ADI

ci*-desstts , quand ■ ■ ■ ^ où m sont censés des quantités très-petites;

Cest , au surplus , un résultai auquel on arrive directement d'après he principe de super^ positioti' mentionné à la fin dé la note du N» Saa; car ici le poids Q doit être nul dans le premier terme de la parenthèse , puisque nous' supposoiis le prisme en équilibre , sous l'act tiôti de ce poids, à Tinstant où le choc s'opère. Quant au cas où Q posséderait, a cet instant, dhe certaine vitesse, à laquelle correspondrait un allongement et un état dn prisme,' déterminés par les lois d'un mouvement oscillatoire antérieur au choc, rétablissement des' uentdUs formules né serait guère plus diflScile.

K' PAITIE âS

CONSÉQUENCES ET APPLICATIONS DIVERSES CONCERNANT LES EFFETS DES MOUVEMENTS lUrPRlMÉS AUX PRISSES.

326. Résumé des principales do ces consé^enœs. JS^ti rapprochant entr4; €ux les divers résultats auxquels ont vient de parvenir dans le chapitre qui précède, il en découle deux principes généraux vérifiés par Texpérience^ ^u'il est essentiel de retenir pour Texplication de plusieurs faits relatifs au mouvement oscillatoire, et dont la connaissance mettra à même de résoudre^ sans nouveaux cakuls, diverses questions qui se présentent dans les applications de la méeanique :

1° Le nombre et la durée des oscillations des prismes sont ^ dans les limites où l'élasticité demeure parfaite , entièrement indépendants (319 et 32S) de Fintensilé des chocs ou de la vitesse imprimée, et uniquement relatifs à la valeur de la résistance élastique naturelle, £, de ces prismes, a leur longueur absolue, L, et à leur teiisioB primitive ou naturelle, c'esti-dire aux poids^ aux efforts , Q ou Q -j- Q', qui les sollicitent , d'une manière constante^ pendant le mouvement;

2° Les mêmes choses ont lieu également à Tégard des divers points (321) qui, pendant ce mouvement, indiquent h position moyenne de chacun des éléments des prismes, et qu'on pourrait ainsi nommer leurs centres d'oscillation, si ce mot n'était déjà employé en mécanique pour désigner toute autre chose.

La position de ces divers points ou centres, par rapport à celle qui correspond à l'état naturel de chaque prisme , est, comme on l'a vu (314, 318, 321 et 325), donnée par la position même d'équilibre que prendrait l'élément correspondant de ce prisme, sous l'influence de la charge constante qui sollicite son extrémité inférieure , et dont, par hypothèse^ les efforts se propagent , d'une manière à peu près instantanée, à ses difPérentes parties. Ces mêmes points milieux ou centres, indiquent aussi, comme on l'a vu , notamment aux N"^ 312 et 314, la position pour laquelle la vitesse de Téiément correspondant du prisme cessant de varier pendant tin très-petit instant, atteint sa limite supérieure à chacune des demi-

oscillations de la charge; rinfluence de Tinertie et la force m-, qui la i*e-

présente , devenant ainsi nulles au même instant.

Quant à la durée et au nombre des oscillations isochrones et simultanées, exécutées par les divers points matériels du prisme, ils dépendent essentiellement (315 , 319 , 321 et 325} du nombre houk^^ dont la valeu" est généralement donnée par la racine quarrée du rapport de g ou 9m,809, à la distance qui sépare la position moyenne de chacun de ces points matéfiels , de sa position relative à Tétat naturel : cette durée, ce nombre des oscillations entières par seconde, sont eux-mêmes donnés dans chaque cas : la première , par le quotient de 2îr = 6,2832 divisé par k ou *, , le second, par le quotient de ce même nonabre divîsé par Sx- ; ce qui en rend le calcul très-simple et, redisons-le, tout à fait indépendant de l'intensité de la vitesse en chacun des points du prisme.

Faits d'expériences et questions relative^ à V extinction et à P accumulation du mouvement vibratoire^

327. Ulililé des principes qui précèdent, pour les applications. Pour en oflTrir tout d'abord un exemple, nous rappellerons ce fait d'expérience

DES IIESISTANCRS. 27o

déjà énoncé au N" 315, et d'après lequel les oscillations des corps considérés dans leur état naturel, loin de se perpétuer indéfiniment^ comme le suppose la théorie, vont, au contraire, sans cesse en diminuant et finissient bientôt par s'éteindre complètement; car on conclura sur le champ , des principes généraux énoncés au N° 3*26 , cette conséquence : que si l'élasticité a'un prisme n'a pas été altérée à la fin de la première période du mouvement, ou du plus grand allongement, la durée de ses oscillations, leur nombre en un temps donné, et la position moyenne de chacun de ses éléments, ont dû rester les mêmes jusqu'aux derniers instants de ce mouvement , quoique l'amplitude même des oscillations ait sans cesse varié jusqu'à devenir complètement nulle. Or cette conséquence, ce nouveau principe est non-seulement vérifié par rexpérience, |K)ur le cas particulier des prismes, mais il s'étend généralement, comme le démontre le calcul , à tous les mouvements oscillatoires ou vibratoires dont l'amplitude est assez faible pour que la force qui anime les parties, n'ait pas été modifiée dans sa nature, c'est-à-dire dans la loi de proportionnalité qu'elle suit par rapport aux distances.

Supposez , maintenant , qu un corps suspendu à l'extrémité d'un prisme vienne, au milieu de ses oscillations régulières , produites par une cause antérieure quelconque , à subir un nouveau choc de la part d'un corps étranger, et dont l'actionne dure que pendant un certain temps, on saura , à l'avance , que le mouvement oscillatoire qui succédera à cette première ioapression , suivra les mêmes lois que le précèdent ; que l'étendue des excursions des molécules de part et d'autre de leur position moyenne, sera seule modifiée ; qu'en un mot , cette position , le nombre et la du- , rée des oscillations ou vibrations seront demeurés tels qu'ils étaient en premier fieu.

Sfl s'îagit notamment d'un choc vif survenu en un point quelconque de b course du corps suspendu au prisme ; connaissant d'ailleurs la vitesse Y' de ce corps au point où le choc s'opère, il deviendra possible, au moyen des principes établis dans les N"»* 323 et suiv.^ et en procédant spécialement comme on l'a fait au N» 525 , de découvrir , non-seulement la vitesse y^ qui succède immédiatement à Y\ mais encore la nouvelle amplitude des oscillations , les plus grands allongements ou accourcissements qui en résultent, toujours dans l'hypothèse d'une élasticité parfaite ; car (326) la valeur du nombre k^ n'ayant pas changé ^ non plus que le centre du cercle qui appartient au nouveau mouvement, on sera en état de calculer ou de construire le rayon r, de ce cercle , au moyen de l'ordonnée relative au point où le choc a lieu , et qui est toujours donnée par le rapport de la vitesse V, , commune, en ce point , aux deux masses choquantes , et du nombre k^ dont il vient d'être parlé.

Lorsqu'au premier choc, il en succédera un deuxième, un troisième , et ainsi de suite, on pourra calculer de même successivement, les amplitudes croissantes ou décroissantes des nouvelles oscillations dont la durée ne sera nullement changée, pourvu toujours que l'on reste dans les anciennes hypothèses d'élasticité. Mais , afin de préciser davantage les idées , nous oflrirons. dans les numéros ci-après, quelques exemples particuliers des lois par lesquelles peut s'opérer cette accumulation ou cette soustraction progressive du mouvement dans les prismes»

328. Examen des circonstances qui accompagnent le choc en retour des prismes, Nous avoBs annoncé dans le N"" 324 , que nous reviendrions sur les circonstances que présentent, dans le mouvement de retour du prisme vers l'état naturel, les deux masses M et M' , censées libres, de s'élever, en glissant le long de ce prisme. Le phénomène des chocs et vibrations successives qu'il éprouve en raison de cette indépendance des masses ,

étant beaucoup trop compliqué dans le cas où celles-ci pourraient se détacher à la fois de son extrémité inférieure , puisqu'il conviendrait alors (320) de tenir compte du rôle que joue Finertie de ses parties matérielles dans le mouvement vibratoire qui succède à sa séparation d'avec les masses M et M% nous supposerons que la dernière de ces masses soit seule libre de se détacher, et que Tautre , au contraire, fasse système avec la partie inJPërieure di^ prisnie dont le poids , pAL (S]0] , sera ici encore censé très-petit par rapport à celui des deux niasses, hypothèses qui , au surplus, se réalisent presque toujours dans les cas d'application. Mais, comme il peut aussi arriver que la masse M' se trouve liée d'une manière accidentelle quelconque à la masse M , nous chercherons préalablement quel est le plus grand des efforts qui tendent à les séparer l'une de l'autre, dans les inst'ants où le prisme vient à se contracter , de plus en plus, après avoif dépassé , dans Toscillation ascendant^, sa position naturelle AB(Fig.B<):

A cet effet, on remarquera que M' n'a de tendance à quitter M, qu'en raison de ce que la réaction élastique , P = AEi , du prisme , ayant changé de sens ou de signe dans tous ces instant^, agit pour retarder, de plus en plus, le mouvement de celle-ci par rapport à celui de l'aujtre, qui ne saurait en être inJ9uencé autrement qu'en vertu d<^ Içur liaison réciproque, et qui cesserait' de l'être dès l'instant où cette liaison viendrait à être détruite ^ar suite de l'accroissement d'intensité de leur réaction commune. D'ailleurs , cette question, où il s'agit de déterminer l'effort de séparation des deux masses M et M', est entièrement analogue à celle qui nous a déjà occupé (3!23) , pour le cas inverse du choc de ces masses; et , comme en négligeant ici encore, par rapport au mouvement commun dû aux contractions du prisme, lé mouvement relatif qu'elles peuvent prendre, en raison de la déformatipn, de l'extension subies par certaines de leurs parties , ou , plus spécialement , par les courts liens qui les unissent accidentellement, lès accroissements élémentaires, V et vV 4e ièur vitesse, devront être censés les mêmes à tous les instants de la réaction ; de sorte qu'il deviendra, pour le cas qui nous occupe , également possible de déterminer les valeurs de F , à ces divers instants , par la .coi^naissance de la loi du mouvement commun dont il vient d'être parlé.

Raisonnant donc ici, à peu près comme on l'a fait dans cet endroit, si ce n'est que F devient Yçffovt de réaction qui s'opposç , de bas en haut pour la masse M et de haut en bas pour la masse M^ à leur séparation mutuelle, on aura évidemment, pendant la durée entier)^ de cette} réaction,

F+Q/=M'-ppurlal'% içtE-|-M^ = Q-l-Pppurla2?,

attendu , je le répète , que ces masses cheminent de compagnie , et au'on néglige la faible déformation qu'elle^ peuvent subir sous l'influence ae F, ce qui rend v=v. On aura donc aussi, à tous les instants de la réaction,

ce qui donne

pour calculer , à chacun de ces instants , le degré v, du ralentissement éprouvé par les masses, ainsi que l'effort de réaction F, qui en résulte ^ et dont la plus grande valeur correspondra évidemment au maximum même

DES RÉSISTANCES. Pl

de l'accQureissemeDt, i ou I, doniié par la formule

IL y/

des N»* 324 et 325, laquelle permettra ainsi de calculer rigoureusement ce plus grand effort dans chaque cas.

Il est évident d*ailleurs que ces formules mettront en mesure, non-seulement de découvrir la loi du mouvement pendant la durée des accourcissements du prisme, loi qui sera immédiatement donnée (325) par la partie du cercle B^N'D'^B" ( Fig. 51 ), comprise entre B" et le prolongement de NB^ mais encore de déterminer^ soit le degré de résistance que, dans certains cas, il faudra procurer aux attaches, pour empécjber que la masse W ne cjuitte M , soit l'intensité de leur vitesse commune à l'instant où cette résistance, supposée donnée à priori^ se trouve être entiérenieni; vaincue.

