MV
de sorte que la perte de force vive serait .Le i/is de U force vive initiale du projectile, et la vitesse qu'il conserve avec la proue fluide les 12/11 de celle qu'il possédait avant le choc. Dans la réalité, la perte de vitesse et de force vive doivent être plus grandes, à cause de la réaction des masses environnantes et du rejaiUissement brusque du liquide /qui aurait lieu^ en sens contraire du mouvement , dans le cas où le projectile serait introduit dans le milieu^ normalement n sa surface libre ou de nivf.'au.
atteinte ^ et, parfois , il les faisait dévier latéralement et dans une direction presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale , vers la fin de leur course.
Lois de la résistance de Pair à' de ^frondes vitesses.
428. Recherches de Robins et de Hution, Les résultats jusqu'ici exposés pour l'air , ne concernent que de médiocres vitesses , comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8"» , par seconde ; mais nous avons averti (389) que la loi de ia résistance changeait, d'une manière sensible, pour des vitesses beaucoup plus grandes , telles que celles des projectiles sphériques de Tartil* lerie. Robins et, surtout, son continuateur Hutton ont entrepris des expériences suivies dans la vue de découvrir ceUe loi. B'après ce dernier auteur, les valeurs du coefficient k de la formule
R=*pAH= *M^î
seraient données approximativement , par cette table :
V=5i™, 3™, 5™, 10™, 25», 5om, loom, 200™, 3oo™, 4o<*"? SoOm, ôoo», lr=«o,59, 0,61,0,63,0,65, 0,67, 0,69, 0,71, 0,77, 0,88, 0^99, 1,04, 1,01.
Hutton a aussi essayé de représenter te résultat de ses expériences par une formule empirique, mais cette formule, de même que les nombres ci-dessus , a été obtenue à l'aide de méthodes d'interpolation qui laissent beaucoup à désirer , et dont les résultats ne s'accordent pas exactement avec les effets naturels , surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles-ci, comme l'a remarqué M. Piobert, le coefficient k a principalement été déterminé par les plus faibles des résultats de l'expérience et non par leur moyenne, de sorte que Texistence du maximum de &, n'est rien moins que démontrée. Quant aux petites vitesses , on peut juger, par ce qui précède (426) , que les valeurs de k , indiquées au tableau cidessus, par cela même qu'elles ont été obtenues au moyen d'une machine de rotation , sont sensiblement trop fortes quand il s'agit du mouvement rectiligne. Enfin ces données ne mettent point en mesure de tenir compte de l'influence qui , d'après les expériences assez peu certaines de Hutton (426) , pourrait être due à l'agrandissement du diamètre des projectiles.
Sous ces différents points de vue , et pour l'avantage des personnes qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par MM. Piobert et Duchemin sur cette matière , résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés au concours de 1856, pour le grand prix de mathématiques de l'Académie des sciences.
429. Recherches de M. Piobert. — La discussion approfondie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton, sur les projectiles d'un petit calibre, lancés dans l'air à de grandes vitesses, .et par celles de Newton, Désaguilliers , Borda, sur les sphères d'un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-suffisante pour les applications pratiques, par la formule
K = 0k,003 A + A (1 + 0,0017V) V/COIS A + 0,00121 , sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité f de l'air, est supposée de ^ lOOOJc, ou U, 176 environ, V représentant toujours la vitesse par seconde^ et A
la surface d*un grand cercle du projectile , évaluées en mètres linéaires on carrés.
Le premier terme, le terme indépendant de la vitesse dans cette fornuile , proviendrait essentiellement du frottement ou de radhérence du mobile et de rair; il varierait essentiellement ave c la nature de la su bs-
tance et le degré de poli de ce mobile; le facteur ^Z 0,012 A + O^OOlâT^ également indépendant de la vitesse, serait relatif à Taccroissement de la résistance, par rapport à l'étendue des surfaces frottantes (426); enfin le facteur 1 -f 0,0017 V devrait, conformément à ce qui a été exposé au K'^SSO, provenir spécialement de Taccroissement de densité subi par le fluide , en avant du boulet.
Nous ne nous permettrons qu'une seule remarque sur cette formule ; c'est qu'en y faisant enlyer la considération des rêsullats de Borda et de Hulton, relatifs à la résistance dans les mouvements circulaires, il est à craindre qu'elle n'attribue une influence, tantôt trop grande et tantôt trop faible , aux dimensions transversales des projectiles. L'auteur, au surplus, a reconnu, par lui-même, que cette formulé donnait des résultats un peu trop forts pour les plus gros calibres de l'artillerie et les petites vitesses; il pense qu'en attendant la fin des nouvelles expériences entreprises , à Metz, par la commisêion du tir de» bouches à feu, on pourra s'en servir avantageusement pour les calibres en usage, toutes les fois qu'il s'agira de grandes vitesses initiales.
450. Recherches de M, Duchemin. Cet officier supérieur, qui n'admet nullement, comme on l'a vu (391), l'influence des dimensions absolues des projectiles, est arrivé, à l'aide de considérations fondées en partie sur ie raisonnement, en partie sur les données de Texpérience, à la formule
applicable également aux projectiles spbériques de rartillerie , et dans laquelle/;, A,/>, Y ont les significations que nous leur avons constamment attribuées, et V'= 416°",54 représente la vitesse de rentrée de l'air dans le vide absolu, pour les circonstances atmosphériques ordinaires (note du
N« 389). Mais ce résultat , dans lequel le facteur ( * + ,?; ) POï*te principalement sur la densité p de Tair , n'aurait lieu que pour les vitesses V inférieures à V; et , passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce fac» teur variable par le nombre constant 2, attendu que M. Duchemin suppose, avec Robins, Euler, Hutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elle-même de croître à l'instant dont il s'agit. Les résultats ci-dessus de Hutton semblent indiquer, en efl^et^ qu'aux environs de cette même vitesse V' = 41 6°»,34, les valeurs du coefficient k atteignent leur limite supérieure ; mais , en admettant l'existence de cette limite, qui n'est nullement démontrée comme on l'a vu , il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de k demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l'hypothèse de M. Duchemin demanderait a être soumise à des vérifications ultérieures, aussibienque la formuIeci-dessusdeM. Piobert, où le facteur (1+0,0017V) est censé croître indéfiniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin , expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion , aidé
principalement de MM. Ferronnier, Boileau et Virlet, ces expérfences Tiendront bientôt, sans doute, dissiper tontes les incertitudes relatives à ia véritable loi de la résistance des projectiles dans les mouvenaents rapides.
Questions concernant lu résistance et le mouvement uniformes des corps dans
l'eau et dans l'air,
43 i. Préparation de la formule^ calcul de la densité des gaz. Les applications les plus ordinaires des règles du N° 382 concernent Tair et Teau^ il est donc nécessaire de déterminer d'abord la valeur de la densité p qui leur correspond. Nous avons vu (34) que, pour Teau, on a sensiblement P= 10001^ dans les cas ordinaires; quant au poids du mètre cube d'air, il varie (40) avec la température et la pression barométrique , et il devient nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier , comme il suit.
Supposons que la température actuelle de Tair soit de IS** centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre mesure la tension de cet air, soit de 76% ce qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Suivant la table du N° 40, la densité ou le poids du mètre cube d'air à 0° de température et 76'' de pression est de lk,2991 ; cherchant donc, d'après la loi de Mariotte (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26) , quel volume occuperait cette même quantité d'air à la pression et à la température ci-dessus, nous en conclurons aisément sa densité, son poids sous l'unité de volume. Supposons d'abord que la pression 0"»,76 restant la même, la température s'élève à 12*», le volume, à 0°, deviendra (20) , puisqu'ici le gaz est libre de se détepdre sous cette pression^ 4 me ^ 12 >/ 0°%00375 = 4"" + 0.'»%04§ = i"%045.
Cherchant , de même , ce que ce dernier volume devient à la pression de 0'",75 , on Bura , d'après la première des lois citées , la proportion
Ik 2991 Mais ce volume d'air pèse 1^,2991 ; donc 1"^ d'air pareil pèsera ' ■
=1^,2267 et par conséquent, c'est là aussi la densité de l'air à la température de 42" et sous une pression barométrique de 78% celle de l'eau étant 1000k, on voit que la première est environ les '-^i = 0,001227, ou rb de la seconde^ tandis qu'à 0» et sous 76*= de pression elle en est les ^-rHi = TTTî à très-peu près, d'après le résultat des pesées rigoureuses de MM. Biot et Arago.
La plupart des auteurs qui se sont occupés de balistique, ont pris la densité moyenne de l'air égale à gjô de celle de l'eau, comme on peut le voir par l'exemple du N° 429 ; ce qui suppose la température un peu plus forte et la tension barométrique un peu moindre que 12° et 75°.
En général , si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de l'air, et h la hauteur barométrique, en centimètres , qui répond à sa tension, on trouvera, en raisonnant absolument comme on vient de le faire dans un cas particulier, que la densité /?, ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité
h ^ 1^2991 0,0171 fc
S98 MÉCAINIQUE INDUSTRIELLE.
formule qui donnera de suite cette densité sans passer par la série des raîsonnements ci-dessus, et qui permettra aussi de calculer la densité d'un autre gaz quelconque, en y remplaçant le poids lk^,299i de Tair à 0^ et 76* de pression , par celui qui , dans la table du N" 40 , répond au gaz dont il s'agit. Il est d'ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (o et 5)^ que leur quantité est supposée Tester la même (16); c'est-à-dire, que cette quantité n'est ni augmentée par la vaporisation d'une nouvelle portion de liquide, ni diminuée par la condensation d*une portion même de la vapeur.
D'après ces données, la formule générale du N° S82, qui sert à calculer la résistance uniforme des fluides, deviendra pour l'eau ordinaire, V étant toujours la vitesse relative et H la hauteur qui lui correspond,
R = lOOO^AH = 279^088 *^^'= ^^ *^^' Moqv.,
à très peu près. Pour l'air considéré dans les circonstances atmosphériques ci-dessus, c'est-à-dire à 12" centigrades de température et 75^ de pression barométrique, on aura
j 99A7 R = 1,2267 *AH = -j^^^fcAV*=0,06253*AV^kilogr.;
ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.
432. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières à grande section. Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, esta peu près telle que l'indique la figure 74 , en plan, coupe et élévation. Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de l'eau ou de la flottaison, soit de 3"; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau, ou le tirant d'eau , soit de 0'",70; Faire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que 3'"X0"i7 =2"*%1Q; soit l*"», 60 la valeur exacte de cette aire, qu'il sera toujours facile de calculer, dans chaque cas (180) rigoureusement. Les bateaux dont il s'agit ont une longueur qui surpasse notablement six fois leur plus grande largeur; i^'ils étalent sans proue ni poupe, ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe, la valeur du multiplicateur h serait (41S) au plus 1,10, attendu qu'ici le bateau est censé se mouvoir dans un fluide en repos. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord (416) diminuer ce nombre de — de sa valeur, c'est-à-dire de 0,11 , ce qui donne h = 0,99. En outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées , par des arcs de cercle, avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d'environ \ d'angle droit, raccordé pareillement avec le fond ; on peut donc croire que la résistance ou la valeurde/cse trouve réduite (ibid), au moins à } de 0,99 ou à 0,33, nombre qui paraîtra, en effet, bien fort, si on le compare à celui (422) que M. Morin a obtenu pour des bateaux d'une forme analogue. Prenant néanmoins fc= 0,33, pour les bateaux dont il s'agit, la résistance aura ici pour valeur particulière,
R = 1000.0,33.1™'i6 H = 528 H, ou R = 26,93^^ kilog. ; le canal étant censé offrir une largeur et une profondeur telles qu'il devienne inutile (418) de s'occuper de l'influence de la proximité de ses paroi* par rapport à celle du bateau.
Supppsant donc que celui-ci se meuve dans une eau tranquille, avec la vitesse uniforme de 1">, par seconde, on aura, par le calcul direct, ici très-facile, V- = Im.lmr^l-q etR = 26k,93 : par la table des hauteurs dues aux vitesses, placée à la fin de ce volume, on trouverait H œO^jOI)!»
et par conséquent, A = 528.0,051 = 26>^,93 5 valeur qui coïncidé exactement avec la précédente, maïs qui aurait pu en différer d'une très-petite fraction, attendu que les coefficients des formules ci-dessus et les nombres de la table n'offrent que des valeurs purement approximatives.
La quantité de travail que devaient dépenser directement des hommes employés a haler le bateau avec la vitesse uniforme de 1", serait donc de 26k,93.1*" == 26kïn,98, qui, d'après le tableau de la page 153 , ne réclamerait guère moins de quatre hommes si le mouvement devait être continué une journée entière à celte vitesse : à la vitesse de0",6 seulement qui est celle (205) de Tallure ordinaire des hommes tirant horizontalement, la résistance se réduirait à 0,86.26k,9B = 9k,695, et le travail à 0"»,6.9,695 = Skm^ 82, quantités dont la dernière n'est que le J de sa correspondance ci-dessus, et pourrait être facilement donnée par un seul homme.
Ces circonstances auraient lieu, à peu près, dans lescanaux intérieurs de la ville de Metz, où la Moselle n'a qu'une vitesse insensible ; mais s'il s'agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l'eau atteint l»n, 2 par exemple, en faisant toujours avancer régulièrement le bateau, de Imàchaque seconde, par rapport aux rives, ce bateau étant alors choqué (â82) avec une vitesse relative V, de lm,2 -f lm = 2m,20, la résistance deviendrait 26,93 X (2,2)^ = 180k,34, et la dépense de travail, pendant le même temps, lâOkm, en nombre rond, ce qui réclamerait (Voyez la table du N° 205 déjà cité) deux chevaux, au moins, si la marche devait être soutenue de 8 à 10»» par jour.
