SYSTÈMES DE POULIES AVEC PLU- SIEURS CORDES

(71) Les. machines dont nous avons expliqué la théorie dans les chapitre» • précédens, tirent leur efficacité mécanique tout entière de Y inflexibilité supposée des matériaux avec lesquels elles sont construites. • ^

L’effet d’un poids agissant sur un levier est de le courber sur son point d’appui; et, si le levier cède et se courbe, il perd son efficacité mécanique.

La même observation peut s’appliquer à toutes les machines que nous avons décrites jusqu’ici. On peut dire qu’il ,

.ojgt 1

n’existe aucune matière parfaitement inflexible, avec laquelle on puisse construire ces machines. Cela est vrai , mais nous avons fait remarquer au commenfcement de ce Traité, que la manière la plus facile d’étudier la science des machines , est de supposer d’abord cette’ parfaite inflexibilité des matériaux , et ensuite d’appliquer aux résultats des % corrections qui puissent adapter ces résultats à des cas où l’on rencontre le moindre degré de flexibilité; ou au moins à des cas où la flexibilité nç produit pas un effet suffisant pour modifier l’exactitude pratique du résultat.

Au contraire, le genre de machines sur lequel nous allons maintenant appe- •ler l’attention du lecteur, reçoit son entière efficacité mécanique de la parfaite flexibilité des matières qui entrent principalement dans leur construction. G’est du moins sur cette supposition que sera fondée notre théorie; et dans les cas où l’on ne rencontrera pas celte flexibilité supposée parfaite , il deviendra néces-saire d’appliquer des corrections aux résultats obtenus pour les rendre applicables dans la pratique.

(7?.) Une corde parfaitement flexible ,

ou un 111, est une machine qui, indépendamment de l'avantage ordinaire qu'elle peut procurer dans remploi d'autres machines, en nous mettant à même, à l’aide de points fixes de supporter des poids considérables avec une puissance comparativement très-petite , nous offre encore de grands avantages mécaniques, même dans les cas où la.

puissance est égale au poids ou à la résistance.

Une corde flexible peut être employée à transmettre la force d’un point à un autre, dans la direction de la longueur de cette corde. Ainsi , la force du poids W, fig. 53, pl. 1X-X , çst transmise , par la corde a , au crochet H , et presse * sur lui de la même manière que si le poids était immédiatement suspendu au cro^iet, sans l’intermédiaire de la cordeVa. ' •

Cette propriété de transmettre la pression dans le sens de sa longueur , n’est pas due à l’inllexibilité de la corde , maisà son inextensibiiité. La corde possède cette propriété en commun aS 7 ec. une barre inflexible , qui transmettrait, également et de la même manière , la pression du poids W au crochet F* ,•

Mîcaniq. 2 ' 9

Une barre inflexible a néanmoins un avantage sur la corde dans leur proprié- ^ té commune de transmettre la force dans • le sens de leur longueur : car , bien qu’une corde flexible puisse transmettre à l’une de ces extrémités la force appli- .quée à l’autre, lorsque cette force agit de manière à tendre la corde ou à écarter ces deux extrémités l’une de l’autre, elle ne remplirait pas ce but 'si la force agissait en sens contraire , et poussait les deux extrémités de la corde l’une vers l’autre; et c’est ce que produirait une barre inflexible.

Ainsi donc, si le poids W , au lieu de tendre à s’éloigner du crochet H , tendait 1 au contraire à se rapprocher de lui, ce qui aurait lieu si le crochet était au-des-' sous du poids au lieu d’être au-dessus y la corde a ne pourrait pas tran^lnettre la force du poids agissant dans cette dernière direction ; tandis qu’une barre inflexible la transmettrait au crochet.

(7 3) T’un des plus grands avantages résultant de l’emploi d’une corde flexible, est qu’une force agissant dans une direction quelconque , peut tenir en équilibre une force égale agissant dans une autre direction.

