EXERCICES ET DÉVELOPPEMENTS DIVERS

L'objet des Applications qui suivent étant de familiariser peu à peu le lecteur avec les principes de Mécanique les plus universellement utiles , nous ne nous attacherons pas à traiter chaque question avec tous les développements qu'on serait en droit d'exiger d'un ouvrage spécial. Et, afin de procéder, autant que faire se peut, du simple au composé, nous contimencerons par introduire^ dans les termes de ces questions , quelques suppositions qui, sans s'éloigner trop de la vérité, rendent plus faciles les raisonnements, les calculs ou la conception propre des phénomènes; puis, en y revenant par la suite, nous tâcherons d'y faire entrer quelques éléments de plus , et détenir compte des circonstances physiques d'abord négligées , si non pour en calculer rigoureusement les effets , du moins pour en faire saisir la véritable influence. C'est ainsi que nous procéderons, entre autres, dans ce qui concerne l'impression ou le choc des corps et la communication du mouvement par la détente rapide des gaz. £n traitant, par exemple, cette dernière question, nous admettrons les principes de Mariotte et de Pascal (16 et 14) pour calculer le travail développé par la détente, bien que ces principes n'aient plus lieu alors (68) , de la même manière ou pour l'étendue entière de ki masse fluide, à cause du rôle que jouent la chaleur et l'inertie propres des molécules des gaz dans les détentes ou compressions brusques. Mais les solutions ainsi obtenues n'en seront pas moins vraies comme déductions de principes, et précieuses comme ofl^rant une approximation raisonnable dans beaucoup de circonstances de la pratique.

Nous avons cru ce préambule nécessaire pour éviter qu'on se méprenne sur l'intention et l'esprit véritables de ces exercices, et qu'on n'accorde à chaque conséquence plus d'étendue que n'en comportent les hypothèses physiques mêmes sur lesquelles elle repose. Ces réflexions ne s'adressent d'ailleurs qu'aux personnes qui pourraient ignorer la différence essentielle qui existe entre les sciences d'application ou physîco-mathématiques et les sciences purement rationnelles.

QUESTIONS CONCERNANT l'iNERTIE ET LA FORCE VIVE.

146. Travail nécessaire pour vaincre Finertie d'une coi^wre. Considérons une voiture de roulier cheminant sur une route horizontale : supposons qu'elle pèse, en tout, 10,000 kil., et qu'elle doive être mise en mouvement, par des chevaux; avec une vitesse moyenne (49) de 1™ par seconde; la consommation de travail pour vaincre, dans les premiers instants, son inertie indépendam»nent des autres résistances, sera (136) } MV ==î

ArPLICATlONS, etc. 9S

" ^* = ^ "Ter X 1" X 4" = 510^"l, puisque nous avons P= lOOOO*',

V = i°, ^ = 9",81 environ.

Or on sait^ par expérience^ qu*un bon cheval deroulier, marchant régulièrement huit heures par Jour, en 2 relais, et avec la vitesse du pas ordinaire qui est d'environ 4™ par seconde , développe moyennsment (81) un travail d*au moins TO*""' dans chacune de ces secondes. Si donc il y en .avait huit, de cette force, attelés à la voiture, ils donneraient au moins 560^^ dans le même temps; de sorte que le travail que devraient dépenser les chevaux, pour mettre cette voiture en mouvement dans les premiers instants, ne serait pas même égal à celui qu'ils peuvent développer, d'ime manière soutenue et par seconde , quand la voiture chemine régulièrement; d'où Ton voit le peu d^influence exercée alors par l'inertie propre d'une aussi grande masse.

Si la voiture devait aller avec la vitesse du trot, qui est de 2°" environ par seconde , alors le travail absorbé par l'inertie serait 510 X 2 X 21 = 2040""", c'est-à-dire quadruple; si elle devait aller aw^ra/op orrfiViaiVc de 4"" par seconde , la consommation de travail serait 5iOX ^ X 4=8160'"" , c'est-à-dire 16 fois celle qui répond à la vitesse de l".

On voit, par là, que le travail nécessaire pour vaincre l'inertie dans les premiers instants, augmente très-rapidement avec la vitesse imprimée à la voiture ; ce qui tient à ce que la force vive croît elle-même comme le carré de Cette vitesse.