Supposant , au contraire, que le bateau descende le même courant avee la vitesse de 1"',2 propre à ce dernier , il n'y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R ; mais s'il devait descendre avec une vitesse de 2^,2 par seconde, la vitesse relative étant de 2^,2 — 1",2 == 1" , la résistance absolue serait, comme dans le premier cas/ égale à 26^,93, tandis que le travail aurait pour valeur 26k,93.2",2 == 5£km,25 , en le supposant directement effectué des rives où le moteur devrait prendre la vitesse absolue de 2">,2.
La différence de ce résultat avec les précédents, montre bien toute l'influence exercée par la vitesse relative du corps , du fluide et des rives , sur la dépense de travail moteur , qui , dans les hypothèses du N* 382 , est généralement exprimée par le produit /? A (VitVT- V; V étant la vitesse' absolue du bateau ou du moteur et Y' celle du fluide. Ainsi, par exemple, on voit que, même pour une eau stagnante, ou V'= 0, le travail dont il s'agit , représenté par pAV^, croît ou décroît comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière bien plus rapide encore que la résistance simple.
433. Remarques concernant l'effet utile du transport par bateaux. Cet effet se déduit aisément de la connaissance du tirant d'eau, que nous avons supposé ici de O»,? et de celle des dimensions du bateau d'où dépend le volume de l'eau déplacée, et, par suite, la charge totale, qui, d'après le principe d'Archimède , doit être égale au poids de ce volume , etc. Supposant, par exemple, que, pour le bateau ci-dessus, à forme sensiblement prismatique ou cylindrique, la longueur réduite de la carène, prise du milieu delà partie plongée, soit de 25", sa section d'eau A, étant d'ailleurs de l"'i,6 environ, le volume du fluide déplacé sera de 25™,l"i,6 = 40"% et son poids 40,000^ ou 40 tonnes (31). Supposant, d'un autre côté, que, par un calcul analogue effectué pour le cas où le bateau est déchargé, on ait trouvé, d'après le tirant d'eau que le poids du volume de liquide déplacé soit de 16000^ , il en résultera que la charge utile, le tonnage , sera de 40 — 16 = 24 tonnes ou 24000k^ poids qu'il faudrait d'ailleurs (212) multiplier par la distance parcourue pour
400 MËCAINIQUË INDUSTRIELLE.
obtenir l'effet utile ou pratique. Cet effet ne dépend nullement , comme on voit, de la vitesse du transport non plus que de la dépense de travail moteur ^ qui peut être indéfiniment amoindrie^ ainsi qu'on Ta dit au N** 93 , pourvu qu'on réduise convenablement la vitesse relative du bateau et du fluide^ et cela, quels que soient d'ailleurs la charge . le tirant d'eau et les dimensions du bateau. Ces données n'exercent, en réalité, d'influence que sur le facteur A , de l'expression de la résistance , et le moteur n'ayant, par hypothèse^ à vaincre que l'inertie du fluide et du bateau, il peut tou< jours produire son efl^et dans un temps suffisamment long , quelque faible que soit d'ailleurs l'énergie de son action ; mais cela n'aurait plus lieu évidemment si le système se trouvait soumis à des résistances , à des frottements , indépendants de la vitesse du mouvement , comme sembleraient l'indiquer quelques-uns des résultats d'expériences rapportés dans ce chapitre.
Au surplus^ nous avons admis jusqu'à présent que le bateau se mouvait dans un canal à peu près indéfini , en largeur et en profondeur, par rapporta ses dimensions transversales; il nous reste à montrer, par un exemple emprunté à l'excellent Traité d^HydrauHque de M. d'Aubuisson comment on peut tenir compte , dans les calculs , de l'influence res^pective de ces dimensions.
434. Exemple concernant la navigation sur les canaux étroits. MM. d'Aubuisson et Maguès ont fait, sur le canal du midi ou canal de Languedoc, près de Toulouse , des expériences qui tendent à rectifier , en quelques points, l'application des formules de Dubuat exposées dans le N<* 418.
La position du canal dont il s'agit ofl^rait moyennement une section de 26"*i,55 ; une barque marchande, traînée par deux chevaux, chargée de 108 tonneaux, et dont la section transversale d'immersion; au repos, avait fr»*i,84 de surface, a parcouru uniformément, avec une vitesse moyenne de 0"*,817 par seconde, un espace de 3676" ; on avait donc (418) :
Cette dernière valeur moindre que 6,46. montre qu'il serait ici nécessaire d'avoir égard à l'influence de la proximité des parois du canal sur l'intensité de la résistance.
Conformément au résultat des expériences deBossut (415), M. d'Aubuisson prend ft ==: 4 ,00 pour le coefficient de la résistance d'un bateau sans proue, mu dans un fluide indéfini ; ce qui donne (428) , R = 5UAV* ==51.6"*%84 (0,817)' = 235k pour la valeur de cette résistance, et, par la première des formules du N° 418 ,
pour la résistance qu'éprouverait le même bateau , sans proue , s'il était mu dans le canal ci-dessus avec les circonstances indiquées. Enfin, M. d'Aubuis&on prend, pour l'introduire dans la dernière des formules du N** 418, g' = 0,4, à cause de la forme obtuse et peu favorable de la proue et de la poupe des bjteaux soumis à rexpérience; ce qui lui donne
R" = 335k [1 - 0,183 (1 — 0,4) (3,88 — 1)] = 229k. L'effort moyen exercé par les deux chevaux et mesuré directement à l'aide d'un dynamomètre (60) soumis à d'assez faibles oscillations, cet efl'ort, ramené à la direction du chemin parcouru par le bateau ayant été (le I20k ou les 0,52 seulement de celui que fournit la formule de Dubuat, M. d'Aubuisson en conclut que celte formule n'est point applicable aux
grosses barques marchandes qui naviguent sur le canal de Languedoc , et ce fait lui parait confirmé par Tobservation journalière de la marche de ces mêmes bateaux : il pense que l'exagération du résultat donné par la formule, doit principalement porter sur la valeur du facteur 0,483 (1 —q) qui y entre , et qu'il propose de porter , en conséquence , à 0,26 pour les bateaux en question; ce qui revient à remplacer le coefficient numérique 0,183 par 0,44 environ.
Quant à l'explication d'une aussi énorme différence, elle peut, suivant nous, se trouver dans les faits déjà exposés au ]\° 415 , ou , plus spécialement, dans la différence du mode de halage, dans la difficulté que les bateaux , soumis à l'expérience par Bossut , et qui ont été l'objet des calculs de Dubuat, éprouvaient à céder à l'action des forces qui tendaient à les soulever, etc. Le même motif donne lieu de croire que les valeurs assignées , par la formule de Dubuat , à la résistance R' (418), sont également exagérées , et peut-être même , si l'on en juge par le résultat (422) des expériences de M. Morin , sur des bateaux d'une forme plus ou moins analogue^ devrait-on rejeter une partie de la différence sur l'exagération de la valeur 0,4, attribuée, par M. d'Aubuisson, au rapport q. Quelle que soit, au surplus, l'opinion qu'on adopte, on voit combien il serait utile que de pareilles expériences fussent répétées sur des bateaux de la forme ordinaire, mus alternativement dans un canal à très-petite ou à très-grande section.
435. Exemples coficemant les volants à ailettes. Les tOurne-broches et les horloges qui reçoivent le mouvement parla descente de contre-poids, sont armés, comme on sait , de volants à ailettes planes et minces > fixées à Textrémité de tiges ou de bras montés sur des axes de rotation : ces ailettes, en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui croit rapidement avec la vitesse que leur imprime le poids moteur, par l'intermédiaire des rouages, et elles servent ainsi à régulariser le mouvement ou à empêcher qu'il ne s'accélère indéfiniment comme cela aurait lieu (115 et suiv.), si aucune résistance ne s'opposait à la descente du contrepoids,ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages , etc. , était constamment au-dessous de l'action qu'il éprouve de la part de la gravité.
Soit A = 0'^,05.0",06 = 0'»^,003, l'aire de l'une des palettes censée perpendiculaires à la direction du chemin qu'elles décrivent circulairement autojir de l'axe; on prendra moyennement, d'après les expériences de Borda , de Hutton et de M. Thibault (400), A = 1,4 pour des vitesses comprises depuis jusqu'à 5" par seconde; mais il faudra augmenter ce nombre (428) dans le rapport de 0,60 à 0,64 environ , pour des vitesses comprises depuis 5"* jusqu'à 10"»; de 0,60 à 0,68 pour des vitesses de 25 à 50", etc. Supposons , par exemple , le rayon moyen du volant de 1p^ ou 0°',323, ce qui donne 0",65.3,1416 = 2°»,04 pour la circonférence décrite par le centre de la palette à chacune des révolutions, dont le nombre, observé directement, sera, en outre, supposé régulièrement de 414 à la minute, ou de 1,9 par seconde; on aura ainsi , à très-peu près : Y = 1,9 X 2™,04 = om,88 , fc = 1,40 et (431).
R = 0.06253 X 1,4 X 0mq,003 X (3,88)* = 0k,00395 , pour les circonstances atmosphériques ordinaires , résistance en ellemême assez faible^ mais qui deviendrait r^. 4' . 0k,00395 = 0^,0716,
18 fois plus grande si la vitesse était quadruple ou de 15'°,52 par seconde, et qu'il IFaudrait doubler s'il y avait deux ailettes de même surface , octupler au moins (400) si^ en outre, les dimensions , les côtés de ces ailettes
étaient eux-mêmes doublés, etc. Multipliant ensuite ces résultats par le» vitesses correspondantes, on obtiendrait les quantités de travail détruites par les résistances dans chaque seconde.
Ainsi , par exemple , à la vitesse de 3", 88, 2 tours environ par seconde^ et pour deux ailettes de Omq^ooS de surface chacune, la résistance étant de 0k,0039S.2 = 0,0079, le travail détruit par la résistance serait de 0k,0079.3'",88 = 0kni,0o065 dans le même temps. Admettant que le contre-poids qui met en mouvement la machine , décrive uniformément un chemin de 0™,06 par minute ou 0°»,001 par seconde, et divisant les Oîi'" ,05065, obtenus ci-dessus, par cette dernière vitesse, il viendra 50^,65 pour la portion du contre-poids (71) qui serait employée à vaincre cette seule résistance, dont la valeur devrait d'ailleurs être augmentée d'une quantité proportionnelle due au frottement des rouages intermé* dîaires,ete.
Ces résultats suggèrent d'ailleurs plusieurs réflexions qui n'échapperont pas aux esprits attentifs, et sur lesquelles il deviendrait peu nécessaire d'insister. D'un autre côté , il est bon de faire observer que , dans presque tous les mécanismes du genre de celui qui nous occupe, et qui servent de régulateur ou de modérateur , on se réserve , par un dispositif très-simple , la faculté de diminuer la résistance, pour ainsi dire à volonté, en donnant aux ailettes , par rapport à la direction du mouvement , diverses inclinaisons dont la table du N"" 402 permettrait de déterminer assez exactement l'influence; mais nous nous dispenserons également d'offrir un exemple d'un pareil calcul qui n'a rien de difficile.
i36. Calcul du travail absorbé par la résistance de Pair sur les roues hydrauliques. Dans le No 363, nous avons donné une idée de l'influence qui peut être exercée par le seul frottement des tourillons de ces roues ou des volants qui servent à régulariser le mouvement; afin de la comparer à celle qui provient de la résistance de l'air , nous considérerons une roue verticale armée de 50 ailettes planes et rectangulaires ayant S*" de longueur dans le sens parallèle à l'axe, 0^,4 de largeur dans le sens des rayons , et dont le centre est situé à om de distance de l'axe; ce qui donne 6™.â,1416 = 18«',85 de circonférence moyenne à la roue, dont le dispositif est censé analogue à celui des roues qu^on rencontre fréquemment dans certaines usines hydrauliques. En supposant que le nombre régulier des révolùtioifs ait été ici trouvé de 19 en 8 minutes, la vitesse à la circonférence moyenne dont il s'agit, sera, à très-peu près, de 2"* par seconde, et l'on calculera la résistance correspondante de l'air sur la circonférence moyenne décrite par les ailes, au moyen de la deuxième des formules du N°404, dans laquelle on devra prendre ainsi V= 2", n=50, a = â">.0'°,4 = lmq,2, ce qui donnera, abstraction faite de la résistance des bras, etc., R = 0^00 -{-(0,0068 -{- 0,118.50.1,2)4 = 28M5, pour la résistance rapportée au centre des ailettes planes, et 28k,45.2™=57itin,90 pour le travail correspondant par seconde , quantité assez faible si on la compare (363) à celle qui pourrait être détruite par le frottement des tourillons d'une roue d'aussi grande dimension , supposée exécutée en fer ou en fonte, mais qui acquerrait une influence prépondérante si la vitesse venait à être doublée, comme il arrive dans quelques cas. En effet, la formule dont il s'agit donnerait alors pour la résistance, toujour;s rapportée à la circonférence moyenne ou du centre des ailes, R = 113k,5 environ ce qui entraîne une perte de travail de U3k5.4" = 454kin ==6 chevaux- vapeurs de 75km par seconde, perte qui se réduirait à un peu moins de la moitié , comme le montre la formule , si la largeur horizontale des ailes était elle-même réduite à cette proportion, et au 1^ , à peu de choses près^ si le nombre des révolutions restant le méme^
eelui des ailes et le diamètre de la roue étaient également réduits de moitié. Cette application démontre suffisamment Tinconvénient attaché à Tagrandissement de la vitesse et des dimensions des roues à ailes planes, inconvénient qui, probablement, n'a pas lieu, à beaucoup près, au même degré pour les roues à aubeê cylindriques ^ emboîtées latéralement dans des couronnes parallèles, et raccordées à peu près tangentiellement avec la circonférence extérieure de ces roues, de manière à éviter le choc direct ou normal contre la convexité ou la concavité des aubes.