Ainsi , par exemple, s’il est nécessaire de tenir suspendu le poids W , fîg. 54 , planches IX - X , agissant dans une .direction verticale de haut en bas , au moyen d’une puissance, agissant dans la direction P H ; prenons un point P, placé à la fois sur la ligne verticale, sur laquelle agit le poids W , et sur la ligne P H , direction de la puissance ; attachons au poids une corde flexible et faisons-la passer dans un anneau placé au point P, puis , adaptons-la à la puissance H, et l’on aura évidemment atteint le but proposé.

En effet , si l’on suppose la corde parfaitement flexible, et sans aspérités, en passant à travers l’anneau, elle n’éprouvera de résistance ni de sa rigidité ni du frottement, si l’on suppose également que l’anneau est parfaitement poli. Enfin la même force -tendra cette corde dans toute sa longueur, et sa tension sera mesurée par le poids W.

Mais, puisqu’il est impossible, en pratique , d’obtenir des cordes qui soient parfaitement unies et flexibles , ni de fabriquer des anneaux entièrement exempts d’aspérités, on se sert d’une au-

tre méthode. Au lieu de faire passer la corde dans un anneau , on la fait passer sur la circonférence d’une roue creusée en gouttière pour recevoir la corde, et.

qui tourne librement sur un axe ou sur des pivots , comme le représente la fig, 55 , pi. IX— Xv •

La substitution de cette roue à l’annéau, produit x dans la pratique, deux avantages évidens. D’abord elle diminue considérablement les effets du frottement de la corde contre la surface de l’anneau : car, au lieu que la surface de la corde glisse sur la surface de l’anneau, ces deux-surfaces tournent eu même tems. Secondement elle diminue beaucoup les effets résultant de la flexibilité imparfaite de la corde qui, au lieu d’être spudainement courbée k angle aigu, cpm me sur l’anneau, est graduellemént infléchie pour prendre la courbure plus ouverte de la circonférence de la roue. , .

L’emploi de cette roue ne procure donc, à proprement parler, aucun avantage mécanique à une machine , et il n’est pas nécessaire d’en tenir compte dans . une théofie où l’on présuppose la

POULIÇS. '*9

parfaite flexibilité, et le parfait poli des cordes, dont cette roue est destinée à corriger les imperfections.

La roue ainsi employée , s’appelle une poulie , et ce nom a été également donné à la machine même dont elle fait partie, ainsi qu’à toutes ses modifications.

Quelques physiciens ont même attribué à cette roue seulement toutes les propriétés mécaniques de la machine, et en ont établi les conditions d’équilibre , en la considérant comme un levier.

De telles recherches sont basées sur des principes faux, bien que les résultats qui eu découlent soient vrais; car, si nous supposons qu’on abandonne ces roues, et qu’on lasse passer dans un anneau supposé parfaitement poli, une corde supposée de même parfaitement douce et flexible pour qu’elle puisse agir sans frottement , l'anneau possédera toutes les propriétés de la poulie.

Dans les figures qui serviront à l’ex- , plication des principes que nous allons établir, les cordes seront toujours représentées comme agissant, à la manière ordinaire sur les rouets des poulies. Mais nos démonstrations n’auront pour base

principale que la flexibilité supposée parfaite des cordes , et de leur propriété également considérée comme parfaite . de transmettre la force , ou l’action de la puissance par leur tension.

(74) L’efficacité mécanique d’un système quelconque peut se déduire immédiatement d’un principe unique : savoir qu’wne corde flexible doit éprouver une tension égale dans chaque partie de sa longueur.

Ainsi , si le poids W ,Jig. 56 , planch.

XI-XI1 , est supporté par la corde A B , les deux parties A et B de cette corde seront également tendues ; par conséquent , les deux crochets, ou tous autres points d’appui auxquels les deux extrémités de cette corde seraient attachées ,

. supporteraient également le poids W.