147. Idée du temps nécessaire pour impHmer le mouvement à la voiture,, II est essentiel de remarquer qu'on ne peut rien inférer, de ce qui précède, relativement à la durée du temps qu'emploient les chevaux pour mettre effectivement la voiture en mouvementé compter du repos. Car, d'un côté, nous avons fait abstraction de la résistance du terrain et des divers frottements, et, de l'autre, il peut bien arriver que la voiture acquière, au bout de la première seconde et sous l'effort réuni des huit chevaux, une vitesse qui soit plus petite ou plus grande, par exemple, que celle de I" considérée dans le premier des cas ci-dessus : cela dépend principalement de rintensité absolue de cet effort (129 et suiv.) dans chaque instant infiniment petit.

Pour mettre la chose dans tout son jour, nous supposerons que l'effort exercé par les huit chevaux agissant à la fois, soit seulement de S60 kil., c'est-à-dire égala celui qui répond à l'allure du pas ordinaire, et qu'au lieu de varier, comme cela arrive effectivement au moment du départ, il demeure constamment le même; on trouvera facilement la valeur de la \itesse qui serait transmise, par cet effort, au bout de la première seconde de temps écoulé , au moyen de la formule F = MV, du W* 152 , qui s'applique au cas actuel , puisque V, est aussi la vitesse imprimée , à la fin de Tunité de temps et par une force F qui resterait contante, à une

p masse M = — représentée ici par la masse même de la voiture. Or nous

P JOOOO''^^' avons, par hypothèse, F =S60'^»-, M= — = ---— == 1020 environ ;

g O^Sl

donc la vitesse cherchée Vi ==: -jrj = 0",549 : cette vitesse est loin d'égaler

un mètre; mais aussi le chemin décrit et le travail développé, parles chevaux, pendant la première seconde de temps, sont bien moindres que 1"* et ôSO"*™ . En effet, nous savons que le chemin décrit, au bout de la première seconde, sous l'action d'une force constante (410) , est égal à la moitié de la vitesse acquise à la fin de celte seconde : c'est-à-dire qu'il est

96 MÉCANIQUE INDUSTMËLLË.

ici 1 0»,549 = 0»,275, de sorte qne les chevaux n'ont réellement développé, dans la supposition ci-dessus, qu'une quantité de travail de 560'' X O-^aTS = 154'^"', sous Tefifort des 560 kil., censé constant.

Poiir développer réellement, dans la première seconde, la quantité de travail nécessitée par Finertie et qui répond à la vitesse de l"" acquise par la voiture » il faudrait que les chevaux exerçassent, à partir du repos , un effort constant qu'on trouvera encore au moyen de la relation F = MVr • car ici V^ doit être égal à 1" , et par conséquent F = MV^ = *020 kih ; ce qui donne, pour TefFort constant de chaque cheval, f 1020= lâZ^^jS. Or on sait, par expérience, que l'effort d'un cheval ordinaire, contre un obstacle qui cède peu au mouvement, peut être beaucoup plus grand et surpasser même 350 kil. dans les premiers instants ; d*où il résuite qu'en réalité y nos huit chevaux mettraient beaucoup moins d'une seconde de temps à imprimer la vitesse d'un mètre à la voiture , s'ils n'avaient pas à vaincre , outre l'inertie , la résistance du terrain, des essieux, etc.

148. Obgervation générale sur h travail des moteurs^ Ce que nous venons de dire relativement à l'accroissement d'effort dont sont susceptibles les chevaux, dans les premiers instants du mouvement de la voiture, a lieu généralement pour tous les moteurs animés ou inanimés ; on observe même que l'effort qu'ils exercent sur les corps est d'autant plus grand que leur vitesse est moindre , tandis qu'il diminue au contraire forcémeqt et d'une manière plus ou moins sensible , à mesure que la rapidité du mou^ vement augmente, de manière à devenir tout à fait nul quand la vitesse égale la plus grande vitesse que ces moteurs peuvent s'imprimer on acquérir par le développement libre et complet de toute lenr activité. C'est ainsi, par exemple, qu'il arrive qir'un homme, un cheval, courant ou se mouvant d'une manière quelconque et avec toute la vitesse qu'ils peuvent prendre, ne sont susceptibles d'aucun effort extérieur tant soit peu soutenu, et que lorsqu'ils agissent, au contraire, sur un obstacle qui cède avec lenteur, ils peuvent exercer des efforts considérables.