Considérant maintenant ce qui arrive après cette séparation , dont Ter poque pourra également être assignée par le calcul, ou,. ce qui revient au même , supposant désormais que la masse M' soit entièrement libre de se détacher, de M, avec la vitesse Y, qu'elle a reprise, en sens contraire , au point B , dans le mouvement de retour du prisme vers l'état naturel ; il arrivera, à peu près, ce qui a déjà été expliqué au N» 320 pour le cas d'une seule masse litre elle-même de quitter son appui sur le prisme. Seulement, ici, le poids Q, qui remplace cet appui, ayant une très-grande valeur par rapport à celle du poids pAL de ce prisme, il deviendra possible de caK culer, avecexactitude(31o et suiv.), les circonstances du n^ouvement oscil? latoiréqui succède à sa séparation d*ayec Q' , et , par suite, tous les effets des chocs qui peuvent é^ résulter. D'un côté, la connaissance de la vitesse de séparation, y„ au point B, entraînera celle ^u cercle B'JÏD'R ou du mouvement oscillatoire de Q ; et, comme la loi de l'ascension et de la descente de Q' sera également connue ( 120 ) , on pourra , à l'aide d'un tâtonnement facile ou de l'intersection des courbes qui lient lés temps au^ chemins parcourus, déterminier rinstaiit e|; le point préc|s où Q' atteindra

de nouveau le poids Q, dans sa chute de la hauteur Hj=^,ce qui per-

mettra aussi (322) de calculer la vitesse initiale, très-différente de V», qui succède à ce choc, etc. B'un autre côté, non-seulement on sera en état^ au moyen de cette dernière donnée et des principes exposés dans les N"' 324 et suiv., de déterminer la loi du nouveau mouvement oscillatoire, le plus grand accourçissement subi par le prisme , etc. , mais, de plus, on saura , à priori^ quelle est 1^ yjtesçe avec laquelle s'ppèrfs la nouyelle séparation des deux masses en B, et ainsi de suite, en continuaiit les calculs jusqu'à ce qu'on arrive î un dernier choc et à une dernière oscillation, pour la*quelle , en raison des pertes de force vive , résultantes de chaque choc, le maximum d'accourçissement subi p^r le prisme se changera en minimum d'allongement 5 ce qui arrivera néçii^s^airement lorsque, pour une dernière vitesse initiale, V^ , qui pourra d'ailleurs, ainsi que les précédentes, ètrg contraire à celle que la masse M, possédait avant le choc, on aura

%/n+ pL <r+r, ou !• < /^ (r+^n;

condition facile à vérifier par le calcul ou la géométrie , puisqu'elle îHt dique simplement que le cercle B"N'D"B", relatif au dernier cboo et au mouvement oscillatoire final, ayant toujours pour centre le point » doit passer en deçà de B , par rapport à A. Mais il npùs suffit 4'avQir montré

278 MÉCAÎNIQUE INDUSTRIELLE.

la marche des calculs , dont le dételoppameol et l'application particulière' ne sauraient offrir de difficultés sérieuses.

329. Question relative à l'accumulation du mouv0ment oscillatoire dans les prismes. Supposez qu*un homme ^ saisisisant^ avec adresse , les instants où le poids oscillant ^ Q, susuendu à rexlrémité inférieure , B . du prisme (Rg. 51) , atteint la limite de sa course ascendante , ajoute à Q un nouvel effort^ ou plutôt un nouveau poids , Q\ qu'il abaodoane d'abord à luimême, sans vitesse acquise, pendant toute la demi-oscillation deseendante, et qu'il enlève ou supprime ensuite dans toute la demi^oseillation ascendante ^ sauf à recommencer et à continuer ainsi successivement les mêmes alternatives d'action; il est certain, d*après les principes oi-4essfii$ établis^ que la loi du mouvement restera la môme dans chacune des demi-oscillations respectives , descendantes ou descendantes, et qu'en admettant notamment les conventions du N"" 324 , celles-là se feront constamment autour du point , et celles-ci autour du point C« Or, cette swle donnée suffit pour mettre en état de découvrir, dans les hypothèses souvcûi mentionnées, toutes les circonstances du mouvement régulier qui succède à un nombre quelconque d'impulsions ou d'actioji3 pareilles de la part de la force motrice.

£n effet , le mouvement ascendant , qui succède immédiatement à un mouvement descendant , devant avoir la limite inférieure, par exemple D", commune avec lui , et cette limite devenant ajnsi un poipt de contact commun aux deux cercles correspondants , dont le centre est C pour le premier mouvement, et pour le second, il faut bien que le rayon de celui-ci, ou la demi-amplitude de Toscillalion ascendante , soit augmenté , à chaque fois , de la distance constante , CO , qui sépare ç^s centres ou points milieux. £t , comme la même chose aura lieu , à Pinverse , toutes les fois qu'à une oscillation ascendante , opérée sous la seule action de Q , succédera une oscillation descendante , qui le sera sous les actions réunies de Q et Q\ on voit très-clairement que les demi-amplitudes de ces oscillations alternatives, s'accroîtront successivement de quantités indiquées par la progression arithmétique ,

CO, 2C0, SCO ^«CO;

2n étant leur nombre , ou n celui de oscillations entières , à partir de celle où Q' s'ajoute , pour la première fois, à Q. Et , par conséquent, CD' étant la demi-amplitude , supposée constante , des oscillations exécutées antérieurement par Q , BD'-f 2iiC0 = CD' -f BC -f 2nC0, BB' -f 2nC0 = CD' — BC -f 2nC0,

sera rallongement ou raccourcissement subi finalement par le prisme, c'est-à-dire au bout des n alternatives d'action du poids Q\ si l'élasticité est demeurée parfaite , et que l'on continue à négliger la faible part d'influence quipeut être due à l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme , ainsi qu'aux pertes de force vive, occasionnées par la transmission du mouvement oscillatoire aux corps extérieurs , perte insensible pour chacune des alternatives d'action.

Supposons , à l'inverse, que le moteur trouvant le prisme dans l'état de mouvement qui est relatif au centre et^aux poids réunis de Q et Q', vienne à soustraire à chaque oscillation descendante , ce dernier poids , tout en le rétablissant dans l'oscillation contraire, sans lui permettre d'ailleurs (528) de quitter Q, aux instants où les allongements du prisme se changent en accourcissements , on voit que les amplitudes de ces oscillations iront en diminuant précisément suivant la progression arithmétique indiquée ci-dessus ^ et que le mouvement oscillatoire finira bientôt par s'étein4re complètement pour recroître ensuite dans le sens opposé ,.si la

posant d'ailleurs que ^ dans Tune ou Tantre hypothèse, cette tnéme puissance ajoute à la fois à Q , un poids Q', dans les oscillations ascendantes du prisme i et Ten retranehe dans Toscillation contraire, ou inversement . alors il est bien évident encore que la vitesse d'accroissement ou de décroissement des amplitudes de ces oscillations , sera précisément double de ce qu'elle était précédemment. Enfin , remplaçant ces actions lentes de la force motrice par une succession de chocs ou d*actions vives quelconque^, mais qui se reproduisent à des intervalles convenables et déterminés (326) par rénergie de la tension naturelle ou moyenne qu'éprouvent les éléments du prisme , avant ou après chaque réaction*, il ne paraîtra pas moins évident que des circonstances absolument semblables se reproduiront sous rinfluence de ces chocs vifs , sauf qu'ici le centre ou point milieu des oscillations , ascendantes et descendantes , ne variera, pour ainsi dire pas, si le corps choquant rejaillit ou quitte la charge permanente Q, aussitôt après le choc ; le rayon seul , de ces cercles , se trouvant instantanément augmenté ou diminué (319 et 525) d'une quantité relative à llntensité et au sens de l'action.

Ce sont là , au surplus , des résultats auxquels on parvient directement par le principe de la transmission du travail et des forces vives fl36 et 157), qui s'applique même au cas où le moteur agit d'une manière quelconque dans chacune des alternatives de mouvement. Car, en raisonnant ici comme on Ta fait en particulier aux N"* âlâ et 324, il paraîtra évident , puisque la force vive de la masse oscillante M, devient nulle au commencement et à la fin de ces alternatives, que, si /' représente le plus grand allongement au départ, et /n, en général, celui qui a lieu après un nombre quelconque « d'actions motrices , le travail mécanique que suppose ^ en lui-même, l'excès d'allongement/» — /', étant d'ailleurs mesuré

(324) par l'expression i ►— .(l^— /'*), celle-ci devra être précisément

égale à la somme des quantités de travail fournies par la puissance dans le sens du mouvement , moins la somme de celles qui l'ont été dans le sens contraire, plus encore la demi-somme des forces vives imprimées^ effectivement, au corps oscillant, lors des chocs vifs, c'est-à-dire abstraction faite des pertes qui en résultent et qui peuvent toujours s'évaluer approximativement, d'après les formules du JV"" 323, ou les pricipes des N"* 461 et suivants.

330. Deuxième question sur ce sujet; exemple relatif à Vart des constructions. Imaginez un homme placée debout, sur un support horizontal fixé à l'extrémité inférieure du prisme vertical dont il vient d'être parlé et pour lequel ce support représentera la charge constante qui , dans les questions précédentes , a été nommée Q , tandis que le poids de cet homme représentera , si l'on veut , celui de la charge additionnelle nommée Q'. Supposez , en outre, que ce même homme , en fléchissant et se redressant alternativement sur les genoux , abaisse et élève périodiquement la partie supérieure de son corps; il fera naître ainsi , dans le prisme , un mouvement oscillatoire dont l'amplitude ira sans cesse en croissant, s'il a su, adroitement encore, mettre le mouvement de sa masse en harmonie avec celui que peuvent prendre le prisme et le support, c'est-à-dire si, la durée de ses alternatives d'action étant précisément égale à celle des oscillations naturdles de ces derniers , il s'arrange de manière que les plus fortes ou les plus faibles pressions qu'il exerce par son inertie et son poids 9 aient précisément et respectivement lieu dans les oscillations descendantes ou ascendantes dn support, ce qui arrivera inévitablement s'il s'élève ou s'élance de bas en haut ^ quand ce support baisse , et s'il se laisse, au contraire, retomber en ployant les genoux, quand celui-ci vient, à son tour, à remonter.

9S0 MÉC\NIQ(JE INDUSTRIELLE:

. On se rendra parfaitement compte de ces effets, en observant que ; dans èé double mouvement, Teffort de réaction que l'homme fait éprouver au support, se compdsé du poids total de son corps, augmenté de la

résistance — -4- ou M - (1^0), due à l'inertie de la majeure partie de ce

Sotds, quand il s'élève rapidement parla force musculaire des jambes et es reins ^ tandis que cette même i^éaction est simplement réduite a l'excès

de Q' Eut M'y pendant les instants ott il se laisse , au contraire , retomber ëû fléchissant le^ genoux. Or, puisque la force mtisculaire dont il vient d'être parlé , permet à l'homme de quitter entièrement le point d'appui de ses [yieds , lotscfu'il est à ferre, on conçoit que ce dernier effort de réaction, cet excès pourra dévenir complètement nul dans certains instants, tandis' que ^dân's d^autrés., l'excès contraire poui^ra surpasser de beaucoup , le double du poids , Q' , de cet homme.

Il est certain que l'un et l'autre de ces efforts variables de réaction se4 raient très-difficiles, pour ne pas dire impossibles, à calculer â ./>iwi ou à déterminer par expérience, quan^ bien même on parviendrait à découvrir la loi deâ mouvements que l'hothme peut ainsi imprimer à son corps. Mais ce datc^ul n'est pas nécessaire poiir se faire une idée approximative du maximum de travail ou d'effet utile qu'il pourrait développer dans uu' sem^f blable exercice. Car, ai Yoti estime àO^^^^S, par exemple, la hauteur dont il abaisse, dans chaiij[ue période, lèpjpids de fa partie supérieure de sou: corps, supposé seulement de ^0^^^ , et à Om^â^ pareillement, la hauteur totale à laquelle il peut élever, au-dessus du sol, par sa force musculaire, le poids entier de son corps supposé de 70^^\ il en résultera que le travail, relatif à la totalité des 0^,6 de son ascension, sera mesuré par la somme K0k.0in,3 + 70k.0n>,3 =^6km. C'est à Cette quantité qu'il faudra ici égaler

celle, 4 AE -^ — -, dont il a été question ci-dessus (329), pour obtenir

la valeuf de K ou h — I'« à la fin de chacune des oscillations entières du prisme, si, coâmke on le suppose toujo\irs , et en raison delà lenteur plus ou mo^ins grande de ceâ oiscillatiôn's (i), l'homme emploie de la manière la plus favori^Me po^ssible, c'est-à-dire sans cÛocs ni contre-coups, l'action musculaire par laquelle il parvient à développer constamment, ou à chaque alternative, les 36km dont il s'agit.

En effectuant le calcul pour un exemple particulier, U sera faeile [de s'assorei^ que l'amplitude deis ôscitlatiôns du prisme irait continuellement en augmentant, mais d'une manière beaucoup moins rapide que dans les hypothèses de Texemple précédent, ouTaction motrice croissait elle-mênfe sans eesse aVec cette aki^plitude', tandis qu'ici elle en est supposée indépen-

(i) Leur durée, 8ou« ta céai'gë constante Q, ^tant donnée (3 19) pat' h' formule

/ QL l!r=:2ir\/ — «7 , tandis q<ie ceUe dés aUernativerd^action de Tbomme , 00 p'eot guèré

être moindre qu^une ou deui secondes, cette conditibn fixe la relation & établir entre les qnan titét Q, L , A et Ë qui se rappotent st>ëciàlement auprisine. Ainsi, pai^ exemple, en prëhan ^=^2"/0lf aura pour déterminer lé. longueur L ,'de ce prisme , tout le reste étaiit (iolonu

X^ i i =«: 0^33 — ; AE ^titnt la résistance élatisque de' ce même pils'mé',' et Q le

pbiUs du sùppoT^f.

dante. Si Ton nomme en effet, pour plus de généralité. B^ la valeur toute

connue de la quantité -r^36km = ^ qui ne dépend que des dimensions

et de l'élasticté du prisme, on trouvera par un raisonnement fort simple , mais dont le développement serait trop long à rapporter, que rallongement /« subi par le prisme, au bout de n oscillations entières, est donné par la formule

dans laquelle t =^ , représente (237 et suiv.) rallongement de stabilité

que le prisme acquiert sous le poids seul de son support.