437. Divers exemples relatifs aux moteurs animés^ etc. La surface qu*un homme de taille ordinaire présente à l'action du vent , ou Taire A de sa projection verticale sur un pian perpendiculaire à la direction du mouvement , soit qu'il chemine ou qu'il reste en repos , cette surface peut être évaluée moyennement à 0,35 . 1",7 =0™*i,60; mais, à cause de l'inclinaison que prend naturellement tout son corps, il conviendrait, sans doute, de la supposer un peu moindre lors des courses ou des vents très-rapides; de plus , cette surface et la résistance seraient sensiblement accrues si ses vêtements se trouvaient mal ajustés au corps. Le coefficient h , de cette résistance , pour un prisme droit d'une faible épaisseur, étant d'au moins 1,5 dans le cas de l'immobilité f413) et de 1,2 dans celui du mouvement (414), on conclura des expériences de Borda, citées au N-424, et qui concernent les surfaces cylindriques à base circulaire ou elliptique, opposées directement à l'action du vent, que la valeur de k doit différer assez peu de 0,5 . 1,5 = 0,7S pour l'homme en repos, choqué en face par l'air en mouvement, ou de 0,5 . 1,2 = 0,6 pour l'homme eu mouvement dans l'air en repos. La pression ou résistance éprouvée par cet homme serait donc :
dans le 1" cas , R == 0,06283 . 0,75 . 0'^s6V' = 0,028V* kil.
et , dans le 2% R = ^ 0,028V» = 0,0224V- kil.
A la vitesse de 1",5 par seconde , qui est celle d'un bon marcheur (214), on voit que cette résistance s'élèverait à 0,0224 (1,5)^ = 0k,0S04, et la dépense de travail moteur, par seconde, à 0^,0504. 1 ",5 = 0kni,0756, quantité qui n'est pas le ~ de celle qu'un homme de force ordinaire pourrait développer, d'une manière soutenue, en tirant ou poussant horizontalement ( 305 ), et dont la petitesse justifie ainsi l'observation du N" 90. Mais, si la vitesse était de 6" par seconde, ce qui est à peu près la plus grande de celles que puisse s'imprimer un coureur, d'une manière un peu soutenue , la résistance de Tair s'élèverait à 0,0224 . 6' = 0*^,8064 , et le travail par seconde , à 4kra,84 environ ; ce qui est déjà une fraction considérable du travail que peut développer continuellement un homme même robuste. Aussi l'exemple des courses les plus célèbres démonlre-t-il qu'une pareille vitesse pourrait difficilement se prolonger au delà de 20 ou 30'.
La vitesse des plus forts ouragans dans notre climat, ne peut guère être évaluée au-dessous de 40" par seconde, et il résulte de la première des formules ci-dessus, que la pression supportée par un homme deboul et immobile . qui serait frappé directement par un pareil vent, peut être évaluée à 0,028 (40)- = 44^,8 , effort considérable et auquel cet homme ne résisterait qu'en inclinant fortement son corps en avant, de manière à se dérober en partie , à l'action de l'air, tout en faisant intervenir celle qui est due à son poids. Au surplus , on ne pourra être surpris de voir que de pareils ouragans soient capables de renverser des arbres et des maisons , qui offrent une si grande surface à l'action du vent; car, pour un mur de 4" de hauteur sur 12" de longueur, choqué directement par l'air, avec la vitesse de 40" dont il s'agit, la pression ne serait pas au-dessous (406 et
431) de 1,86 . 0,06253 . 48'»<i. (40)' = 8932k; ce mur couvant être ici considéré, sans trop d'erreur, comme un plan mince entièrement isolé.
Ces différents résultats devant être multipliés par 845 environ (4^1) si l'air se trouvait remplacé par l'eau, on voit quelle énorme pression doivent supporter, dans quelques cas, les corps exposés aux torrents de ce liquide. Considérant, par exemple, un bloc cubique de marbre de l^'de côté, posé sur un sol de niveau où il n'est retenu que par son seul frottement, et qui serait choqué par un courant d'eau perpendiculairement à l'une de ses faces, la pression qu'il supporte étant donnée (413 et 431) par la formule R = 51 . 1,46 . V* = 74^46 V% tandis que celle du frottement peut être représentée (350) , par /N = 0,75 N, N étant le poids du bloc diminué de la perte qu'il éprouve dans l'eau (41) , f^ 0,75 le coefficient maximum de son frottement , il arrivera que le bloc sera entraîné par le courant^, toutes les fois qu'on aura 74,46 V* > 0,75N , ou V > 0,1004 |/n. Supposant, par ex. (35) , N = 2600k — 1000k = 1600k
ou j/n = 40 ; on voit que cela aura lieu pqur toute vitesse V , supérieure à0,1004.40 = 4°»,02 par seconde, limite qui, certainement, est souvent atteinte ou stirpassée par celle de certains torrents produits par les écluses ou les lames de la mer.
Les chevaux employés à la course, ne présentent pas, à l'action directe de l'air, une surface beaucoup plus grande que celle de l'homme, et, comnie leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points , la résistance qu'ils éprouvent est, au plus , égale à 0,02 V* kilog. ; mais , à cause de l'écuyer qui les monte, on peut la supposer de 0,03 V^ kilogramme tout compris ; ce qui , à la vitesse de 16"" par seconde environ , limite de celle qui est atteinte dans les courses de Newmarket , en Angleterre , et du Champ de Mars à Paris , donne lieu à une résistance de 7'',68, et suppose , de la part de l'animal j en chaque seconde , l'énorme dépense de travail de 122^",88, presque double de celle ( 205 ) que fournissent les chevaux de roulier ordinaires , lesquels , à la vérité , cheminent pendant 8 à lOh par jour, tandis que c'est à peine si les coursiers les plus ftns, les mieux exercés, peuvent soutenir leur allure pendant 4 ou 5', et renouveler une seconde fois leur carrière après un certain temps de repos.
Nous avons donc eu raison de dire (90 et 1 48) que le travail extérieur dont les animaux sont susceptibles , quand ils s'impriment la plus grande vitesse possible , doit être négligé vis-a-vis de celui qu'ils développeraient si la vitesse était moindre. Quand on réfléchit , en outre, à l'énorme influence que peuvent ici exercer , sur ces vitesses excessives , la délicatesse, je dirais presque la débilité des formes de l'animal, son ajustement et celui du maigre écuyer ou du léger groom qui le monte , enfin Fadresse de celui-ci à se dérober à l'action de l'air, on demeurera convaincu que ces prix, ces encouragements accordés à un exercice où l'art, objet d'un vain luxe, triomphe bien plus qu'une vigoureuse nature, on demeurera, dis-je, convaincu que de pareilles joutes, de pareils amusements sont bien peu propres à perfectionner la race chevaline dans nos contrées, où le gouvernement devrait, avant tout, tenir à se procurer des animaux assez robustes pour soutenir les plus rudes fatigues de la guerre , sous une charge qui dépasse quelquefois i20k.
438. Calcul de la résistance de Pair contre lesboulets de canon. Pour dernier exemple et afin de donner une idée précise de la progression que suijt la résistance opposée par Tair aux mouvements plus ou moins rapides des corps, nous considérerons un boulet sphérique de 24, en fer fondu , dont le diamètre c^est très approximativement de 0^,148, la surface de projection A ou d'un grand cercle, \ % c|2 = i 5,14159 ( 0« 48 )2=o«i,0172, le volume I A . rf = 1 0™s0.172.0",148 = 0'"«,001697 , et le poids de 7065^
0'"%001697=l&£€Dviron;la densité de la fonte étant ici,tf après le résultat moyen d'un grand nombre de pesées directes, de 7065'^ seulement ( l ). D'après ces données, la résistance du boulet, dans Tair , à 12" de température et 75° de pression (43i), a pour valeur générale
R=0,06253 . 0^",0I72 . kT = 0,0010755*7* kilog. , où Ton doit attribuer à k les différentes valeurs indiquées par Texpérience, et que nous supposerons fournies par la table du N*» 428, quoiqu'il soit bien démontré que ces valeurs sont un peu trop fortes pour les vitesses au-dessous de 20°" par seconde , et trop faibles pour celles au-dessus deSOO-.
Supposant , par exemple , la vitesse de 1« par seconde , on aura h .-=: 0,59 et R =0,0010755 . 0,59 . I*=0k,000635 seulement. Pour V=3'", on aurait fc=:0,61,R=0, 0010755 . 0,61 . 9=0k,0059, soit 0k,006 approximativement. Continuant ainsi , en évaluant , s'il le faut , par les parties proportionnelles^ les valeurs de k qui répondent à des vitesses intermédiaires entre celles de la table du N*" 428 , on pourra former cette nouvelle table :
Vitesses i", 3", 5», lO", aS", 5o", loo", ia5m, aoom, 3oo", 4oo'"> 5oo™,
kkkkkkkkkkkk
Résist.' 0,00064,0,006^0,017^ 0)070^ o,45o, i,855, 7,64, 12,18, 33,i, 85,2, 170,279,
On voit , par ces résultats , qu'à 125" de vitesse , l'effort de l'air contre le boulet de 24 , est à peu près égal au poids de celui-ci ; qu'à 200°», il en est près du triple , qu'à 500", de vitesse , la résistance surpasse 23 folxS ce même poids ; et , conime ces résultats devraient être multipliés par %Vi environ (431) , quand il s*agit de l'eau, on peut juger de l'énorme résistance qu'ont dû éprouver les boulets , dans les expériences de MM. Piobert, Morin et Didion , citées au N"* 427, indépendamment du choc qui s'est opéré à l'instant de leur entrée dans le bassin d'eau où ils étaient lancés.
Si le diamètre du boulet n'était que le ~ de 0°,148 ou 4%9 environ , la surface A qu'il présente à l'action de l'air, serait réduite au neuvième d*; la valeur qu'on lui attribue ci-dessus , et par conséquent , à égalité de vitesse , la résistance serait elle-même réduite , au neuvième de la valeur indiquée par la table. Pour un diamètre de | 0°»,148 ou 2%96 , la résistance n'eu serait plus que le ^V-Mais le poids des boulets supposés toujours en fonte, diminuerait dans une progression bien plus rapide encore : il serait seulement de ïVl2k=:0k,445 pour le diamètre de 4%9 et de -^ 12= 0k,096 pour celui do S^Oô ; circonstances qui tiennent à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes (53) , croissent comme les cuheê des diamètres , et les surfaces de leurs grands cercles, représentées par A, simplement comme les quarrés de ces mêmes diamètres. Enfin si , au lieu de projectiles en fonte , il s'agissait de boules de bois ou d'autres substances moins denses encore , leurs poids et par conséquent leurs masses diminueraient de quantités proportionnelles, mais la résistance de l'air resterait la même pour un même diamètre , parce qu'elle ne dépend (jue de la forme et de l'étendue de la surface du corps, ce qui permet dès à présent , de pressentir le rôle de ces données essentielles sur les circonstances du mouvement dont nous nous occuperons plus spécialement dans le chapitre suivant.
Toutefois , il est nécessaire de le rappeler avant de passer à un autre
(i) D'après une note qui nous a été transmise par M. Piobert, la densité des boulets anglais serait supérieure, ou de 7:328'' environ le mètre cube ; ce qui doit tenir, en partie^ au mode de coulage et de fabrication.
sujet , les différents exemples de calculs qui viennent d'être présentés sur la résistance des milieux , supposent essentiellement que les corps ne tournent pas , ou présentent toujours la même face à Taclion de ce milieu, et que leur mouvement soit sensiblement parvenu à l'uniformité ; car s'il variait sans cesse, comme dans la chute des corps, il conviendrait d'avoir égardà rinfluence de la proue et de la poupe fluides qui les accompagnent, conformément aux observations des N°' 380 et 382.
EXAKEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEUfENT HORIZONTAL ET VERTICAL DES CORPS DANS LES FLUIDES ET PLUS SPECIALEMENT DANS l'AIR-
439. Considérations préliminaires» Nous n'avons jusqu'ici donné que de simples aperçus (113 etsuiv.) sur la manière dont l'air agit contre les corps, pour modifier, ralentir leur mouvement ; les données précédentes jointes aux principes fondamentaux exposés au commencement de cet ouvrage, nous permettent de mieux étudier, de calculer même, les lois dt; ce mouvement, pourdeux circonstances importantes : i° celle où le corps serait lancé , avec une cei'taine vitesse et sans tourner, dans la direction d'un plan horizontal solide , où il serait soutenu sans frottement^ ce qui est aussi , à peu près , le cas des projectiles de l'artillerie , animé d'une grande vitesse horizontale , et qui , dans une portion assez considérable de leur course rapide , n ont pas éprouvé , de la part de la gravité , une action assez prolongée pour sortir sensiblement de la direction initiale de cette vitesse ; 2» celle où le corps ayant été lancé dans une direction verticale , de bas en haut ou de haut en bas , serait ensuite abandonné librement à l'action de la gravité et de la résistance de l'air , toujours dans l'hypothèse où il ne viendrait pas à tourner par suite d'un défaut de symétrie dans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons , d'ailleurs , pour l'air en particulier, s'appliquera aisément à toute espèce de fluide , à l'eau, par exemple , en introduisant dans les données de la question les modifications relatives à la densité de ce fluide et au coefficient k de sa résistance.
