W = 2U-^V, W'=2U, ) ^. MV

1S9. Remarques relatives à Papplication des formutéê. Il est UUe îufim'té de circonstances où les corps marchent forcément de compagnie, avec ta même viieese, après le choc , sans que , pour cela, ces corps aient été entièrement privés d'élasticité avant le choc , ou qu'ils la perdent complètement par l'effet de ce choc : c'est ce qui arrive , par exemple , quand une balle d argile ou de cire molle, lancée contre un corps résistant et élastique, demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique, lancée contre un bloc de bois suspendu librement au bout d'une corde ou d'une barre, demeure enfoncée dans l'intérieur de ce bloc. Or il est bon de- remarquer que les conséquences qui précèdent, relatives au cas des corps totalement privés d'élasticité, demeurent alors exactement applicables , parce qu'elles ne supposent uniquement que l'égalité de la vitesse U conservée, par ces corps, a la fin du choc. Quelle que soit en effet la cauBB ou la force qui oblige ces corps à demeurer réunis, comme cette force ne peut agir sur l'un d'eux, sans qu'une force égale et directement contraire agisse au même point et en même temps sur l'autre (64) , oq conçoit que, pendant toute la durée du choc, les quantités de mouvement perdues ou acquises par chaque corps, seront les mêmes pour tous deux;, de sorte que finalement (A^ aura encore gagné précisément ce que (A) aura perdu (1S6),

Quant au cas où les corps se séparent après le choc ^ on ne peut jamais affirmer que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-des-

lOi MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

sus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement leur forme primitive; car cela suppose encore que leurs molécules n'aient point conservé de vitesses relatives à rinstantde la séparation , ou ce qu'on nomme des mouvements mbratoirês (19) ^ lesquels absorbent toujours une certaine portion du mouvement primitif: en outre, il peut bien arriver^ par exemple , que , pendant le débandement des ressorts^ les corps soient retenus momentanément^ Pun contre l'autre ^ par leur adhérence réciproque ou par tout autre obstacle qui empêcherait que les quantitésde mouvement^ imprimées alors^ soientaussi grandes que celles qui Font été en premier lieu. Enfin il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur intérieur, des altérations moléculaires plus ou moins grandes, sans qu'aucune trace ne s'en manifeste quant à leur forme extérieure, etc.

Ces considérations ^ jointes à ce qu'il n'existe ^^ en réalité ( 17 et sutv. ) , qu'un tréS'petit nombre de corps qu'on puisse regarder comme parfaitement élastiques , expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse , à la fin du choc des corps solides, différent toujours plus ou moins de celles que donnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles qui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés d'élasticité. Cependant il est des corps élastiques, tels que les billes de verre « d'ivoire, etc., qui , dans certaines circonstances de leurs chocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s'accordent , à peu de chose près , avec ce qu'indique le calcul*

1 60. jE'jrtfmf/ej/Nir/tcii/tert. Faisons maintenant connaître quelques-unes des

conséquences de no$i formules. Supposons , par exemple , que la masse M'

du corps choqué (AOi fig.3S, soit très-petite par rapport à celle M du corps

MV choquant (A) ; la valeur de Usera sensiblement égale à -iût^^ V, c'est-à-dire

que la vitesse de M sera très-peu altérée à l'instant de la plus grande compression ; et, comme, dans le cas des corps parfaitement élastiques (1S8)^ on a W=2U— V, W'=2U, on voit qu'a la fin du choc,elleneleserapas davantage , mais que le petit corps s'éloignera de l'autre avec une vitesse W'= 2 V double de celle de (A). Supposons , au contraire , que la masse M du corps choquant soit très-petite par rapport à celle M' du corps choqué; on voit que le dénominateur M+M' de U sera aussi très-grand par rapport au facteur M de son numérateur, et que par conséquent la vitesse Û, à l'instant de la plus grande compression, sera également une très-petite fraction de la vitesseV que possédait le corps choquant; de sorte que , si M' est, pour ainsi dire, infiniment grand , par rapport à M^ la vitesse U pourra être considérée comme sensiblement nulle. Si donc les deux corps doués d'une élasticité parfaite , la vitesse W, acquise par le corps choqué , serait elle-même infiniment petite, tandis que celle W^Y — 2U du corps choquant serait V; c'est-à-dire précisément égale et contraire à celle qu'il possédait avant le choc.

, Ceci explique , entre autres, pourquoi les cordonniers placent, sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les semelles de souliers, et comment il est possible de forger du fer sur une forte enclume posée sur le corps d'un homine ou sur le plancher flexible d'un étage supérieur, sans blesser cet homme, sans endommager sensiblement ce plancher et les murailles de la maison. On voit , en effet, que la vitesse communiquée à la pierre ou à l'enclume, et par suite aux corps qui les supportent, est extrêmement faible comparativement à celle que possède le marteau ; de sorte que la flexibilité, l'élasticité naturelle de ces corps suflit pour amortir les effets du coup , sans qu'il survienne d'accidents.