Le premier de ces allongements croit donc d'une manière d'autant moins rapide, que B^ est plus petit vis-à-vis de P, ou que le rapport de B^ à / -, i„ , . 72AE 72km ^ ^ Vf

^ ^ f\2\ = IW ^^ Jui"D^*"f^® moindre par rapport à l'unité; mais on voit aussi que la valeur de ce dernier allongement ne saurait , en aucun

eas , surpasser celle de ^nW' qui croit seulement comme la racine quarrée du nombre n, des oscillations ou secousses successives de la puissance.

Cette accumulation du mouvement oscillatoire par la répétition des mêmes effets, est un autre moyen d'emmagasiner, dans les corps élastiques, le travail des forces motrices naturelles, et de produire, comme dans le eas du choc (179), des résultats dont elles seraient incapables par leur application directe à la résistance. C'est ainsi, par exemple, qu'en faisant osciller alternativement l'extrémité la plus faibk d'une grosse et longue poutre horizontale, reposant sur un appui sûlme, vers son autre extrémité, armée à cet effet, d'une bride en fer embrassant la tête d'un pilot, c'est ainsi qu'on parvient, au bout d'un temps souvent fort court et à l'aide d'un petit nombre d'hommes , à l'arracher du sol où il avait été enfoncé à coupsde mouton redoublés, etc. Mais, cette application, com.3e plusieurs autres que nous pourrions citer , sont un peu étrangères à notre objet actuel, et nous passerons à un exemple qui y a plus directement trait.

331 . Explication d'un fait observé par M. Savart dans ses expériences sur la vibration des] verges élastiques. Dam un chapitre intéressant du Mémoire que nous avons cité au N? 299, cet habile physicien s'est proposé de démontrer Textréme facilité avec laquelle les vibrations longitudinales peuvent être excitées dans les verges élastiques , lorsqu'en les fixant vers le milieu ou à l'une de leurs^xtrémités , on vient à passer légèrement , mais à plusieurs reprises différentes , les doigts mouillés le long de leur surface. Il arrive alors, comme l'observe M. Savart, que le mouvement se propage, de proche en proche, des couches externes aux couches centrales, de façon que les effets de la friction répétée , se communiquant bientôt à la masse entière des verges , les oscillations finissent par acquérir une amplitude qui ne parait nullement en rapport* avec la faiblesse de la cause.

Parmi les expériences délicates qu'il a spécialement entreprises dans la vue de constater les efforts qui seraient capables de produire directement le maximum des allongements observés, nous citerons celles dont il a luimême soumis les résultats au calcul , à la page 398 du tome 65 des ^nnales de Chimie et de Physique^ et nous y ajouterons, d'après ce qui précède, l'évaluation des quantités de travail qui correspondent à ces mêmes efforts.

Dans une première expérience sur une verge de laiton de 1°*,407 de longueur et 34m» ,95 de diamètre, l'allongement, sous l'influence des vibrais PARTIE. 36

aSa M£C<\N1QUE INDDSTAIELLE.

tions s'est élevé à O'^fOOOSe ^ ce qui donne pour calculer l'effort correspond dant, P^ par la formule P = AEi du N*» 256 ,

et, partant,

en prenant pour £ la valeur déduite du résultat des expériences de M. Savarin et qui se trouve rapporté dans la table du N"* 300.

Multipliant ensuite ce résultat , qui coïncide , à trés-peu de chose près, avec celui de ce physicien , par la moitié de rallongement correspondant , 0^,00026 , de la tige, conformément à ce qui a été établi au N"" 247, on trouvera pour la quantité de travail ou la résistance vive que cet allongement suppose

T. = 1704^7 .} . 0^,00026 = 0,222 kilog. mètre.

On voit combien ce résultat est faible , puisqu'en supposant l'effort Ionrgitudinal, nécessaire pour vaincre la friction des doigts dans rexpérience dont il s'agit, égal à Ok,i seulement, il suffirait de répéter cette friction deux fois de suite , dans le même sens et sur une étendue de l'",!! , pour -développer une quantité d'action égale à celle qui vient d'être trouvée. Le raisonnement et le calcul sont donc parfaitement d'accord avec les faits de l'expérience^ bien que, à considérer les choses d'un peu plus près , on aperçoive qu'une certaine quantité d'aetion ou de travail doit nécessairement être employée , en pure perte , à détruire une portion correspondante de la force vive acquise par les molécules dans leurs rac^uvements de retour vers le point d'encastrement de la tige, et une autre portion également appréciable , employée à ti^nsmettre le mouvement vibratoire aux corps environnants , par l'intermédiaire du support.

En refaisant les mêmes calculs pour la seconde des expériences citées , relative à un cylindre de verre , de 0*,966 de longueur et a9»"J de diamètre, qui s'est allongé de 0'",00021 , sous l'influence des frictions répé* tées, ou des vibrations qui en ont été la suite, si l'on refait , dis-je, ces calculs, on trouvera

p = 900k environ, et T. = 0kîn ,098,

en prenant, d'après la table de J'art. 300 , £=6200kii pour la tige de verre N** 3. Or le dernier de ces résultats offr^e une nouvelle preuve de la faible dépense de travail qui ^t nécessaire pour engendrer, dans les tiges élastiques, les[oscillatiohs ou vibrations longitudinales les plus puissantes.

On peut même voir, par les résultats exposés aux N'*' 296 et 298 , qu'il n'en coûterait pas beaucoup plus pour amener ces verges au point de la rupture, et ^ chose remarquable, qu'il en coûterait d'autant moins que leur substance serait plus raide ou plus dure, c'est-à-dire moins ductile. Ces mêmes résultats donnent aussi une idée de la puissance des effets physiques qui pourraient être produits , à la longue , par l'accumulation du mouvement vibratoire dans certains corps solides, soumis à l'action réi- * térée des plus faibles forces ou des plus faibles causes, qui viendraient ainsi à suppléer l'énergie primitive de cette action, par l'étendue du chemin sur lequel elle se trouverait répartie (71 et 72),

Applicalions relatives à Temploi du fer dans les ponts susp^idu9.

S3â. Données essentielles de la question. On sait que les tîf es verticales de ces ponts , souCeoues, vers le haut , par des chs^nes en fer , qui vont d'une

me a Paotre en passant quelquefois sur dés piles intermédiaires, sont destinées à supporter les extrémités de poutres horizontales ^ ou transversales à Taxe, sur lesquelles reposent, à teur tour , les solives ou longrines qui reçoivent le plancher ou tablier du pont , etc. Chacune de ces tiges se trouve ainsi chaîne de la moitié du poids total qui agit sur fa poutre ou traverse correspondante^ et ce poids peut toujours être calculé, à priori , par la connaissance du système. Nous supposerons que la cfaat'ge permanente , et ordinairement uniforme ^ ainsi calculée , soU de 24S0Ik*^ et qu'en conformité de la r^le des eonstrucf enrs , indtqinée anN» 288, on ait

donné, à chaque tige ^ une section d'environ —^ = 1225 nuHÏmètres

carrés^ répondant à 5S millimètres de côté ; la charge par millimètre étant ainsi réduite à 2i^ii seulement.

D'ailleurs , comme dans toutes les circonstances où cette charge reçoit une impulsion^ une vitesse initiale étrangère à Faction de son propre poids, la longueur absolue des tiges doit jouer un rôle nécessaire et d'autant plus appréciable qu'elle est plus petite (317) , il y aura lieu d'en tenir compte dans les calculs; ce qui, en s'arrétant au premier aperçu, conduirait à choisir, pour les y soumettre, les tiges les plus courtes parmi celles qui supportent le tablier du pont; mais comme leurs extrémités supérieures, au heu d'être fixes , sont liées par un gros boulon à des chaînes qui possèdent une assez grande flexibilité , fl en résulte que les effets des chocs simultanés ou successifs qu'elles subissent , doivent être d'autant plus atténués , qu'elles sont elles-mêmes plus voisines du milieu du pont , où les oscillations , les abaissements atteignent nécessairement leur limite supérieure.

En considérant même les choses d'un peu plus près , il est aisé d'apercevoir que cette mobilité du point d'attache supérieur des tiges , reproduit , en réalité , l'elFet qui aurait lieu si on les prolongeait au-dessus de ce point, d'une quantité telle que l'allongement subi par la partie excédante, a compter du nouveau point d'attache supposé entièrement fixe , fût exactement égal à rabaissement qu'éprouve le premier dans l'état naturel; du moins peut-on admettre une semblable hypothèse, lorsqu'il y a pareillement lieu de négliger (321) l'inertie et le poids des parties matérielles de la lige ainsi prolongée.

D'un autre côté , comme le calcul et l'expérience sont d^accord pour prouver que tes abaissements ^ vers le milieu des chaînes^ sont très-grands par rapport aux allongements que peuvent subir les plus longues barres de fer, dans les limites de l'élasticité naturelle, il en résulte que les tiges de suspension qur éprouvent le plus de fatigue dans les ponts dont il s'agit , correspondent précisément aux points d'appui des chaînes , et que, par conséquent, c'est en ces points, où elles ont souvent jusqu'à 10 mètres de hauteur, qu'il est surtout intéressant de vérifier lefur solidité.

Lors du levage ou montage des matériaux du pont, la pose des diverses pièces s'elBFèctue d'une manière successive; et, quoique cette opération soit nécessairement accompagnée de mouvements plus ou moins vifs , on conçoit qu'il n'en résulte aucun effet dangereux pour la solidité. Mais il en est tout autrement lorsque le pont étant une fois établi , il vient à être surchargé passagèrement ; et c'est dans la prévision des accidents fâcheux, qui peuvent en résulter, que l'Administration des ponts et chaussées oblige les entrepreneurs à soumettre le pont à une épreuve préalable , qui consiste à le surcharger uniformément d'un poids de 200kii par mètre carré , représentant, à peu près, celui du plus grand nombre de personnes qui puissent y être contenues , à raison également de trois par mètre carré. Sur un pont de 8 mètres de largeur , et dont l'espacement des tiges serait

384 MÉCANIQUE ir<DUSTBi£LL£.

de 1*,6 , par exemple , cela donnerait J2 fois 200k = 2400^»! de surcharge par couple de tiges, ou l^OO^ii par tige, et augmenterait d'environ moitié en sus , la charge permanente de 2450kii, que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés à cette épreuve se fait d'une manière progressive, il en résulte que les tiges de suspension sont bien loin de subir Tampiitude d'allongement qu'elles recevraient, en réalité , de la part d'une masse pareille . ou même moindre , ^qui serait animée d'une certaine vitesse , ou qui viendrait envahir le pont d'une manière plus ou moins rapide : telle serait , par exemple, une troupe d'hommes ou d animaux, un croisement de voitures lourdement chargées, et dont l'action deviendrait d'autant plus dangereuse qu'elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d'appui.

335. Appréciation des effets produits^ sur les tiges de suspensivn, par la rencontre de voitures lourdement chargées. Pour se convaincre des dangers qui peuvent en résulter pour la solidité , il n'y a qu'à supposer la rencontre , en un point déterminé du pont, de deux voitures pesant chacune SOOOkii tout compris : comme les poutres longitudinales , qui entrent dans ce pont , n'embrasseront généralement guère plus de quatre travées ou cinq couples de tiges, et que les couples, qui correspondent directement aux roues , porteront au moins deux ou trois fois la charge des autres, on n'exagérera certainement pas en élevant à 2600kii celle que supporte chacune d'elles , même aux derniers instants de rallongement qu'elles devront subir , et où elles seront le plus soulagées par leurs voisines. Supposant, en outre, ces voitures animées d'une certaine vitesse, et rencontraût les obstacles, les inégalités dont les planchers des ponts sont toujours hérissés ; mettant enfin en ligne de compte les effets dus au choc occasionné par la marche des chevaux, il sera facile de juger d'après les calculs déjà étîiblis aux N°' 317 et 318, que, malgré la faiblesse de la charge permanente supportée par les tiges verticales du pont, et l'épreuve préalable qu'on leur fait subir, il pourrait bien arriver , dans certaines circonstances, que l'élasticité de ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée.