Ces réflexions nous mettent déjà à même de prévoir que . pour toute espèce de moteur, il doit exister un degré de vitesse qui soit le plus avantageux possible sons te rapport de la quantité de travail communiquée; car ce travail devient sensiblement nul (90) dans les deux cas extrêmes dont il s'agit. Mais c'est ce qui sera démontré plus clairement, par la suite , quand nous en viendrons à examiner les conditions du maximum d'effet, pour chacun des moteurs en usage nlans l'industrie manufactu* rière.

149. Exemples relatifs à h force vite des fardeaux eides eaux courantes des rimères. Supposons qu'un moteur soit employé à élever , à une certaine hauteur verticale, un poids de 5000 kil., soit directement, soit par l'intermédiaire d'une machine quelconque, et que la vitesse du mouvement, à l'instant où elle est la plus grande (145) , soit de 0»,8 par seconde, ce qui est déjà uae vitesse considérable pour un si lourd fardeau ; le travail consommé par l'inertie, avant l'instant où ce degré de vitesse est acquis,

aura pour valeur | Ev* =|.5^^X 0,09 = aS"™ environ. Si te moteur

devait élever seulement le fardeau à 1",2 de hauteur, il dépenserait 5000k X 1",2 = 6000^", c'est-à-dire , au moins 260 fois le travail qui est nécessaire pour vaincre l'inertie dans les premiers moments ; encore arriveraitil que cette inertie restituerait (143) ^ dans le ralentissement du fardeau vers le haut de sa course , le travail qu'elle avait primitivement absorbé. Considérons encore le mouvement des eaux d'une rivière, telle que la Moselle, par exemple : on sait qu'à Metz, en particulier, elle fournit, même dans les plus grandes sécheresses, au moins 10 mètres cubes d'eau

APPLICATIONS, cie. 97

par chaque seôonde^ dont le poids (34) est environ lOOOO kil. Or cette eau coule naturellement, soit au-dessous , soit au-dessus de la yille et dans les endroits où il n*existe pas de barrages ni d'obstacles ^ avec une vitesse qu'on a mesurée et qui est moyennement de 0'",80 par seconde: donc la force vive du volume de fluide qui passe par chacun de ces endroits, dans

une seconde de temps, est ^ X 0*,8 X 0*,8 == 652 environ , ce qui

9»,8i répond à une quantité de travail disponible (156 et siuiv.) égale à ~ 652 ==: 526 W/o^rmifimé/m , c'est-à-dire (82), d'environ 4 ^ <îAct)o»j?-t7ape«r , et qu'on pourrait utiliser directement contre une roue de moulin , etc. Mais si, au lieu de se servir de la vitesse possédée par Teau dans son lit na-^ turel, on co.oistruit des barrages ou digues, comme on Ta fait à Metz^ on pourra élever son niveau et l'obliger à descendre, du haut de ces barrages, pouf agir sur les machines par son poids ou de toute autre manière : si^ paf exemple , le barrage fait élever ce niveau de 2"',5 seulement , comme cela a effectivement lieu dans certaines pai'ties delà ville, la quantité de travail disponible , répondant aux mêmes 10^'' d'eau et qu'ils pourraient fournil^, dans chaque seconde, pai^ leur descente verticale de la hauteur de 2-*,5 , sera égale à 10000'^ X 2"*,5 =^ 25000«»'»=^333i chevaux-vapeur ; quantité qui est, comme on voit, presque 77 fois plus grande que celle qu'on obtiendrait en utilisant simplement la force vive naturelle des eaux de la rivière. Or cela explique suffisamment l'utilité des barrages artificiels dans la pratique des usinés hydrauliques.

ISO. JRcemples relatifs à Vart de lancer teau à distance. Nous venons de montrer comment le mouvement acquis d'une certaine masse d^eau , qui coule et se renouvelle constamment dans chaque seconde, représente une quantité de travail mécanique qu'on peut immédiatement calculer en chevaux de machine à vapeur, recherchons , à l'inverse, combien il faudrait de ces chevaUx pour imprimer continuellement une vitesse donnée à un certain volume d'eau qui devrait être extrait d'un bassin ou réservoir quelconque où le liquide serait au repos. Ce problème trouve son application particulière dans le jeu des pompes ^ incendie, où il s'agit de lancer, d'une certaine distance , un volume d'eau qui suffise pour éteindre le feu » et dont la vitesse de projection doit ainsi être d^autant plus grande que le trou ou Vorifice par lequel sort l'eau, se trouve plus éloigné du but qu'on veut atteindre. Supposons, par exemple , qu'il faille lancer cette eau, par l'orifice, avec une vitesse uniforme de 15™ par seconde, et qu'il doive en arriver continuellement, sur le lieu de l'incendie et dans chaque seconde de temps , un volume de 6 litres pesant 6 kil. ; la force vive à imprimer ,