440 Expression de la force dynamique totale des corps soumis à Faction des fluides. Pour étudier les lois du mouvement dans les cas très-simples dont il s'agit ici , il sera nécessaire de rechercher, à chaque fois, la valeur trèsdifl^érente de la force F (130) , qui accélère ou retarde ce mouvement, et
Pt7 V
doit être perpétuellement égale et contraire à la force d'inertie — == M - ,
P étant toujours le poids, M la masse , et v l'accélération ou la diminution de vitesse pendant le temps infiniment petite Mais, comme en réalité, le corps est toujours accompagné (380) d'un certain volume de fluide ambiant, que nous avons appris, pour quelques cas, à calculer, il sera nécessaire d'avoir égard aux considérations exposées à la fin du N" 582 , c'està-dire qu'il faudra ajouter la masse M,, de ce volume, à celle M du corps, pour obtenir la force d'inertie totale. En représentant toujours , comme aux endroits cités, par Q le volume apparent ou extérieur de ce corps, par nQ celui du fluide entraîné à la densité p, et désignant, de plus, par n la densité moyenne ou réduite que l'on obtiendrait en divisant le poids P, du corps, par son volume extérieur Q , on aura
DES RÉSIST/INCES. 407
pour la force dynamique ou d'inertie totale : ce qui montre qu'en raison du fluide entraîné^ la densité moyenne du mobile doit simplement être augmentée de la fraction u , de celle de ce fluide.
La densité dont il s'agit étant, même pour les projectiles creux de Tartillerie, au moinsSOOO fois la quantité np = 0,6.1k,227 = 0k,7362 (380 et 431) pour le cas de Tair, il est évident que, dans la recherche des lois de leur mouvement , il deviendra permis de négliger la masse de l'air entraîné ; mais il pourrait n'en plus être ainsi dans d'autres cas , par exemple si le milieu résistant était l'eau ou s'il s'agissait de surfaces minces (380 , 405 et 4ll), de corps creux tels que les ballons, etc.; circonstances dans lesquelles l'influence de la proue et de la poupe fluides se sont précisément manifestées lors des expériences. Toutefois, à moins d'un avertissement contraire, nous conviendrons , pour la simplicité, de désigner, en général, par P et M le poids et la masse réunis du corps et du fluide entraîné , en considérant ainsi ce dernier coihme formant une partie intégrante de ce corps.
441. Marche à 8uivre]dan8 la recherche des lois du mouvement. Ainsi qu'on Ta expliqué aux N"" 129 et suivants , l'équation
F = M 7 , d'où l'on tire V = ~ /,
peut servir à faire découvrir toutes les circonstances du mouvement , et elle en contient implicitement la loi; mais la méthode géométrique indiquée spécialement au N^ 134, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force dynamique F, et l'espace décrit à chaque instant parle mobile, cesse de l'être dans le cas présent où l'on n'est plus censé connaître les valeurs de cette force à la fin des difl^érents temps écoulés. Ces valeurs qui dépendent ici essentiellement, de la résistance du fluide et de l'action de la gravité , s'il s'agit du mouvement vertical , seront simplement données au moyen des vitesses successivement attribuées au mobile dans les difi^érents points de sa course , en s'appuyant , à cet efi^et, du résultat des expériences et des formules exposées dans le chapitre précédent.
On pourra donc aussi calculer la valeur de chacun des accroissements inliniment petits ^, du temps, correspondant à une diminution ou un ac* croissement donnés r , de la vitesse, pour l'instant où celle-ci a une valeur assignée V, à l'aide de la formule générale
t = — 1?= — V F gV
dans laquelle M et P représentent toujours , si cela est nécessaire , la masse et le poids total du corps et du fluide entraîné.
Or, en raisonnant ici comme on l'a feit aux N°' 72, i81, etc., à l'égard de la détente des gaz et des vapeurs c'est-à-dire si l'on construit une courbe 0'a'b'c\..fg'h' (Fig. 79), dont les abscisses Oa , Ob... 0/, O^r , OA, prises par rapport au point 0, comme origine, si le mouvement s'accélère, ou les abscisses AO, ha , hb.... hf^ hg , prises par rapport au point A, si le mouvement se ralentit, représentent, à une certaine échelle, les valeurs équidistantes successivement attribuées à la vitesse V , tandis que les ordonnées 00', aa' ^ bb\... ff\ gf^' représentent les valeurs correspondantes du quotient de P par gF^ le temps T , écoulé entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse devient Oh et Ofon hb et A/", par exemple, sera évidemment donné par l'aire hb'ff, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées extrêmes bb' et ^, relatives à ces vitesses.
En appliquant donc ici le théorème des quadratures de Simpson (180), il sera possible de calculer le temps T , dont il s'agit, à un degré d'approximation aussi grand qu'on le voudra, en subdivisant Tintervalie 6/*, compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand de parties égales.
Comme on a, d'ailleurs (48 etS3), en représentant par e l'élément de chemin correspondant à / ou à v
^^ MV PV
on voit que la même méthode pourra servir à trouver la longueur du chemin parcouru dans l'intervalle dont il s'agit, par la considération d'une nouvelle courbe Oa''fc'V'...^", construite sur les mêmes abscisses, mesurées , suivant les cas , à partir du point 0, ou du point A, mais ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du quotient de PV par ^^F.
Quant à la .question où il s'agirait de trouver immédiatement les espaces parcourus au moyen des temps écoulés, il est évident qu'elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c'est-à-dire par une marche directe, jiuisque F ne peut se calculer que si l'on connaît V; on sera alors obligé de recourir à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d'offrir un exemple dans ce qui suit. .
Caa du mouvement horizontal,
442. Valeur de la force dynamique ou retardatrice ; équations fondamentales du mouvement. Les effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une cause quelconque, et les forces étrangères à l'inertie se réduisant ici uniquement à la résistance R du milieu , qui peut être calculée pour chacune des vitesses V, possédées par le mobile aux divers instants, on aura simplement (440)
T^ (n -I- np) Qv ^ F ou ^ ^ ^^ -^-=R;
et, par conséquent, le corps ayant été lancé horizontalement avec une certaine vitesse initiale , cette vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti dans chacun des instants égaux à ^, suivant une loi donnée par la formule
^ qui exprime véritablement la force dynamique relative à Vunitédeinam supposée entièrement libre (132) , ou qui serait capable de lui imprimer , dans le vide absolu , le mouvement effectif du corps. Mais , attendu que la résistance R décroit très- rapidement avec la vitesse V du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément retardé (107 et H7), comme cela arrive (36S) dans le cas où la résistance se réduit à un simple frottement exercé par le mobile, sur un plan solide horizontal: il le sera de moins en moins pour des intervalles de temps légaux et infiniment petits, comme le démontre la formule ci-dessus, qui donne la diminution de vitesse v pour chacun de ces instants.
D'un autre côté , cette même formule, dans laquelle l'aire A de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direction rcctilignedu mouvement , entre comme facteur deR (381), d'après les résultats les plus concluants et les plus universellement admis sur la résistance des fluides, cette formule, disons-nous, montre que la diminution instan-
DES RÉSfôTANCES. 409
Uuée Vy de la ir^esse, est d'autant inoiadre^ toutes qhoses égales d'ailleurs, que la densité moyens a du corps (440) , est p(u$ grande aussi bien que le rajitport de soq volume Q, à Taire A, qui se réduit ^ux \ du di^ir mètre pour les sphères, à la hauUur de rajse pour les cylindres et tes, prismes droits mus p^rall^iemeat à eet axe^ etc. ; de sorte que, /»<«/• /e» coriiê sphériqu^ en p^^fHe^lier , fat esemfle ptQur &« projectiles ^ i'($rtiHene , h raknti^^^n^ent. de ta, vitesse initiale est d'autant plus, rapide quç levr densité^, moyenne ou réduite et leur diamètre sont moindres : fait confirmé par Texpérienoe , et qtie démontre plus spédalement encore , la formule
relative au raouveoieat de ces projectites dans l'air, pour lequel on a pris (431) , R = 0,06253JbAV% en négligeant d'ailleurs, le terme np relatif au fluide eatratné ; prenant § =»> ^"'^SQSS (117) pour le lieu où nous som^mes ; puis remplaçant Q et A par leur valeur | «- d\ ^ «• d^^ dans lesquelles d est le diamètre et «- = 3,1416 sou rapport inverse à la circonférence.
Considérant pour exemple, le boulet de 24, dont on a recherché, à l'avance, la réiiistance dans l'air au N** 4^8, on aura immédiatement^ pour cakl^er toutes les circonstances de son mouvement horizontal ,
Fou ? ^= R= 0,00107S5iVS-^=0,00Q88iV'}
ce qui montre tout à la fois, d'une part, l'énorme influence exeiHsée par cette résistance aux premiers instants du mouvement où ta vitesse Y atteint quelquefois dOO"", et où par conséquent sa diminution instantanée t?, devient (428),0,00088.1,01.(500}2=222fois au moins, la durée correspondante/, du temps; d'une autre part, l'extrême faiblesse de cette même influence^ dans les derniers instants du mouvement, où la vitesse étant supposée réduite à 0",001, par exemple, en une seconde, celle de v devient, au plus, Ies0.00088.0,59.(0,00l)*=00000000062 de t, ou t près de deux milliards de fois plus grand quev; ce qui montre Pexcessive lenteur avec laquelle le mouvement devrait s'éteindre dans les hypothèses actuelles sur la loi de la résistance.
443. Le mouvement ne s'éteindrait jamais si la résistance décroissait plus rapidement que la vitesse. Pour démontrer cc principe d'une manière positive, et qui s'applique généralement à tous les cas où la force retardatrice tend à s'aSaiblir rapidement et indéfiniment avec la vitesse, sans jamais changer le sens de son action, nous remarquerons tout d'abord, que la formule générale (44â)
dans laquelle M et P peuvent comprendre la masse et le poids du fluide entraîné, montre que la valeur du quotient de M par F, ou de P par ^R , croissant indéfiniment à mesure que la vitesse Y du corps diminue, il faut bien aussi que le temps f, nécessaire pour détruire, dans ce corps, un degré donné de vitesse r, devienne de plus en plus grand et finisse par acquérir une valeur comparativement infinie dans les dernières périodes du mouvement; de sorte qu'il peut bien arriver que la somme des valeurs de l'accroissement *, du temps, devienne elle-même excessivement grande ou infinie, quoique celle des valeurs correspondantes de v, ne puisse dépasser la valeur attribuée à la vitesse initiale quelle qu'en soit la petitesse. Mais on peut établir cette proposition d'une manière plus rigoureuse et plus sensible encore, par la considération delà courbe 0'a'h'...,fgf (Fig. 79), dont on s'est occupé au N*" 441 ci-dessus, et qui a h pour origine des abscisses ou vitesses.
l" PAETIE. 52
En effet, la valeur de la fraction P sur ^R^ se trouvant représentée par la hauteur des ordonnées correspondantes aux diverses valeurs de V, on voit que ces ordonnées doivent croître indéfiniment à mesure qu'elles se rapprochent de Taxe parallèle qui répond à l'origine h ; de sorte que l'espace compris entre cet axe et la courbe, est réellement illimité, à peu près comme cela a lieu pour l'hyperbole équilatère de la figure 41 ^considérée aux Ifo* 181 et 198, ou celle que l'on construirait en prenant simplement
1™ I = — 9 par exemple. Mais comme on suppose ici que F ou R diminue
plus rapidement que V, il en résulte que la courbe 0'a'ïy,...fig\ se rapproche bien moins rapidement encore ae l'axe des ordonnées et beaucoup plus, au contraire, de celui des abscisses que dans cette dernière hyperbole.
D'un autre côté , on sait par la géométrie des courbes et la théorie des logarithmes (198), que les aires hyperboliques comprises entre une ordonnée fixe quelconque et une autre ordonnée qui s'approche sans cesse de rase correspondant relatif à l'origine A, des abscisses, croissent indéfiniment^ de manière à devenir plus grandes que toute quantité assignée; donc il en sera de même , à fortwri, des aires analogues de la courbe (yaV....fg\ qui donnent les valeurs du temps dans le mouvement relardé dont on s'occupe, et. par conséquent^ quelque paradoxal que cela paraisse au premier aperçu , il peut exister de tels mouvements qui ne s^ éteindraient pour ainsi dire jamais , quoiqu'à la fin ils fussent extrêmement ralentis : c'est ce qui aurait précisément lieu dans l'hypothèse d'une résistance proportionnelle au quarré de la vitesse.
Par contre, il doit exister aussi des mouvements qui s'accélèrent indéfiniment sans jamais atteindre la limite de leur vitesse, quand la force dynamique F , tend à décroître très-rapidement à mesure que cette vitesse s'approche^ elle-même, de sa limite; mais, comme la chute des graves dans l'air, nous offrira bientôt un exemple de ce phénomène de mouvement, nous n'insisterons pas quant à présent.
Enfin il ne sera pas inutile de faire observer que , puisqu'on a également (441 et 442) MV PV
des considérations analogues pourront s'appliquer aux espaces parcourus par le corps dans le mouvement qui nous a occupé précédemment : ces espace s Rendront à devenir infinis si le quotient de MV par F , croissait , lui-même , plus rapidement que la vitesse Y ne diminue. C'est , au surplus, ce que nous tacherons de rendre plus manifeste encore , par la discussion du cas particulier qui suit.
444. Exemple numérique relatif au mouvement horizontal des projectiles dans fair. Soit le boulet du N"" 438, lancé horizontalement, dans l'air, avec une vitesse initiale , AO ou V (Fig. 79), de 500" par seconde, je suppose, et demandons-nous d'abord au bout de quel temps sa vitesse hd ou V sera réduite à 400°", en admettant toujours que la loi de la résistance soit celle adoptée dans cet endroit.
En supposant seulement l'intervalle de Odou V — V = 100" , divisé en quatre parties égales aux points a, 6 et c, on pourra former la table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (438 et 442) , dans laquelle on a centuplé les valeurs de P, pour éviter l'écriture d'un trop grand nombre de chiffres décimaux :
Points de subdivision O, a, b, c, d,
Numéros d'prdre i, a, 3, 4« ^'
Vitesses correspondantes 500*", 47^"'> 4^^'"# 4^^"*y 4'*^'*'
looP n37,36 valeurs de —=__ 0,4374, 0,4894, o,556i, 0,6297, Oj,;i8o.