Donc les deux parties de la corde A et B ,

S supporteraient chacune la moitié de ce oi'as.; <« et si on fait passer la partie B e la corde sur une poulie , le prolongement C de cette partie n’aura à supporter également que la moitié du poids j d’où il résulte que si l’on attache à ce prolongement un autre poids P, moindre de moitié que le poids W, ces deux poids seront en équilibre , puisque la

i»Ol LIES.

moitié du poids W est supportée par le crochet.»» Nous avons supposé, dans cette démonstration que la corde A B passe sans frottement, ni obstacle, dans Vanneau du poids W , et que ses deux parties A et B sont parallèles.

(y 5 ) Les poulies sont de deux espèces:

fixes ou mobiles. Une poulie fixe n* offre aucun avantage mécanique , puisque la puissance et le poids sont égaux'comme on peut s’en convaincre en recourant aux explications données sur la fg. 55 , numéro 73. Elle est néanmoins d’une grande utilité pour faire accorder la direction de la puissance avec celle de la résistance.

Ainsi , par son moyen , en tirant de haüt en basj nous pouvons faire monter un poids quelconque, ou, si l’on veut le tirer de bas en haut.

Nous avons déjà fait observer qu’à l’aide de cette simple machine, on pouvait opposer une puissance ayanUune direction quelconque à une résistance ayant *qute autre direction.

(76) La fig. §7,/?/. XI-XII, offre une application de la poulie mobile. Dans cette machine, la même corde s’étend depuis la puissance P, jusqu’au point

i52 - POULIES. ...

fixé É , et éprouve la même tension dans toute sa longueur.

Il est évident que cette tension est égale à la puissance. Cela est évident de soi-même pour la partie P B de la corde , placée entre la puissance et la poulie fixe B C; mais le poids W qui est soutenu par les deux autres parties C A et D E de la corde, est égal à la somme des tensions ,c’est-à dire, à deux fois la tension de la corde , ou à deux fois la puissance. Ainsi donc, au moyen de cette machine , une puissance quelconque, peut faire équilibre à un poids double d’elle.

Nous n’avons point fait mention, dans ce qui précède, du poids même de la poülie A I> j si ce poids est assez considérable pour ne pas être négligé eu égard à l’exactitude des résultats qu’on veut obtenir, il suffit de l’ajouter drtns le calcul au «poids W. ; • '*

On peut également disposer une pouli^ mobile, de manière qu’une puissance quelconque fasse équilibre à, un poids triple d’elle. C’est évidemment ce qui résulte dé la disposition représentée par la^. 58, pi. Xl-XII.

(77) II existe plusieurs espèces de systèmes de poulies à une seule corde. Dans' tous , se trouve une espèce de cadre mobile , appelé moufle , dans l’intérieur duquel sont fixées les poulies , et auquel est attaché le poids.

Lorsqu’on veut estimer l’effet mécanique de la machine, il faut tenir compte du poids de ce cadre et des poulies qu’il renferme , puis l’ajouter à la résistance.

Dans la jig. , pi. XI-X 1 I , la même corde passe successivement sur toutes les poulies, et a par conséquent partout la même tension. Et, puisque la partie K de cette: çorde, supporte la puissance, cette tension est égale à la puissance.

Le poids ( y compris le poids du moufle et des poulies qu’il contient) est supporté. également par chaque partie de la corde qui passe entre lui eule moufle fixe; il se distribue donc également entre quatre portions de cordes dont chacune a une tension égale à la puissance, qui, par conséquent, fait équilibre à un poids quadruple d’elle. * \

En général , dans les systèmes de poulies à une seule corde , et à moufle mobile, le poids égale autant de fois la

puissance qu’il y a de parties de cordes employées à supporter le moufle mo— v bile. 7

Cela deviendra de la dernière, évidence , lorsqu’on considérera que chaqrue

S artie de la corde , qui passe entre les eux moufles , supporte sa part du poids.

Dans le système , représenté fig- 5g, si la corde, au lieu d’être attachée au moufle fixe, passait sur une troisième poulie y appartenant à cè moufle, et venait ensuite s’attacher au moufle mobile , le poids serait égal à cinq fois la puissance. ( •

( 78 ) Dans les systèmes que nous vè— nons de décrire, chaque poulie se meut sur un axe particulier. Dans d’autres, les poulies sont placées à côté l’une de l’autre, et se meuvent sur le même axe, comme l’indique la Jig.6 o t pl. XlrXII.