APPLlCAT(ONS, etc. 105

On s'expliquera aussi fàeilemeat une iafiailé de pbéuoinèo^ relatifâ aux corps élastiques ou non élastiques , qui se passent jourueUemeot sous DOS yeux : il n*est personne, par exemple ^ qui n'ait observé que, quand une bille de billard vient à en eboquer une autre directement^ c'est-à-dire de la manière dont nous l'avons entendu précédemment (134), il arrive qu'elle s'arrête tout à coup dans la place atéme qu'occupait cette autre , tandis que celle-ei chemine avec toute la vitesse de la première ; or, c'est ce que montrent très-*bien nos formules. Les masses M et M' de deux corps sont ici égales, l'élasticité e|st, pour ainsi dire, parfaite ; d« sorte que la vitesse U, eommiuie aux deux corps à l'instant de la plus grande

compression , a pour valeur om =iî V; ce qui donoe , pour celle de M

après le choc , W =s2U — V= o , et enfin , pour cellede la bille choquée , W'=2U=V.

161. Delà force vive des corps après le choc. D'après ce que nous avons déjà dit, N*^ 95 et 159 , on peut prévoir que , dans le choc des corps parfaftentent élastiques , la force vive perdue pendant la compression , doit être précisément égale à celle qui est restituée dans le débandement, tan« dis que, dans le choe des corps qni ne reviennent pas exactement à leur état primitif après l'instant de la plus grande compression, la somme des forces vives doit être altérée d'une quantité précisément égale au double de la quantité de travail nécessaire pouK produire l'altération de forme ou de constitution éprouvée par les deux corps ; quantité qu'on pourrait directement calculer (136 et 137) si l'on connaissait, pour chaque instant du ehoc et pour chaque corps, la valeur moyenne delà force de réaction F et celle du petit en/ôm^emeit/ qu'elle produit dans ce corps. Il est évident, en effet, que le travail, relatif à cet instant, serait mesuré (72, 8S et 86) par le produit de F et de la somme des enfoncements qui lui correspondent dans les deux corps. Mais , comme on ne connaît ni la loi que suit cette force, ni celle de l'enfoncement , on n'a d'autre moyen de mesurer , soit le travail , soit la force vive développés ou perdus dans le choc des cçrps, qu'en les déduisant directement des vitesses que possèdent ces corps avant et après l'instant du choc , vitesses qu'on ne peut calculer rigoureusèment d'aiMeurs (iS9) que dans un petit nombre de c^s.

Par exemple, ayant appris^ dans les cas ci-^dessus (156) où un corps en dioque un autre au repos, à calculer la vitesse U qui leur est commune à l'instant delà plus grande compression^ nous pourrons aussi trouver la force vive qu'ils possèdent à cet instant, et la perte de force vive due à la réaction de leurs ressorts moléculaires. £q effet, la force vive totale (122 et 126) était, avant le choc, MV% et, à l'instant que l'on considère, elle est MU^-lr-M'U' «i IM+M') U'; donc la perte de force vive a pour valeur

MV*~(M-fM')U«.

Maison a trouvé (156) U=r-H. donc(M+M')U* = (M + M') **'^' ^^

D'une antre part , MV^ est la même chose que

(M + MQMV^ WY' WMV*

done enfin la perte de force vive est égale à

V PàBTIE. U

C*est-à*dire à la force vive que poasèdaUiamckSêeMavant le choe, multipliée par le quotient de la maise W et âê'la sommé de ces masses (1).

La moitié de cette valeur sera donc aussi (137) la mesuré du travail développé , par la force de réaction F ; pour opérer la compression des deux corps.

Si le choc finit à Tinstant de la plus grande compression, ce qui revient à supposer que Télasticité dé ces corps soit nulle ou ait été complètement détruite, ou , plus généralement, s*ils ont acquis forcément la même vitesse après le ct^oc (159) , la qnalntité ci-déssus donnerai encore la perte de force vive occasioiinée par le Changement d*état ou de forme des deux corps. • .

Mais , si le choc cohtiniie après l'instant dont il s'agit , et que les corps finissent par se séparer , une portion de cette même forcé vive sera restituée dans le débandément des ressorts moléculaires ; mars elle ne pourra Têtre intégralement qu'autant que les deux corps seriiértt revenus complètement à leur état primitif (158 et suiv.) Cest, en effet, ce qu'on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquées aux valeurs des vitesses qui, selon le N*» 158, ont lieu alors après le choc.

