bien (236) à la contraction des prismes qu'à leur extension , tant que l'élasticité naturelle n'est pas forcée.

On remarquera pareillement que, si la vitesse initiale, Vi, supposée, imprimée à la charge Q, dans la question du N** 318, au lieu d'être dirigée du haut vers le bas, l'était en sens contraire, les mêmes considérations géométriques et les mêmes formules serviraient encore à faire trouver les lois du mouvement , pourvu toujours que la vitesse dont il s'agit, ou plutôt l'effort maximum de compression qui en résulte, fût incapable de faire fléchir transversalement le prisme, puisqu'alors il surviendrait des soubresauts qui cesseraient d'être soumis aux lois indiquées par nos premières formules. Quant au cas où le prisme aurait une position renversée par rapport à son appui A , la valeur de /', au lieu d'être portée de B en C , devrait l'être de B vers A; ce qui rendrait BB'>BD', ou les accourcissements plus grands que les allongements relatifs au mouvement de retour, et, par suite, la contraction et l«s inflexions plus dangereuses que les extensions, à l'inverse de ce qui avait lieu dans les hypothèses précédentes.

Enfin, il est bien évident encore que, si, au lieu d'imprimer une vitesse initiale à la charge Q, on eût simplement fait subir au prisme, toujours lié invariablement à cette charge, un allongement primitif égal à BD', ou une contraction primitive mesurée par BB', et sans vitesse acquise , qu'ensuite on l'eût abandonné à la libre action du poids Q , la loi du mouvement, l'étendue des excursions et la durée des oscillations eussent été exactement les mêmes que dans le cas précédent (1).

(i) Soit notamment, P' Peffort qui^ ajouté au poids Q de la charge, a primitiTenicnt

D'ailleurs les choses se passeraient tout différemment si la charge Q, au lieu d*étre solidement fixée à Textrémité inférieure du prisme , n*y était simplement retenue que par une saillie qui lui laissât la liberté de s'élever. £n effet, cette charge , dans Toscillalion ascendante ou en retour, et à son passage par le point £ (Fig. 51 ) , qui correspond ii Tétat naturel du prisme, reprenant une vitesse égale et précisément contraire à la vitesse îDitiale, Y. , tandis qu'au même instant , Teffort de réaction, la résistance élastique , P, de ce prisme, devient nulle pour changer ensuite de sens ou désigne, il arriverait, dans cette circonstance, que le poids Q, abandonnerait entièrement son support, et rejaillirait, en vertu de sa vitesse ac-

qiiise, Vt , jusqu'à la hauteur Hi= ^ , d'où il retomberait en reprenant

de nouveau la vitesse Y i en B ; de là aussi résulterait un choc vif qui donnerait lieu , comme on le verra bientôt, à une perte de force vive , et serait immédiatement suivi d'une nouvelle oscillation du prisme, et ainsi de suite alternativement. Mais, comme, en réalité, le mouvement des parties matérielles du prisme ne peut , à cause de l'inertie , s'éteindre brusquement à chacun des instants où le poids Q , vient à quitter son point d'appui inférieur , on voit que, pendant la montée de ce poids et sa descente de la hauteur H^ , le prisme exécute des vibrations plus ou moins rapides (Ij qui entraînent avec elles, une certaine dépense de force vive, et ne permettent ni de supposer que la vitesse de rejaillissement de Q , soit égale à la vitesse primitive, Y^ , ni de déterminer, à priori, du moins par un calcul facile, le lieu et l'époque où s'opérera chacun des chocs; question étrangère , au surplus , à l'objet des applications que nous avons ici en vue.

Quoi qu'il en soit, il ne faut pas oublier que les diverses circonstances du mouvement oscillatoire, jusqu'ici examinées, dérivent essentiellement de l'hypothèse que les efforts de réaction du prisme , demeurent exacte-

allongé le prisme de la quantité BTy==BC-\'Cîy=t-\-r , tans ^ite»se acquise , on aura évidemment (a34) 9 si BD' n'excède pas raUongvment r^lalif à la limite d'élasticité,

<l'où l*un (iie, attendu qu« /'=S —

ce (.ui fera connaître r^ ou le rayon C^I=CD', et partant la vitesse V,, qui entre dans la première des équations du N^ Sig, laquelle donnera immédiatement

«pression où F' est supposé plus grand que Q, de même que r ou CD', a été supposé plus grand que ^ ou CD , et qui , par sa substitution dans les formules du numéro déjà cité, permettra de calculer toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède • l'instant où Téffort P , vient h cesser, absolument comme si Ton s'était donné, à priori, l« valeur de la vitesse initiale V^ , correspondante à la position B , du poids Q.

