CHAPITRE II

( 7 ) On définit quelquefois le levier :

une ligue droite , injlexible , sans pesanteur, et tournant sur un certain point • comme centre. On le définit encore : une .

barre ou verge injlexible , appuyée sur

pu LEVIER.. 17

un point d’appui ou pivot , sur lequel il peut tourner comme sur un centre.

Nous donnerons cependant une définition plus générale de cette machine en la considérant comme un corps solide quelconque, ayant un axe fixe sur le quel il peut tourner, et autour duquel toutes ses parties décrivent des cercles.

En considérant une telle machine comme applicable à un but mécanique, on la conçoit généralement comme ayant son axe placé à angle droit avec le plan dans lequel agissent la puissance et le poids ou la résistance.

Pour simplifier- également nos recherches, nous ne tiendrons d’abord aucun compte du poids de la machine ellemême , ou , ce qui serala même chose ,• nous supposerons que son axe fixe'passe par le centre de gravité du levier qui y en conséquence , reste indifférent à toute position qu’on peut lui donner. ( Premier Traité. )

Supposons que ABCD, figure i r ?, planches I— II , soit la section d’un corps solide , mobile sur un axe fixe , et tenu dans un plan perpendiculaire à cet axe, qui serait perpendiculaire au plan de la section en C.

Diqil

18 DU LEVIEJl.

Si nous supposons l’axe C horizontal , la section A 13 C D sera verticale.

Supposons maintenant que le poids ou la résistance à, vaincre W. soit appliquée en F , sur la ligne horizontale - .H CH', qui passe par l’ax^C ;• enfin , supposons que la puissance P , qui doit soulever le poids ,W ou vaincre la résistance qu’il lui oppose , soit appliquée en G sur la même ligne horizontale.

Examinons maintenant dans quelles conditions P pourra supporter W, conformément au principe des vitesses virtuelles.

Si la machine est mise en mouvement autour du centre. C , de manière que P descende et que W monte, les points G .et F auxquels la puissance et le poids sont appliqués, se mouvront autour du point C, en parcourant des arcs de cercle semblables, qui auront C pour centre commun,, et C G et CF pour rayons.

. Si ces arcs sont petits , on pourra les considérer comme les espaces que la puissance et le poids parcourent dans la direction verticale ; et qàelles que soient leurs grandeurs , ils seront toujours pro- ' portionnels aux mouvemens verticaux

Dfc- LEVIER. fQ

de la puissance et du poids. D’un autre côté, ces arcs soiit semblables et proportionnels à leurs rayons ; il en résulte donc évidemment que la descente verticale de P, est à l’ascension correspondante de W , comme la longueur G G est à la longueur C F ; ou dans le même rapport que les points G et F sont éloignés du centre C.

Ces distances C G et C F peuvent être considérées comme représentant les vitesses verticales de la puissance et du poids ; et si nous appelons p la longueur C G , et w la longueur C F,- la condition d’après laquelle la puissance P pourra supporter le poids W , sera exprimée par la proportion suivante:

P : w :: w vp

ou P x /? = W x w (*)

Ce qui veut dire que la puissance tiendra lé poids en équilibre , pourvu

(*) Les dqux points : en langage algébrique signifient est a , les quatre points signifient comme , le signe x veut dire multiplié par , et le signe — représente le mot égale. ‘

2t> DU DEVIER.

que le produit du nombre d’onces que pèse la puissance P, multiplié par le nombre de pouces qui se trouvent dans la distance depuis le point G- , où la puissance est appliquée jusqu’au centre G , soit égal au produit du nombre d’onoes que pèse le poids W multiplié par le nombre de pouces qui se trouvent dans la distance depuis le point F, où le poids est appliqué jusqu’au centre C

11 est évident que les onces et les pouces ■ , employés dans cette démonstration , sont des poids et des mesures entièrement arbitraires , et qu’on peut en choisir d’autres à volonté, en ayant soin d’employer les mêmes poids et mesures pour la puissance et pour le poids.

(8) Telle est la condition de l’équilibre résultant du principe des vitesses virtuelles , et qu’il est très - facile de constater par l’expérience.

Suspendons au point F un poids W pesant 12 - onces, et t supposons que la longueur G F, exactement mesurée, soit de 8 pouces Maintenant prenons une longueur quelconque , 32 pouces , par exemple, sur la ligne C G, et appliquons en G un poids de 3 onces P, qui représente la puissance ; l’appareil restera

alors en équilibre, parce que la puissance CQDtre-balanceia exactement le poids :

car le produit de*la multiplication de* 3 a par 3 , ou 96 , est égal au produit de 12 par 8. . , - , •

' Si , au lieu de 32 pouces , la ligne C G n’en a que 24 , pour obtenir l’équilibre • il faudra que la puissance soit de 4 on- • ces , le produit de 24 par 4 étant encore 96. . • ’ . •

De la meme manière, quels que soient les changemens qu’on fasse éprouver à la distance entre la puissance et le centre,- il devient nécessaire de. changer aussi l’in- • tensité, l’énergie de cette puissance , ou, si l’on veut, son poids, de sorte que le nombre d’onces qu’elle pèse , multiplié par le nombre de pouces que contient la distance jusqu’au centre, produisent toujours 96 , pour faire constamment équi- > libre au poids que nous supposons conserver ses premières conditions d’exjstçnce. • . ' • -

Si ce produit excède 96 , la puissance remportera sur le poids , il y aura mouvement; s’il est au-dessoûs de ce nombre , le poids ou la résistance l’emportera sur la puissance. . - • % -

- Il résulte, donc que le poids oit. la ré-

sistance W, restant à la même distance du centre C, peut ,t*tre tenu en équilibre par un nombre infini de puissances diverses. En effet, une puissance quelcon- 1 que, quelle îjue soit son énergie, qu’elle soit grande ou petite, peut faire équilibre à ce poids W, pourvu que la dis— tance,de la puissance au centre soit tellement réglée, que le produit du nombre • qui représente l’énergie ou le poids de cette puissance , multiplié par le nombre qui représente la distance au centre, soit* égal au produit du nombre qui re- - présente, le poids du poids ou de la résistance, multiplié par le nombre qui représente. la distance du pouls au centre.