162. Conséquences particulières. Supposons que' la masse M' du corps choqué (A*), fiç. 8â , et qui est au repos avanif lé çhoc^ôlt trcs-pétitè par rapport à celle M du corps choquant (A), M' sera auàsl très-petit par rapport à M+M'; et par conséquent la perte de force vive jU r;i> MV^? relative au cas où ces corps ne sont pas élastiques , se réduira à une très-;, petite fraction de celle M.V* qu'ils possédaient avant le choc. On peut, dans des circonstances semblables, négliger une telle perte d^as le calcul des résistances d'une machine, pourvu que le choc.ne.aoit.p^s fréquemment répété (97) ; mais il en est tout autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande par rapporta celle M du corps choquant; car la frac-

tion pourra approcher beaucoup de l'unité, et par conséquent la

perte de force vive différer très-peu de la force vive MV* possédée par ce dernier corps avant le choc. Supposant seulement M'=M^ la valeur de cette fraction sera j, et la perte s'élèvera déjà à la moitié de MV. On voit donc combien il est essentiel d'éviter, dan^laconstructioh des maofeiÎBes^ qu'un corps vienne inutilement choquer un autre corps en repos > doiit le poids est comparable au sien propre.

Nous disons inutilement ^ parce qu'en effet, il est qne4quef6is utile d'o* pérer par le choc sur la matière à confectionner: c'est ainsi , par exeropie» que procèdent les forgeronspour donner différentes formes aux méluriis, et que les cordonniers parviennent à étendre les semelles de cuir et à augmenter leur densité, leur raideur ou leur force de ressort ; miis-al6fS même un ouvrier qui a l'expérience de son art, ne manque jamais d'employer des marteaux, des enclumes bien aeièrés et trempés^ ou toùt<aatre corps plus ou moins élastique, conformément i la remarque qui ea aidéjà été faite au N* 98 ; de sorte que la consommation :d&force vive. qui a lieu alors ( 159 ), est, du moins en très-grande partie, employée à produire le changement de forme même de la matière à confectionner;

C'est encore ici le lieu de rappeler (97) qu'il ne suffit pas queies corps «oiefit élastiques pour qu'on puisse affirmer qu'il n'y ait pas en consom-

(i)^oat engageons len lecteurs peu accoutumés aux calculs ayec des lettres, à répéter la série des raisonnements sur un exemple particulier, en se rappelant (laS) qiie ]a masse d*un corps est le quotient de son poids par ^ ou 9^,8088 = 9<",8i environ.

APPUCATIOXS, etc. 107

mation inutile de travail ; car il faut encore que la force vive, qui est résultée par les ressorts moléculaires après le choc, soit utilement employée. Cesl biencequi arrive, par exemple, a Tégard du marteau des forgerons, puisque rélasticilé, en renvoyant le coup, sert à élever ce marteau contre J^actioa deia pesanteur, et aide la main de rpuyrier habile qui sait en profiler ; mais le contraire peut au§si arriver, si^ par exemple , reuclurae eî!.t assise sur un. terrain mou: la force vive q^'^^çquiert celte enclume est. alors, en partie , consommée à produire renf^nceionent du «ol ;. ^ussi les maîtres de forge entendus ont-ils soin dé placçr dé gros blocs de bois ou des charpentes très-élastiques sous leurs enclumes. Il n'est pas moins indispensable aux ouvriers de tous les autres états, de choisir j. ppui; leurs .chantiers et étaWis, des corpij à la fois raides et, élastiques ; H faut en outre qu'ils soient suffisamment lourds et stables ; xar alojfs ne prenant qu'un mouvement inseiisible (160)^ et n'acquérant qu'une force.vive trés-faible^ ils auront très-peu d'action pour déformer ou comprimer le spUde sorte que^ quelle que soit sa constitution, les pertes de travail seront tout-à-fait négligeables.

163. Formules reîaliteê au cas le plus générai du okoc direct. Jusqu*icl nous nous sommes uniquement occupés du cas où l'un des deux corps est en repos ^ mai^ il n'est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de vitesses quelconques avant le choc.

A cet effet; nommant M , M' les masses"; V, V les vitesses respectives de§ dèiTX corps, avant le choc, et U leur vitesse commune à Hnstànt de la plus graqtfe compression, on observera que, quand les eorps cheminent dans le Mme sens, fig. 36^ la force de réaction F (154 J, diminuant la quahlif è de mouvemcint MV du corps (A) de quantités égales a celles qu'elle ajoute à la quantité de mouvement M'V de (A'), la somme MV-f-MT' des quantités de mouvement primitives, reste encore la même à toutes les époqpes du choc. On a donc , à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps ,

MU+.M'U on (M + M') U = MV + M'V; d'où U = ■ **^'t V ,

tandis que^ dans les cas où les deux corps (A) et (A') vont à ki rencontre TttA de l'autre,; fig. 37 , animés des quantités de mouvement M V, MT' , la force de réaction diminuant chacune d'elle^ de la méine valeur (154>, leur difléhence absolue MV— M'V ouM^V'-r-MVde^peureaussl la-iBémeà tous lesih^ants ;d^ sovte qu%n sopposkn^qiie^MV surp^seM^V'-^'' oh aiirai^ à HfBtiaiHioù'la vitess6-estU pouries.^eiix corps