gk v(/|5)* dans ce même temps, sera donc égale à 'Z^. — - = 157,6 environ ,

dont la moitié 68^" ,80 mesut*era (136) la quantité de travail nécessaire pour imprimer le mouvement à l'eau ou pour vaincre son inertie. Ce travail devant se reproduire dans chaque seconde!, nécessitera, comme on voit,-J 0,688=» 0,917 de cheval-vapeur environ (82); mais il est clair qu'il faudrait en appliquer davantage au balancier de la pompe, attendu les frottements et résistances de toute espèce , qui consommeraient, en pure perte (103)^ une portion notable du travaiUmoteur.

S'il s'agissait de lancer continuellement et dans chaque seconde, un volume d'eau de 40 litres avec la vitesse de 30m, on trouverait, par les mêmes calculs, que le travail strictement nécessaire à dépenser serait de 48351^, par seconde ^ équivalant à celui de 24,5 chevaux-vapeur environ. On peut croire que, par l'intermédiaire d'une machine à pistons analogue aux pompes à incendie , le moteur devrait développer le travail $m

moins aO de ces cheTaux, c'est à-dire, par exemple qtril faudrait employer une machine à vapeur de celte forée au moins, pour mettre la pompe en momemeutet produire l'effet désiré.

On r^îmorquera que la vite^^se de Veau à sa sortie de rorifice , et le volume qui s'en écoule uniformément dans chaque seconde de temps, étant donnes, les dimensions de cet orifice et la grosseur du jet à la sortie, ne sont pas arbitraires, et doivent être calculées suivant les règles deriiydrau- Ijque qui seront enseignées ta seconde année de ce Cours. On trouve^ par exemple « que, si Torifice est percé dans une paroi plane et mince du réservoir, et qu'il sott à une distance convenable des parois latérales , son diamètre doit être d'environ 28 millinu dans le premier cas, et de 2îj milL dans le second.

Enfin, en répétant les calculs qui précèdent relativement à un volume d'air de l^'^'^O, contenu, dans un réservoir, sous une pression telle que son poids (iO) soït d'environ 2 ti', et qui devrait être lancé, à chaque seconde. |-8vec une vitesse de 140°'^ ce qui est le cas des machines soufflantes de ecrains kûuisrfùurneauj;! employés à convertir les minerais de fer en fonte, on trouverait que la force vive à imprimer, dans le même temps , serait de ÎOOO environ, et le travail à dépenser par conséquent de 4000iim==l3,55

iie vaux-vapeur, qu'il faudrait presque doubler à cause des résistances étrangères inhérentes à la machine à piston qui serait Ici encore mise en asage pour loncer Tair-

ISl- Œservaiione pariicuUères âur JesjeU d'eau reriicaux ei inclinée. An

Tnqycn de la fjormule V'^=25rH {118), qui donne H= — -' on trouvera, sans

peine, qu'avec la tîtesse de 13 mètres, relative au premier des exemples ci-dessus, Teau pourrait s'élever vertkaleiftent h la hauteur de tl"%47, qui

véritablementdes hauteurs un peu moindres, surtout dans ledernier cas. Il faudrait recourir à d'autres principes, qui seront exposés par la suite, pour calculer la distance et la hauteur auxquelles le jet parviendrait dans le cas où on lancerait Teau sous une cerlainc inclinaison; néanmoins, comme il conviendrait peu alors de revenir sur les applications particulières qui font le sujet de cet article, et que^ non-<îeulement ces applications sont utiles pour apprécier leseifets des pompes à incendie, mais qu'elles ont trait encore à des questions d'une haute importance pourla défense desplaces de guerre, nous ajouterons, sans aucune démonstration et seulement en faveur des lecteurs qui voudraient approfondir de telles questions , quelques remarques qui ne seront peut-être pas sans utilité.

