IX-X

Le rayon de la roue sur lequel la puissance agit étant R, et celui de Taxe de cette roue étant r , ces deux rayons équi- valent à un levier du premier genre, doul le point d’appui est le centre commun de la roue et de l’axe. Le premier axe agit sur la circonférence de la se.conde roue avec un bras de levier mesuré par son rayon r. Mais cette seconde

Digi

roue est aussi un levier du premier genre, qui a son point <Tappui au centre. Le rayon 'r du premier axe agissant sur le rayon R' de la seconde roue, celuici abaisse le rayon r du second axe, qui, à son tour , abaisse le rayon R ;/ de la troisième roue , d’où résulte l’élévation du rayon r’f du troisième axe qui agit directement sur le poids et par conséquent l’élève.

(63) Dans l’exemple que nous venons de citer ? les tour^ sont supposés agir les uns sur les autres par le frottement de leurs surfaces. Dans les travaux légers , lorsque la’ pression que supportent les diverses parties de la machine n’est pas considérable, on se sert, avec avantage de ce moyen de lier ensemble les tours qpi la composent. On accroît le frottement des surfaces , en coupant le bois de manière que les grains des surfaces en contact marchent en sens opposé. On obtient le même résultat en collant de < la^peau de buffle sur les circonférences des roues et des axes. Une scierie. dans laquelle les tours agissent l’un sur l’autre par le frottement exiate depuis près de vingt ans dans les ateliers de M. Taylor,

à Southantpton, et remplit parfaitement son but. ' •' ’ vq

m II existe néanmoins d’autres rfroyens de transmettre la force de chaque axe à la circonférence de la tfouesuivante. ’

• L’une des méthodes les plus ordinaires est celle, dans laquelle on emploie des cordes ou des lanières passant sur la circonférence de ,1a. roue et de l*axe qui doivent agir l’un sur l’autre*. L’action de la. .puissance est de cette, manière transmise par la tension de la corde ou de la lanière , et rendue efficace par le frottement contre la circonférence de là roue et de l’axe que cette corde ou cette* lanière enveloppe

La figure 42 ,pL IX-X , offre une application de cette méthode de réunir plusieurs tours. Lorsque la roue et l ? axe qui lui transmet le mouvement, doivent tourne* dans le même sens, la corde ou la lanière n’est pas croisée, mais se pla/ce comme la figure l’indique pour l’axe R , et la Voue G. Mais lorsque la roue doit tourner dans une direction contraire à celle de d’axe dont elle reçoit le mouvë-V ment , on Croise la corde où la coürroie , comme l’indique la fig-, entre l’axe D et

la roue F. Cette dernière manière de disposer la corde ou la lanière présente l’avantage de produire un frottement plus Considérable , puisque la courroie ou la corde enveloppe une plus grande partie de la circonférence.

(65) Mais un moyen beaucoup plus usité de transmettre l’action des axes sur des roues, consiste à garnir ces axes et ces roues de dents ou de chevilles élevées sur les surfaces en contact. Dans ce cas , les axes prennent le nom de pignons , et les roues, celui de roues dentées. L’assemblage de plusieurs pignons et roues dentées prend quelquefois le ïioin- à' engrenage.

Connue les denlsou ailes du pignon passent successivement entre les dents de la .

roue, toutes ces dents doivent être parfaitement égales] et semblables entre elles.

Par conséquent, les circonférences des roues et des pignons doivent être entre elles dans Je même rapport que leurs nombres respectifs de dents. Mais, puisque les circonférences sont dans le même rapport que les. rayons , il en résulte que les nombres de dents des roues et des pignons sont entre eux dans le même rapport que les rayons des pignons et

JROUES COMPOSÉES. 107

des roues. De sorte que, pour avoir les conditions d’équilibre d’un engrenage, il suffit de substituer, dans celles que nous avons déterminées au numéro 6 i , les nombres des dents des pignons etdes roues , aux rayons des cylindres , ou des axes , et des roues ou des tambours.

Ainsi donc, les conditions d’équilibre sont que la puissance multipliée par le produit des nombres des dents de toutes les îoues, soit égal au poids, ou à la résistance multipliée par le produit dès nombres de dents de tous les pignons.