MU +MÎIJ ou,(M + M')U = MV- MT;d'oùU=::/''^^ T^/ ,

la vitesse TJ étant nécessairement dirigée dansle sensdeeelle V. qui répond à la plus i^rande des deux quantités de motïvement primitives, MV et MT'. Quant aux forces vives ^ possédées ou perdues, au moment de la plus grande compression, c'est-a-dire lorsque les corps ont acquis le même mouvement, on les calculerait aisément au moyen de la vitesse U ; mais on i)eut arriver immédiatement à la valeur de la perte commune à la fois à ces corps et qu'il est souvent essentiel de connaître , en observant que , dans les deux cas dont il s'agit, leur réaction réciproque s'opère uniquement en vertu des vitesses relatives (46 et 85) dont ils sont animés avant le choc ; de sorte que les valeurs de F et les changements d'état ou de forme correspondantes sont, à chaque instant, les mêmes que si , le corps (A') , par exemple, étant au repos, le corps ( A ) venait le choquer avec une vi-

Icsse V— V égale è la difiFérwce de leurs vitesses pour le premier cas , et avec une vitesse Y 4" V égale à la somme des mêmes vitesses pour celui où les corps marchent en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement ( 88 6t 139 ) de l'intensité de la réaction des deux corps àchaque instant du choc, sera donc (161)^ au moment de la plus grande compression » pour le cas où les corps marchent dans le même sens ,

et, pour celui où les corps marchent en sens contraire,

MMV(V + VT M + M' ■

C^lte dernière quantité esti, comme on voit, de beaucoup supérieure à la première ; cela prouve combien surtout il est essentiel , dans la construction des machines^ d'éviter que des corps se choquent inutilement avec des vitesses contraires.

Snfin, si tes corps étaient supposés ( i61 ) parfaitement élastiques^ on trouverait tout aussi facilement les vitesses qu'ils conservent à la lin du choc ! il suffirait , pour cela , de reprendre les raisonnements du N" 188, relatifs aux cas où Tun des corps est en repos au commencement de ce choc. Mais ^ comme on aura rarement occasion d'appliquer ces résultats à la pratique , nous ne nous y arrêterons pas non plus qu'aux diverses conséquences qu'on pourrait, déâ à présent, déduire des formules qui préeèdent.

}64. Remarquée relatives aux applications numén'qrtes. On devra se rappeler que», lorsqu'il s'agit de calculer , en nombres, les valeurs des forces yi\e& perdues ou conservées par les corps après le choc, il conviendra toujours de prendre (128 et suiv.) , pour chaque masse, le quotient du poids du corps, exprimé en kilogrammes, par 5r=9'",8088 , tandis qu'on pourra s'en dispenser dans le cas où Ton n'aura que les vitesses simples à calculer. Il est aisé de voir, en eiïet , qu'il sera alors permis de remplacer les masses par les poids mêmes des corps ^ dans les fractions qui donnent ces vitesses, attendu qu'en supprimant la division de ces poids par^,cela reviendra tout simplement à multiplier à la fois , le numérateur et le dénominateur de la fraction dont il s'agit, par cette même quantité j ce qui n'en change pas la valeur comnsie on sait. Ainsi on aura, dans le cas général ci-dessus (165j, P^ P' étant les poids des deux corps dont les masses ont été nommées M et M',

selon le sens du mouvement des corps avant le choc.

C'est d'après de tels exemples, qu'on se croît quelquefois autorisée prendre généralement le poids d'un corps pour sa masse ( 125 ) ; maison commettrait une erreur grave si l'on en agissait ainsi dans les calculs relatifs à la force vive des corps.

Par exemple , dans les cas ci-dessus (163) de deut corps qui se choquent en marchant dans le même sens , nous avons trouvé que la perte de force vive, à l'instant de la plus grande compression, qui répond à la fin du choc quand tes corps ne sont pas élastiques, avait pour valeur

APPLICATIONS, etc. ÎOÎ)

tandis que, $eIon Fautre manière de voir, elle serait

Or H est facile de s*âssurer que, par la suppressian de la division des poids P', P' qui donne ( 126 ) les masses M^ M', on aurait multiplié réei- Jennenl deux fois le numérateur de la fraction par §r, et seulement une fois le dénominateur ; de sorte que le véritable résultat se trouverait en effet multiplié par g. Si donc on voulait obtenir ce véritable résultat en se servant des poids , Il faudrait diviser la dernière des fractions ci-dessus par g ou 0^,8088, ce qui donnerait