Nous avons vu N^ 118, qu'il est impossible qu'une nappe d*eau retotnlie même d'une hauteur médiocre, sans se diviser en parties plus on moins fines ; or c'est un eifet qu'on doit chercher à éviler quand on se propose d^ concentrer l'eau en masse sur un point déterminé. Car, non-seulement la divergence naturelle du mouvement des parties ainsi désunies augmentera avec le chemin parcouru dans la descente, de sorte que Teffet sera disséminé sur une grande surface; non-seulement la résistance de l'air aura alors (il6) plus d'action pour retarder le mouvement et diminuer le chemin décrit; mais encore cet air absorbera ou s'appropriera, en vertu d'une de ses propriétés physiques bien connues, une portion beaucoup plus grande de la masse de l'eau; de sorte que, si le trajet doit être tant soit peu long, il pourra, dans certain cas , arriver que rien n'atteigne le but- Ces t*£^nsJdérations prouvent donc qu'il est indispensahle de diriger Teau

APPLICATIONS, elc. «0

sous UD angle tel que le sommet de la courbe qu'elle suit dans son mouveloeot, s'élève au plus de 1 ou S mètres aiïdessus du point qu'on veut attdndre; ta résistance de Tair ajrant nécessairement peu de prise sur la portion ascendante du jet, on pourra la négliger, et calculer toutes les cireoflstances du mouvement comme s'il avait lieu dans le vide, d'après les théories connues et que nous exposerons en leur lieu (1).

Dans le cas ci-dessus, par exemple, où la vitesse de Teau à son point de départ, est seulement de 30", on trouve que, la hauteur du but au-dessus de ee point étant de 11 à 12 mètres, la distance horizontale à parcourir onb portée ntiU devrait être au plus de 40 à 42 mètres; et que si le but se trouvait très-peu élevé au-dessus du point de départ, sa distance à ce point ne devrait pas surpasser de beaucoup 35"*, sans quoi la dispersion au liquide deviendrait considérable. Pour obtenir des portées plus grandes, doubles par exemple, il faudrait aussi doubler la force vive initiale ou augioenter la vitesse de projection de façon qu^elle fût de 43 mètres environ au Heu de 30 ; on trouverait alors que la force de la machine propre à lancer, dans chaque seconde, les 40 litres d'eau à cette distance, devrait être d'au moins 60 chevaux-vapeur; de sorte que , si on ne pouvait réellement disposer que de la moitié de cette force, il faudrait aussi se résoudre à ne lancer qu'un volume d'eau de 20 litres par chaque seconde. D*i reste^ on voit que, quand il s'agit d'inonder les travaux de l'assiégeant d'une place denBerre, l'emplacement le plus convenable pour la machine, est le fond du fossé de l'ouvrage voisin de ces travaux.

152. Reflétons sur V influente de V inertie. Les exemples qui précèdent suffisent pour donner une idée de l'influence qu^exerce l'inertie des corps dans> certains travaux industriels, et des cas où il serait permis de la négliger ainsi que les variations de la force vive : on voit bien, par exemple , que ^

(i)SoU y laviteftse initiale de» molécules liquides , ou en général d^un mobile quelcon-

<|>ie, Uncé 4ou8 une inclinaison, & Tbomon , dont a soit la hauteur de pente par mètre

^ distance horizontale y\k9M\.e\iT qu'on nomme ordinairement la tangente trigonomètfiqu»

V* de Taogle correspondant j soit , en outre , H== ~ la hauteur due à V ( Toycz le N«> j 1 9 et

la table des 'vitesses à la fin de ce ToUime) f ft la plus grande élévation du jet ou de la trajeetoire parabolique ^ au-desMU» du point de départ f e la distance horizontale de ce point àselnei de pins grande élévation ou au sommet du jet, distance que ne doit pas excéde>^ <ie Ikenooup celU du bat quand il s'agit de lancer le liquide soUs un très-grand angle f soit •itfa E Pécartement du point de départ et de celui d'arrivée du mobile, mesuré sur le plan denÎTean qui contient le premier point , écartement qu'on nomme la portée ou Van^plitude totalj du jet.On aura, entre les diverses quantités dont il s'agU , les relations suivantes :

(pii serriitmt à ealoulor trois quelconques d'entre elles quand on eonnailra Ws detix autre*. L& dernièvedè ces formules est celle qui nous a servi, dans le texte, pour calculer la distmce horixontale « du but à atteindre par la gerbe liquide. Dans la réalité, la valeur dé «est un peu moindre que ne le donnent les calculs, à cause de la résistance de Pair ; mais aussi on peut, sans crainte d'une trop forte dispersion du liquide , le laisser retomber verticaleinent de quelques mètres au-dessous de la trajectoire. Pour h^^^ par exemple, on pourra sappoter Ib portée utile égale à E ou 4k (D—^) h, comme nous Pavons admis dan» le tcxle> à l'égard de» gerbes peu inclinées à riiorizon.

dans le mouvement lent des corps , le travail que représente cette force vive, a, presque toujours, une valeur très- faible môme pour des masses considérables; ce qui tient, ainsi que nous Favons déjà dit, à ce que ce travail croit ou décroît comme le carré de la vitesse.