Ou , si nous désignons par N, .'-S' et IN" , les nombres des dents de toutes les roues, et par n, li et n" les nombres des dents de tous les pignons, les conditions d’équilibre seront :

P X JVN'JV'' = W xnn' n't.

fig- 43 7 pl> 1 X-X ‘ représente un système de roues dentées et de pignons. Dans cette figure , la puissance, agit au moyen d’une corde sur la circonférence non dentée de la première roue ; et, pour obtenir les conditions d’équilibre ci- dessus spécifiées , il faut compter combien la circonférence de cette roue pourrait contenir de dents y

et faite entrer ce nombre dans le calcul.

\ 4 f (66). Il est facile de démontre!’ que lés

systèmes de roues', ou de roues dentées „ obéissent aux lois des vitesses virtuelles , établies au numéro 5. ‘

En effet, puisque les dents sont égales, la circonférence -de chaque roue se meut avec*. la même vitesse que la circonférence du pignon, qui : la met en mouvement. . . • ‘ : if

.11 est évident que la même chose a lieu lorsque le système est mu par des „ cordes ou des lanières, ou bien' par le frottement des surfaces.

,, Mais , puisque chaque roue tourne fen même tems que son axe, et qu’une révolution de 1 une ne peut avoir lieu que pendant mie révolution de l’autre , les vitesses des; circonférences de la roue et de 1 axe, sont dans le même rapport que ces circonférences',' ou, si l’on veut, dans le même rapport que leurs rayons, ou leurs nombres de dents. Par conséquent, la vitesse çle ,lapuissance , ou la vitesse de la circonférence de la première roue , est’à la vitesse du premier pignon, ou mieux dij pignon de cette première roue, comme le rayon de la roue est au rayon du pignon. ,,,

ROUES COMPOSÉES. ' 12g

Mais la vitesse de la circonférence du premier pignon est égale à la vitesse de la circonférence de la seconde roue , et celle-ci est avee la vitesse de son pignon dans le même rapport que leurs rayons; et, en continuant le même raisonnement sur toutes les roues et tous les pignons, nous arriverons àcette conclusion , que la vitesse de la puissance est à celle du poids ou de la résistance, comme le produit des rayons déboutés les roues est au produit des rayons de tous les axes, et que, par conséquent, la puissance multipliée par sa vitesse, est égalé au poids ou à la résistance multiplié^ par sa vitesse.

Un exemple nous fera mieux corn- j prendre.

Supposons que le nombre de dents qui garniraient la circonférence de la première roue, soit 100, et que son pignon en ait 9 , donnons 120 dents à la seconde roue , et y à son pignon ; qu’enlin la troisième roue ait i 5 o dents et son pignon ri. La vitesse de la circonférence de la i re roue étant représentée par i , la vitesse de la circonférence de son pignon, et par conséquent celle

t 3 o ‘ rcOUÈH- (COMPOSÉES.

de la circonférence de la ‘2 e roue sera

— Cette vitesse sera à celle » dè la

IOO

circonférence du second pignon , et par conséquent à celle de la circonférence de la troisième roue , comme 120 est à 7. Donc la vitesse de la circonférence

de la troisième, roue est

on — : Mais cette dernière vitesse est,

avec celle de la circonférence de Taxe de la troisième roue, dans le rapport de i 3 o à* 1 1 ; la vitesse de cet a£e est donc X -7 -x 11 * - 6q3 'w

i : rm • quj

*0“ 0U IOO X 120 X 100

ce

1 56 ooo

justifie ce que nous avons avancé.

. «• O» remarquera que, dans ce cas, la vitesse de la résistance est environ 2,25 1 fois moins grande que la vitesse de la puissance, puisque celle-ci étant représentée par l’unité, la vitesse de la résistance est représentée par la fraction

r4^: <iui esl un P éu p 1us q>*. Ia

225 1* partie de l’unité. » x .

llOUES COMPOSÉES. l 3 I

(67) O11 doit apporter dans la construction des roues dentées une attention d’autant plus grande à leur forme, que l’efficacité et la durée de leur travail en dépend.