(i) Pour l'étude approfondie de ces phénomènes de vibration , nous renverrons en général, «u tom. II, de Pexcellent Traité de Mécanique de M. Poisson. "Voy. aussi les notes des N*»* 3aî et 325 ci-après.

ment proportionnels aux allongements il^ qu'il subit pour les positions correspondantes de son extrémité inférieure , B. Or il est bien 'clair que ces mêmes circonstances se reproduiront toutes les fois que la force qui tend à ramener un corps matériel quelconque vers la position naturelle d'équilibre y dont il aurait été primitivement dérangé ^ sera soumise à une senâ)lable loi , par rapport à la grandeur relative du déplacement que subit son point d'application ; et^ en particulier^ les lois du mouvement oscillatoire, qui nous ont jusqu'ici occupé , sont aussi, pour de très-petits déplacements des molécules , celles qui régissent le mouvement dont il a été parlé au N" 226 ^ et auqiiel nous eussions pu , dès-lors , appliquer les divers calculs et considérations qui précèdent, si nous n'avions craint de détourner trop longtemps Tattention dn lecteur , et de faire un double emploi.

321. Lois du mouvement des points intermédiaires du prisme {TÏQ^ 51). Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupé des circonstances que présente le mouvement de l'extrémité inférieure , B, du prisme, qui est directement soumise à l'action de la charge Q ; mais il est facile de voir que celles de divers autres points de ce prisme , tels que b , par exemple , se déduiront sur le champ, de cette considération très-simple, conséquence nécessaire de nos premières hypothèses (315) , que : les allongements^ en chacun de ces points, demeurent , à tous les instants ^ proportionnels à leur distance A6, de l'extrémité A , toujours supposée fixe.

Nommant , en effet, z rallongement absolu que subit , à la fin du temps T, la partie Ab de la tige , dont l'étendiie sera représentée par la lettre j?, et soit pareillement v la vitesse acquise par le point 6, au même instant , ou aura simplement

, A6 jX Ab X

pour calculer « et r, au moyen des valeurs correspondantes, / et V, relatives à l'extrémité inférieure, B^ dont le mouvement est, d'après ce qui précède, exactement connu pour chacune des valeurs de T , ou du nombre des secondes écoulées depuis l'origine du mouvement.

En particulier, il résulte de cette considération que, si les divers points^ b , sont tous au repos à l'origine du mouvement, ils y reviendront en même temps ou simultanément, avec l'extrémité B; qu'ils atteindront pareillement leur plus grande vitesse à un même instant, et qu'enfin leurs oscillations entières, comme leurs demi-oscillations ascendantes et descendantes, seront de même durée , s'accompliront dans le même temps; ce qui constitue véritablement ce qu'on est convenu de nommer : mouvements isochrones , isochronisme des osoiÛaiions,

Quant aux autres circonstances du mouvement, relatives à chacun des points b du prisme , il sera également très-facile de les discuter, au moyen des relations ci-dessus entre les quantités a, / et ar, t?, V et x, qui changent continuellement avec la durée du temps , T , écoulé depuis l'époque où l'extrémité inférieure du prisme était en B.

En effet, b étant censé la position initiale, contemporaine à celle de B , du point de la tige dont on veut particulièrement discuter la loi du mouvement, il ne s'agira que de porter, de i&vers B, sur AB, la distance

qui , à tous les instants, demeure , avec BC, ou /', dans le rapport invariable de A6 à AB , pour obtenir rallongement de stabilité (312) qui aurait lieu , au point b , sous l'action permanente de la charge Q. Prenant ensuite

DES IIÉSÏSTÀNCES. 268

le point c , ainsi trouvé, pour centre d'un nouveau cercle ayant bo pour rayon , ce cercle qui sera semblable au premier , et semblabiement situé par rapport au point A, aura toutes ses lignes homologues proportionnelles et parallèles ; et par conséquent à rallongement Bm , à Tordonnée ou sinus mn et à Tare Bn , qui appartiennent au point B, à la fin du temps quelconque, T , correspondront , pour le cercle (<?), un allongement, ^=J6, une ordonnée r«^ et un arc, bs^ qui leur sont homologues ou proportionnels, et qui auront entre eux , et avec l'angle bcs = BC«= *. T (314) , précisément les mêmes relations ou rapports que les premiers dans le cercle (C); de sorte que la discussion des N*" S14 et suiv., relative à la périodicité, à la loi du mouvement, leur est immédiatement applicable^ la grandeur absolue des lignes étant seule changée.