Mais le rapport du poids à la puissance , ne change pas pour cela.

La forme de cet appareil présente de ' graves inconvéniens ; car il est très-difficile de maintenir les cordes parallèles , et il arrive souvent que les effets combinés du poids et de la puissance , dérangent les positions respectives des deux

' POULJES. |55

moufles, comme on le voit dans la fig .61,

pl. XI-XII.

Pour remédier à cet inconvénient, on a imaginé la disposition ingénieuse , représentée par la fig. 62 , pl. Xl-XII. On a omis d’y faire figurer la corde qui aurait pu occasioner quelque confusion; mais on peut facilement y suppléer.^ En effet, supposons qu’une des extrémités de cette corde soit attachée au crochet inférieur du moufle supérieur; que, de ce point on la fasse passer sous la poulie a , sur la, poulie b , sous la poulie c, suvlapoulie d , et ainsi de suite, en suivant l’ordre alphabétique, jusqu’à ce qu’elle passe enfin sur la poulie u , et qu elle soit adaptée à la puissance; il est évident que, dans ce cas, les deux moufles ne pourront pas éprouver de deiangement dans leurs positions respectives, comme dans la fig. 61, puisque la puissance agit directement au-dessus du poids.

Dans une pareille machine , le poids serait supporté par une corde, passant sur 10 poulies, et par conséquent par 20 portions de cordes, de sorte qu il seiait égal à 26 fois la puissance qui lui ferait

' équilibre. •

(79) Tous les systèmes de poulies de

• i56 " POULIES.

ce genre ont néanmoins de grands dé— • fauts^ Le nombre considérable de poulies qu’il faut employer lorsqu’on veut vaincre une grande résistance, augmente prodigieusement le frottement : cardiaque poulie ne frotte pas seulement sur son axe , mais encore elle exerce un frottement considérable sur les parois du moufle dans lequel elle tourne. - Elles sont, en outre, susceptibles de s’user trèsinégalement, parce que leurs vitesses de rotation sur leurs axes sont trèsdifférentes les unes des autres.

Supposons en effet que, par l’action de la puissance, le moufle inférieur de la fig. 62, se soit avancé d’un pied vers le moufle supérieur , il est évident que la longueur de chaque portion de corde entre les deux moufles sera diminuée d’un pied. Donc un pied de la portion de corde qui s’étend depuis le crocliet du moüffle Supérieur jusqu’à la poulie a aura passé sur cette poulie : ce pied de corde aura également passé sur toutes les poulies b , c, d, etc. , jusqu’à lapoulie u.

Mais la portion de corde qui s’étend depuis la poulie a jusqu’à la poulie b, est , comme toutes les autres, raccourcie d’un pied ; ce pied doit de même passer sur

Dig

POULIES. l57

toutes les autres poulies jusqu’à la poulie u. De sorte que, pour élever le poids d’un pied, un pied de corde a passé sur la poulie a , 2 pieds sur la poulie b. En ' continuant le même raisonnement , nous trouverons que trois pieds de corde passent sur ,1a poulie c, quatre sur la poulie ci, cinq sur la poulie e, etc , et vingt enfin sur la poulie u.

Maintenant, les vitesses avec lesquelles les poulies tournent (leurs diamètres étant les mêmes pour tous), sont exactement mesurées par les longueurs.de cordes qui passent sur elles dans le même teins. Ainsi, tandis que la poulie a fait une révolution, la poulie b en fait deux, la poulie c trois, etc., etla poulie u vingt. Delà résulte cette inégalité d’usure dont nous avons fait mention.