Par conséquent on aura, en se servant de la mélhode du n"" 180,
Somme des valeurs extrêmes de 0,43^4 + o»7*So =" '»*^H
3 fois celle des valeurs d'ordre impair a X o,556i = i^ii^a
4 fois celle des valeurs d'ordre pair .4 M^9i + ")^^7) = 4»47^4
Total . , • 6,744©
Cette somme divisée par 100 et multipliée par le J de l'intervalle, 25", entre les vitesses successives, donne ^ 25. 0,06744 = 0",5620, pour la durée du temps pendant lequel la vitesse du boulet est réduite de 500 à 400", attendu que jr == 9",809 répond (H7)à une seconde sexagésimale, qui est ainsi l'unité de temps.
Les différences consécutives de chacune des valeurs, fournies par la table ci-dessus, du quotient de P par grR, à la suivante, allant progressivement en croissant, on en conclut, à priori, que la courbe est convexe vers l'axe des abscisses comme l'indique la figure 79, et le résultat qui vient d'être obtenu est par conséquent un peu trop fort (180). Mais, comme ces mêmes différences croissent assez lentement, le résultat, quoiqu'un peu faible , doit néanmoins s'approcher beaucoup du véritable; et c'est ce dont on peut s'assurer directement en supposant seulement l'intervalle Od^ de 500 à 400", divisé en deux parties égales , au point b : on trouve, en effet, par la méthode déjà employée, \ 50 (0,011554 + i . 0,005561) = 0",5633, résultat qui ne surpasse le précédent que de tJt de sa valeur.
D'après ce grand degré d'approximation de la méthode pour l'intervalle de|500 à 400", on pourrait, sans risquer de commettre des erreurs appréciables, se contenter de diviser pareillement en deux parties égales, l'intervalle de 400" à 300", pour en conclure la durée correspondante du temps. Et, comme les valeurs du quotient de P par gK , relatives aux vitesses de 850 et 300", sont respectivement de 0,01000 et 0,01436, on en conclut , pour la valeur de cette durée, \ 50 (0,00718 -|- 0,01436 + A . 0,01000)= 1",0266 ; mais il serait^ sans doute, peu exact d'étendre celte régie aux intervalles égaux suivants , de 300 à 200" et de 200 à 100", parce qu'on pourrait tomber alors, dans les régions où la courbure par trop prononcée de la courbe, donnerait lieu à des différences d'ordonnées consécutives très-variables, et, à plus forte raison, ne conviendrait-il pas d'étendre cette méthode à de très-grands intervalles de vitesses.
Ainsi , par exemple, si l'on se contentait de partager en quatre parties égales , l'intervalle compris depuis 500 jusqu'à 100 mètres , ou de 100 en 100 mètres, on trouverait, pour le temps nécessaire à un pareil ralentissement de vitesse, 12",83.qui, inévitablement, surpasserait d'une quantité notable la véritable valeur de ce temps. Cependant telle est l'excellence de la méthode pour le cas actuel, que si l'on divise ce même intervalle, en 8 parties égales, on trouve le nombre r',77 , dont la différence avec le précédent n'est pas le -}j de sa valeur, et qui, par cela même, ne doit surpasser que de très-peu la véritable durée du temps.
445. Extrême lenteur avec laquelle le mouvement s'éteint dans cet exemple. Afin de mettre la chose dans tout son jour , nous rechercherons le temps nécessaire pour que la vitesse, supposée réduite à 10™, ne soit plus que de 2" par seconde ; mais, au lieu des valeurs du coefficient fe, fournies par la table du N° 428, nous adopterons, pour ces faibles vitesses, la moyenne h = 052 (425), qui doit s'écarter assez peu (426) de la véritable, dans le cas du mouvement rectiligne des globes dans l'air. D'après cela , si Ton divir seulement en quatre parties égales, l'intervalle de 10" à 2", on formera tableau qui suit :
^I« MÉCANIQUE INDUSTftlELLE.
Numéros d*ordre. . • . !, % 3, 4, 5«.,
Vitesses correspoDdanlcs. lO», 8", 6», 4-, 2«»,
Valeurs de— = ^; 21,87, 84,18, 60,76, 186,70, S46,8I ;
«e qui donne pour la dorée du temps écoulé,
Si Ton se fât borné à diviser Tintervalle de 10" à 2" , en deux parties égaies,on eût trouvé 1 082",28, nombre qui diffère beaucoup du;précédent, et prouve que la subdivision en quatre parties peut ne pas suffire ; en la portant a 8. on obtient finalement 880",2, pour le temps ^ue la vitesse du inobile met à passer de iO à 2'» ; la différence â5",6, entre ce nombre et le premier des précédents étant assez forte , on voit qu'il y aurait lieu à multiplier davantage encore les subdivisions, si Ton tenait à une très-grande exactitude, mais^ pour l'objet que nous avons ici en vue, il serait inutile depousserplustoin les calculs.
Tel est d'aiHeurs l'esprit dans lequel on devra constamment appliquer le théorème (180) des quadratures de Simpson.
Les résultats obtenus en dernier lieu, montrent, conformément à ce qui ^ été annoncé au numéro précédent, d'après des considérations générales ai purement géométriques, que la vitesse diminue ici avec une lenteur extrême, «t l'on peut juger que cette lenteur serait infiniment pkis grande encore pour les derniers instants du mouvement. Ainsi, par exemple , on voit sans ^u'il soit nécessaire de recommencer sur de nouveaux frais les calculs , que le temps au bout duquel la vitesse serait réduite de 10 à 2 milïïmètres par seconde, s'élèverait, au moins, à (1000)2=1 million de fois 880", ou bien près de 28 ans, etc.
Pour obtenir les espaces successivement parcourus dans le même mouvement, il suffira (443) de recommencer les calculsen y remplaçant chacune des valeurs de P sur ^^R, par son produit avec la valeur correspondante de V. C'est ainsi qu'on trouvera , pour l'intervalle de 500 à 400™ de vitesse , respace i 25 [2,187 + 2,872 + 2 . 2,805+4(2,325 +2,676)] = 250m,6, avec un degré d'approximation encore plus grand que dans le précédent exemple.
En divisant pareillement Tintervalle de 500 à 100", en 8 parties égales, on obtiendrait 2242" pour l'espace correspondant décrit par le projectile. Enfin , ponr l'intervalle pendant lequel la vitesse se réduirait de 10 à 2"', respace décrit par le boulet s'éloignerait fort peu de 5523", et il serait environ 1000 fois plus grand dans l'intervalle de 10 à 1 millimètre, etc. ; ce qui suffit bien pour faire sentir que le chemin entier parcouru par le mœ bile n'aurait , de même que le temps , aucune limite assignable (1).
(i) On remarquera que pour cette dernière période du mouTement ou Ton %tippo»e k invarîaible, le» équations du No 44i prenant la forme très simple,
OÙ G représente une constante facile à calculer dans chaque cas, on en lire, par les pro» cédés connus de l'analyse, qui ici, pourraient être facilement suppléés par les considérations directes delà Géométrie,
E représentant, en outre, l'espace décrit et T le temps ccottlé depuis Porigîne du mouvement où la vitesse V, relative à ce temps, était V; enfin le signe abnHiatif fog , se rapportant aim logarithmes hyper ùoUquer^ ou népériens (198) qui, on se le rappellera, peuvent être également obtenus au moyen des tables de logarithmes ordinaires, en multipliant ceux-ci lombre constant 2,ioi585. Ce» dernière* formules mo.itrciit bien Vrailleurs que E et
tîuant k la manière de découvrir le chemin relatir à tm temps Ûomé , eemme elie peut être avâniageusetnent siipfMée -^ davis le <6os ac(»el, pftf ta tabletlu N"* 447, die serait saos intérêt, et nous renverrons nos lecteim à l'esemple ci-après , qui concerne la chute verticale des corps da»î Tair,
446» Idée de la manière dont le mouvemeni hofitofiMl des ùorpè peui i'mnéanHr, même en un temps fort court. Lorsqu'un projectileest booé borilOntaleiâeiit à la surface de notre i;lobe , il est eontinuellement sollicité à descendre en vertu de la pesanteur, s1i n'est point soutenu sur un plan fixe^ btentètv en effet , il atteint k surface du sol, où il s'enterre si 4e choc «e lui tvermet pas de rebondir^ ricocfher^ m notti^bre plus o« Bioins grand de fois , à chacune desquelles il perd des portions très-^appréciables de sa force vive ioitiale^ que les frottements <3t obstacles quelconques, dont sa roule est parsemée^ finissent promptement par lui élever. Ces frottements^, comme on Ta vu au N"» ^66 , sont tels que , même pour des surfaces horizontales aussi polies que la glace, quelques secondes suffisent pour éteindre oemplètement une vitesse initiale de 4°* dans un tx)rps de masse quelconque ^ indépendamment de la résistance de l*air^ à laquelle le frottement devrait être ajouté dans les équations fondamentales du N» 442.
Ainsi ^ par exemple, jf étant ta valeur partienlière 'du eoeffideut deee frottement, on aura , en général ,
s*il s'agit spécialement {?èi(2} des projectiles de Tartillerie , mos dansl^ir.; ce qui montre que c'est sin*l«out pour les faibles vitesses que te frottement exerce de rinflueince, tandis que l'inverse a lieu pour la résistance du milieu qui exerce principalement la sienne à Torigine du mouvement. Or, il en résulte que ces deux seules causes réunies doivent , quelle que soit l'intensité de sa vitesse initiale , arrêter le corps en ua temps généralement très-court , comme on l'observe , en effet, dans tous les cas analogues.
Il est pourtant une circonstance physique où le mouvement horizontal pourrait se perpétuer sans fin, si les lois de la résistance des fluides étaient telles qu'on vient de le supposer dans ce qui précède : c'est celle où un corps flottant à la surface de niveau d'un liquide immobile , tel que l-eau d'un bassin soustrait à l'action des cotirants 4^air, viendrait à y être lancé horiaontalement , sans tourner, avec une certaine vitesse ; car le corps étant ici soumis uniquement à la résistance de cette eau et de l'air, il n'iesisterait plus aucune force retardatrice constante étrangère aux deux fiuidcs , et capable de détruire des portions de la vitesse initiale qui , étant proportionnelles aux temps écoulés ^ amèneraient promptement le corps «0 repos absolu. Une etpérience de cette espèce, exécutée dans les circonstances les plus favorables et en observant, avec toute Texactitude qu'il
T devietuient infinis en môme ten^ps que "V = o; mais déjà il n'en serait plos ainsi de l^space E, si la résistance était simplement proportionnelle à la vitesse ; car à oause de « = O , on aurai* E =C (V — V), et par conséquent, E = CV' pour ^^ = o , quoique T reste irtfifti ou que le mouvement ne s^étcignc jamais. Ainsi Tespace décrit par le corps grandirait constamment sans néanmoins pouvoir atteindre la limite E «= CY' : à fortiori, cet espace coniierverait-il une valeur finie dans le cas où la résistance croîtrait moins rapidement encore qae la vitesse, par exemple comme sa racine qnarrcc;^ Y. On aurait alors , ^Q effet ,
T = !ïC(j/r-^^Y), E = |c(V'|/Y^-Y|/V);
He sorte que le mouvement s'éteindrait complètement au bout du temps T = aC j/\", et de l'espace E = 2/2 CV' |/V'.
serait facile d*y apporter, la loi du mouvement aux derniers instants, une telle expérience serait peut-étre plus propre qu'aucune autre à faire découvrir Texistence d'une pareille force retardatrice, admise par les uns et repoussée par d'autres (388), sans que les motifs ou les feits d'expériences qui servent d'appui à ces opinions contradictoires , puissent être considérés comme rigoureusement établis. Mais, à cause de l'influence qui, dansées derniers instants du mouvement du corps, pourrait être exercée parle sillage ou courant postérieur (574) , et tend à l'entraîner au delà de la position qu'il devrait naturellement atteindre , il serait peut-être encore plus exact de chercher à constater l'existence du terme constant, en observant avec soin le mouvement de descente vertical , dans l'air, d'un ballon vide ou rempli d'un gaz assez léger pour que son poids, dans cet air. constaté par une pesée directe , fût réduit à un degré de petitesse compa* rable au frottement dont il s'agit d'apprécier l'influence , et dont les effets ne sauraient maoc^uer de se manifester, si le globe était abandonné , sans aucune entrave , a l'action de la pesanteur, comme le firent Newton et Désaguilliers (426) , lors de leurs premières expériences dans l'église de Saint-Paul à Londres.
Au surplus, quelle que soit l'opinion qui triomphe définitivement, il n'en est pas moins vrai de dire que les obstacles accidentels dont est parsemée la route des corps en mouvement dans les fluides, les particules solides qui y nagent et donnent lieu à de véritables frottements , enfin l'influence des tourbillonnements et remous qui s'y produisent , la rotation même que tendent, presque toujours, à prendre les corps non parfaitement syraé» triques, sont autant de causes qui parviennent a anéantir leur vitesse, dam des temps infiniment plus courts que ne l'indique le calcul. Et, comme tous les mouvements sont, ici bas, nécessairement soumis à l'influence de pareils frottements, de forces retardatrices variables ou constantes, on voit qu'ils ne peuvent s'entretenir dans les corps, même les plus subtils, sans une dépense continuelle de travail ou d'action, à laquelle les combinaisons matérielles les plus ingénieuses ne sauraient suppléer (103) ; et voilà aussi pourquoi le mouvement perpétuel que rêvent des hommes privés des premières notions de la mécanique, est une véritable chimère , quand on le recherche ailleurs que dans l'action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir les corps célestes dans un espace vide ou privé de toute résistance, et qui, à la surface de la terre , servent par leur mouvement périodique, plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.