Afin d'offrir un nouvel exemple de ces calculs , et de fixer davantage les idées, nous supposerons que la surcharge de 2600kii, vienne choquer la tige qui la supporte, avec une vitesse acquise de 0'"^70, par seconde, due à une chute de 25 millimètres seulement de hauteur, et nous admettrons, de plus, que cette tige ait la longueur de 10 mètres, que nous considérons comme un maximum. D'après ce qui a été expliqué cidessus, on aura doue ici :

A = 1228-'"-% L = 10™, Q = 2450u, Q' = 2600k, r == 0»,70; ce qui donne d'abord, pour la vitesse initiale , commune à Q et Q',à la fin du choc (323),

V ^ \r, — zz— n™ 70 fi»» %C\

vitesse qui correspond, elle-même, à une chute de très-peu supérieure à 0™,006. On trouvera ensuite, par les formules du N° 324 et en prenant toujours E = 20000kii,

r = !^= 0",ooi , r= Çîi = o«»,ooio6, /' + w ^ o,oo206 ,

ce qui donnera pour'le plus grand allongement subi par la tige.

L' ou IL ±= /' + r + %/ r* + -^ = 0»,00206 + |/ 0.00002884

et, pour rallongement proportionnel, I , ou par mètre,

fo0»,00738 = 0«»,00074;

résultat qui montre que l'élasticité des tiges de suspension pourrait, en efiPet, être altérée (298) dans les hypothèses dont il s'agit , et qu'on ne saurait d'ailleurs , considérer comme exagérées (d). Les réflexions que ce résultat suggère, ainsi que le mode d'épreuve I qu'on fait actuellement subir aux ponts suspendus sur chaînes en fer, I feront l'objet de l'article suivant.

334. Réflexions concernant la stabilité des ponts suspendus. Les conclu- ! siens auxquelles nous ont conduit nos précédents calculs , si elles étaient I prises à la lettre , donneraient lieu de craindre que , par suite de la répé-- I tition plus ou moins fréquente des accidents occasionnés par la rencontre de lourdes voitures, sur ces sortes de ponts, l'altération élastique des tiges verticales n'allât sans cesse en augmentant ainsi que leurs allongements permanents , et que , bientôt, il n'arrivât une époque où leur énervation complète entraînerait la ruine partielle ou totale du système. Ce danger, si Ton s'arrêtait à un premier aperçu, paraîtrait bien plus imminent encore pour les immenses chaînes auxquelles toute la charge du pont et des tiges se trouve suspendue , et qui sont composées de longues barres, de longs anneaux dont le fer est soumis à des efforts permanents, qui s'élèvent quelquefois à 8 ou iOkii par millimètre carré , mais que les ingénieurs prudents réduisent, conformément à la règle du N" 288, à 5 ou 6 seulement , de manière que, lors de l'épreuve dont il a été parlé cidessus (332), la charge soit, au plus, de 9 ou iOkïi également par millimètre carré. Or on doit remarquer que, si la tension de ces chaînes est susceptible de croître proportionnellement à la charge qui se trouve uniformément répartie sur le plancher du pont, il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi pour une surcharge isolée, même en considérant les chaînons qui supportent immédiatement cette surcharge par l'intermédiaire des tiges; le calcul démontre , en effet, que l'excès de tension, qui en résulte , est toujours une fraction extrêmement faible de celui que reçoit chaque tige , de sorte qu'il est permis d'en négliger l'influence dans la question qui nous occupe.

A l'égard des tiges de suspension qui peuvent momentanément se trouver soumises , comme on l'a vu, à des allongements surpassant d'une quantité notable la limite assignée , par l'ensemble des expériences con-

(i) On peut, à ia vérité, objecter, d^unc part, que la simultanéité du choc de deux Toituretà Pinstant de leur croisement sur le pont, offre, en eHe-même,peu de probabiKté. d^une antre, que les roues ne peuvent retomber , avec une certaine vilesse, ttur le tabUcr da pont, qn^autant qu'eUce cesseraieut d^agir sur lui pendant toute la durée de leur chute, et qu'alors il pourrait bien arriver que les eitréniités inférieures des tiges de suspension, toussent eu le temps de se relever ou de se détendre d^une quantité plus ou moins grande, etc. L'unique réponse à ces questions, c'est que les hypothèses contraires, tout improbablés qu'on les suppose, sont néanmoins possibles; car i\ peut se faire que le choc surprenne les tiges dans un état d'allongement supérieur à leur allon g ement moyen , en raison des oscillations mêmes qui naissent de leur détente élastique. Or, dans ces sortes de ques" tions, il est d'usage d'admettre précisément l'hypothèse des chances les plus défavorables, pourvu qu'elles soient possibles ratiounellcment.

386 MÉCAHIQUE INDUSTRIELLE.

nues , Jlk Félasticité naturelle du fer , on est conduit à reconnaître que l'absence des accidents que pourrait entraîner , avec elle , une parefUe altération^ si elle était souvent répétée , doit tenir à quelque propriété

!)taysique du métal , qui n'a pu encore être mise en parfaite évidence dans es expériences d'une courte durée , et qui doit être analogue à celle dont il a été parlé au N° 300 , à l'occasion des intéressantes recherches de M. Ardant. On a vu, en effet, que des fils métalliques dont l'élasticité paraissait comme entièrement énervée sous l'influence d'un chargement brusque, ou d'une succession de charges additionnelles, qui ne laissaient, pour ainsi dire, aucun repos à ces fils, reprenaient ensuite , en grande partie, leur élasticité, leur énergie primitives, quands ils demeuraient soumis à l'action permanente ou prolongée , de ces mfémes charges ; de sorte qu'il peut bien arriver, à/br/ion , pour le cas des ponts en fer, que les tiges de suspension reprennent , après une série d'oscillations occasionnées par le passage de lourdes voitures, etc. , une portion notable de l'élasticité qu'elles avaient momentanément perdue, ou que leurs molécules reviennent même complètement à leur ancien état , à leur état moyen de stabilité sous l'influence du temps , ou des actions lentes qui les sollicitent.

C^tte opinion est d'ailleurs conforme à celle qu'a émise M. Savart , à la page 385 du Mémoire cité au N° 29^ , et d'après laquelle des tiges métalliques , en s'allongeant d'une manière progressive et permanente sous Tinfluence d'une charge constante , et de vibrations excitées dans le sens de leur longueur, finissent néanmoins par acquérir un état de stabilité, une sorte d^écrouiBsage^ qu'elles conserveraient ensuite indéfiniment sous l'infliience des mêmes conditions.

335. Ih$ mode d'épreuve qu'il conviendrait de faire subir aux ponU «im^ pendue. Quoi qu'il en soit de ces dernières réflexions, il ne résulte pas moins, de nos précédents calculs, que l'épreuve, en quelque sorte «/a^t^tt^, à laquelle on se contente ordinairement de soumettre les ponts suspendus, bonne, en elle-même, pour mettre en évidence les défauts accidentels des chaînes et autres matériaux de la construction, ne saurait ofl^rir, pour la suite , toutes les garanties de solidité désirables. De plus , les fâcheux accidents qu'elle entraîne parfois , et contre lesquels on s'est élevé avec de justes raisons, doivent la faire entièrement proscrire par l'Administration : n^is par quel genre d'épreuves pourrait-on la rem- {dacer avec sécurité et de manière à atteindre le but désiré?

Dans deux lettres successivement adressées à l'Académie des sciences de Paris , M. le docteur Gourdon a proposé soit d'effectuer le chargement d'épreuve ordinaire , en se servant de cabestans , fixés à l'une des rives , pour amener successivement les matériaux sur le tablier du pont , soit de faire parcourir par le même moyen , toute la longueur de ce dernier, à une voiture chargée deux ou trois fois autant que les plus lourdes voitures de roulier : la vie des hommes préposés à cette manœuvre serait ainsi préservée de tout danger. Mais , de ces deux procédés , le premier, à cause de son excessive lenteur, parait peu susceptible d'application, et il exigerait toujours la présence , sur le pont, d'un certain nombre d'hommes pour le déchargement et le placement des matériaux ; le second ofl'rirait l'inconvénient d'exagérer, outre mesure, la charge instantanée , et il ne permettrait pas de juger de l'effet des forces vives imprimées aux diverses parties, dans l'état ordinaire.

Il nous semble qu'on atteindrait plus sûrement et plus promptement le but, si l'on faisait traîner par des chevaux et à la vitesse voulue, la voiture ou les deux voitures destinées à l'épreuve , au moyen d'une chaîne ou d'un cordage de prolonge suffisamment étendu ; à peu près comme cela se pra-

tique, pour les canons^ dans certaines manœu¥f66d'arttllerle. On mettrait d'ailleurs les chevaux à l'abri de tout accident, en faisant passer la pro* longe sur un tambour à gorge , monté sur Tune des rives , et qui serait muni de saillies et de rocheie convenables , pour rendre impossible le mouvement de recul des chaînes lors de la rupturo du pont. Quant au place* ment de la surcharge uniforme, qui parait être indispensable pour éprouver les parties les plus solides de la construction, nous ne voyons aucun moyen suffisamment simple de l'effectuer 3ans compromettre Texistenoe de qoiei* ^ues hommes.

336. J>e8 aocidents qui j^euvent réêuiter du puê$age d'une troupe imr les fonts suspendus. II est peu de personnes qui ne soient au courant d'une ancienne disposition des ordonnances militaires qui prescrivent de faire rompre le pas à la troupe, aux abords des ponts. On sent parfaitement bien que cette mesure pleine de sagesse, a pour objet d'éviter l'influence des secousses simultanées qui seraient le résultat de la marche cadencée d'une pareille troupe ; mais il n'est peut-être pas inutile , et cela rentre spécialement dans Tobjet de ce chapitre, d'expliquer comment cette simultanéité d^action peut, au bout d'un temps plus ou moins long et par sa répétition , devenir réellement dangereuse ; car il parait évident aussi qu'une seule de ces secousses , fût-elle même instantanée . ne saurait produire, en chaque point, un effet équivalent à celui des lourdes voitures dont il a été parlé au N*" 333 , à moins de supposer des colonnes marchant au pas de charge , serrées en masse et occupant toute la largeur du pont et de ses trottoirs. Lorsqu'on effet, les hommes viennent, dans leur marche ordinaire ou même accélérée , à poser à la fois et alternativement chacun de leurs pieds sur le plancher du pont, ils ne, le choquent certainement pas avec la vitesse et l'intensité d'action que nous avons attribuées à ces voitures : la masse réellement^ agissante , dans ces chocs , est bien loin d'égaler celle du poids entier de leurs corps. Il est évident qu'il faut chercher principalement la cause des accidents qui ont motivé l'ordonnance , dans l'accumulation du mouvement oscillatoire imprimé au plancher des anciens ponts en charpente , et dans l'accroissement progressif de l'amplitude des oscillations qui en résulte , et dont nous avons déjà offert des exemples , plus ou moins analogues , aux N*" 329 et suivants.

Pour faire une application suffisamment exacte des principes établis dans ces numéros, au cas actuel , il est nécessaire , au préalable, de considérer attentivement ce qui se passe . en général , pendant la marche ordinaire de l'homme et des animaux ; le pas de course , le trot et le galop étant exceptés , puisqu'à de telles allures , les dangers et l'intensité de l'action développée par les chocs successifs qu'occasionne la chute de la totalité ou d'une partie plus ou moins grande du poids du corps , qui a été comme lancée au-dessus du sol, ne sont point choses douteuses , et qu'il soit nécessaire de soumettre au calcul.

337. Evaluation approximative du travail développé par Vhomme , dans les oscillations verticales qu*il imprime à son corps pendant la marche ordinaire* Loin d'agir par une succession de chocs vifs dans la marche lente et graduelle dont il s'agit, les animaux ne font éprouver à leur corps,de droite à

Î;aucheet debas en haut, que de légères oscillations , par suite desquelles e poids en est successivement reporté, sur l'une ou l'autre jambe avec une intensité d'action variable entre zéro et une limite qui est principalement relative(330]à l'inertie delà partie de leur masse qu'ils mettent en mouvement,soit en se portant en avant, soit en s'abaissant ou en s'élevant au-dessus du point d'appui naturel.

Nous laisserons de côté l'influence qui peut être due aux actions opérées dans le sens horizontal , et provenant, soit de la progression en avant,

soit dtt balancement transversal dont il vient d'être parlé, et nous tiendrons compte uniquement des effets qui peuvent résulter , comme au N*" 330 , de rélévation et de rabaissement périodiques de la partie supérieure du corps de l'homme , dont le poids sera ici supposé de 60^^ seulement , y compris la charge qu'il porte. Observant ^ en outre , que dans la marche ordinaire d'un homme de taille moyenne , l'amplitude de ces abaissements et élévations successifs^ ne surpasse guère 2 à 3 centimètres^ on sera conduit à évaluer, tout au plus , à 0"*,03.60k = lkm^8 le travail dynamique qu'il peut ainsi développer à chaque pas ou alternative d'action ; ce qui, en estimant également à 0°" .7 la longueur du pas ordinaire, porterait,

d'après le tableau du N» 2U, à 1km ,8. g|^J=lkm,8. 77143= J38857kin

environ , la quantité de travail que fournirait ce même homme dans sa marche journalière , en terrain horizontal : le chemin total qu'il est ainsi capable de parcourir , étant de 54000 mètres , ou le nombre de ses pas de 77443, à raison de 2,1 environ par seconde.