Suppçsons , par exemple , que les dents d’une roue et d’un pignon aient la forme et La disposition représentées dans la fig. 44 > IX-X. La dent a b en poussant la dent a! b' se mouvrait autour du centre C, dans une direction perpendiculaire au rayon C a b , et presserait par conséquent sur la dent a' b' dans une direction oblique, ou rayon C' a' b \ tandis que, pour produire le plus grand effet possible, la pression devrait être dirigée perpendiculairement à Ce rayon. 'i

En outre , toute la pression de la roue porte sur une seule dent ce qui multiplie les chances de rupture en faisant porter sur une seule dent une pression qui devrait se partager entré plusieurs ' ' -

Un autre défaut également évident de «cette construction, c’est que, pendant le mouvement, la direction de fa pression de a b sur, a' b' change constamment tant que ces deux dents sont eh contact.

l3 1 ItOTJES COMPOSÉES.

Le bras de levier sur lequel s’applique la force de a b, ou si l’on veut , le rayon C' a! b' étant variable , le pignon est mu par une force également variable.

Pendant le mouvement , le coin de la dent a b frotte, Ôu plutôt gratte lecôté de la dent a' b' ; et la machine éprouve une secousse , lorsque la dent a b s’échappant de dessus la dent a' b' , la dent c d tombe dans l’angle formé par la dentt'ô' et la circonférence dupignoïi.

Les dents des roues doivent donc avoir une forme qui évite ces défauts; pour parvenir à ce résultat, il est nécessaire qu’elles agissent de la manière suivante :

i°. Les dents d’une roue doivent presser sur les dents de l’autre dans une direction perpendiculaire au rayon de celle-ci ; en d’autres termes , la pression doit être tangentielle à la roue qui est entraînée , ou si l’on veut , à laquelle le mouvement est communiqué par une autre.

2 °. On doit mêttre en contact à la fois le plus grand nombre possible de dents , afin que la pression se distribue entre elles , et que cette même pression soit moins grande sur chacune d’elles.

Cet arrangement détériore moins la '

ROUES COMPOSÉES. l33

machine , et diminue les chances de • rupture.

3°. Pendant l'action entière d’une dent sur une autre , la direction cfe la pression doit rester la même, afin que, agissant constamment sur le même bras de levier, l’effet produit soit uniforme.

4°. Les surfaces des dents ne doivent pas se frotter , ou plutôt se gratter l’une l’autre, et ces dents ne doivent produire aucune secousse, soit au commencement, soit à la fin de leur mutuel contact.

On a imaginé diverses formes à donner aux dents des roues pour leur faire remplir quelques - unes des conditions que nous venons d’indiquer. La méthode - qui paraît approcher le plus du but est la suivante. .

Supposons que F II

soit la circonférence de la roue sur laquelle on se propose de placer des dents; soit H le point où doit se trouver l’un des côtés de la base d’une dent. Attachons à la circonférence de la roue , en I, par exemple, un fil qui s’applique sur la partie I F de cette circonférence , et se termine en H, où il est attaché à tm crayon. Puis, maintenant le fil bien

M£caniq. 7 8

1 34 • RQUES* COMPOSÉES.

tendu , écartons-le de la’ circonférence , jusqu’au point F. La partie FC, ainsi' déroulée , sera .une ligüe droite et touchera la circonférence en F ; en même tems, il faut laisser le crayon décrire là courbe RC g, (*). * *

Supposons maintenant que l’on veuille donner pour base, ou prendre pour la largeur des dents à la circonférence de la roue, l’arc de cercle a 11 ; attachons le même fil de l’autre côté de la circonférence dé la roue, de manière que le crayon tombe sur le point a , puis, développant le fil , il faut décrire, avec le crayon, une courbe semblable àcelledéjà décrite. Ces deuxcourljes, en se'coupant l’une l’autre, renferment un espace qui représente la forme d’une dent dontles propriétés seraient telles, qu’elle donnerait tous les résultats, et produirait tous les avantages mentionnés plus haut. , ,

Il est inutile d’ajouter que les dents flü pignon doivent être formées de la même manière.

C’est une propriété remarquable de

. (*) Cette courbe prend le nom de développantes et du cercle : '

ROUES COMPOSÉES. i 35

ces courbes que la ligne droite F E qui touche les deux cercles, passe exactement sur le point de contact des dents du pignon et de la roue ; non-seulement au point de contact d une paire de dents, mais encore de toutes les pairés de dents qui se trouvent en contact à la fois Cette ligne est également perpen- - («iculaire a la direction des surfaces des dents a leur point de contact mutuel.