447. Résultats des calculs de M, Pioberi, relatifs au mouvement horisonial des projectiles dans Vair. Dans un chapitre intéressant du Mémoire (373) qu'il a présenté en commun, avec MM. Morinet Didion, au concours du prix de mathématiques pour l'année 1836, cet officier supérieur a calculé, avec beaucoup de soin, une table qui permet, au simple coup d'œil, de se rendre compte de toutes les circonstances offertes par le mouvement des divers projectiles, en usage dans l'artillerie française, lancés horizontalement dans l'air en repos et abstraction faite de l'action de la pesanteur (439). Elle a été dressée en prenant pour base des calculs la formule du N" ^29, qui sert à représenter le résultat moyen des expériences relatives à la résistance de l'air sur les projectiles. Dans la formation d'une pareille table, les méthodes directes indiquées aux N*" 440 et 444 , présenteraient évidemment les plus grands avantages pour trouver successivement, par des opérations for tsimples, les valeurs numériques des temps et des espaces qui correspondent à une série de vitesses équidistantes données et suffisamment rapprochées; ce qui permettrait, ensuite, de tracer de nouvelles courbes, au moyen desquelles on obtiendrait facilement toutes les valeurs intermédiaires de ces temps et de ces espaces ; ce qui s'appelle en générdL interpoler^ dans la langue des géomètres. Mais, en réalité, M. Piobert t>t
arrivé aux résultats de sa table par une voie purement analytique (1) fondée sur la formule déjà citée du N<> 429, et sans l'établissement de laquelle cette recherche eût été impossible, tandis que la méthode précédente reste applicable, au moyen d'une courbe d'interpolation ou d'une table analogue à celle du N<'428 , quelle que soit la complication de la loi expérimentale suivie par la résistance.
Malgré les reproches adressés dans le N"" -429, à la formule dont il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyens d'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces corps, nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'auteur. L'usage en est d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu ; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600™ par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trou vent rapportées dans la Ugne horizontale supérieure de la table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques , au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus ; méthode qui , sous le rapport de l'exactitude , aura surtout de l'avantage dans Tintervalle correspondant aux vitesses de 100 à 200" , et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace, éprouvent des variations trèssensibles.
(i) En posant, pour abréger, dans la formule du N^ 4^9»
m=rOyOot7 A V o,oi2 A + o,ooi2i ,» =Ak o,oiaA-|- o,ooiai ,
J=:0,Oo3A,
elle prend la forme trè«-simple
Poar les mouTemeuts rapides des projectiles de l'artillerie , c^est-à-dire pour des vitesse* sui)érienres a 5" par seconde, ou pourra négliger le dernier terme de la formule, et l'on calculera, d'après M. Piobert, en mètres et secondes sexagésimales, l'espace Ê décrit et le temps T écoulé pendant que la vitesse V du mobile se réduite V, au moyen des formule»
où les logarithmes sont hyperboliques ^ comme dans la note du No 444 # ®^ ^ désigne le
poids, en kilogrammes, du projectile , % la fraction — = 588,a353 qui, ici comme on voit,
joue un très-grand rôle , et mériterait d'être déterminée avec le plus grand soin ^ d'après les
données de l'expérience.
Pour les mouvements très-lents, au contraire, on au-dessous de 5m par seconde, on
peut négliger le terme mV* de la résistance , par rapport aux deux autres , et alors on a
PV'-f-r ^P/ V' V\
E = — log -— -; — , T= — -=r t arc tang — — — arc tang ^ J •
^ng ^ V + r' gy/gn \ ^ j/r )/rJ'
formules dans lesquelles encore, r exprime en nombre le rapport de 9 à n, et l'abréviation
arc tang j l'arc de cercle dont le rayon, égal à l'unité abstraite, a pour tangente trigono»
métrique, la valeur numérique du rapport qui la suit , et dont la connaissance entraine celle
de l'arc au moyen des tables trigonométriques connues.
Telles sont d'ailleurs les formules par lesquelles M. Piobert a calculé les nombres tus.
crits dans le tableau ci-après du te\te.
.la
3 Si
ta
ta
«ÉQINIQDË INDOSTAIELLE.
sS
es
sS
F » «c w c* eo ns co g ?i « w «
ss^gfSaSgâaâsSg^rcssjg-
i^iii^i§iai^i§iPiis-ii
I— ( FiS i-H r-^ o
ooooooooo o o
ï^"$sS€255sS9b8s28î:::oS5SssS ^S S
CQ d ^^ c^ .—«"Cm —^d /"Ci *^e^ ^r"^ .-/•'^ ^r •>,»*' — r
f^^ ' «si^l ««^H ««^^ ««^S •» •» •« VJ' 0»
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Voulant, par exemple, trouver le temps que la résistance de Taîr mettrait à réduire à 100"" la vitesse initiale de ëOO" supposée au boulet du calibre de 24 , question dont nous nous sommes déjà occupés au N° 444 , on trouvera, dans les colonnes verticales qui répondent à oOO et iOC^ de vitesse et à la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il s'agit, 0",324 et M",6S respectivement; ce qui donne pour le temps cherché H",65 — 0",324= ir',o26, dont la différence aux H",?? obtenus dans le même numéro , provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d'une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans Fintervalle dont il s'agit, est de 2321°* — 178« =2143", au lieu des 2242" obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s*en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours circonscrite dans des limites aussi étroites pour d'autres hypothèses.
Enfin si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément à 100"», comme dans la table, on voulait la prendre égale à 120°" par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d'interpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de 200 , 150, 100 et 50 mètres, voisines de 120"; on trouverait ainsi 9",04, 2047" respectivement , pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d'un tableau de semblables courbes tracées , dans toute leur étendue, par M. Piobert, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mêmes procédés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif à un temps donné, ou réciproquement ; c'est pourquoi il devient inutile d'insister.
Cas du mouvement vertical.
448. F'aleur de la force dynamique, retardatrice ou aoeélèratrice^ dans le mouvement ascendant. Pour les corps très-denses, ce mouvement sera évidemment à la fois retardé, et par la résistance R du milieu, et par l'aclion de la pesanteur sur le corps, dont le poids P = Qn (440), devra d'ailleurs (41 , 113 et suiv.) être diminué de tout celui du volume Q de Tair qu'il déplace, poids que nous nommerons F== Qp , et qu'il sera facile de calculer au moyen de la densité p du fluide (431). Nous aurons donc ici (440)
F=R-f.P-Fou (îl±^Q- = R4.(n— ;,)Q;
ce qui donne pour le rapport de v à ^, dans le mouvement ascensionnel du corps , ou pour la force dynamique relative à Tunité de masse ,
z=^9izrT—rfr=i;rrzz^'r9
t ^ {n+wjo)Q (n+-fip)Q^^n + njt>'
quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.
Pour les projectiles sphériques de l'artillerie lancés verticalement dans Tair , de bas en haut, on pourra négliger le terme np , relatif au fluide entraîné (440) , et , comme leur poids P , même en les supposant creux , est au moins 3000 fois celui P' du fluide déplacé , on pourra aussi ne point tenir compte de ce dernier dans les calculs ; ce qui, pour les hypothèses des N~ 441 et 432 , donnera simplement
formule qui met en évidence l'influence respective du diamètre d , de la
l'"'' PARTIE. 5^
densité moyenne n du projectile , et de la gravité ou de ^f , sur le ralentissement plus ou moins rapide du mouvement ascendant.
Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de 24 , qui nous a déjà occupés aux N*»* 438, 442 et 444 , les formules
F = R + P = 0,001075S*V' + 12k,J=0,00088itV2+ 9-,809 ,
dans lesquelles ilneresteplusque^et Y d'indéterminés, et qui montrent que le mouvement sera déplus en plus retardé comme pour les projectiles lancés horizontalement mais d'une manière bien autrement rapide, et à peu prés comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal matériel (446), son frottement venait à se joindre à la résistance de Tair. On voit, en efiPet, que la force retardatrice F^ conservant , à tous les instants , une yaleur qui surpasse 12k, il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement , même en un temps fort court.
Si, au lieu de posséder une densité moyenne n , supérieure à celle/) de l'air , le corps en avait une beaucoup moindre , il ne serait évidemment plus permis d'agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple , d'un ballon en taffetas verni , gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le jt de celle de l'air à circonstances atmosphériques égales (40J, ou, plus exactement, 0,0688 .ik,227=0k,082 pour 1"°, le poids de l'enveloppe réuni à celui du gaz qu'elle renferme, c'est-àdire P , loin de surpasser celui de l'air entraîné ou déplacé, eu serait uoe fraction assez faible ; et alors aussi, non seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir , mais encore il tendrait, par lui-même , à s'élever avec une force mesurée par P'— P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré ( 108 ), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.
La même chose pouvant se dire, en général, de tous les corps qui sont spécifiquement plus légers (3S) que lefluide qui les contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors
de sorte qu'on aurait généralement aussi ,
V p — n gK
T~^ n + np'^ (n + np) Q'
formules qui ne diffèrent des précédentes que par l'inversion des signes. Mais, au lieu de raisonner dans ces hypothèses générales , il vaudra mieux revenir à l'exemple particulier des ballons , qui est assez intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l'article suivant, tout entier, à l'examen des particularités que son mouvement peut offrir.
449. Exemple relatif à l'ascension verticale des ballons , limite de leur vitesse. Supposons (Fig. 75) un ballon sphérique de 10°^ de diamètre, son volume sera , à très-peu de chose près . de SSS^^jG ; par conséquent le poids du volume d*air qu'il déplace dans les circonstancesatmosphériques indiquées au N» 481 , aura pour valeur B23"«6 . 1^,227 =642k,5; celui du gaz hydrogène qu'il contient, S23"»%6 . 0'',082=42k,94 seulement ; et enfin le poids absolu du fluide qu'il entraîne (442) 0,6 . 642k,5 =38b>',5; poids énorme comme on voit, et qui doit exercer une très-grande influence sur les lois du mouvement.
Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent , suspendue à un système de cordes , une nacelle ou gondole , en osier, trèslégère et dans laquelle se placent les aéronautes ; nous supposerons que le poids de ces objets et de tout le surplus de l'équipage soit de 350^, mesuré dans l'air, ce qui est une charge considérable. Enfin , pour être parfaite-
ment rigoureux , il conviendrait encore d'avoir égard à la résistance de l'air contre la gondole , les cordages, etc. , ainsi qu'à la masse de fluide qu'ils entraînent ; mais , comme ces quantités seraient impossibles à évaluer d'une manière précise , et qu'elles doivent être très-petites vis à vis de celles qui se rapportent au ballon ^ nous en ferons abstraction, sans perdre de vue néanmoins la faible part d'influence qu'elles peuvent exercer sur les lois du mouvement. D'après cela, le ballon serait enlevé avec une force constante F — P == 642^,5 — 42k,94 ~ 350k = 249k,S6 , qui sera diminuée, à chacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l'air, et que nous continuerons à évaluer au moyen de la formule R := 0,06253^AV^ du N*" 431 , laquelle devient ici , à cause de A = 3,1416 . 5- . 5" = 78ii^q,S4 , R = 4,91 UV.
Quant à la masse totale mise en mouvement par la force motrice cidessus , elle se composera à la fois (440) : l"* de celle du fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé ci-dessus égal à 385k,S ; 2° de celle du poids pareil du ballon et de son équipage , c'est-à-dire de 350 k, augmenté du poids du volume d'air déplacé, puisque ces 3S0k ne sont pas censés avoir été ramenés au vide ; mais, à cause de la grande densité de ces objets, dont la résistance n'a point non plus été appréciée , nous ne tiendrons pas compte d'une pareille différence ; 3*' enfin de la masse de l'hydrogène enfermé dans le ballon, et qui pesant dans le vide 42k94, est pareillement soumis à la loi d'inertie. La somme de ces masses sera donc égale au quotient du poids 385k,54-350k4-42k,94=778k,44 divisé parsr=9k,809, ou 79,36 ; et , par conséquent , on aura ici , pour cakuler toutes les circonstances du mouvement ,
F=249^56-4,911JtV^ ^-=y^= 3, 1447^0,06176 kY\
Le ballon partant de terre avec une vitesse V d'abord nulle, on voit que, tant que la résistance 4,91 lAY^ restera au-dessous de 249k,56, cette vitesse augmentera de plus en plus , et de quantités qui, à la vérité , iront sans cesse en diminuant pour des instants égaux t. Mais si cette résistance pouvait devenir égale à 249k,56 , ce qui exigerait que la vitesse atteignit ellemême la valeur fournie par la relation
249k,56 = 4,911fcVS ou 3,1447 = 0,06176*7», à laquelle on satisfait en prenant à la fois k = 0,64 , d'après la table du Tî* 428 , et V = 8"91 par seconde , alors la force accélératrice F deviendrait nulle , aussi bien que l'accroissement correspondant v de la vitesse, et le mouvement cessant de varier, il se continuerait uniformément en Tertu de l'inertie (55) ou de la vitesse acquise par le ballon , si toutefois les circonstances restaient , dans les régions supérieures de l'atmosphère, les mêmes qu'à la surface de la terre.
La discussion de cette particularité remarquable du mouvement ascensionnel des ballons , étant fort délicate et se reproduisant dans d'autres questions qui reviendront plus loin , je n'insisterai pas en ce moment , et me contenterai de faire observer que, pour un fluide quelconque et un corps spécifiquement plus léger, dont la résistance , à l'ascension , pourrait être exprimée par la formule du N*" 382 , la vitesse limite , dont il s'agit , serait généralement fournie par l'équation
F = F-P-R==P'-P-*Mg=0, ou V=y/5|^^.
* et V devant avoir ici des valeurs qui se correspondent dans la table du N" 428, ne peuvent ainsi être obtenues que par la méthode des approxima-
Uous successives , nommée règle de fauase-^ponh'on. Mais , il est évident que le phénomène dont il s'agit est indépendant de la nature particulière de la loi de résistance^ et, dès que cette loi sera donnée^ on pourra toujours trouver la vitesse limite du corps par une équation analogue à la précédente , que nous avons rapportée simplement pour fixer les idées.