Plus généralement encore , quand un moteur est employé, d'une manière soutenue, à e^^écuter un certain travail mécanique, ou à vaincre des résistances, par Tintermédiaire de corps , de machines quelconques, dont la masse, au lieu de se renouveler, comme dans les exemples qui précèdent relatifs aux fluides , reste la même aux divers instants ; dans ces circonstances, dis-je, on pourra, san^ inconvénient, ne pas tenir compte de rinertie de ces corps, soit que le mouvement demeure uniforme dans rintervalle de temps considéré , soit qu'il varie entre des limites plus ou moins resserrées, £n eifet, la dépense de travail, pour vaincre Tinertie, se réduisant (141 et suiv.), une fois pour toutes, à celle qui répond à la dtffé • rence des forces vives possédées par les corps au commencement et à la fin de Faction du moteur, cette dépense sera nulle quand le moteur laissera les corps dans le même état de mouvement où il les a pris, et elle sera'généralement une fraction très-faible du travail total, quand le mouvement sera longtemps continué.

doublions pas néanmoins que cela suppose expressément que les pièces, qui agissent les unes sur les autres pour communiquer le travail du moteur aux résistances, n'éprouvent point d'altérations intérieures ou moléculaires sensibles par le fait même des changements du mouvement (103), et surtout qu'il n'y ait pas de chocs plus ou moins. violents, plus ou moins répétés, qui, presque toujours (139), entraînent de pareilles- altérations, ou des mouvements étrangers à l'etfet utile.

Comme jusqu'ici nous n'avons parlé de la communication du mouvement par le choc que d'une manière générale, il convient de nous y arrêter quelques instants, etde montrer comment on peut, dans plusieurs des cas de la pratique, estimer , d'une manière suffisamment exacte, k perte de force vive qui en résulte , et les circonstances particulières qui l'accompagnent.

PE LA GOlUmUNlGATIOrf DU MOUVEMENT PAR LE CHOC DIRECT DES CORPS LIBRES ET LIMITES EN TOUS SENS-

453. Considérations gènérmles. Quand deux corps, en mouvement, réagissent l'un sur l'autre par leurs vitesses acquises, ou se choquent, ils présentent en général plusieurs circonstances qui permettent de partner en trois époques distinctes la durée entière du phénomène : dans la i^j les corps se compriment, se refoulent ou bien se tirent mutuéllemeiift s'ils sont liés entre eux par des traits, des barres non tendues avant lé choc; dans la S*"**, leur déformation est devenue la plus grande posIsF&te', 'et lis ont ' nécessairement acquis la même vitesse atrt points où' s'obère la réaction réciproque ; dans la 3™« enfin, les corps reviennent terslëoi» forme ïwîmitive, et tendent, de plus en plus, à se séparer en ver tU^^e Fének^gte plus ou moins grande de leurs forces de ressort. oïl»»

Comme les phénomènes du choc des corps se reproduisent; d'tîn^ manière analogue, dans tous les cas possibles^' nous nous bûrneronfs à étudier, avec quelques détails, l'un des plus simples d^entreèu)ç,e^l'tiui se présente; le plus fréquemment dans les applications de là Mécanique à Ftndustrie : c'est celui où un corps libre, en repos, est «choqué |ïarnn autre corps déjà en mouvement; il sera très-facile ensuite d'étendre 'les raisonnements à des cas plus compliqués ou présentant des circonstances différentes. Du

APPLICATIONS, etc. lai

reste^ afin de simplifier Tétat de la question, nous supposerons, conformément aux idées ordinaires, que ia consUlution des corps soit telle que l'action et le mou?ement s'y propagent, pour ainsi dire, instantanément d'une extrémité à l'autre, ou assez rapidement pour qu*on puisse considérer leurs diverses parties comme animées sensiblement de la même vitesse à chaqueinstantdu choc. Quoique cette supposition ne soit pas en elie-méme rigoureuse (63 et suiv.), cependant elle conduit à des conséquences exactes toutes les fois que les molécules d'un même corps ont repris une vitesse commune ou des distances invariables, à Tinstant du chocque l'on considère ; car alors les forces ont produit tout leur effet, et le mouvement a été communiqué à toutes les parties. (Voy. plus loin ce qui concerné les lois de t impression dans les milieux consistants).