Si l’on essayait de remédier à cet inconvénient , en fixant toutes les poulies d’une même rangée sur un pivot unique, pour les forcer à tourner avec une vitesse égale, on introduirait dans l’appareil une nouvelle source de frottement qui déterminerait une usure beaucoup plus considérable : car, puisque la corde passe sur les poulies avec des vitesses différentes, tandis que ces poulies ne

*i58 poulies.

pourraient avoir entre elles que la même vitesse , cette corde glisserait et frotte»* . rait , par conséquent plus ou moins, sui* les gouttières de toutes les poulies, une seule exceptée. • ' #

Le grand objçt à atteindre dans la construction d’un pareil système de poulies , serait donc de les faire tourner toutes sur leur axes dans le même teins, pour éviter qu’ils ne s’usassent inégalement, tandis que leurs circonférences auraient des vitesses différentes, entre elles, et respectivement . égales aux vitesses des portions de cordes qui passent sur elles. .

> (80) Un système de poulies , inventé

par M. James White, produit ces divers résultats. Pour qu’elles puissent faire leur révolution dans le même tems , leurs grandeurs sont différentes et pro-

Ï ior données entre elles, de manière que eues diverses circonférences soient égales à la longueur de la portion de corde qui doit passer sur elles aussi pendant le même teins.

C’est ce qu’on comprendra facilement en se reportant à la Jîg- 62 . Supposons que la circonférence ae la roue a soit un pied , elle fera une révolution par cha- '

poulies. 1 5g

que pied que le moufle inférieur s’avancera vers lé moufle supérieur. Pendant ce tems , trois pieds de corde passeront sur la poulie Cy si l’on donne aussi trois pieds a la circonférence de cette poulie elle ne fera aussi qu’une révolution ’ pendant le tems que le moufle inférieur s’élèvera d’un pied. De la même manière, la poulie e ne fera aussi qu’une révolution pendant le même tems , si sa circonférence est de cinq pieds, et ainsi de suite.'

Il en résulte done, en général, que les diverses poulies du moufle inférieur^ feront leurs révolutions dans le même tems , si leurs circonférences sont entre elles comme les nombres i , 3 .

5, etc. •

On a de même reconnu que les poulies du moufle supérieur feraient leurs révolutions , dans le même tems , entre elles, et avec celles du moufle supérieur, si leurs circonférences étaient comme les nombres 2 , 4 > 6 , etc. ; ou, ce qui est la meme chose , toutes les poulies des deux moufles, feront leur révolution dans le même espace de tems, si les circonférences de ces poulies, prises dans l’ordre successif de leur position réciproque,

lèo. POULIES.

sont entre .elles, comme les nombres i, 2.

3 V 4> etc. • •

Les circonférences des cercles -sont

proportionnelles à leurs diamètres , et , par conséquent , en donnant aux diverses poulies a , b, c, d, etc. , des diamè—

, très qui seraient entre eux, comme les . nombres 1,. 2, 3, 4, .5, 6, etc., on obtiendrait le résultat désiré.

Cependant il resterait encore les frot— temens multipliés d’un grand nombre de poùlies différentes , sur leurs axes ou pivots respectifs, ainsi que les frottements ,de leurs surfaces .latérales dontre les pivots des moufles. ,

Pour remédier à ces défauts, M. White imagina de réduire toutes les poulies ' d’un même moufle à une seule; ou plutôt, au lieu d’employer des poqlies séparées , de pratiquer, dans un même cône , différentes gouttières circulaires , dont les diamètres seraient . entre eux dans les rapports^ indiqués plus haut.' Par ce. moyen, tous les frottemens sont réduits à ceux d’un seul axe et , d’une seule poulie sur. les parois latérales, du moufle. - • . . . ' .

La fig. 63 ,/?/. XI-XH , représente cet appareil, vu ue face, et pour qu’il fût

mieux compris, on l’a représenté vu de côté dans la fig. 64 , 'même pl. XI-XII.

L’inspection de ces deux figures et les explications qui précèdent, nous paraissent suffisantes pour l’intelligence parfaite de cette utile et ingénieuse machine. v . >.

