AE~V-L ' AE

^' et r représentant ainsi l'allongement proportionnel et l'allongement effectif que subirait le prisme sous un effort permanent égal au poids Q" du corps choquant. Cette équation prendra , en effet, la forme

et donnera , par les méthodes connues , en posant de nouveau pour abréger (822) ,

L' ou IL

270 MfÇANIQUE INDLSTRIELLE.

double valeur dont la plus grande doit ^ comme au N"* 318 , correspondre toujours au maximum de l'allongement , et la plus petite à son minimum si elle est positive, ou au maximum de raccourcissement subi par le prisme, dans son oscillation en retour, si elle est , au contraire , négative; c'est-àdire si elle doit être portée (jSg. 51) en sens opposé par rapport à l'extrémité inférieure, B, du prisme considéré dans son état naturel. Mais, d'après ce qui a déjà été remarqué au N" 320, ce dernier résultat est sujet à restriction, et suppose, tout au moins , que les poids Q et Q\ demeurent assez unis entre eux et avec la barre , par suite des déformations ou résistances accidentelles qui naîtraient du choc , pour qu'ils ne puissent se séparer aux instants où la réaction élastique du prisme vient a s'exercer en sens contraire du mouvement acquis dans l'oscillation en retour. Afin d'éviter d'interrompre le fil des idées , nous ferons , pour le moment , abstraction de ces circonstances particulières , sauf à y revenir plus tard , quand il s*ag|ra des appli,cations spéciales de cette théorie du mouvement oscillatoire. Equation fondamentale du mouvement. Le principe des forces vives (i36 et 437) mettra pareillement à même de découvrir, pour le cas dont il s'agit« la relation qui sert à calculer la vitesse Y, commune aux deux masses M et M\ à un instant quelconque de leur mouvement , par exemple , à celui qui correspond à un allongement donné» l = iLj pourvu qu'il soit ici permis encore (313) de négliger l'influence due à l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme. Car l'accroissement (M + W) (V* — V\) iqu'aura reçu la force vive de ces masses , depuis l'origine du mouvement, devra être égal au double de la quantité de travail (Q -f- Q) (/ — développée, sur elles, par la pesanteur, pendant leur descente delahauteur / — t,

diminuée du double delà quantité de travail, *- AEL (t» — r)=^ > ~{P— ^),

qui est développée ^ en sens contraire , par la résistance élastique , A£t , du prisme, pendant la durée de cette même descente ; c'est-à-dire qu'on aijra, pour déterminer Y, au moyen de /, la nouvelle relation

!a±2:'v-!2±2;iv..-.(Q+ff),<-o-^«'-a

qui , en multipliant tous ses termes par •— ; » et en ayant égard aux obser-

AK

valions et conventions ci-dessus , devient successivement

par des transformations algébriques bien connues , mais qu'il nous eût été très-facile d'éviter, ou plutôt de suppléer entièrement , tant dans cette question que dans la précédente , si nous n'avions voulu montrer, par un ûouvel exemple , comment l'application du principe des forces vives peut conduire directement au but , sans recourir aux données que nous avons précédemment acquises sur la nature du mouvement oscillatoire des pismes.

525. Interprétation géométrique den résultats et lois du mouvement qui succède au choc. Rien n'est plus simple que d'interpréter, dans le langage géométrique , les résultats auxquels on vient de parvenir en dernier lieu , et dont l'analogie avec ceux qui ont été exposés, pour des cas particuliers, dans les N"* 313 et suiv. , est facile à saisir : BG représentant (fig. 51) la quantité t^ dont , par hypothèse , s'est allongé primitivement le prisme vertical , AB , sous la charge permanente Q , et CO celle , T, dont il s'allongerait par l'influence immédiate de Q', BO représentera pareillement l'allongement total de stabilité , /' + /", qui entre dans les formules ci-

i)E$ RÉSISTANCES. 27|

dessus , et que prendrait le prisme sous raction d*une charge unique Q + Q', allongement qui ^ en vertu du principe établi à hr An du N" 512', doit correspondre aussi à Tinstant où la vitesse Yi ayant atteint sa valeur maximum , Tinertie ne joue plus aucun rôle, et où Fe^^rémité inférieureV B, dupri$me\ atteint, elle-même, le centre ou miliéù.dé ses courses ascendantes et descendantes , dans le mouvement oscHlatoire qui succède au choc.

Allongenient et ctffiirààtion maximum. Ô'fliprè's Cela' , si Tori porte , sur Tordonnée Ou hot*t^o)itate du pMnH, G , qifi indienne la position initiale dé

cette extrémité , la distance CN' = — i , il est évident que Thypothénuse

ON'=/OC*+"CN'' =m/r«-j.JÇi,

sera le rayon r^ d*un cercle dont les intersections, B'' et D'', avec la direction prolonigée de Taxe du- prisme, donneront les positions extréoïes de hj On aura donc aussi*

BB''=OB''-^OB=%/r« + I^--(/'+r),

qui sont précisément. Tune la plus petite., et l'autre la plus grande des valeurs absolueis de If^ trouvées ci-dessus (324), par la voie purement analytique.