Ce qui diminue d'ailleurs l'intérêt qui pourrait s'attacher à la question dans le cas particulier des ballons, c'est la nécessité où Ton est, comme on Ta vu, de négliger l'influence^ assez grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes à toutes les hauteurs; ce qu'il n'est pas permis d'admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. La hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en eifet, 2 mille à 3 mille mètres, et l'on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français^ MM. Blot et Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs, à une hauteur de près de -iGOOm ; puis ce dernier^ dans un second voyage, atteindre seul, la hauteur énorme de 7015ni, au-dessus du niveau des mers, la plus grande de celles auxquelles se soient jamais élevés les hommes, même en gravissant des montagnes (1). Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieures ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboldt etBoussingault, qu'à dételles hauteurs, la température, la pression et la densité de l'air éprouvent, ainsi que l'action de la gravité, une diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux ; ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution de l'atmosphère (Connaissance des temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous occupe en valait la peine.
Quant aux élévations de 400 à 500m, par exemple, il serait peu nécessaire de s'en inquiéter pour les ballons, et encore moins s'il s'agissait des projectiles très-denses de l'artillerie, et (jui, tels que les bombes, sont élevés dans l'air, par la force de la poudre, a des hauteurs généralement médiocres.
480. Valeur de la force dynamique^ accélératrice ou retardatrice^ dan» le mouvement vertical descendant. Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyenne n (440) de ceux-ci, surpasse celle du fluide, comme cela a lieu, par exemple , pour les projectiles de l'artillerie : elle se compose évidemment alors du poids absolu P, du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l'action de la gravité sur ses difl^érentes parties, diminué et du poids du volume de fluide qu'il déplace , et de la résistance R , qu'il éprouve, à chaque instant, de la part de ce fluide. On a donc, dans de telles
(i) Nous saisissons cette occasion de rappeler que les baUons aérostatiques furent découverts en 1782, pur le célèbre Montgolfier d'Annonay, et que Pilastre Des Rosiers^ physicien distingué, né à Metz^ périt en 1785, victime de son zèle pour les progrès d^un art qui était encore dans son enfance , lorsquUl tenta de franchir le détroit qui sépare la France de TAngleterre. Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 1783, c^est-à-dire quelques mois seulement après l'époque où les frères Montgolfier firent leur brillante expérience d'Annouay, eut le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à Taide des baUons. La iriile de Boulogne-sur-Mer , près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers , a fait élever , à s« mémoire, uu monument modeste, naguère en ruiue, et que la société académique de cette | même ville vient généreusement de restaurer^ en honorant ainsi, une seconde fois, le cou- { rage mulheureux d^un savant qui lui fut étranger. (Noie de Pédition de 1829). >
hypothèses, F = P — F— R = (n — />) Q — R 5
ce qui donne (440)
p P — P — R n — p gK
-i-5^(n + np)Q""^n + np (n + np)Q'
et le mouvement de descente s'accélérera continuellement tant que le poids P — P' du corps, dans le fluide, surpassera la résistance R, opposée par ce dernier. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s'accélérera de moins en moins, attendu queR croît très-rapidement avec la vitesse
V du corps; il arrivera même bientôt un instant où il ne s'accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d'être égal à P — F, ou que
V différera très-peu de la valeur fournie par l'égalité
P— P'=R=fcf)Ai- ou kY^=^g\l——l^
si Ton continue à admettre la loi de résistance du N"" 382.
Ainsi , encore, le rapport de t? à *, variant désormais de quantités extrêmement petites, le mouvement tendra à devenir uniforme, et il le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse limite dont il s'agit. Mais, comme le rapport inverse du temps t à l'accélération correspondante v de la vitesse, converge , dès-lors , vers Tinfini, on se trouve ici dans des circonstances analogues à celles qui nous ont occupé au N° 442 , circonstances dont nous renverrons la discussion approfondie à Pun des articles ci-après.
D'ailleurs ces mêmes circonstances supposent essentiellement que P— P' surpasse R, dès l'origine du mouvement, ou à l'instant de la descente du mobile; s'il en était autrement, si la vitesse initiale rendait R plus grande que P— - P', P continuant à surpasser P', comme on vient de le supposer, la vitesse loin de s'accroître , serait évidemment diminuée ou retardée par une force
et le serait continuellement jusqu'à l'instant où la résistance R se trouverait assez amoindrie pour n'être plus égale simplement qu'à l'excès du poids absolu P du corps , dans le vide , sur le poids F du volume de fluide qu'il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par l'une ou l'autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.
Cette vitesse étant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit r énergie avec laquelle un corps serait lancé verticalement^ de haut en bas^ dans un fluide indéfini et homogène d'une densité moindre que la sienne propre, la vitesse de ce corps convergerait ^ tendrait sans cesse , vers une même limite, qu^U est possible de calculer à l'avance , mais quHl n'atteindrait pour ainsi dire iamais.
Enfin si le poids spécifique du mobile était inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus en plus retardée, tant par Taclion de P' que par celle de la résistance R ; de sorte qu'on aurait alors pour ' la force retardatrice effective,
quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse.
La somme R + P' surpassant donc constamment P , il est clair que le mouvement finira par s'éteindre complètement; et, comme on aura à cet instant, V=0, R=0 F = P'— P, force toujours dirigée de bas en haut, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu de cette autre force , désormais accélératrice.
il suivra donc dès lors . absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à Tascension des Dallons (448 et 449) ; ce qui nous dispense de poursuivre davantage Texamen de son mouvement. Ce même cas est d*aiileurs analogue à celui que présente un corps dense lancé , de bas en haut , avec une certaine vitesse^ et qui, parvenu a sa plus grande élévation , redescend ensuite par l'action prépondérante de son poids sur celle des pressions extérieures, ou du poids du volume d'air déplacé.
451 Exemples particuliers et fatts généraux relatifs à la plus grande vitesse de chute des corps dans les fluides. Dans le cas particulier du boulet de 24 du N* 438 , dont le poids , dans Tair, P — F = 12k, le mouvement , s'il était suffisamment prolongé, deviendrait uniforme à Tinstant où l'on aurait
42k = 0,0010755kV*.
Or on voit de suite , d'après la table du N" déjà cité , que cette condition est satisfaite pour une vitesse d'environ 12S'" par seconde , à laquelle correspond (425) une valeur du coefficient k de la résistance, qui doit peu différer de 0,71 +{0,06 = 0,725. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu'un boulet, de ce poids et de cette dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l'air ; et c'est aussi vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d'un boulet quelle que fût la rapidité de son mouvement initial de descente.
Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Par exemple, on la trouverait respectivement de 207",46'° et 43"* par seconde environ, pour des boules de même grosseur , en platine, en glace ou eau congelée et en bois d'orme, dont les poids seraient à très-peu près, de 86^, m et lk86. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur ou le diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi , pour des globes de même densité, mais dont le diamètre serait seulement de -^ 0",148 ou 5,9 millim, elle se trouve^ rait réduite à f environ des valeurs ci-dessus, et plus particulièrement, à i 46m = 9",2 pour une bille de glace dont la grosseur serait à un peu près celle ^des grêlons ordinaires, lesquels^ en réalité, doivent acquérir des vitesses de chute beaucoup moindres , a cause de l'excédant de résistance occasionné par leur forme anguleuse et la rotation qui peut en résulter.
Au surplus, l'influence du diamètre et de la densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, daQS la relation générale
V* fP— F^
on remplace, comme on l'a fait au N° 442, pour une autre circonstance, P , P' et A , par leurs valeurs analytiques dans l'hypothèse où le mobile serait sphérique. Elle devient , en effet . si l'on conserve aux lettres la même dénomination et qu'on suppose toujours , pour le lieu oCroous sommes , g = 9",809 , \
ce qui montre que, dans les exemples ci-dessus , où le rapport de n à , n'est pas descendu au-dessous de 600, les vitesses limites V, sont ^ à très] peu près , proportionnelles à la racine quarrée du diamètre du mobile et dt^ rapport de sa densité à celle du milieu.
Ceci explique pourquoi (7) les poussières extrêmement ténues tomber dansTair, et, à plus forte raison dans l'eau, avec une si grande lenteur^ ^uoiqueleur densité surpasse notablement celle du fluide qui les renferma
et des considérations analogues, fondées sur les formules générales des H'" 442 et 448, relatives au mouvement horizontal ou vertical , serviraient également à expliquer comment il arrive (7) que les courants d'air ou d*eau entraînent les débris des corps solides d'autant plus loin qu'ils sont plus ténus , moins denses, tandis que ces mêmes parties sont, à l'inverse, celles qui parcourent le moins d'espace quand on les lance, dans un air en repos , avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Mais la diversité de la forme des corps n'influe pas moins, comme on va le voir , sur la limite de leur vitesse, que leur densité spécifique et leurs dimen* sions absolues.
452» Calcul de la plus grande vitesse de descente des parachutes dans Pair, On sait que les parachutes à l'aide desquels les aéronautes peuvent abandonner leurs ballons et descendre sans danger, des régions supérieures de l'atmosphère, sont, à peu près disposés comme les parapluies ordinaires (Fig. 76) , si ce n'est qu'ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu'ils portent , a l'extrémité inférieure de leur tige verticale, une petite gondole en osier , propre à recevoir le voyageur. Il devient intéressant de se demander quelle sera la limite de vitesse qu'un pareil système pourra atteindre sous des dimensions données , dans sa descente verticale, ou quelles devraient être ces dimensions pour que la vitesse effective demeurât inférieure à une limite également assignée, et qui serait reconnue n'offrir aucun péril pour le voyageur; question analogue à celle que Dubuat avait déjà traitée dans le tome II de ses Principes d'Hydraulique (N°* SS2 et 557) , longtemps avant que Garnerin ait eu la hardiesse de tenter, pour la première fois , sa dangereuse expérience.
Considérant, à cet effet, un plan mince circulaire et horizontal , pour lequel il suppose (405) * = 1,48, il trouve que . sous un diamètre de 18?**% la limite de la vitesse serait d'environ IQp*** ou o"» par seconde, qui répond sensiblement à la hauteur de 6?**' ou 2" , de laquelle un homme exercé pourrait se laisser choir sans trop de danger; mais il sera plus prudent de réduire cette anême vitesse à 4™ , ce qui exigera simplement d'agrandir un peu la surface du parachute.
On peut juger, d'après le résultat des expériences de M. Thibault, rapportées aux N*"' 409 et 410 , que, pour une flèche comprise entre le 7 et le I de l'envergure ou diamètre moyen du parachute , la résistance serait, tout au plus , 1,15 fois celle d'un plan mince qui aurait pour aire la projection A , de ^sa surface , sur un plan perpendiculaire à son axe vertical. D'un autre côté , nous avons vu (407) que la valeur la plus probable de i^, pour ces derniers plans , était de 1^5^ on aurait donc dans le cas actuel, t = 1,3 X 1^15= 1,5 , en nombre rond; de sorte qu'en supposant au parachute, un diamètre moyen de 8°*, ce qui donne A=3,Ulo, 4".4"==5"'^,*2656, on pourrait calculer sa résistance, dans les circonstances ordinaires, par la formule
R = 0,06253 . 1,5AV»=0,0938AV2==4,715V* kilog.
Si l'on s'en référait , au contraire, au résultat des expériences spéciales
de M. Didion, qui se trouvent consignées au N" 411, on obtiendrait, en
supposant sensiblement p =p\ et négligeant, à cause de leur faible
influence , le terme constant et celui qui provient de la masse d'air entraîné,
^ jjpuisque le mouvement est censé parvenu à sa limite ou àTuniformité (448),
^^on obtiendrait; dis-je, R = 0,163 AV^ = 8,19V% résultat presque double
^,^ du précédent auquel il nous semble convenable d'accorder la préférence
dans une question de cette espèce.
^ D'après cela, supposant que le poids P — F du voyageur et de tout le '^ surplus de l'équipage, mesuré dans l'air , soit de 85^^, la plus grande vitesse ^' que puisse acquérir le parachute dans sa descente , sera donnée par la
condition 4,71 8 V^ = 85^ , ou V = j/l 8,0297 = 4™,25 par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte, serait assez feible pour prévenir tout accident a l'instant où la gondole toucherait terre : un procédé inverse et tout aussi simple d'ailleurs, servirait à trouver la valeur de l'aire Â, propre à satisfaire à toute autre condition.
Nous venons d'ajouter : en supposant qu'elle pût être atteinte; car nous n'avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportent qu'à la plus grande vitesse que puisse acquérir le système , à celle qui répond à l'instant où le mouvement serait devenu entièrement uniforme (449 et suiv.) Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air, ne peuvent , comme on l'a déjà insinué au N*> 450 , jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu'ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la masse du corps et du fluide entraîné est très-petite, ils puissent en approcher de fort près, même au bout d'un intervalle de temps médiocre, comme le prouve la relation [ihid) qui donne le rapport de u à *.
453. Démonstration géométrique de F impossibilité que le mouvement continu atteigne rigoureusement sa limite uniforme» D'après les discussions des N»» 442 et 443, ce fait peut être considéré comme une conséquence évidente de la rapidité avec laquelle le rapport de f à ^ (450), tend, dans le cas actuel, à décroître, et le rapport inverse de* à t? à croître avec la vitesse V, possédée aux divers instants par le mobile; mais il ne sera pas superflu de le démontrer directement , sans calculs et par les seules considérations de la géométrie, d'autant plus que le principe est important, et s'appli(;[ue indistinctement à tous les cas où le mouvement tend , sans cesse , a se régulariser par l'action d'une force dynamique décroissante et dont l'intensité, uniquement variable avec la vitesse, suit une loi exactement continue et mathématique.