Dans ce système de poulies, comme dans tous les autres, où l’On n’emploie qu’une seule corde, le poids est autant ae fois égal à la puissance qu’il y a de portions de corde qui soutiennent le moufle inférieur. >

(81) On exprimerait mathématiquement les conditions d’équilibre dans tous les systèmes de poulies du même genre , par l’équation suivante :

W = nxP,

dans laquellè n représente le nombre de portiônsdecordes qui supportentle moufle inférieurs P représente la puissance et W le poids du moufle inférieur et le poids qui y est attachée *

(82) . Nous n’avons mentionné jusqu’ici que les 'principaux systèmes * de .

poulies à une seule corde ; cependant on peut gagner plus de force en. augmentant le nombre des cordes. La figt 65 et la fig. 66, pl. XIII-XIV, représentent

lies, avec deux cor-

Dans le système représenté par la jig. 66>, la tension de la portion de corde P B est égale à la puissance P, et l’autre portion de cette corde étant attachée à la poulie mobile après laquelle le poids W est suspendu, supporte donc une partie de ce poids égale à la puissance. La portion de l’autre corde , qui , de la poulie fixe C, va rejoindre la poulie mobile B , fait équilibre aux tensions réunies de deux portions de la première corde qui , du point B, supportent la puissance et une partie du poids égale à la puissance.

La tension de cette portion B C de la seconde corde est donc égale à deux fois la puissance , et ses deux autres portions éprouvent chacune une tension égale à deux fois la puissance, ou une tension totale de quatre fois la puissance , puisque , passant sous la poulie qui supporte le poids, elles se partagent ce qui reste de ce poids, dont une partie, égale à la puissance,estdéjà supportée directement par cette puissance. Par conséquent, le poids est égal à cinq fois la puissance qui lui fait équilibre.

mobilei

POULIES. it$3

Dans cette figure Gomme dans quelques-unes de celles qui précèdent, et dans celles qui vont suivre, la puissance étant considérée comme unité , les chiffres placés auprès de chaque corde ou portion de corde , expriment la portion des poids que cette corde ou portion de corde contient , ou pour parler le langage scientifique, la tension qu’elle éprouve.

Le système de poulies représenté par l a ./*éT* 66 , a aussi deux cordes, mais son efficacité mécanique est moins grande que celle du système représenté par la figure précédente. La tension de la corde qui s elend depuis la puissance jusqu’au point fixe est égale à la puissance ; et la tension de celle qui s étend depuis la poulie mobile B, jusqu’à la poulie mobile A, est égalé à deux fois la puissance.

Le poids est donc égal à quatre fois la • puissance. -

Lia tension de chaque corde , ou portion de corde est au surplus indiquée, comme nous venons de le dire , par les chiffres placés auprès.

Dans ces deux systèmes , le poids de la poulie B, s’ajoute à la puissance , et concourt à son eflet ; celui de la poulie A y met obstacle.

l64 POULIES.

Si , dans le système représenté parla fig. 65 , le poids de la poulie B est la moitié du poids de la poulie A , les poids * de ces deux poulies se feront équilibre.

Mais si le poids de la poulie B est plus que la moitié de la poulie À , le surplus de' ce poids s’ajoute à la puissance et concourt à son elïet. Pour produire 1 e— quilibre , la puissance doit être alors moindre que le cinquième du poids ou de la résistance, « et cette diminution doit être égale au surplus du poids de la poulie B sur la moitié du poids de la poulie A ' -

Si, dans le système représenté par la figure 66, le poids de la poulie B est égal au poids de la poulie A , ces deux

{ )oids se feront équilibre; si le poids de a poulie B est plus grand que celui de la poulie k, le surplus s’ajoutera à la puissance qu’il faudra diminuer d’autant pour qu’il y ait équilibre; si c’est le poids de la poulie A qui T emporte sur celui de B , le surplus* du poids de A s’opposera à l’effet de la puissance rju’il faudra augmenter d’autant pour qu il y ait équilibre.

* ( 83 ) La fig. 67, pi. XIÏI-XIV , repré-

sente un système de poulies à quatre

pôuhes. i65

cordes, dans lequel le poids est égal à 16 fois la puissance.