Vitesses et allongètnenis quelconques. Supposons que y représente Tune' des positions intermédiaires de B^ pendant son mouvement descendant, de sorte que Bt/ soit précisément égal a /. Si l'on élève, en ce point et au cercle mentionné, Tordonnée yM' dont le carré

^' = W- Oy '=^CMP*-^(yB--OB)^=V'»+p^ ^{i^t+rf\

y celte ordonnée représcûtera précisément la valeur de-., que fournit la

dernière des équations du N^" ^24 ; ce qui pbouveqtie toutes les circonstances du mouvement oscillatoire, déjà étudiées dans les N'^'SIS et suit., pour le cas particulier d'une seule masse M, animée de la vitesse Vp se reprodui* sent exactement ici, pourvu qu'on substitue la considération du cercle B'N'jy'B" à celle des cercles BnDB, B'ND'B', etc. ; conséquence évidente à priori^ puisque le mouvelneht oscillatoire des deux masses, M et M', lorsqu'elles sont une fois réunies et que rélasticité n'est en^ aucun insCant altérée, ne saurait différer de celui d'une niasse unique, M + M', suspendue à l'extrémité inférieure du prisme, AB, et qui aurait reçu, en G, une vitesse initiale, Vr , capable de lui faire atteindre Tuné ou Tautre des positions extrêmes D" et B".

yhnpUiude^ durée ei nombre desùseillation's. Ges rapprocbçjménls et toùt ce qui a été exposé aux M<^ 318 et suiv., nous dispensent d'entrei' dans la diseussion détaillée des autres particularités du mouvement', relatives au cas général qui notis occupe, et dont la plus remarquable est, sans contredit encore, l'indépendance complète qui existe'entre le nombre, la dui^éer des oscillations , et leur amplitude, l'intensité du choc ou la vitesse du mouvement. On aura, en efFet (S^^IS), pour calculer cette durée.

^1l = ON',

*,.0N' fc,r. *. V j? V <,AE '

attendu qu'ici les quantités

dont la dernière exprime aussi la demi-amplitude des oscillations, remplacent celles qui ont été désignées simplement par ib et r au N° 519.

Quant au nombre N, des oscillations par seconde, on le trouvera au moyen des formules

T 2* Î^V ^ + ^' 2»^V (Q+Q')L' qui sont pareillement indépendantes de la vitesse initiale, Y^ , et de Pamplilude, âri, des oscillations du prisme, mats non pas de la charge Q+Q\ qui le sollicite d*une manière constante, à partir de Finstant du choc. Ce dernier pourrait d'ailleurs avoir lieu dans un sens contraire et pour une position, de Q ou de B, y par exemple, très-différente de C, sans qu'il y eût de changé autre chose que la valeur de V^ (322) et la {^[randeur de la demi-amplitude ou du rayon ri, du nouveau cercle, B"N'D"B", à considérer , lequel aurait toujours pour centre le point , et pour ondonnée

yM', en y, la nouvelle valeur de 7-^ ; ce qui donnerait encore

kl ■

r, OU OM' = i/WTy^' = \/oi+^r^

et mettrait ainsi en mesure de discuter toutes les circonstances du nouveau mouvement.

Formules analytiques du mouvement. Il nous suffira ici de faire connaître celles qui concernent spécialement le temps^ et qui peuvent être imroé- 1 diatement déduites de leurs correspondantes des N°' 319 et suiv. Remarquant à cet efFet. que, dans le cas actuel ,^ ce temps doit être compté à ' partir de l'époque où l'extrémité inférieure, B , du prisme , est en C, on I verra (319) que, si Ton nomme, en général, T sa valeur, en secondes , | relative à la position quelconque, y, de cette extrémité, ou à rallonge- | ment total, By==/, subi par le prisme, sa relation avec l'arc N'M', ou | l'angle T^'OW , sera ici donnée par les formules

^ arcW'M- arcNM ^ angNOM^ «mrN'OM'-iT ^^V^W^nt;^- k, ' angNOM-^.T.

Nommant^ de plus,T' le temps qui correspond à l'arc B"N', ou à Tangle B"ON' , et qui est également donné par le rapport inverse du nombre constant , k{^^ cet angle censé mesuré toujours dans le cercle qui a l'unité pour rayon , il sera aisé d'apercevoir quelle est la nature des changements à effectuer, tant dans les formules du N"" 319 que dans toutes celles du N"* 322 , pour obtenir les expressions qui appartiennent au cas actuel.

Ainsi , par exemple , on aura pour calculer , à un instant quelconque indiqué par la valeur de T , l'allongement / ou By , subi par le prisme entier , AB ,

/=B0 4-0y== /' + /' — OM'.cosB"OI«'=/'+/" — r, cos *, (T+T'j, attendu que le cosinus de l'angle obtus B'^OM", doit ici changer de signe.

En employant les transformations trigonométriques indiquées dans la iiote du Mo 319, et observant qu'ici encore , on a (324)

or t' wr V

cos*,r=cosro]r= g^=-. ''^^'''^^^'^m = i^^

cette formuréf prendra là forme plus ei^pli'cite

£=/+/"{! -~cosfcJ)+^sin fcj.

On aura d(onc aussi (-^21^ et 822) , pour calculer, en général, rallongement z , subi , au même instant , par la partie quelconque A6 = « , du prisme , la formule

dans laquelle f , ^' et Yi ont les valeurs

AE^ A®' ^» — ç^Q'^'— zqry, V',

déjà indiquées précédemment (822 et 324), et où il serait facile dé tenir compte (822) des termes relatifs à Tinfluence exercée par le poids des parties matérielles du prisme (1).

On remarquera, au surplus, que, pour.rentrer dans les conditions des N" 818 et suiv. , il suffirait de supposer /' et Q nuls , dans les formules ci-dessus^ sauf en suite à- remplacer, dans les résultats, /"et Q' par /' et Q, puisqu'on exprittierait, par là , que le mouven^ent du prisme est sim-

prisme.

(i) Pour k cas qdl nous occupe ^ l'expreision générale de s, déduite d^une analyse M>mblable à ceUc qui est indiquée dans le note du No 3aa , et ou Ton tient compte de Tinertie des molécules du prisme, devient^ en conservant toujours à Bm la même signification

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