Si l'on compare d'ailleurs la quantité de travail ci-dessus à celle qui, d'après le tableau de la page 153 , est développée par l'homme cheminant le long d'une rampe douce, on peut voir que , loin d'être exagérée, elle est à peine la moitié de cette dernière ; ce qui conduirait à porter , avec quelques auteurs, à 5 centimètres, au moins , la hauteur à laquelle l'homme élèverait, à chaque pas , le poids entier de son corps , si l'on n'avait point égard à l'excès de fatigue occasionné par la vitesse avec laquelle il est obligé de porter en avant , les différentes autres parties de sa masse, dans la marche horizontale.

338. Calculs relatifs aux effets résultant, dans certains cas ^ du passage cTune troupe sur les ponts suspendus, £n comptant seulement deux hommes par mètre carré de la surface du pont, ce qui, d'après nos premières hypothèses (332), fait environ 24 hommes par travée, ou 12 par tige, cela réduira à 800k, environ, la charge additionnelle due au passage de la troupe, dont le poids s'ajoute , à peu près constamment ou moyennement, à celui de la charge permanente de 2450kii, provenant du tablier, et élèvera à 3250kii la force de tension moyenne , de chacune des tiges de suspension, valeur qui représentera ici simplement celle de Q; ce qui donnera , en conservant toutes les autres suppositions du N° â32 ,

pour l'allongement primitif ou de stabilité que subiraient les plus longues d'entre elles , sous l'influence de cette seule tension. On aura donc aussi (S19 et S2S)

et par conséquent , pour le nombre N , des oscillations entières que ces mêmes tiges sont susceptibles d'exécuter dans la durée de chaque seconde et sous l'influence d'une vitesse initiale quelconque ( 326 ) ,

k, 88,88 « =17= 6:2832= '^'«^- Le nombre des pas exécutés par la troupe ayant été trouvé ci-dessus de 2,1 seulement pour le même temps , c'est-à-dire 6,5 fois moindre environ , on voit qu'il s'en faut, de beaucoup , que les alternatives d'action, relatives à la marche ordinaire des hommes, coïncident avec celles des oscillations qui sont naturelles aux tiges de suspension , et que ce ne pour-

rait être que par le plus grand des hasards , que la coïncidence arrivât au bout de chacune des treize vibrations exécutées par leur extréofiité inférieure; de sorte qu'il y a tout lieu de supposer que la majeure partie des Ikm^S fournis par les hommes , pendant la durée , r^05 environ, de chacun de leurs pas ^ serait détruite par l'effet des chocs et contre-coups qui naîtraient du défaut de coïncidence , de l'opposition des deux mouvements.

Ainsi , dans l'hypothèse de rigidité qui vient d'être admise pour les tiges de suspension, il serait à peu prés inutile de s'inquiéter de l^ccumulation de mouvement qui pourrait être occasionnée par les effets de la marche cadencée de la troupe; et, à fortiori , en serait-il ainsi du cas oti cette troupe , ayant rompu le pas , les alternatives d'action de chacun dés individus qui la composent, seraient en complet désaccord avec lés oscillations naturelles des tiges. Mais les choses se passeraient tout différemment si les oscillations devenaient plus lentes en raison (317) de l'augmentation de leur longueur, de celle de la charge Q qu'elles supportent, ou de la mobilité de leur point a'attache supérieur avec les chaînes. M. Navîer a, en effet, démontré dans son savant ouvrage sur les ponté suspendus (voyez spécialement l'art. 295 de cet ouvrage) , que la durée des oscillations éprouvées par ces chaînes et, en conséquence, par la totalité des tiges et du tablier du pont, peut s'élever, dans certains cas, à 5'^,7; ce qui ferait moins de j d'oscillation , par seconde. Or on conçoit qu'il est telle circonstance de rétablissement d'un pont où Pisochronisme entre les oscillations et la marche de la troupe, pourrait en effet s'établir; et alors l'amplitude des premières augmenterait progressivement, suivant une loi analogue à celle qu'indique la formule du N° 330.

Afin d'en offrir au moins une application numérique , et de montrer rinfluence de la répétition des effets sur la progression des allongements , nous supposerons que la durée de chaque pas ait, en réalité, un rapport exact avec celle des oscillations naturelles aes tiges de suspension; remarquant, d'ailleurs 5 que le travail fourni pendant cette durée, par les 12 hommes qui agissent simultanément sur chaque tige , est égal à 12.1,8 = Sik^^jG, la formule en question deviendra , à cause qu'on a ici

B.=^2.>-. . = ,-g^=O,O00OI7 6»».

Supposant dans cette formule, n ou le nombre des pas exécutés par la troupe , qui est d'ailleurs censée occuper l'étendue entière du pont , égal à 10 seulemen^t, l'allongement total subi par la tige de 10 m ètres dont il

s'agit ici, s'élèverait déjà à |/ 0,00000177 4-0,00017688 = 0">,01884, ou à 0*" ,001334 par mètre de longueur; résultat supérieur à celui qui a été obtenu au N° 831 , et qui prouve, non-seulement que Télasticité des tiges serait dès-lors complètement énervée , mais que leur rupture , et par conséquent la chute entière du pont, ne tarderait pas à s'ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si Ton supposait , au contraire ^nT=:o dans la formule , elle redonnerait simplement l'allongement ln:=l' ^=^ 0*" ,00188, correspondant au cas où la troupe serait immobile, et qui n'est pas même le dixième du précédent.

290 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

Expérieneeê et caleuh relatifs à la résistance longitudinale des prismes au choc^

339. Données particulières fournies par les. expériences de M. G. H, Dufour^ de Genève, On doit à Cet ingénieur distingué» quelques expériences ayant trait à cet objet, et dont il a consigné^Ies résultats dans son ouvrage sur les ponts en fil de fer^ imprimé à Genève, en 1824 ($ S , p. SO). Ce sont, à ma connaissance ^ lejs seules dont les détails aient été jusqu'ici mis au jour, et, attendu le but restreint dans lequel elles ont été entreprises, il y a lieu de regretter qu^un sujet de recherches aussi intéressant et aussi neuf, ait encore si peu attiré l'attention des physiciens et des ingénieurs. Dans une première série d'épreuves, M. Dufour s'est servi d'un fil de fer de St. Gingolf , N*» IS , ayant 1 ,9 millimètre de diamètre, ou 2,835 millimètres carrés de section, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre, une charge de 196kii, à raison de 69^,1 par millimètre carré. Ce même fil, après avoir été chargé verticalement d'un poids de 70kii, un peu moindre que les 0,-4 de celui qui en représente la force de ténacité moyenne, a été ensuite soumis à Faction de divers chocs produits tar une masse de fer pesant lOkii, et tombant successivement, de 2, de 4,

[e 6 , de 100 centimètres de hauteur, sur la caisse qui contenait les

poids formant , avec le sien propre, la charge permanente , TOkii^ du fil. Mais, encore bien qu'il ne soit résulté, de ces chocs, aucun effet apparent, aucune rupture sensible, il n'est pas moins regrettable que l'auteur ait négligé de constater , à chaque fois , par des mesures précises , les plus grands allongements auxquels les fils sont parvenus , et les allongements permanents qui ont pu s'ensuivre, toutes oscillations étant terminées ; car ils eussent mis à même de comparer les résultats de Texpérience à ceux du calcul, et de découvrir la véritable influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

Au surplus, nous avons vainement cherché, dans l'ouvrage de M. Dufour^ la longueur absolue des fils sur lesquels il a opéré; donnée dont, à la rigueur, on peut se passer quand il s'agit simplement d'obtenir une limite'dela résistance absolue, sous l'action lente d'une force directe de traction (244), mais qui devient, au contraire, indispensable dans toutes les questions relatives au choc, puisque la résistance vive des prismes croit, si non proportionnellement, du moins très-rapidement, avec leur longueur.

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des N'"323 etsuiv.,nous supposerons cette longueur des fils soumis à l'expérience par M. Dufour, égale à 2"", de sorte qu'on aura ici

L = 2«,0, A = 2,835«"«% Q=70S Q'=IOS V'=j/49,6(8H',

H' représentant la hauteur d'où sont tombés successivement les 10 kilogr. dans les expériences dont il s'agit. Prenant d'ailleurs £ = {SWXf^x^ , par millimètre carré, pour le fil de fer (292) , il en résultera (324) , pour l'allongement permanent avant le choc :

QL 70.2

^ - AE-a,83b.l8000-™ ""''^*'

et , pour celai qui serait, occasionné par la charge Q', si elle agissait seule ,

Le premier correspond à un allongement proportionnel de ï0",0027

= 0.,0013S) 80US lequel Télasticité serait certainement énervée (292) , s'il s'agissait d'un fil de fer recuit, ou même inégalement recuit. Mais en admettant (|ue le contraire ait eu lieu ici, nous rechercherons Teffet qui a pu résulter du choc des 10k tombant, par exemple, de la plus grande, H'=f*, des hauteurs relatives aux expériences citées, et à laquelle correspond (119)

une valeur de V = 4'»,43 e» de V, = ^5L. V = H 4",4â = 0'"554 ,

dont la dernière est, dans nos hypothèses (323) , la vitesse par seconde , commune aux deux masses vers la fin de la première période du choc. Attendu d'ailleurs qu*on a ici

il en résulte pour la valeur du plus grand des allongements subis , par le fil, sous les influences réunies de ce choc et des deux poids Q et Q',

L'mUj=r+ir+i/n + .pi=0»,00313+|/o,0000001S24-0,000097935

Cette valeur correspondant, d'après l'hypothèse faite sur celle de L^ à

un allongement, I, de — ^;^— =0"»,0065 par mètre, il est certain que

l'élasticité des fils, fussent-ils même parfaitement écrouis, n'a pu être ici conservée, pas plus que la loi de la proj^ortionnalité des allongements aux forces ou tensions , sur laquelle tous nos calculs et formules sont implicitement fondés. A plus forte raison , ces formules cesseraient-elles d'être applicables aux deux autres séries d'expériences dont il sera parlé dans Paiticle suivant.

340. Donnée et calculs concernant spécialement la résistance vive des fils de fer à la rupture. Dans les deux dernières séries d'expériences de M. Dufour, des fils de fer de 2,1 millimètres de diamètre, 3,464 millimètres carrés de section , auxquels on supposera également 2°" de longueur, ont été rompus sous le choc d'un poids de lO^u, qui n*avait besoin de tomber que d'une hauteur de 0°',95, quand la charge permanente du fil égalait la moitié de sa charge maximum, 209''", c'est-a-dire 104^,5, et de 1",88 moyennement, quand elle n'en était que le tiers ou 69^,7 ; de sorte qu'on avait dans

le !•' cas, Q=104\S,H'=0»,95, V'^4^33;

le 2- cas, Q==69S7, H'=l",38, r=5«,20;

et, dans tous deux à la fois, L=2«,00, A=3,464™^*« Q'=10'';

ce qui donne respectivement, pour les vitesses communes aux deux corps, immédiatement après le choc,

Mais le calcul de ces vitesses devient inutile dans la question présente où il s'agit simplement d'évaluer la résistance vive opposée par les fils , la quantité de travail effective qui a produit leur rupture, que nous supposerons opérée, dans chaque cas, sous le plus petit choc possible , c'est-àdire de manière que le mouvement soit sensiblement éteint vers l'instant de cette rupture. En effet, d'après le N*" 323 , la demi-fbrce vive commune aux deux corps Q et Q% à l'instant où la première période du choc est terminée , a pour valeur , dans '

le i" cas, i (M + M'V\=^^,Q'H'=jj|^iO^O%98=8^-,670,

le 2- cas, Id. id. =-^/y 10M",38 =^12»^«,068.

Ajoutant à ce résultat, le travail relatif à rallongements, subi antérieurement, par les fils, ^us Tinfluence de la charge permanente Q , et qui , dans Thypothèse d'une élasticité parfaite , ici permise , a également pour valeurs respectives (324) , dans

le 1- cas, iQ/'=iQ.2|=jm,5 ^Çi^^=0k^l75,

le 2« cas ; Id. =\ 69,7 ^^ = 0'^-,078 ,

on obtiendra les sommes 8''°' ,845 et \ 2''^,146,[auxquelles*il conviendra encore d'ajouter, afin d'obtenir les résistances vives demandées, le travail développé parles poids Q et Q', pendant que s'opère le surplus de l'allongement des fils , dont d'ailleurs , la valeur maximum n'a point été obserirée ici directement, quoiqu'elle exerce une influence appréciable et susceptible de varier, non seulement avec la longueur absolue L des fils, mais encore avec leur degré de ductilité ou de dureté relative,

En adoptant néanmoins pour terme de comparaison, la valeur moyenne, 0»,004 par mètre , du plus grand allongement obtenu par M. Dufour (4) , lors de la rupture des mêmes fils , sous de simples pressions, ce qui donne 0"*,008 pour la longueur entière de chacun de ceux dont il s'agit ; remarquant, au surplus, que l'allongement absolu , subi, antérieurement au choc, par ces derniers fils , a pour valeurs respectives : ,. - QL 104,1^2 69,7 2

les quantités à ajouter seront pareillement :

H4k,5 (0»,008 — 0™,0034) = 114^,5.0», 0046= Okm.527 , et 79k,7 (0°»008 — 0'»,0022) = 0km^462 ;

ce qui donnera pour la quantité de travail absolue ou totale , absorbée par la rupture des deux fils :

!• dans le cas d'une chute de 0»,9S , 8km,848 + 0k«n,527 = 9kni,g72, 2» dans celui d'une chute de l'»,38 , l^^^.UQ + 0î^m,462 = 12km,608.