En effet, la tension de la corde D E, est égale à la puissance , puisque cette corde la supporte. D étant unç poulie mobile , supporte une portion du poids égale à deux fois la puissance ; mais cette portion de poids est égale à la tension de la seconde corde qui supporte la seconde poulie mobile C; par conséquent, la tension de lft seconde corde est égale à deux fois celle de la première.

De la même manière, la tension de la troisième corde est égale à deux fois celle de la seconde , et ainsi de suite ; le poids étant égal à deux fois la tension delà deuxième corde. Si alors, comme dans l’appareil qui nous occupe, il y a quatre cordes , la tension de la première qst P ou l’unité ; celle de la seconde 2 P ; cellé de la troisième 2 x 2 P , ou [\ P celle de la quatrième 2 X 2 X 2 P ou 8 P, et par conséquent, le poids W sera 16 P.

Il est évident que chaque corde qui serait ajoutée à un pareil système de poulies doublerait son effet, et que les conditions d’équilibre, exprimées mathématiquement, sont:

l66 «POULIES.

Dans cette équation, n exprime le nombre de cordes employé dans l’appareil.

Nous devons prévenir que nous avons négligé, d ns cette expression mathématique , l'effet du poids de toutes les poulies mobiles. Il est évident que cet effet contrarie celui de la puissance qui doit être augmentée d’autant, pour obtenir , l’équilibre. Cette augmentation doit • même être appliquée comme puissance à la corde E P , Jors même que l’appareil ne serait pas chargé du poids W pour faire équilibre au poids des poulies mobiles.

'{ 84 ) L’effet mécanique de ce système

• ' peut être de beaucoup accru , sans aug-

menter le nombre des cordes. H suffit, poür cela, de substituer des poulies fixes - aux crochets auxquels chaque corde est . . attachée.

Nous avons déjà fait connaître celte méthode appliquée à une seule poulie mobile, au numéro 76, fig. 58 , planch.

• XI-Xn. La fig r 6 $ ; pl. XIII-XIY , la re - .présente appliquée à un plus grand

nombre.

n résulte de la disposition de la fig.

68 , que la tension de la seconde portion

de la corde est égale à trois fois celle de la première qui est égale à celle de la puissance ; que la tension de la troisième corde est égale à trois fois celle.de la seconde, ou à neuf fois celle de la première, et ainsi de suite ; le poids-W étant égal à trois fois la tension de la dernière corde.

Dans 1 application qui nous occupe , il n’y a que quatre cordes , et le poids est égal à 81 fois la puissance.

.Le rapport entre le poids et la puissance, dans un semblable système de poulies , s’exprimerait mathématiquement par l’équation suivante

ti représentant le nombre de cordes employées.

L’effet du poids des poulies' mobiles est encore, dans ce cas, en opposition avec l’action de la puissance qui doit être augmentée d’autant pour qu’il y ail équilibré ; il ôte ainsi à cette machine une partie de son efficacité.

( 85 ) Un système de poulies très-puissant, est représenté par la fig. 69, pl.

XIII - XIV . Dans ce système , chaque corde est attachée au ppids. La pre-

l68 • POULIES.

mièrc corde supporte une portion de ce poids égale à la puissance. La tension de la seconde corde est égale à deux fois celle de la première, et par conséquent, elle supporte une portion du poids égale 1 à deux fois la puissance. De la, même manière la troisième corde supporte ■ une portion du poids égale à quatre fois la puissance, et ainsi de suite, la portion du poids supportée, par chaque, corde, étant le double de celle supportée par la corde précédente.

Dans ce cas , le poids est égal à la som :

me des tensions de toutes les cordes, et dans l’exemple qu’offre la figure 69, le poids est égal à 3 i fois la puissance.

Il n’est pas difficile de donner une expression mathématique du rapport général entre le poids et la paissance dans un appareil de cette espèce.