Ainsi la pression du pignon sur la roue , s’exerce tangentiellement à tous deux et , par conséquent, agit toujours à l’extrémité d’un même bras de levier, cequi produit le plus grand avantage possible. ;

En outre , pendant toute la durée du contact de deux dents, la pression agit dans la meme direction et avec la même force; et cette* pression , étant uniforme, doit produire des effets uniformes. ’

Pendant le mouvement,' la surface d une dent ne frotte ni ne gratte la surface de 1 autre , mais elles roulent l’une sur l’autre comme le feraient deux cylindres, ce qui détruit presque entièrement les effets du frottement, qui n’est pas nécessaire comme dans les systèmes de îoues non dentees. Cet effet diminue

l36 HOUES COMPOSÉES.

considérablement la pesanteur des jnouveniëns xle la machine,, l’usure de ses' parties et la perte de la force motrice ou de la puissance. . , »

^ Plusieurs dents étant en contact à la fois, toutes agissenfavec une 'puissance égale , de sorte que la pression totale est répartie entre elles toutes , ce qui diminue encore les chances de rupture.

Gette. forme de dents présente donc tous les avantages qu’on puisse désirer.

' (68) En réglant le nombre de dents que doivent porter une roue et le pignon qui la met en mouvement, il est important défaire en sorte que les deux tnêmesdënts ne se trouvent en contact l’une avec l’autre , que le plus rarement possible-, afin d’éviter que l’usure des dents se fasse inégalement.

Supposons ,, par exemple, que le nom* bre des dents d’une roue soit exactement dix fois plus grand que le nombre des dents du pignon, qui engrène avec elle ; chaque dent du - pignon sera en contact avec chaque dixième dent de la roue, et rencontrera inévitablement à chaque réyolution de la roue .la même dixième dent. »

ROfcES COMPOSÉES. F 37

S’il était possible que toutes les dents du pignon et de la roue fussent construites afec une précision mathématique ; qu’elles fussent d’une ressemblance parfaite et absolue ; .qu’aucune différence accidentelle, due au défaut d’ho*mogénéité de la matière dont elles seraient forme'es ne s’y rencontrât, cette .répétition constante du contact entre les mêmes dents, serait sans dangers, et l’action de la machine ainsi que l’usure des dents serait régulière.

Mais, comme toutes, ces perfections ne peuvent exister qu’en théorie , et que des différences se présentent accidentellement, soit dans la nature des matériaux dont les roues sont construites, soit dans la forme de leur construction , lors même qu’on aurait employé les procédés mécaniquës les plus parfaits, il est nécessaire que les dents d’une roue et du pignon avec lequel elle engrène , soient respectivement en nombres tels, que chaque dent du pignon vienne suc- . cessivement en contact avec toutes les autres dents de la roue , avant de rencontrer une seconde fois la même.

On obtient ce résultat, en avant soin que le nombre des dents 'de la roue et le

nombre des dents du pignon Soient des nombres -premiers ' , c’est-à-dire , des nombres qjui ne puissent être exactement divisés par aucun autre, que par eux-*mêmes , ou par-Funité , tels que les •nombres 3,5, 7, ir, i3', 17, 19, 23 , etc., etc., etc. * >

La méthode qu’on emploie ordinairement , consiste à donner à la roue uq nombre de dents qui , divisé par le nombre des dents du pignon, donnerait 1 pour reste. . - , .

. Supposons, par exemple^, que ,1e pignon ait dix dents, et que le diamètre de la roue soit environ six fois. plus grand que celui du pignon, ou, ce qui revient au même, que la circonférence de l’une soit environ six, fois plus grande que celle dé l’autre, si ce rapport était exact, au lieu d’être approximatif, la roue aurait juste soixante dents, et après chaque révolution de la roue, lès mêmes dents de celle-ci et du pignon redeviendraient en contact, chaque dent du pignon engrenant avec chaque dixième .

dênt de la roue.

Mai§, si la circonférence de la roue est un peu plus de six fois plus grande que celle du pignon , de manière à admettre

llOUES COMPOSÉES. 1 3g

une dent de plus , ou soixante-une ; après six révolutions^ du pignon , il est clair que la première dent de celui-ci engrènera avec la dent de la roue immédiatement voisine de^elL avec laquelle était en contact, en commençant à tourner. Après six autres révolutions du pignon, cette première dent engrènera avec la 3 e dent de la roue, *puis avec la quatrième, lorsqu’il aura fait encore sixrévolutions. •>

Ainsi, il est évident que la roue doit faire 6i révolutions, et le pignon 6x6i ou 366 révolutions avant que les deux mêmes dents se rencontrent une seconde fois.