Divisant enfin ces résultats par le produit AL = 3,464.2 = 6,928 , on obtiendra les valeurs respectives :

XV=lkm,35etTv=ikni,82,

pour les résistances vives (247) des deux fils , par millimètre carré de section et par mètre de longueur; résultats qui diffèrent notablement l'un de l'autre, et qui diffèrent encore plus de ceux que fournit le tableau du N"" 296, pour les fils forts ^ à la classe desquels appartenaient, trèsprobablement , ceux dont il s'agit.

541 . Réflexion9 critiquet 9ur les rémHats de ce$ calcuh et les méthodes d'ex» périmentation relatives au choc des prismes» Nous n'entreprendrons pas de discuter et d'interpréter les causes des différences qui viennent d'être signalées; trop de chances d'erreurs et d'incertitudes accompagnent, comme on l'a vu, les résultats du calcul et de l'expérience; mais nous croyons utile d'insister sur quelques-unes des suppositions que npus avons été obligé d'admettre afin de rendre ces calculs possibles.

(i) Yoy. le tableau de la pag. 23 du mémoire cité.

£a premier lieu $ pour évaluer les premiers effets occasionnés par la charge permanente Q, des fils, il nous a fallu recourir à Thypothèse d'une élasticité parfaite ; ce qui , certes , ne serait pas permis pour des fils ductiles ou recuits même inégalement. Si donc il s*agissait de faire une comparaison exacte des données du calcul et de Texpérience^ il conviendrait d'observer directement ces premiers effets^ qui se compliquent encore de ceux qui peuvent être dus à Tétat naturel d'inflexion ou de torsion dans lequel se trouvent ordinairement les fils passés à la filière.

Il ne serait pas moins indispensable , comme on Ta vu , d'observer directement , dans le cas de fils ductiles , le maximum de rallongement qui se produit sous le choc et à Tinstant de la rupture, au lieu de le déduire, ainsi qu'on Ta fait, du résultat moyen d'expériences étrangères; ce qui pourtant n'offrait point ici d'inconvénients graves , à cause de la faible valeur du travail développé par les poids Q et Q% pendant rallongement des fils durs.

D'un autre côté, nous avons totalement négligé l'influence due au poids et à l'inertie des fils qui , ici encore, n'exerçaient aucune influence appréciable , à cause de la grandeur de Q. Mais il pourrait être nécessaire d'en tenir compte pour quelques autres circonstances; et cela se ferait approximativement, en augmentant la valeur de Q, du poids de la partie du fil, qui, ayant été entièrement rompue ou détachée , peut être censée faire corps avec sa masse.

Cette attention serait surtout nécessaire dans le cas où le poids Q% qui produit la rupture par sa chute, étant lui-même assez petit, et cette chute, par conséquent, très -forte, il arriverait, contrairement aux hypothèses dont on a déduit les résultats des précédents articles , que la vitesse et la force vive, à l'instant de la rupture, fussent comparables à celles qu'engendre cette même chute; alors il faudrait retrancher , des résultats ainsi obtenus, la demi-somme des forces vives conservées, à cet instant, par les deux corps et par la partie détachée des fils.

Enfin les résultats dont il s'agit supposent encore (323) que les masses choquantes soient dénuées de toute élasticité; ce qui pourrait bien ne pas avoir eu lieu pour la caisse mise en usage par M. Dufour, et dont le fond, plus ou moins flexible, aurait pu recevoir les impressions directes du choc de Q', en produisant ainsi son rejaillissement. Or il est aisé de se convaincre, par les principes des N°' 158 et J61 , que la quantité de travail dépensée pour produire la rupture des fils , eût pu alors être moindre que nous ne l'avons estimée par les calculs ci-dessus , attendu que le poids Q' eût entraîné , dans ce rejaillissement , une perte de force vive très-comparable à celle qu'il possédait à l'instant même du choc , et dont la valeur serait donnée (158) par la formule

M'(V'-2V.)'=M'V" (l -^) • = MT";|^„

dans le cas d'une élasticité parfaite ; tandis que la demi-force vive conservée par le poids Q , et en vertu de laquelle se serait achevée la rupture des fils dans l'hypothèse où Q' n'aurait pas eu le temps de produire, par sa rechute, un nouveau choc, eût été simplement (160)

Cette quantité sera , en effet, moindre que la demi-force vive , HM + M')V*.=ô|q,Q'H',

commune, après le choc, aux deux corps, Q et Q', dans l'hypothèse d'un rejaillissement nul , toutes les fois que la couditlon

-ôîpQr>l ou 3Q'>Q

se trouvera satisfaite ; ce qui avait effectivement lieu dans le cas dont il s'agit.

Ces réflexions montrent combien la question qui nous occupe est délicate , et de quelles attentions on doit user, dans les expériences et les calculs, pour atteindre le but, c*est-à-dire pour parvenir, abstraction faite des causes d'erreur qui peuvent influencer accidenteilemedt les résultats , à des valeurs de la résistance vive des prismes comparables , fondées uniquement sur les données de Texpérience directe du choc, et par là même entièrement appropriées à la nature du phénomène. Quant a la question où cette résistance vive étant connue à priori^ il s*agira, à l'inverse, de rechercher, par la marche tracée à l'avance, au N^324, quels sont, en général^ les effets dilaniateurs qui peuvent être produits r sur un prisme, par un choc donné « ou quelle doit être l'intensité d'un choc pour produire un effet également assigné, etc., il nous suffira d'indiquer rapidement les principales formules en les faisant suivre de quelques exemples numériques très-simples.

Questions et méthodes de calcul spécialement relatives au cas où le choc entraine la rupture ou l'altération élastique des prismes.

342. Circonstances principales du mouvement qui précède la rupture. Pour plus de généralité (247) , nous nommerons Tr = TV.AL, la quantité de travail développée, par la résistance d'un prisme, pendant qu'il s'allonge d'une quantité quelconque /= »L, à partir de son état naturel ; quantité qui sera donnée, ainsi que la valeur correspondante de cette résistance que nous nommerons P ou F.A, au moyen de la table du N°289 et de ses analogues relatives aux corps différents des métaux. Nous nommerons pareillement fr=tV. AL , le travail de cette résistance correspondant à l'allongement t = TL, subi, antérieurement au choc^ par le même prisme, sous Faction permanente de la charge Q. Cela posé, on aura, pour remplacer les dernières formules du N*" 324 , dans les mêmes hypothèses et conditions, sauf que la limite de Télasticité pourra, ici, être dépassée, la nouvelle équation

dont on se servira pour calculer, au moyen des tables mentionnées, les différentes circonstances du mouvement qui succède au choc delà masse H'

ou -^ , animée de la vitesse Y', contre la masse M ou *^ , supposée à l'état

de repos sous l'allongement donné, /',et dans laquelle on a toujours

(323) , pour le cas où il ne surviendrait aucun rejaillissement après le

choc,

formules qu'il sera d'ailleurs facile {ihid.) d'étendre au cas où la masse M. au lieu d'être au repos à l'instant du choc, posséderait une vitesse, antérieurement acquise, d'une intensité et d'un sens quelconques.

On voit, en effet, que^ si Ton attribuait aux allongements absolus, / et f^ ou aux allongements proportionnels, % tU\ dans l'équation ci-dessus, des valeurs quelconques, on en déduirait immédiatement eelle de la vitesse correspondante, Y, supposée commune aux deux corps à tous les instants qui suivent la première impression du choc; car les valeurs de TV et ^e ''r, relatives aux unités de longueur et de section du prisme , seraient également données parla méthode des quadratures du N"" 180, appliquée aux nombres fournis par la table du N"* 289 et ses analogues, ou par les courbes des figures Al et 48, suivant ce qui a déjà été expliqué aux N°" 279 et 296. Mais, afin de n*avoir pasà se jeter pour chacune des valeurs de / ou de s dans les calculs auxquels entraîne Tapplication de cette méthode , on fera bien de dresser, une fois pour toutes, une nouvelle table des valeurs de TV,

relativesà des valeurs de «==■ , ou des efforts correspondants, P', qui

croîtraient par différences constantes; cela sera facile au moyen des courbes dont il vient d'être parlé, et permettra de construire une nouvelle courbe, servant d'annexé à la nouvelle table, et qui donnera rapidement les valeurs tle Tr, relatives à des valeurs quelconques de t\ ou / ou P. Raisonnant ensuite à peu près comme on l'a fait pour le cas d*une élasticité parfaite (214, 225, etc.), il sera facile de trouver successivement les ordonnées de la courbe qui représente la loi du mouvement pour l'extrémité inférieure du prisme, et qui cessera ici d'être un cercle ; mais ces détails qui n'offriraient, du moins pour la première période de l'allongement^ qu'une répétition continuelle de ce qui a été exposé, dans le précédent chapitre, pour le cas où l'élasticité demeure parfaite, ces détails nous entraîneraient beaucoup trop loin, et nous nous contenterons d'avoir mis le lecteur sur la voie, afin de passer rapidement aux cas d'application qui concernent la rupture effective ou les plus grands allongements subis par les prismes.

343. Formules relatives au maximum d'allongement et aux circoustaneee qui accompagnent la rupture. Pour cet allongement, que nous continuerons de nommer L' = IL , la vitesse Y, des deux masses M et M', étant nulle, l'équation générale ci-dessus , devient simplement, en changeant les signes,

et servira à faire trouver, par un tâtonnement facile , la valeur de L', au moyen de la table ou de la courbe auxiliaires déjà mentionnées, et quilient^ en général , cette valeur ou celle de I et » à celle de TV et de F. Supposons , en effet , que sur les abscisses de la courbe dont il s'agit, censées représenter ici les différentes valeurs que peut recevoir, dans l'équation cidessus , l'inconnue I = — ^ , ou , plus généralement , t == , quand on

y fait varier Yi ou H', supposons , dis-je , que , sur ces abscisses , on construise une nouvelle ligne ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du travail Tr , fournies par cette équation dont on tire immédiatement la formule

T^r-—j—^+K ^ *+AL(Q+Q')"' cette seconde ligne auxiliaire , qui sera une droite (310) , puisque tout est constant ou donné , sauf TV et i , viendra rencontrer la première en un

S oint dont l'ordonnée et l'abscisse seront précisément les valeurs de TV et e t ou I , qui remplissent simultanément les conditions exigées. Dans le cas particulier où le plus grand allongement devrait corres*

pondre précisément àl'inâtant de la rupture ^ TV, et L' ou IL, se trouveraient immédiatement déterminés au moyen de la table du N** 396 ou de ses analogues , et les équations ci-dessus serviraient^ par un calcul beaucoup plus simple, à faire trouver la hauteur de chute H'^ aU moyen de Q' et de Q , censés alors donnés , ou , réciproquement^ celle de Q' au moyen de la valeur assignée à cette chute , sous laquelle , par hypothèse ^ la rupture du prisme doit s*opérer sans vitesse ou force vive surabondante* Ces équations donneront , en effet , par la résolution directe : pour la première hypothèse ,

H' - ^^ [(TV - t'r) AL ~ (Q + Q')(L'-f)] ,

pour la deuxième ,

^■^^^ 2(H' + L'-/') "^V -i(H'4-L'-0' H'+U-r formules dont nous ferons bientôt Tapplication à un exemple particulier. Quant ait cas où la rupture du prisme s'opérera avec une certaine vitesse que nous continuerons de nommer Y, il est aisé d'apercevoir^ en se reportant aux raisonnements du N» 324, ou au principe des N""" 136 et 137, que la première des équations rapportées ci-dessus (342) demeurera applicable, pourvu qu'on y remplace / par L' := IL , et TV par la résistance vive du prisme que fournissent directement les tables ou les données de l'expérience ; c'est-à-dire qu'on aura la relation

V' v\ ,. , ^ (Tv-^fv)AL / Zrrfi. \

qui fera connaître immédiatement Y, ou sa hauteur due , H = — , au

moyen de Yi , ou de sa hauteur due (342) , Hi = ■ ^ ^^ H', quand tout

le reste sera donné à priori.