Quant au cas (518 et suiv.) où cette charge, au lieu d'être en repos à rorigine du mouvement , reçoit une vitesse initiale , V^ , comme on néglige ici complètement rinfliience de l'inertie des parties matérielles du prisme, ou que le mouvement est censé se transmettre instantanément de l'une à l'autre de ses extrémités , il est évident que les mêmes considérations lui seront encore applicables, et qu'en particulier., si du pointe, comme centre, avec la ligne cb' ou ed\ proportionnelle à CD' , pour rayon , on décrit une nouvelle circonférence de cercle homologue à celle , D'NB'D' , elle mettra en état encore de discuter directement toutes les circonstances du mouvement dont est animé le point b , comme on l'a fait par le moyen de cette dernière . dans les endroits déjà cités.

322. Formules analytiques qui représentent ces lois. D'après les indications précédentes, rien ne sera plus facile que d'arriver à ces formules dont l'expression concise offre à ceux qui savent les lire , une interprétation , non moins fidèle que les relations intuitives des figuras, de tous les phénomènes de mouvement qu'elles sont destinées à reproduire par le calcul.

Allongement absolu et vitesse. Ainsi, par exemple, dans la question du N» Zii qui se rapporte au cas où la charge Q , agit sans vitesse acquise, on aura, pour déterminer, à chaque instant, les valeurs de l'allongement et de la vitesse qui se rapportent au point quelconque b ,

ir ou « = r=-?(* - cos feT) , V = V ^ = i^/ f sinW=fe . sin *T, L L L L

dans lesquelles on a toujours

AE V /' V QL

et qui se déduisent immédiatement de celles du même numéro , en y multipliant les valeurs de / et de V qu'elles donnent, par le rapport v- === -r»,

L Aij

conformément à ce qui a été indiqué au commencement du N* 521.

On aura de même , pour exprimer, à tous les instants , les lois du mouvement dans le cas des N"»' 318 et suiv.., où la charge Q possède la vitesse initiale, Vj , les formules plus générales,

Ix oc l^x V X

2=j-=j-[/'-rcos*(T+T)] = — (J— cosilT) 4--^siD*T,

X hr kl' V « »

v=Yr=-=- /r Sin * (T + T') = =^ « sin *T + ^ cos *T,

qui se déduisent, de la même manière, de celles du N*» 319 et de la note qui l'accompagne.

Tension des éléments du prisme. Les expressions de P et de i du N** 319 , ne dépendant explicitement que du temps, T, ainsi que d'angles et de rapports de lignes qui restent les mêmes dans les cercles relatifs au point quelconque b (Fig. 51), il en résulte que les valeurs de ces quantités sont indépenaantes de la position particulière de ce point; conséquence nécessaire encore des hypothèses d'où nous sommes partis^ et qui n'aurait plus lieu, avec une exactitude suffisante, si la masse du prisme devenait comparable à celle de la charge Q , ou en était, par exemple, le 10' ouïe 20% puisqu'alors Tinfluence de la gravité et de Tinertie , sur ses propres parties , eommencerait à devenir appréciable (1).

(i) La solution générale de la question qui nous occupe dépend de l'analyse aux différentielles partielles , dont M. Navier a offert de belles applications dans son important ouvrage sur les ponts suspendus f publié en 1823. En conserrant toutes les dénominations jusquMci admises, et désignant, de p^us, comme au N** 3 10, par D, la densité on le poids de Punité de ToUime de la substance qui constitue ta tige , les équations à intégrer reviennent aux deux suivantes ;

La première exprime l'état varié de la tranche située à la distance s de Textrémité supérieure A du prisme , et la deuxième une condition qui doit être satisfaite, à tous les instants^ pour rextrémité inférieure B, où Tou a or = L , et où Pon suppose que la charge Q ait été appliquée, dès Torigine du mouvement, avec la vitesse V| , la tige elle-même étant, à cet instant, au repos dans toute son étendue, c'est-à-dire dans l'état d'allongement où on l'a considérée au No 3 10.