Traçons (Fig. 77 et 78), une courbe ABC dont les abscisses 0/', or, 0*'" , représentent (50) les temps successivement écoulés depuis l'origine du mouvement, qui, ici. répond au point 0, et dont les ordonnées
*'î?', rV, *'V" correspondantes , représentent, au bout de ces temps
respectifs, les viiesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force accélératrice ou retardatrice; il est clair que, quand sous l'influence de cette même force, la vitesse augmentera (Fig. 77), en diminuera (Fig. 78), constamment^ par succession insei^ible ou suivant une loi rigoureusement continue , la courbe s'éloignera ou s'approchera aussi continuellement de l'axe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fin, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès-lors^ se confondre avec une parallèle à ce même axe; mais, comme une courbe continue difi^ère essentiellement, dans sa nature, d'une simple ligne droite, comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci , elle ne saurait, rigou reusement parlant , jamais dégénérer en une telle ligne , bien qu'elle puisse en approcher de plus en plus et indéfiniment, de sorte, par exemple, qu'au bout d'un temps excessivement long, ou à une distance excessivement grande de l'origine 0, les vitesses ou ordonnées difl^èrent aussi extrêmement peu de celles qui appartiennent à une droite DE , parallèle à l'axe OT, des temps ou des abscisses. Or cette droite est ce qu'on nomme une asymptote dans la géométrie des courbes, et c'est la valeur constante DE, TD , de ses ordonnées, que nous avons, tout à l'heure^ déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans l'air.
Telle est l'interprétation géométrique fort simple du fait qui nous a d'abord été révélé par le calcul et le raisonnement , fait qui se reproduit
dans uQe infinité de eirconstances , parce cpi'il existe aussi une infinité de lois, une infinité de courbes qqi donnent lieu à des aêymptotes]^ dont le caractère général est^ coran^eon voit, de Rapprocher eontinuBiiêmefit et indéfiniment {fun^ eerèaine branche de ces courbfes , mnê né^Mtnoinf p^weoir^ jamais V atteindre , droites que Ton consi()ère ^ussi quelquefois, eomiaede vérit^ble^^oM^enitti au point $itué à Finilni sur une telle Qranehe (1).
Les hfperbole^ ^ entre autriss, dont nqus ayQns rencqntré dés e^enapleii dans divers numéros de cet ouvrage, possèdent deuat asympt^es pareilles;, quand on les trace dans toute» leurs parties^ car elles ont aussi debx branches infinies ; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes ; la p^rabolp entre autres, est dans ce eas^ Er^ général^ on doit voir , par là, combien Fétude des courbes gébjnétriques. est utUe pour la mécanique ^ puteque chacun^ de leuf s propriétés réponq essentiellen^ent à quelqu'une des propriétés relatives aux lois du pieuvement des corps ou de Factioft des forces qui les solUcit^ent.
454. Réfleaionsêurla manière dont Uê méie^rs communiquent Iff mouvement fiusmachine4. Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quelconque, il conimence par la mettre en mç^uvement, avec un effort qui d'abord est trôsrgrand(148), il détruit à Iq tois^ au point où il opère immédiatement , et la réactionprovenantde rinertie des pièee$ de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles ^ la force dynamique F , qui accélère le niouyement , est donc alors égale a Texeès de l'effort tptal du mpteur sur l'effort que luiopposent difectement èeMes des résistances dont il s'agit, qui sont indépendantes de l'inertie. Or^ comme ces résistances^ ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmenteni; de plus en plus avec la vitesse^ et que l'ieffort du moteur décroit, au contraire (148J constamment, il en résijlte que le mouvement s'accélère de moins en roQins,à peu près comme dans les casqui précèdent, de sorte qu'il tend s^ns cesse à se régulariser ou ^ devenif uniforme ; mais ce n'est qu'au bout d'un tenips , souvent fort long , que la vitesse atteint sensiblement la limite desavaleur,àlaquelleene ne parvient même jamais, mathématiquement parlant, dans beaucoup de circonstances.
Toutefois les moteurs animés différant essentiellepent des autres en ce qu'ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l'intensité entière de leur dffort primitif^ malgré l'augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup,et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre tes résfstances étrangères h Finertie, ou pour entretenir )a vitesse du mouvement au point où elle est parvenue à un certain instant, pn voit que la proposition ci-dessus n'est plus exactement applicable , et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, Fétat moyen du mouvement qu'elle doit conserver. Or la même chose aura Ireu ( 241 1 . toutes les fois que la force motrice ou les résistances suivront une loi discontinue , arbitraire , et qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.
455. Question particulière relative à lo chute des corps dans F air» Les méthodes de calculs dont nous avons offert un exemple dans le N*" 444,ppuvant tout aussi bien s'appliquer à la recherche des lois du mouvement vertical, ascendant ou descendant des corps , qu'à leur mouvement hprizontAi , puisqu'il ne s'agirait que de modifier, d'après ce qui a été dit aux N"^ 448 (L*t 450,Ies valeurs de la force dyna^nique,!! serait peu nécessaire de re^r^nir
(i) On peut ici justifier dirpctcment c«lte notion «n |C rappelanjt (53) qqe Ijb rapport de p à t, <|m repréiente, en général^ l-'iaclinaisun des tangentes de la eourbe sur l'axe des abiicisses ou des temps, devient nul ayec la force dynamique, ou ppur l'ordonnée qui répond à ta vitiesse limite, caraotère quj appartient à une parallèle à Taxe dont il s^agjt. 1^^ PARTIE. 54
ici sur de semblables calculs ; mais, attendu que , jusqu'à présent, nous n'avons point offert d*exemp1e delà manière dont on doit s'y prendre pour trouver l'espace décrit par le mobile , quand le temps est donné ou réciproquement , nous terminerons ce chapitre par la question suivante , en elle-même assez digne d'intérêt.
Ayant observé expérimentalement , à Vaide d'une tuontre ou chronomètre y U temps qu^un corps a mis à tomber verticalement y d'une certaine hauteur^ dans Vair^ trouver cette hauteur.
Pour faire une telle expérience dans la vue , par exemple , d'obtenir la hauteur d'un édifice ou la profondeur d'un puits, il conviendrait , si l'on avait en sa possession un moyen trés-précis de mesurer le temps, de choisir un corps sphérique exactement calibré, très-dense et d'un assez fort diamètre , afin de diminuer l'influence de la résistance de l'air et les incertitudes relatives à sa mesure. Dans le cas où , au contraire , il deviendrait, par exemple , impossible d'apprécier le temps à un dixième de seconde près, on se servirait d'une boule assez légère afin d'augmenter la durée de sa chute , et c'est aussi ce que nous supposerons pour mettre le rôle de la résistance de l'air en complète évidence. Nous supposerons qu'ayant laissé tomber d'une certaine hauteur, une boule en bois d'orme de 0"»,03 de diamètre ^ et dont le poids P, mesuré directement dans l'air, aurait été trouvé exactement de Ok,0011S , l'observation directe du temps ait donné 2" ,8 pour la durée effective de sa chute , et nous prendrons * = 0,82 pour la valeur moyenne ou constante , la plus probable (425 et suiv.) , du coefficient de la résistance qu'éprouve une pareille boule , sous des vitesses qui , dans le cas actuel , ne sauraient dépasser celle de 22 à 25^ par seconde, comme on va s'en assurer, à posteriori^ au moyen de calculs analogues à ceux du N» 451 (1). Dans ces hypothèses et en supposant , de plus , les
(i) Dans cette liypothèse particulière xle k conatant, qui est toujours permise pour une faible étendue ^es variations de la vitesse Y dn corps (4aS), c'est»à-dire quand on suppose la résistance exactement proportionnelle au quarré de cette vitesse, on peut immédiatement calculer les lois du mouvement vertical et parallèle du corps par les formules ci-dessous généralement connues et qu'il serait facile de justifier encore à l'aide de considération» purement géométriques.
Pour le mouvement vertical retardé, qui peut être aussi bien descendant qu'ascendant (45o)^ même sous l'influence d'une vitesse initiale V^, on a généralement
•relation dans laquelle t» et >6 ont les 'valeurs numériques qui -se déduisent des considérations
des No* 44^ ^^ 4^^ , et l'on pourra calculer directement la vitesse Y et l'espace E^ relatifs
à un nombre quelconque T de secondes écoulées, au moyen des formules
^, »V'cosrT — sinrT
*^ ^ v^ . rp , S7^ «E = log (»T'sin rT + cos rT) ;
»Y' sin rT + cos rT ^ ' "
où les logarithmes sont "toujours (44^9 note) censés hyperboliques , tandis que i désigne la racine quarrée du rapport numérique de^ à £ , et r celle de leur produit |/^. Si l'on veut calculer directement le temps et l'espace qui répondent à une vitesse Y donnée, on se servira de ces autres formules
rT «arctangiiïllll^ ^^^Xo.L±îi:i
Quand , an contraire, il s'agira de trouver la vitesse Y et le temps T qui correspondent
eircoDstances atmosphériques semblables à celles qui ont servi de base à rétablissement de la formule R = 0,06253*AV* du N» 431 , on aura R = 0,00002298V% à cause de A = On>q, 00070686; ce qui donnera (441 et 4S0) , pour calculer les lois du mouvement , puisqu*il devient ici permis de négliger la considération du poids de Fair entraîné par la boule 9
à une hauteur donnée E , on recherchera dans le* tables hyperboliques , le nombre X dont le logaritlime a pour valeur le produit aE , qui est aussi un nombre , et l'on calculera la valeur de y I au moyen de la formule .
d^où Pon déduira finalement celle de T par ravant-dernière des formules qui précèdent.
Dans le mouvement vertical accéléré, descendant ou ascendant , la première des équatir»ns ci-dessus deviendra
ti et 6 prenant de nouvelles valeurs numériques également faciles à calculer , et Ton aura , en supposant la vitesse initiale V , nulle, comme cela arrive ordinairement ,
3rT=.logL±^^, aaE^log^-^, ^=\/^r '
fV' »,itv«' V »*x*
rT-=log(X-l/x«-i),«E=log'-4v^i ^'V^
aY ' Y* + i'
<i, 2 , r , X ayant les mêmes significations que ci-dessus , et Y désignant , de plus , le nombre qui , dans les tables hyperbi^ques , a pour logarithme le produit rT ou |/a2 T , quand on se donne T à priori.
Nous avons réuni ici ces différentes formules pour la facilité des applications j mais il ne faut pas oublier que les logarithmes étant hyperboliques^X et Y ne sont autre chose que les nombres ou exponentielles e^ ^ e , dans lesquelles la lettre e représente leihaso 3,7 1828a de ces logarithmes ^ de sorte que , si Ton fait usage de tables ordinaires dont les logarithmes doivent être multipliés par a,3oa585 pour reproduire les précédents , les valeurs X et Y , X* et Y* seront données par les nombres qui y ont pour logarithmes respectifs j les produits de aE. , |/aÏT, aaE, a |/aFT, multipliés par le logarithme ordinaire de a,7i8a8a , ou par 0,434294^*
Pour la question particulière traitée dans le texte,
l^szg 9*",8o88 , a = o,ooao336 g «= 0,01995, i = % / — = o,o45i ,
r^l/ab^ o,44a33, T = a",5, rT= i,io583, !og Y = 0,4342945 . rT ; ce qui donne Y =3,03173, et, parla cinquième et la sixième des formules ci-dessus, rela» tives au mouvement accéléré ,
aE= a,3o2585 X log 1,6763255=10,51661 , E«=a5m^g9,
V = i7">79^ Bans le texte , nous avons trouvé, par une méthode de calcul qui n''est guère plus pénible et demeure applicable à une loi de résistance quelconque, E =: a5™,976^ Y = 17™* 7 5 ; résultats dont la différence avec les précédents est à peine de quelques millièmes de leurs valeurs , et qu'il eût été facile d'obtenir à un plus grand degré d'approximation encore , sans compliquer beaucoup plus les calculs.
i^ taÉCASIQtlE INDUSTRIELLE.
t=O>,«.iâ-O,0O0teMV.. '=^°- ,J:S.T. '. '-V.
ëri prenant g =^ Q'^fiQQ et ^i^isaql , Haut et bas^ I9 Valeur db /, par telle de P,
La limite de la vitesse que pourrait acquérir la boule daus sa chute indéiinie , devant satisfaire à la condition F = ^ on obtiendra pour sa Valeur V = 22"*ii8 , vitesse en dessous de laquelle devra se trouver sensiblement celle de la boule à l'instant où elle touche terre. D'un autre côté, si la chute se faisait dans le vide, la vitesse acquise au bout des 2^,8 , serait (118) V = &T = g-'jSOg . 2",5 = 24"»,»2 , quantité supérieure à la précédente , et qui , par ce motif ^ ne saurait être prise ici pour limite encore plus rapprochée dé la vitesse effective ^u de celles qui doivent entrer dans lès calculs (441) ^ quoiqu'il puisse en être autrement dans le cas des fortes densités ou des petites chutes. Enfin la hauteur de chute dans le vide lïbsolu ayant pour valeur E = i5r'P = |VT = i2'»,26 . 2*',5 = 3e»,18 ^ bh est assuré , à l'avance , que la véritable lui demeurera inférieure d*tine ceHaine quantité.
Cela posé , on commencera par rechercher, à l'aide d'un tâtonnement
{Jus Ibqg qu'il n'est diJSBcile , la vitesse finale qui , dans l'air^ répond effecivement à la durée de 2",5 ^ car on en déduira ensuite sans hésitation (441), celle de É. A cet effet , on supposera arbitrairement cette vitesse finale de 16™ par seconde, c'est-à-dire plutôt trop faible que trop forte , et partageant ensuite nntervalle de a 16*^, en quatre parties égalés , d'après la marche d^à employée au N"" 441 , on dressera la table suivante des valeurs du quotient de P par grF^ facteur de v dans 1 :
ViteMes.. o"»*, 4^, 8% 12*", 16»,
p Yaleim.de -^... 0,10195, o^i6537j 0^11730, .o,i44'^> o,aia65;
te qui donnera pour le temps que le mobile met à acquérir la vitesse de 16"* dont il s'agit ,