Cette même relation permettra , à l'inverse , de calculer la résistance vive , TV , du prisme , quand il sera possible d'observer directement dans des expériences , la valeur finale de Y et de / ou iJ ; ce qui peut se faire au moyen de procédés faciles à imaginer, et sur lesquels il serait ici inutile d'insister. La relation dont il s'agit donne , en eifet , par des transformations algébriques très-simples , cette autre formule :

T^, . (Q+Q^)(i--0 . (Q4-QV V^ Y^ ^'■"''* ÂL ^'~i^îr'\i^^TgY

qui est^ ainsi que les précédentes , susceptible d'une interprétation trèsclaire , et propre à en faciliter les applications et rinteiligence. Il suffit ,

pour cela , de remarquer que le rapport ^"V- indique la charge , par millimètre carré , qui a lieu après l'instant du choc ; que

exprime la différence des allongements proportionnels, relatifs à la rupture et à la charge permanente , Q ; qu'enfin le facteur, dans lequel entrent V et Yi , représente simplement la différence Hx — H , des hauteurs dues à ces vitesses.

844. Questions particulières concernant ta rupture des prismes par le choc. Soit en premier lieu, un barreau de fer de 100 millimètres carrés de section, de â mètres de longueur, soumis préalablement à Faction d'une

i charge permanente de âOO^ii^ sous laquelle il a déjà pris un allongement de 0,0001 .3°* = 0",0008 , le coefficient d'élasticité , E , étant supposé de i SOOOOkii par millimètre carré ; on demande quel est le poids qui , en tomj bant sur cette charge, de là hauteur H'=2'", ou avec la vitesse verticale, I T = 6'",26 par seconde , serait capable de rompre instantanément ce barreau, dont le fer est d'ailleurs supposé très-ductile , et d'une qualité comparable à celle du fer qui a été soumis , par M. Bornet, à une expérience dont les résultats sont consignés dans le tableau du N'' 289?

En consultant le tableau du N° 296 , qui découle directement du précédent, on trouve que la résistance vive de rupture d'un tel fer, par millimètre carré de section et par mètre de longueur , pour valeur approximative, la quantité de travail TV=^ 4i^>",ô; ce qui donne pour la résistance vive totale, Tr, du barreau TV,.AL=4km,5.100.â = iâSO^ni. D'un autre côté , on lit sur la ligne horizontale correspondante au premier de ces nombres, que l'allongement final, ou à l'instant qui précède immédiatement la rupture, est de lâ2niiu^5 pour un mètre de longueur, ou de 0'°,S975 pour les S mètres, allongement vis-à-vis duquel on peut négliger celui qui est dû à la charge permanente des 200l^>^ de même aussi qu'il sera permis de négliger le travail t^ ou /V .AL = {200k.0"*,0003=0km,08, relatif à cette dernière (257) , par rapport à celui des 1850kn» que suppose la rupture effective. On aura donc approximativement, pour le cas qui nous occupe , (Tv— C)AL= lâSOkm, L'— /' = 0»,397, QH'=200k.2"==400km,

lï+V^t 2,397 '

ces quantités étant substituées dans la seconde des formules du précédent numéro, qui se rapportent au cas particulier où le choc est censé produire strictement la rupture, sans force vive excédante, il viendra

d'où résulte, pour la valeur qui doit être donnée au poids du corps choquant, Q'= 858k,06 — 200k = 658k,06.

Si, tout restant d'ailleurs semblable , on se donnait, à priori, cette même valeur, et qu'il s'agit, à l'inverse, de rechercher quelle devrait être la hauteur minimum , H', d'où il faudrait laisser tomber verticalement ce poids, pour produire la rupture immédiate du prisme, on aurait recours à la première des formules mentionnées y par laquelle on obtiendrait , en effet ,

ce qui peut servir de vérification au résultat de nos premiers calculs.

Si, au lieu d'un barreau de fer ductile, on en avait considéré un de fer fort ou d'acier trempé , on aurait dû s'attendre , d'après les observations de l'article 296, à des résultats très-différents, c'est-a-dire beaucoup plus faibles que ceux qui viennent d'être obtenus. Et^ en effet , si l'on prend , conformément aux indications du tableau de cet article, pour l'acier trempé et recuit au bleu de ressort, T'r=0km,0D8, 1 =0,00252, et qu'on tienne compte, ce qui est nécessaire alors, des valeurs 0"*,0008 et Okm^Oâ, de /et de/^, on trouvera, en prenant, par exemple, Q'= 658k,06,

^' = "Hw ^"^"''^'^ -858k,06 , 0«,00726) = 0'",002 ,

396 fflÉCÂMIQUB lMDUSiai£LLE.

hauteur 4e chute fort petite par rapport à celte qui produisait (a rupture dans le cas précédent.

34S« Jutre question relative au cae où h choc ne serait pas smvi da Im rupture immédiate du prisme» Si Q'^ H' OU Y\ étaient à l*avanee eoniHisr ou donnés pour le barreau de fer qui nous a d*abopd servi d'exemple , on serait naturellement conduit à rechercher Fétat auquel le choc le ferait parvenir, à rinstant où le plus grand allongement se serait opéré ^ et notamment , on aurait à s'assurer si la rupture immédiate pourrait s'ensuivre, et quelle serait , dans cette hypothèse^ la vitesse finale, Y, conservée par les masses qui se sont choquées. Or Tavant-dernière des formules posées dans le N"* ^4^, donne, sur-le-champ, pour calculer la hauteur due a cette vitesse,

V' on îï- Q" WJ^V V i^r-i'r)Ah % ou H-^:p^,H+L-^ QT^Q.-.

où il n'y aura qu'a substituer, aux différentes lettres , les valeurs qu'elles représentent, et qui, par hypothèse, sont toutes connues.

Par exemple si , tout restant le même que dans la dernière des questions du N'' S45 ci-dessus^ OAse donnait de plus, arbitrairement, Q'= lOOOk» . on trouverait :

hauteur à laquelle correspond , d'après la table (\ 19) , une vitesse de 8*60 par seconde.

Mais si , au lieu d'un résultat positif et absolu, tel que le précédent , on en eût obtenu un négatif, c'est-à-dire si la somme des termes soustractifs . de H , l'eût emporté sur celle des termes addîtifis, alors la valeur de V, fût devenue imaginaire OU impossible, et l'on eût , par la , été averti que l'hypothèse de la rupture était absurde, et qu'il eût été nécessaire de recommencer les calculs sur une tout autre base.

Cette circonstance arriverait, en particulier, si Ton prenait Q' =* 580it, par exemple, au lieu de 1000^, et c'est ce qu^on voit, à priori, par le résultat que nous avons obtenu ci-dessus (?44) , pour la valeur de Q', qui pro« duit strictement la rupture. Il conviendrait alors de se reporter au cas

général (843)9 où V devient nul sans que, pour eela V ou t = =L

et T'r, cessent d'être inconnus ; ce qui donnerait ici , en continuant de négliger la conâdération des quantités très-petites fr et t ou t',

T,.=~s+___,^H==^.+^ygg.2- = 7,5.+ 2,689,

pour l'équation de la droite dont il a été parlé dans cet endroit , et à l'aide de laquelle on eflPectuera les constructions ou tâtonnements qui s'y trouvent indiqués.

Supposant, par exemple, t =0,1000, allongement proportionnel voisin de celui, 0,1325, qui correspond (844) à la rupture du prisme de fer dont on s'occupe, on en déduira

T'r =^7,5.0,1000 + 2,689=:= Sk«,4S9.

pour la valeur du travail que devrait développer la résistance, P' d'un prisme de même matière, de 1 millimètre carré de base et 1 mètre de longueur, sous un effort capable d'un pareil allongement, si la valeur particulière, attribuée à ce dernier, était exacte , ou que celle de V fût réellement nulle quand il a lieu pendant le choc.

Or, d'après les résultats de l'expérience , rapportés sous la lettre (F) au

Hf* 979, ou doBRés par la courbe (F) de la Fig. 43, on trouve, par une première approximation , que la résistance P\ dont il s'agit , est moyennement égale à 81kii,pour tout l'intervalle compris depuis t = 0,1000 jus-

Su'èf s 0,1825, où la courbe diffère peu d'une ligne droite; on aura OBC, pour le travail correspondant: SU. (0,1325— 0,10000)=ik™,0075, lequel, retranché de la valeur maximum, 4k*',S0, attribuée (344) à la résistance vive de rupture également par millimètre carré de section et par mètre de longueur, conduit à la quantité de travail, 3km, 4925, supérieure encore, mais de très-peu, à celle qu'a fournie directement l'équation ci-dessus ; ce qui prouve que l'allongement final du prisme , sous le choc, a été pris un peu trop grand. En te réduisant d'une très-petite quantité, qu'il est facile de déterminer approximativement par les données de la Fig. 48, et recomntençant les mêmes opérations, sauf à évaluer, cette fois, si le cas l'exige, d'une manière plus rigoureuse, l'aire de la courbe (F) , comprise entre les ordonnées qui correspondent au plus grand allongement, 0,4325, et à celui dont il s'agit, on arriverait promptement , par ee tâtonnement, à une valeur de i ou de T^, aussi exacte qu'on puisse le désirer, et qu'on obtiendrait d'ailleurs directement par la méthode graphique du N" 84Î, si la courbe auxiliaire, dont il y est parié, se trouvait tracée ainsi que la droite représentée par l'équation , ci-dessus, en « et T\ Mais, quel que soit l'attrait qui s'attache à de semblables questions , l'étendue excessive qu'a prise, comme malgré nous , l'exposé des matières traitées dans les précédents chapitres, et dont l'utilité et l'importance, sous le point de vue pratique, pourront nous servir d'excuse , cette étendue nous oblige à terminer ici le cercle, naturellement très-vaste, des applications qui concernent la résistance directe des corps , limités, même, aux solides cylindriques et prismatiques.

BB LA nisiSTANGE DES CORPS AU GLISSEMENT OU DU FROTTEMENT ET DE l'adhérence DES SOLIDES.

346. Exposé préliminaire. Lorsqu'un corps solide est appuyé, plus ou moins fortement, contre un autre; lorsque, par exemple, il repose sur un plan de niveau, très-étendu, et qu'il le presse en vertu de son propre poids, les molécules de la surface de contact se trouvent comprimées et refoulées, contre leurs voisines, de l'intérieur des deux corps, avec un effort qui croit directement comme la pression ou le poids total du corps supérieur, et qui est d'autant moindre, à pression égale, que le nombre de ces molécules ou l'étendue des surfaces en contact est plus grande ; car on peut ici raisonner à peu près comme on Ta fait aux N°*234 et 236. Or il en résulte, Don-seulement que le plus petit des deux corps s'imprime dans l'autre, ce qui donne lieu à un enfoncement, un emboîtement général, mais encore que les aspérités individuelles des deux surfaces de contact s'entrelacent réciproquement, ou se refoulent de quantités qui dépendent essentiellement de leurs duretés respectives, et de l'énergie de la pression que chacune d'elles supporte isolément.

Mais, quand bien même le poli serait parfait^ ou que les molécules extérieures des deux corps fussent , pour nous , placées dans des surfaces, en quelque sorte continues et mathématiques, les mêmes effets n'en auraient pas moins lieu, entre ces molécules, à cause des pores, imperceptibles, qui les séparent ; c'est-à-dire que, sous l'influence de la pression , elles s'engrèneraient, se mélangeraient en se logeaYit réciproquement dans ces pores ou interstices, ce qui, remarquons-le bien , ne signifie nullement que le

contact immédiat ait lieu entre ces molécules ^ ni qu'elles réagissent autrement que par les forces attractives et répulsives qui les animent (222). Supposant donc qu'une force horizontale^ ou parallèle à la surface de contact des deux corps, vienne à déplacer celui qui repose sur Tautre, il résultera, tant de cet engrènement réciproque qui, sous l'influence de la pression, se reproduira à chacun des instants du mouvement, que du refoulement des molécules situées en avant du corps mobile, une résistance dépendant essentiellement de Ténergie de cette pression , et qui constitue proprement ce qu'on nomme \e frottement.

347. Distinction entre les diverses espèces de frottements. S'il s'agit d'un simple glissement tangentiel, c'est-à-dire tel que Pun des deux corps présente constamment les mêmes points à l'action de l'autre, le frottement est dit de la première espèce^ et on le nomme de la seconde espèce^ quand il s'agit d'un simple roulement , ou quand les points différents de l'un des corps viennent ^s'appliquer successivement sur des points différents de l'autre corps , c'est-à-dire sans qu'il y ait mouvement relatif des molécules dans le sens et l'étendue de la surface de contact. Mais la dénomination commune de frottement , donnée à ces deux genres de résistances, parait impropre en ce qu'elle ne caractérise pas suffisamment la différence tranchée qui existe entre les modes mêmes d'action des corps, dans chaque cas.

D'ailleurs, la résistance au roulement n'est qu'indirecte; elle n'a jusqu'ici, été étudiée, par les voies de l'expérience, que pour un très-petit nombre de corps, et elle se rattache à un ordre de considérations étrangères aux principes établis dans ce livre; c'est pourquoi nous ne nous en occuperons pas maintenant d'une manière spéciale.