Par ce moyen, les différences de frottement, et par conséquent d’usure qui résulteraient des différences de forme, ou du défaut d’homogénéité dé la matière, se compensent les unes les autres.

(69) Quelquefois les dents des roues , au lieu d’agir sur les dents d’un pignon, agissent sur une autre roue qui prend le nom de lanterne . comme le représente la fig. 46 , planche f IX --X ; les dents cylindriques de la lanterne ; C, s’appellent des alluchons. Mais, dans tous les cas , quelle que soit la forme donnée aux

1 4o ROUES COMPOSÉES.

roues qui agissent l’une sur l’autre, les principes que' nous avons établis, déter- * minent toujours le rapport entre la puissance et la résistance.

(70) Les roues dentées prennent des noms différens, suivant la position ou la direction de leurs dents. Si les dents sont perpendiculaires à ‘l’axe de la roue, et dans la direction des rayons, comme dans la roue E, figure 46, cette roue s’appelle :

roue à dents droites ou roue à éperon.

Si les dents sont parallèles à 1 axe de la roue , et par conséquent perpendiculaires à son plan, la roue prend le nom de roue en couronné.

Deux roues à éperon comme E dans la fgûre 46 , ou une seule engrénant avec un pignon, sont toujours dans le même plan, et out leurs axes parallèles. Mai^ lorsqu’une roue à éperon ou engrène avec une roue en couronne , leurs axes et leurs plans sont à angles droits.

Par cette dernière combinaison , on peut transformer un mouvement de rotation horizontal en un mouvement de rotation vertical, et vice versa.

Lorsuue les dents sont obliques à l’axe ou au plan de la roue, celle-ci prend le nom de roue d'angle. La figure 47 , pl •

Iby

rôles 'Composées. ifi

IX-X offre deux roues de ce genre. Dans ce cas , les surfaces sur lesquelles les dents s’élèvent , sont des portions de surfaces de deux cônes.

La manière dont ces roues agissent, les principes sur lesquels repose leur construction, seront facilement compris, en imaginant deux cônes , appliqués à côté l’un de l’autre , comme dans la fig. 48 , pl. IX -X. Si les surfaces de çes confis ont un frottement suffisant, et si l’on fait .tourner l’un d’eux sur son axe, au moyen d’une force mécanique, on forcera l’autre à tourner en sens contraire.

Si les bases de ces deux cônes sont égales comme dans la fig. 49, pl IX-X , ils feront leur révolution dans le même teins.

Mais, si le diamètre de la base d’un des c^eux cônes est un certain nombr e de fois plus grand que le diamètre de la base de l’autre, comme dans la Jig 4 $> et dans la fig. 5 o , pl. IX-X , le plus petit cône fera le même nombre dé révolution pendant une révolution du plus grand.

Il est évident que ce que nous venons d’établir pour des cônes entiers , sera également vrai pour une quelconque de

,lq9. ROUES COMPOSÉES.

leurs parties ,a b c d, etc. , etc. ', également distante de leur sommet commun a , et serait par conséquent aussi vrai pour des roues dont les bords seraient des portions b , c ou d de surfaces coniques.

Si le frottement des surfaces coniques est insuffisant pour transmettre la force ou l’action de la puissance, on peut canrieler ces surfaces comme dans la Jig. 5i* pl. IX-X. Si ces surfaces ne sont pas des cônes complets, ou si l’on veut, sont des cônes tronqués, dont la hauteur serait , par exemple , F c , et G e , elles deviendront des roues d'angle. ■ ..

On concevra facilement que l’emploi des roues d’angle, est de produire un mouvement de rotation autour d’un axe, au moyen d’un mouvement de rotation , autour d’un autre axe oblique ai^ premier, et même un troisième îhouveïnent de rotation autour d’un troisième axe , pourvu que celui-ci et le premier soient parallèles, et que tous trois soient sur le mérue plan. La jpg. Ô 2 , pl. IX-X, représente un système de roues de cette espèce.

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