154. Principe relatif au choc direct des corps. Il ne peut être ici question encore que du choc direct des corps , c'est-à-dire de celui où deux corps (A) et (A') fig. 35, réagissent continuellement l'un sur l'autre, dans la direction propre de leurs mouvements, de telle sorte que la perpendiculaire ou normale AA% qui est commune à leur surface au point de contact T où se fait le choc, soit précisément la direction de la vitesse de chaque corp», et cela pour tous les instants de ce choc. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, dans le cas oùdeux boules sphériques marcheraient tHira/Zé/emeni à elles-mêmes avant le choc, et de façon que leurs centres A, A' demeurassent continuellement sur une ligne droite LN. Or on peut établir, pour ce cas, un principe général qui demeure applicable, quels que soient et l'intensité et le sens du mouvement de chacun des corps aux divers instants du choc; il suffit, pour cela, de se rappeler ce qui a été dit au N*" 131.

£n effet, il naîtra (63 et suiv.) de la réaction mutuelle des deux corps, une forée de pression mesurable, à chaque instant, par un certain nombre de kilogrammes^ et qui agira, dans le sens delà droite A A', pour repousser le corp» (A) de T vers L^ et une autre force de pression égale et précisément contraire (64), qui agira pour repousser le corps (A') de T vers N. Nommant doncF la valeur commune de ces forces à un instant quelconque du choc, V le petit degré de vitesse perdu ou gagné, au même instant par le corps (A) v' celui que perd ou gagne le corps (A'), enfin P et M , P' et M' représentant respectivement les poids et les masses des deux corps (A) et (AO , on aura , d'après le principe du N"* 131 :

Mt?=MV c'est-à-dire que les quantités de mouvement , perdues ou gagnées par les deux corps , êeront égales entre elles pour chaque instant infiniment petit du choc : et la même égalité aura lieu aussi entre les quantités de mouvement totales imprimées, à chaque corps, entre deux instants quelconques de leur réaction mutuelle, c'est-à-dire entre les quantités de mouvement totales, soit perdues^ soit gagnées par chacun de ces corps.

155. Du choc des corps pendant la compression, Nous supposerons ici que le corps (A') était au repos à l'instant où l'autre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie et précédemment acquise, que nous nommerons V ; ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de l'inertie de (A^) qui tend à s'opposer au mouvement de (A), et, dès-lors, la force de pression variable F, agira pour diminuer, à chaque instant, la quantité de mouvement MY du premier corps, de quantités qui seront égalesà celles qu'elle fera naître dans l'autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conseryera en quelqu'une de ses parties^ et de L vers N, une vitesse supérieure à (AO, on voit bien qu'il arrivera une certaine époque où, la compression, ia déformation des corps étant à son maximum , et le mouvement se trouvant communiqué également à toutes les parties, ces corps auront acquis la même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie^ du moins pendant un très-petit instant.

.102 AIÉCAHIQUE ISDUSTBIELLE.

156. Fiiesêê de» corps au moment deleur pliê$ §mnd9 çompreâmm. JUkù* monsU la vitesse coaiodunQ dont il s*^gi^ la quantité demouTeiaentgag^e ou acquise par (À'} sera, au même inâtanl) M4J, et «eUe qtti a élé perdue par (A) sera MV— MU, laquelle, d'a|>r^s ce qui précède* devra être égale à la première MT. La quantité à» aiouvement total MV , primUivement possédée j^ le système des corps> se tcouvaût doue être augjnentèe, d*ane part) et dimiouée, de Tautre» de quantités égales, eeU«sMU-4-'M'U = (M-f-M')II , qui leur reste à Tinstant dont il s*agit , sera aussi égale à ceile quantité de mouvement primitive UV ; de sorte qu'en aura

(M + M')U = MVî d'Où U»j^jjr.