Quant au frottement proprement dit, on peut le distinguer en plusieurs espèces, selon (|u'il s'agit d'un glissement rectiligne et parallèle, sur un plan , analogue a celui des traîneaux^ ou d'un glissement circulaire concentrique et parallèle, d'élément à élément, autour d'un axe perpendiculaire à la surface de contact, comme dans le cas des pivots et des épaulements d'arbres de machines, ou enfin du glissement circulaire des tourillons cylindriques des mêmes arbres, tournant dans le creux, pareillement cylindrique, de boîtes ou coussinets fixes.

La première et la dernière de ces espèces de frottement sont les seules qui « jusqu'ici aient été soumises à l'expérience , et dont nous ayons spécialement à nous occuper dans ce chapitre. Du reste , on remarquera que les mêmes considérations physiques et mécaniques leur sont applicables ^ attendu que , dans toutes deux , la puissance peut être censée appliquée directement et immédiatement à la résistance.

Les molécules des corps en contact pouvant, dans leur état de rapprochement, contracter une force d'attraction propre, c'est-à-dire (217) une force d'adhérence ou de cohésion, quelques physiciens, Coulomb notamment , ont été conduits à partager la résistance totale, due au glissement des corps , en deux autres : l'une qui provient du déplacement relatif des molécules ^ dans ces corps, et qui dépend essentiellement de la pression qu'ils supportent; l'autre qui provient spécialement de la force d'adhérence dont il s'agit, et qui serait, au contraire, indépendante de l'intensité de cette pression, et simplement proportionnelle à l'étendue des surfaces en contact; mais nous verrons bientôt que, pour les cas ordinaires d'application, il devient inutile de s'occuper de cette dernière résistance.

348. Recherches expérimentales relatives au frottement , Avant les travaux de Coulomb, divers physiciens, parmi lesquels on doit surtout citer Amontons, avaient déjà recherché la manière dont le frottement varie avec la vitesse du mouvement, le degré de poli des surfaces, l'intensité de la

pressioQ , et la nature des enduits interposés entre elles. Mais les résultats étaient trop contradictoires et trop peu précis , pour mettre en parfaite évidence les véritables lois du phénomène ^ de sorte que la découverte première de ces lois doit être attribuée, presqu'exclusivement, à l'habile observateur que nous avons d'abord nommé, encore bien que ses recherches lui aient offert , relativement au frottement des substances à contextures hétérogènes , telles que les bois et les métaux ^ quelques anomalies ou exceptions qui laissèrent des doutes dans les esprits ^ et ne permirent pas de considérer les lois qu'il avait découvertes comme parfaitement générales.

Plus tard^ des savants anglais , MM. Vince et G. Rennie , tirent de nouvelles tentatives d'expériences qui, à notre avis, sont loin de présenter les mêmes garanties d'exactitude que celles de Coulomb, et dont les résultats sont d'ailleurs en désaccord avec plusieurs des siens , soit à cause de la diflPérence même des procédés d'expérimentation, qui d'ailleurs s'éloignaient ici beaucoup des circonstances ou conditions sous lesquelles le frottement a lieu ordinairement dans les machines; soit à cause delà grandeur même des pressions relatives , auxquelles les corps se trouvaient soumis, dans ces dernières expériences.

Enfin ,' on avait généralement admis que le frottement a la même intensité relative, et suit les mêmes lois, pendant le choc et le glissement de deux corps, que sous les pressions ordinaires. Mais, quoique ce fait pût être considéré comme une conséquence nécessaire des notions exposées aux N**" 131 . 154 et suivants , il n'en était pas moins utile de le vérifier à Taide d'expériences directes.

Ce sont ces diverses circonstances , jointes à la nécessité de remplir les nombreuses lacunes encore existantes, qui engagèrent M. Morin, dont nous avons déjà eu occasion de citer les travaux, à reprendre, en 1831, les recherches expérimentales de Coulomb , en se servant d'appareils et de procédés beaucoup plus précis, et qui lui permettaient d'observer, à la fois et pour tous les instants, la loi du mouvement et celle de la résistance, de manière à pouvoir tenir un compte exact de l'influence de l'inertie, dont le rôle , ici très-i;apital, n'a pas peu contribué à masquer tes véritables lois du phénomène, dans toutes les expériences antérieures. La nature de cet ouvrage ne nous permettant pas d'entrer dans des détails descriptifs sur les moyens employés, par Coulomb et par M. Morin , nous nous bornerons à renvoyer le lecteur aux Mémoires qu'ils ont publiés, sous les auspices de l'Académie des sciences de Paris, l'un dans les tomes V et VI des Mémoires des savants étrangers de Vinstiiut , l'autre dans le tome X de l'ancienne collection de ce recueil (1).

Voici maintenant les conséquences générales qui se déduisent des résultats de toutes ces expériences.

349. Lois générales du frottement des corps. Nous accompagnerons l'exposition de ces lois , de courtes explications ou indications propres à en bien faire saisir l'esprit et l'étendue d'applications.

!• Le frottement est directement proportionnel à la pression. Celte proportionnalité semble devoir résulter immédiatement des considéralions physiques exposées au N"" 346, et notamment de ce que la profondeur du refoulement général des surfaces en contact, et celle des impressions individuelles des aspérités ou groupes de molécules qui les tapissent, sont,

(i) Ces différents mémoires publiés à part, se trouvent à la librairie de féditeur, M. Bachelier, quai des Augustins^ n» 55 à Paris. On consultera aussi le Mémoire sur Padhérence des pierres et le frottement des cuees de rotation , etc. , déjà cité , et qui a été publié tout récemment^ par M. Morin ^ à la librairie de M. Carillau-Gœuri , à Paris.

du moins entre certaines limites ^ proportioiineiles aux elforts de corn*

1)ression qui les produisent; car il en résulte, qu'à surface égale d'ailleurs, e nombre des molécules directement en prise, leur tension et par conséquent la résistance qu'elles opposent au glissement ou à leur déplacement latéral , doivent croUre précisément comme la pression qu'elles supportent en commun. D'après M. Morin, ce principe ne serait sujet qu'à un trèspetit nombre d'exceptions , relatives au cas où les surfoces en contact éprouveraient une désorganisation par trop profonde; il subsisterait quand bien même les aspérités grossières de ces surfaces, seraient rompues et entraînées dans le mouvement général ; ce qui s'explique en considérant que ces corpuscules donnent eux-mêmes lieu à des impressions qui croissent^ en profondeur, comme les charges qu'elles supportent directement.

2» Le frottement est indépendant de l'étendue des surfaces en contact. Ce principe signifie simplement que, quand cette étendue augmente sans que la pression change, la résistance totale reste la même , encore bien que la pression, sur chaque élément, et le frottement se trouvent diminués à peu près en raison de l'étendue même des surfaces. Coulomb, comme on l'a déjà fait observer, avait cru pouvoir conclure, du résultat de ses expériences, que, pour certains corps , la partie de la résistance qui croit directement comme la pression , devait être augmentée d'une quantité proportionnelle à Taire des surfaces en contact , et qu'il attribuait à une adhérence propre des molécules. Mais cette quantité, généralement trèsfaible par rapport à la première, n'a point été observée par M. Morin; et, si elle peut jouer un rôle appréciable dans les mécanismes légers des montres, ainsi que l'ont observé d'habiles artistes, cela n'a jamais lieu pour les machines puissantes de rindustrie, qui sont généralement soumises à de très-grands efforts sous de très-faibles surfaces frottantes.

3° Le frottement est indépendant de la vitesse du mouvement. Ce fait parait être une conséquence nécessaire de ce que , à part la force vive imprimée directement au petit nombre des particules qui sont entièrement détachées des surfaces et entraînées dans le mouvement général , le travail développé par la puissance, est uniquement employé à vaincre les forces de cohésion ou d'élasticité des molécules, et non leur inertie. A la vérité, les molécules non arrachées et plus ou moins voisines de ces surfaces , sont ellesmêmes d'abord déplacées avec une certaine vitesse; mais, comme la grandeur de ce déplacement atteint bientôt sa limite , leur mouvement finit par s'éteindre complètement. Or, soit qu'en vertu d'un défaut d'élasticité provenant de la grandeur même du déplacement , les molécules ne reviennent qu'imparfaitement à leur ancienne position après s'^re quittées réciproquement; soit que les ressorts moléculaires les ramènent, vers cette même position, avec une vitesse uniquement relative à leur état de tension , et de manière à être de nouveau reprises ou entraînées dans le mouvement commun, et ainsi de suite alternativement; toujours est-il que dans ces allées et venues des molécules , l'inertie n'est point la cause directe et efiSciente (141) , de la consommation du travail moteur, qui doit dépendre ainsi uniquement de l'étendue des déplacements ou de l'énergie de la compression, delà tension des ressorts.

D'ailleurs cette explication, conforme, pour le fond , à celle par laquelle Coulomb comparait l'action relative au frottement réciproque des corps, à celle de deux brosses que l'on presserait et promènerait l'une sur l'autre, cette explication ne préjuge absolument rien sur la manière dont le mouvement d'oscillation ou de vibration qui natt de la flexion des ressorts moléculaires et lui succède immédiatement, peut s'étendre plus ou moins rapidement , en se propageant dans les masses entières des deux corps et

DES R£S1STA]NC£$. 80B

des corps environnants ; car la vitesse de ces mouvements n*a aucun rapport direct (32B) avec celle du glissement, et la force vive qu'elle suppose , représente seulement une portion plus ou moins grande de travail moteur absorbé parla flexion dont il s'agit. (1)

Quant aux particules ou poussières qui sont directement entraînées dans le mouvement , il est certain que , sî leur masse et leur vitesse étaient comparables à celles des corps frottants, leur inertie on plutôt la dépense de travail qu'elle suppose , jouerait une rôle d'autant plus appréciable , que la part de résistance qui lui serait propre , croîtrait d'une manière trèsrapide avec la vitesse du glissement ; mais ^ ainsi qu'on le verra plus loin , cette circonstance ne se produit guère que pour les corps très-mous et spécialement pour les fluides, dont fa loi de résistance au glissement, se trouve, par là , complètement changée.

4*^ Enfih les lois qui précèdent sont également applicables au glissement pendant le choc des corps. Ce principe, comme on Ta déjà fait remarquer cidessus (347) , est en quelque sorte évident par lui-même , pourvu que la pression Réciproque , éprouvée par les deux corps , pendant le choc , se trouve répartie sur une surface assez étendue pour devenir incapable d'entratner la désorganisation des deux corps, ou tout au moins une altération d*élasticité telle que les déplacements moléculaires cessent de demeurer proportionnels aux tensions.

3o0. Formules pour calculer Viniensité et le travail du frottement, Soit R, le nombre de kilogrammes , qui représente la résistance absolue du frottement d'un corps glissant sur un autre , N le poids de ce corps , ou plulôt, le nombre des kilogrammes qui mesure l'efl^ort total qu'il exerce perpendiculairement à sa surface de contact avec cet autre ; d'après ce aui précède, le rapport de R à N sera constant , et indépendant de l'étenaue de cette surface et de la vitesse du mouvement, de sorte que , si nous le représentons par /*, on aura

(x) M. Morin s'est point parvenu à mettre en évidence de pareils mouvements, lors de ses expériences sur le frottement; mais cela peut provenir j soit de ce que ses moyens d'observations n'étaient point, en cu](>mémes, assez délicats pour permettre de les observer dans lea grandes et inflexibles masses des supports sur lesqueU il faisait glisser son traî* neau, soit plutôt de ce que les molécules directement ébranlées à la surface des deux corps, exécutaient isolément des oscillations discordantes, qui, en se nuisant réciproquement et en se disséminant dans l'étendue entière des masses dont il s'agit, au fur et à mesure de leur production^ devenaient tout-à-fait insensibles à une certaine distance du lieu d''ébranlement, à peu près comme on l'observe dans l'exemple d^à cité, de deux brosses frottées l'une sur l'autre.

Ce cas nous parait d^aillcurs être celui de la plupart des eorpa employés dans les machioes , toutes les fois que leur mouvement est continu; car lorsque les vibrations deviennent iso« chrones (3a i) pour un certain ensemble de molécules , on en est de suite averti par un bruil plos ou moins aigu» Mais ce phénomène ne se présente qne dans des circonstances tout->à-fait exceptionnelles , notamment quand , suivant l*expression des ouvriers , les corps Itroutent on ripent^ ce qui. suppose que l'un au moins d'entre eux, par suite d'une élasticité, d'une flexibilité propres, soit susceptible d'entrer en vibration : il arrive alors que les surfaces frottantes se quittent et se reprennent alternativement, c'est-à-dire éprouvent des soubresauts analogues, par exemple, à ceux qui ont lieu quand on promène, en le pressant, un doigt mouillé contre la surface unie d'une plaque mince et vibrante. Il est évident que le frottement discontinu qui résulte d'un pareil mode de mouvement, peut suivre de tout autres lois que celui qui nous occupe.