On satisfait complètement à ces équations et conditions au moyen de la valeur générale

ADL AD ^ ^

dans laquelle

?E-ffi»-'^(-^^f-^-'^^^'""'/Ç-")'

amL-|- sinamL

et le signe s indique la somme d'une suite de termes semblables à ceux de l'expression qui

le suit, et où l'on mettrait successivement pour m, les différentes valeurs posiiives four.

nies par l'équation transcendante ,

ADL «iL tangmL = — jpr- »

dont, comme on sait , les racines sont toutes réelles et en nombre infini.

La valeur ci-dessus de z, étant différentiée successivement par rapport & T et à « , donnera d'ailleurs pour déterminer la vitesse v et l'allongement proportionnel t, ou psr mètre , d'un élément quelconque du prisme , dg .n s'mmx

dz . ADL AD , ,^ ^, ^.

/f (.in/ÇmT+. /^^V.cos/Ç.t) ,

fcosj/?imT-ii,/lv, cos/?EmT^ V D 5fD D /

Dans le cas particulier où le poids ADL , de la tige de suspension est très-petit vis-à«vi« de celui de la charge Q, l'équation transcendante ci-dessus^ donne approximativement

ADL pour la plus faible de ses racines , et «L = «w -|- — rrpour chacune

, In/lnenee particulière du poids des aliments. Il sera toujours facile d*en tenir compte , au moyen des formules établies au N** 810 , et en observant que les efforts résultant de ce poids en chacun des points de ÂB^ doivent simplement s'ajouter , se superposer à celui que produit^ en B , la force motrice variable P (316 et 319) ; car, dans Thypothèse où Ton continue de négliger rinfiuence de Tinertie des éléments matériels du prisme , il devient permis de supposer l'action de ces différentes forces transmises inté* gralement> ou sans perte ^ en chacun d'eux. Si Ton se rappelle, en effet,

des suWantes doiit le rang est ici désigné par fi; ce qui suppose qu'on néglige seulement les

ADL quantités dont le rapporta l'unité est moindre que lequarréde la fraction ———.Diaprés

cela , on démontre sans difficulté , que les termes qui , dans les développements de sinus et de cosinuf , compris sous le signe S des expressions de m,v ciij correspondent à ces dernières Taleurs de mL, sont tous négligeables par rapport i ceux que fournit la première

• /ad

ce qui ^ au degré d'approximation indiqué ^ fait cofncider ces mêmes

pressions avec leurs correspondantes du texte.

Au surplus , les formules générales de cette note , quoique déduites d'une analyse analogue à celle dont s'est serti, M. Navier, aux $$ X et XI de l'ouvrage déjà oité, en difl^ rent néanmoins quant au fond , attendu que cet iUustre ingénieur suppose qu'à l'instant où la charge Q reçoit la vitesse initiale Vi , le prisme ait déjà pris , souë cette charge, l'allongement de stabilité dont nous avons parlé aux N»* 3io, 3ia et sniv. ; ce qui fait disparaître, des séries ci- dessus, tous les termes qui, étaht indépendants de Y,, expriment la loi du mouvement vibratoire, relatif au cas où le poids Q agirait sans vitesse antérieurement acquise. Dans quelques circonstances, la question peut, en effet, se présenter sous ce double aspect ; mais il nous a semblé utile, tout en justifiant les résultats particuliers du texte , de faire connaStre ici la solution qui se rapporte à Phypothèse la plus générale , et qu^ conduit aussi aux plus grandes valeurs des allongements subis par les prismes.