Ainsi, sans connaître la manière dont les corps se eoiftpriment et dont varie l'intensité de F à chaque in^stant du choc, on n*en peut pas moins calculer exactement la vitesse quia lieu à Tinstant de la pius grande compretsion où la distancs des molécules cesse de changer , et où elles ont acquis un mouvement commun (155) : cette vitesse est égale à la quantité de mouvement possédée par (A) avant le choc,, divisée par la somme des masses de» deux corps,

157. Du choc pendant le retour des corps vêts leur forme primitive. La plu^ part des corps tendant à revenir (19 et 9S), avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés à vn certain degré, on voit que les ressorts moléculaires vont, en se débendant, forcer (A) et (A'jà réagir de nouveau Tun sur l'autre, mm pour s'écarter mutuellement, ce qui tend nécessairement à augmenter k mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer au contraire, de plu&ea plus^ celui de (A} ; et, comme l'action est toujours égale à la réaction, il est clair^ d'après ce qui précède (15-4), que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales a celles qui sont perdues par (A). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n'est pas nulle, on voit bien qu'il pourra arriver un instant où la quantité de mouvement MV , primitivement possédée par (A}, soit entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue à repousser ce corps , lui imprimera, en sens contraire) un mouvement de plus en plus rapide , et qui ne cessera d'augmenter que quand la pression F sera nulle; ce qui arrivera nécessairement à l'iaslant où les deux corps se sépareront, l'un de l'autre, en vertu de leurs vitesses respectivement acquises. •

158. Du mouvement des corps après le choc. Il est clair, d'après 60 qui précède, que ce mouvement nepeut, en général, se calculer, puisque nous ne connaissons pas non plus, en général, la loi que suivent les forces de compression F pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstances principales qui servent comme de limites à toutes les autres, et qui répondent, l'une, au cas où les corps seraient entièrement privés débsticité, l'autre, au cas où^ au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas, des corps non élastiques. Nous avons VU (17) qu'il n'existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d'élasticité, ou qui ne tendent, jusqu'à un certain point, à retourner vers leur. forn^e primitive, quand ils ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, nonseulementles corps mous^ lesliquides, etc., sont extrêmement peu élastiques quand ils ne sont pas maintenus, dans tous les sens, par des enveloppes solides ; mais qu'aussi la plupart des corps, qu'on regarde comme plus eu moins élastiques, peuvent perdre entièrement (20) celte élasticité par suite de la grande compression , de la grande déformation qu'ils éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu'ils ne se divisent, ne se rompent, m* ne se

APPLttATIOJlS, etc. JOI

séparent pas à Ifnstaftt de la plus grande compression , ils eontinueront à ekmimer ^iembie^ enverCti de leur vitesse aequise, sans réagir désormais ran sur l'autre; de sorte que cette vitesse sera donnée par ta formate cidessus, toutes les fois que l'un des corps se trouvera au repos à l'instant où le ehoc arrive.

Deusième «a«, ées corps pnrfiiitêmênt ilastiqtêeê, ^Toutes les fbis que les corps auront suffisamment de ressort pour revenir exactement à leur forme prknilive , après l'instant de la ptus grande compression , la force de réaction F reprenant^ dans le débandement des corps , les mêmes va^ leurs (9S) pour les mêmes positions relatives de ces corps, il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront précisément égales à celles qui Toot été pendant la compression , si , comaae on le suppose ordinairement, les corps se séparent à l'ittstant même où ils sont revenus à leur état pri-mîtif, ce qui n'arrive pas toujours. Or de là résulte un moyen de calculer, à l'avance , la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le easqui nous occupe, par exemple, la vitesse perdue par le corps (A), à l'instant de la plus grande compression, étant (156) V— U, il perdra de nouveau (157) , dans le débandement , une vitesse égale à Y — U ^ et par conséquent la vitesse qu'il conservera, après le choc, sera U~-(y — ïï)ou 2 U— V, si V — U est moindre que Û, ce qui indique que (A) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V— U)— U= V— 2U, SI Y-— U surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A') , la force F lui a d'abord communiqué (< 56) la vitesseU ; elle lui imprimera donc , après Tinstant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égala U, c'est-à-dire que sa vitesse , après le choc, sera 2 U. Mais nous savons calculer (i56) la vitesse U ; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment où ils se séparent après le choc.

Nommant W et W respectivement , ces vitesses des corps (A) et [A!) y on aura , selon les cas spécifiés ,