Les tensions des diverses cordes qui supportent le poids Sont P, 2 P, 2? P , 2 3 P, etc. , et si n désigne le nombre de cordes employées, la tension de la der-

niere est 2 de sorte que nous

avons :

POULIBS. ' 169

Mais la série placée entre deux parentthèses , étant une*progression géométri-

et , par

que (*) , sa somme est 2 conséquent nous avons :

(86) On peut rendre un pareil système beaucoup plus puissant ençore sansaugmenter le nombre des cordçs en faisant passer chacune d’elles sous une poulie fixée au poids et en l’attachant ensuite à la poulie sur laquelle elle a d’abord passé. La fig. 70, pl. XIIÏ-XIV, représente cette disposition. Les chiffres placés près de chaque corde expriment la portion du poids qu’elle supporte , la puissance étant toujours considérée comme l’unité. Dans cet exemple, le poids est égal à 2^2 fois la puissance.

L’investigation mathématique du rapport général entre la puissance et le poids, est la même que celle énoncée au numéro 85 .

(*) Voyez le Traité d’ Arithmétique et'd’ Algèbre qui fait partie de cette Collection.

Mécaniq. 2 JO

Les portions du poids supportées pât • chaque corde successive >, sont : 2 P j - 6 P, 18 P, 54 IV etc. ; et celle supportée par la dernière corde , le nombre de

cordes étant h, est 2X3

XP>

Par conséquent,' nous aivons;

W—ïPx^i +34-3 3 4-3 3 -f... 3" 1 j.

La somme de la progression géométriquè k placée entre parenthèses ,

étant, 3 . ; nous avons :

(87) Les • divers systèmes de pouliesque nous avons décrits -jusqu’ici, n’ont point été présentés au lecteur comme des machines qu ? il aura souvent l’occasion, de trouver appliquées, eupratique. On a eu plutôt pour but de les lui offrir. comme, un exercice utile , en l’habituant à combiner diversement ce genre de~ma— chines , et comme le meilleur moyen de graver dans sa mémoire les principes gé-

POULIES. in l '

néraux , d’après lesquels on doit exami~ ner lés combinaisons mécaniques dans lesquels des systèmes de poulies sont

appliquées. ‘ \ *" V. .

dominé toutes les autres machines, la poulie obéit au principe des vitesses virtuelles; c’est-à-dire, que l’ascension du poids est d’autant moins rapide, paç rapport à la descente de la -puissance, ; que le poids lui-même est plus grand * .

que la puissance. ";*■'> *• / •

Ainsi , dans la poulie mobile unique y représentée par la jig. 57 , pl- XI-XII, si la puissance parcourt deux pieds en descendant , deux pieds de la corde C A D E passeront sur la poulie fixe B G.

Par conséquent , la corde sera diminuée de' deux pieds, et chacune des portions C A et D E sera diminuée d’un pied* Le poids s’élève donc d’un pied , tandis que la' puissance s’abaisse de deux , c’est-àdire, que la vitesse de la puissance est égale à deux fois celle du poids. Nous avons vu au numéro 76, que le poids est égal à deux fois la puissance.

On peut prouver, de la même manière que , dans la ftg. 58 , pl» XI-XII , tandis que la puissance parcourt trois pieds en descendant , la corde qui s’étend depuis

la poulie fixe jusqu’à la poulie mobile qui supporte le poids , est'raccourcie de trois pieds, et que , par conséquent , chacune de ces trois portions qui supporte également le poids est diminuée d’un pied. Il en résulte que la vitesse de la puissance est égale à trois fois celle du poids. Nous avons aussi prouvé, au numéro 76 que le poids est égal à trois fois la puissance.

En général , dans tous les systèmes de poulies à une seule corde , l’espace que parcourt la puissance en descendant, est égal à toute la longueur dont est raccourcie la corde depuis la poulie la plus rapprochée de la puissance, jusqu’à son extrémité. Mais cette longueur est également répartie entre toutes les portions de corde qui supportent le poids , et par conséquent, chaque portion n’est raccourcie que d’une fraction, proportionnelle au nombre des portions de cordes de la longueur totale dont la corde entière e.st diminuée. Nous avons également prouvé que le nombre de ces portions : exprime le rapport entre la puissance et le poids.

Le même raisonnement peut également s’appliquer aux systèmes de pou-

lies représentés par les fig. 5cj , planch.