D'après ce que Ton connaît d'ailleurs touchant les séries de la forme de celles qui nous oeoupeat^ et tout ce qu'en a dit, en particulier , M. Navier, aux endroits déjà cités de son •avant ouvrage , il est inutile d'insister sur ce qui arrive dans le cas où le poids Q , étant à

l'inverse très-petit vis-à-vis de celui du prisme,on a approximativementfîiL=^^=r— ~^-p-pi ,

Ad au lieu de nie -\ -, non plusque sur le défaut d'isochronisme des mouvements exécutés,

dans l6 cas général , par les divers éléments de ce prisme. Il suffit de rappeler que ces mou<vements, se composent, eux-mêmes , d'une infinité d'oscillations simples analogues à celles qui nous ont occupé dans le texte , mais qui , étant privées d'une mesure commune , quant a la durée, ne permettent pas, au prisme, de reprendre rigoureusement, à aucun instant, soB état primitif d'équilibre , ou l'un quelconque des états intermédiaires par lesquels il a déjà passé, et qui vont ainsi constamment en se modifiant. Quant aux effets qui seraiejit dus séparément à l'action du poids Q, et à sa force vive initiale, on voit, par les expres>tions cwlessus , qu'ils s'ajoutent, se superposent, en qurique sorte , saus se nuire réciproquement; cireonstance qui se présente dans tous les phénomènes de vibration où le déplacement relatif des molécules demeure asseï petit, pour que l'élasticité ne soit, i aucun instant, altérée, et pour que ce déplacement relatif lui-même demeure proportionnel à la force qui est censée directement le produire.

!'• PARTCH. 34

206 MÉCANIQUE llNDUSTRiELLE.

que la longueur de la partie 5 A (FIg. 50 et Si) , est ici représentée par r , t't que /> = A. D dans les formules du N*> 510, on en conclura que les valeurs qui doivent être ajoutées à celles de P, t et « mentionnées ci-dessus , afin de tenir compte du poids des éléments du prisme , sont respectivement :

pour la !'• ou P, f .6B = AD(L — a:),

, •„ . *B AD(L— â?) 1 pour la 2»« ou t , ^ÏE^" — aË '

I'*»" '« 5~ •»" ^' AÉ -'^^âÂl • *^ =ÂF'-2ÂE *^-

Mais on n*aperçoit pas aussi clairement, par la voie du raisonnement ordifiaire , quelle est la nature des modifications qu'il fafudrait faire subir aux formules primitives, pour tenir compte de Tinfluence exercée, aux divers instants , par Tinerlie des éléments matériels du prisme ; et, sous ce rapport, ranalyse algébrique offre un immense avantage sur les considérations directes de la géométrie ou du raisonnement, quoique les résultats n'y apparaissent alors, que dans un état de Complication qui les rend peu applicables aux besoins de la pratique»

Du mouvement oseilhtaire des prismes dont la charge permanente est saumùe à r action d^un choc vif 4

S23. Des premiers effets d'un choc vif^ ou de la vitesse initiale qui en résulte^ Dans les N*"312 et 318^ nous avons examiné hnfluence qiii peut être due à la force vive acquise , par la charge , lors des premiers allongénoients du prisme, ou à celle qu'elle possède déjà a l'instant où elle vient reposer sur son extrémité inférieure; ici nous supposerons que la charge Q, toujours censée fixement attachée au prisme , reçoive elle-même un choc à* l'instant où celui-ci est parvenu , sous l'action de cette charge et après ua nombre d'oscillations plus ou moins grand (^16), à l'état de stabilité pour lequel son allongement permanent est mesuré (S12} par la quantité

Z' = ^ , ou , plus rîgôuf eusefnent , sî Ton veut avoir égard (510) à l'effet

initial de son propre poids ^ L = ADL , par la quantité

QL pP

ÂE'^'AE'

qui différera toujours extrêmement peu de la pfenûiiëre, dans les cas d'ap-' piication.

Cela posé ^ nous nommerons Q' lé poids, et M' = ^ la massé du corps

étranger, qui sera censé venir choquer le premier, ou Q, atecf la vitesse V, qu'il aurait acquise, par exemple, en tombant verticalement de la hauteur H', le long du prisme qu'il ne ferait simplement qu'e mbrasse r ,

sans le toucher, daûs sa chute, de sorte qu'an aurait V'== |/ îgK'. L* question principale consiste évidemment encore, à rechercher, comme aux M""' 312 et 318, le plus grand allongement subi par ce prisme à l'instant où le mouvement de descente de Q et Q' a cessé , et où la pression se' trouve réduite à celle de Q + Q'; mais, pour le découvrir .il ne suffirait pas ici d'égaler simplement la demi-force ^ive { MT'% ou Q'H' à la quan Vile de travail qui est développée , dans le même sens , par les poids Q , C'y

et^ en sens contraire, par la résistance élastique A£i, du prisme, durant la première période de rallongement; car , par suite de la réaction qui a lieu à rinstant du choc^ les masses M et W subissent, de leur côté . une compression, une déformation qui entraîne, avec elle, une perte plus ou grande de travail ou de force vive (16 j) qull faut, au préalable, savoir évaluer. Or il est clair que cette déformation , cette perte est plus faible que celle qui aurait lieu si la tige de suspension était parfaitement inextensible, et un peu plus forte que celle qui surviendrait si le corps Q^ quoique primitivement en repos, était entièrement libre de se mouvoir sous les efforts de réaction que lui fait éprouver Q', animé de la vitesse V; et ceci offre un nouvel exemple de Timpossibilité où l'on se trouve de déterminer les véritables circonstances du choc , quand on ignore la loi de la compressibilité des corps qui y sont soumis.

Pour en apercevoir le motif, on reprendra les raisonnements des N**' 1S4 et suivants, et l'on remarquera que, si on nomme v et v^ les degrés de vitesse, perdu par le premier et gagné par le second, pendanit

la durée du temps infiniment petit ^, on n^a plus ici simplement F = M -

= M' -et partant Mi?==? MV pour chacun dçs instants de la compression^ mais biei\

le produit AE* représentant iQujoMrs (23.6). Tçffort de réaction opposé, dans tout Tintervalle où Téiasticité demeure parfaite, par la tige de susr pension dont on néglige ici le poids et Tin^rti^ d^^s parties^ comme étant insensibles par rapp4;>rt ^ ceux des masses M et M'«

En effet, si les poids Q et Q', ainsi que les.çfforts AÇ» opposés par cette tige, étaient comparables à Tintepsité de la, force de% réaction F, ce qui arriverait pour des corps très-çompressiblea, il faudrait bienavQir égard à leur influence qui copsiste à augmenter ou à diniinuçr cette intensité, suivant le sens indiqué pgr les signes + et — , dont ils sont précédés dan$ les équations ci-dessus. Or , comm,e la première donne pour F, la valeur

Q' + M'—^ on peut bien renaplacer cette valeur dans la deuxièmç , ce quj

donne simplement

Q'4-M'~+Q-AEi=Mj , ou (Q-f.Q'~ AEiV=Mt?-M't7'j

mais cette nouvelle égalité ne peut pas servir immédiatement à faire trouver lés quantités de mouvement perdues et gagnées à chacun des instants du choc,^ ni par coujséquent qelle qui a lieu après sa durée, comme cela arriverait dqns le cas déjà cité dès corps entièrement libres.

Supposant, au contraire, que la résistance à la coippression, des masses M et M', qui subissent directement l'action du choc, soit très-grande par rapport à leurs poids P et Q et à la résistance AEt de la tige, ou, ce qui revient au même, supposant que leurs impressions réciproques, pendant le choc, soient co.mmé iixsensil?les par rapport aux allongements / = tX, éprouvés par cette tige, alQrs on retombera dans la condition F = Mp = U'v\ en vertu de laquelle ÎVl et M' prennent (155) la vitesse commune

avant qae la tige se soit allongée d'ane manière appréciable^ par suite,

elles agiront, surcettemême tîge, avec une quantité de mouvement (M+M) V. = M'V, ou une force vive initiale mesurée simplement par M' O' 2Q"H'

au lieu de M'V*, et à laquelle correspond une perte antérieure mesurée, àsontour(l6i), par l'expression

puisque les corps sont ici censés ne point se quitter après l'instant qui suit la première impression (159).

Que si d'ailleurs , la masse M était, elle-même, déjà animée d'une vitesse V", dirigée ou non dans le sens de V, et à laquelle correspondrait une certaine valeur donnée de l'allongement / du prisme, alors on aurait (168) pour mesurer, dans les mêmes hypothèses, la vitesse et la force vive communes à ces deux corps, à l'instant où le choc a cessé,

^'~ M-i-M' ~ Q-^Q' ' rMJ-M'^v2 (MV^^MVT (QT^QYT

les signes supérieurs de rambiguitè =h , devant être adoptés dans le premier cas où Q marche dans le sens de Q', et les signes inférieurs dans le deuxième.

Ces préliminaires étant admis, rien n'est plus facile, comme on va le voir, que d'appliquer au cas générai qui nous occupe, les diflférentes considérations exposées dans les numéros qui précèdent.

324. Méthoden et formules pour apprécier les effets d'un tel chûc. Sons le point de vue de la résistance des prismes, on n'a point à s'occuper de ce qui survient après la première période de Talloncement, puisqu'on sait, par l'expérience, que, si la limite d'élasticité naturelle n'y a point été atteinte, elle ne le sera pas, à /br/iort, dans les oscillations suivantes, où l'amplitude des excursions de la charge va sans cesse en diminuant ; du moins, il ne parait pas qu'on doive ici admettre cette cause, encore mal définie (249 etsuiv.), et qui ferait dépendre la résistance élastique, de l'influence du temps ou du nombre, de la répétition des effets, même en deçà de la limite dont il s'agit.

Méthode générale. Ayant appris, ci-dessus, à calculer approximativement la force vive initiale (M + M') Y\ , ou (Q -f- Q') —, commune aux

g deux masses, M et M\ à la fin du choc dont la durée est censée extrêmement petite par rapport à celle de la première période du mouvement , où rallongement du prisme , de t qu'il était d'abord sous l'influence de la charge permanente , Q (313 et 318), devient, je suppose, L', à l'instant où la masse M + W est réduite au repos; il ne s'agira, en vertu du principe des N*»» 136 et 137 , ainsi que des observations déjà faites aux N~ 312 et suiv. , que de rechercher si la moitié de cette force vive , augmentée de la quantité de travail (Q -f Q') (L' — /') qu'y ajoute la pesanteur pendant la descente efl^ective des deux corps de la hauteur L' — T, plus encore, de celle que suppose rallongement primitif, /' , du prisme, et qui , dans l'hypothèse d'une élasticité parfaite, et où la masse M se trouverait au repos à l'instant du choc, petit être mesurée (312) par le produit l Q/'

î=îQ^ ou^ AELi"*,!! ne s'agira, disons-nous, que de voir si la

AË somme de ces quantités surpasse ou non la résistance vive d'élasticité , T. = t;aL, ou la résistance vive de rupture, Tr = T'rAL (247), dont les coefficients, T\, TV, sont donnés par les tables des N" 275 , 296 et sui?., pour être en mesure de reconnaître, à Taide d'un calcul facile et doQt nous offrirons un exemple dans la partie des applications, s'il y a cbance que Télasticité du prisme soit énervée par les effets qui succèdent au choc, ou que la rupture immédiate s'ensuive. A l'aide du principe déjà cité, et des courbes qui expriment (Fig. 47 et 48, N*** 274 et 290) la loi des allongements des prismes de diverses substances, on pourra également étudier, par des constructions ou des tâtonnements faciles , les particularités essentielles du phénomène de rallongement produit sous l'iofluence de la \itesse initiale et des efforts exercés par les poids réunis des deux charges. Mais, en supposant, comme au M"" 318 et comme il convient généralement de le faire dans les projets d'établissement des constructions, qu'on limite la question au cas où ces effets doivent laisser l'élasticité du prisme intacte, il deviendra possible encore de soumettre directement ces circonstances au calcul.

Allongement masimum dans l'hypothèse d'une élasticité parfaite. En limitant la question au cas où la charge Q se trouve au repos à l'instant du choc, et nommant toujours V le plus grand allongement subi par le prisme , ou I rallongement proportionnel qui lui correspond , sa valeur s'obtiendra au moyen de Téquation

(Q + Q')Ç' + (Q+Q')(I-»')L+UELi'^ = lAELP,

qui exprime précisément que l'égalité a lieu entre les diverses quantités dont, il vient d*élre parlé ci-dessus, attendu que^ dans Thypothèse d'une élasticité parfaite, le produit ^ AELP mesure (247) la résistance vive totale, T., du prisme.

On mettra cette équation sous une forme plus simple et plus commode pour le calcul ou la discussion géométrique, si, après avoir multiplié

2L tous ses termes par la fraction — , on observe que l'on a

L'=IL, Q=AE.'=AE^, ou ^^^'^ r ' Ë=^''

et qu'on pose , en outre , par analogie ,