Il est évident que les efforts de la

Ï missançe et. du poids pour. faire tourner c cor]5s A BD E autour de son centre, seront les mêmes , en quelque point des lignesGm et F m ' , que les forces soient appliquées. Il en serait de même si on les appliquait en des points quelconques des lignes G n et F n' au-dessus des points G et F. - .

, Il en résulte donc qu’en estimant les distances auxquelles la puissance ej, le poids se trouvent du centre , il, ne faut point s’occuper de leur distance réelle

du point de suspension , mais de là distance à laquelle se- trouvent du centre C les perpendiculaires ni n et m' n!

sur lesquelles agissent là puissance et le poids. Ainsi, par exemple, si la puissance était appliquée en n , et la résistance en ni, leurs distances au centre seraient toujours les lignes G C et F C.

Ce serait la même chose , si les directions de la puissance et du poids n’étaient pas parallèles, comme dans l’exemple précédent. Car, leurs distances au centre de mouvement s’estimeraient encore, par des perpendiculaires tirées, du centre de mouvement sur les directions de la puissance et du poids.

Soit L ,fig. 2 , pl. I— II , le point d’apiplication du poids , ou de la résistance W : faisons passer sur une poulie H , la corde qui soutient ce poids.

Soit la puissance P, agissant également en K, au moyen d’une corde passant sur une autre poulie I. Dans çe cas, L II est la direction du poids ou de la résistance W, et Kl, celle de la puissance P. Traçons les lignes C G et CF perpendiculaires à ces directiôns; et les conditions d’équilibre seront les mêmes ; c’est-à-dire, que le produit de la puis-

sance P ou du nombre qui représente • son poids, par la grandeur de la perpendiculaire C G, ou le nombre de pouces qu’elle contieut, doit être égal au produit du poids W , ou du nombre qui le représente parja grandeur de la perpendiculaire CF ; c’est ce qu’on peut facilement démontrer par l’expérience.

De, tout ce que nous venons d’établir, il résulte que l’effort d’une force quel-.' conque pour faire tourner un corps autour d’un axe , doit être mesuré en multipliant cette force par la perpendiculaire tirée, du centre de mouvement sur sa direction. Le produit de cette multiplication prend le nom de moment de cette force autour de l’axe. C’est un principe d’une telle importance , que nous croyons devoir y donner quelques développemens.

(g) Pour établir d’une manière satisfaisante que l’effort que fait une force pour faire tourner une machine autour d’un axe, est mesuré par le moment de cetté force, nous devons prouver que, si le moment est ou doublé, ou réduit à moitié, ou augmenté ou diminué dans une proportion quelconque , l’efficacité de cette force est ou doublée ou réduite à

moitié , ou augmentée^ ou diminuée exactement dans le même ^apport. C’èst ce que l’expérience peut 'facilement prouver. -

$i le poids W agit perpendiculairement à la ligne C F , nous pouvons affirmer, comme une térité évidente de soi même , que , si ce poids est ou doublé „ ou réduit à moitié , ou augmenté ou diminué dans quelque proportion que ce soit , son effort pour faire, tourner la machine autour du. centre C sera on doublé, ou réduit à moitié , ou augmenté ou diminué dans' le même rapport* > Si la puissance P agissant à la dis— > tance C G du centre C , fait équilibre au poids W, agissant \ la distance CF du même centre , c’est qu’alors le produit de P x C G est nécessairement égal au produit de W x CF. . / . . f

Maintenant, supposons que la. puissance P, ou sà distance au centre C, ou même toutes deux., soient .tellement augmentées , que ïcpnoment de. P x Ç G soit doublé: il - est éyident que , pour conserver l’équilibre , le moment de W x C F doit aussi être doublé ; et que, si Ton conserve la distance C F, il faudra doubler le poids W. Il en résulte donc

Mceaniq. 2

. que le double moment de P x CG, fera équilibre à un poids double , agissant à la même distance CF, et que , par conséquent , . il aura un double effet pour faire tourner la machine autour de son .centre C.

On peut prouver exactement , par le même raisonnement, que quelle que soit la manière dont on fasse varier le moment de P x C G, soit en changeant le poids de la puissance P, ou la distance C G, ou tous deux à la fois, on doit faire éprouver au poids 'W un changement proportionnel, si la distance E F reste la même ; mais l’effort pour faire tourner la machine autour de son axe est , dans ce. cas , proportionnel aù poids W.

(to)De ce qui vient d’être exposé, nous pouvous conclure que l’effort d’une force quelconque , pour faire tourner une machine autour de son axe , ■ est exactement mesuré par le moment de cette force autour de l’axë.

Il en résulte en outre que , si plusieurs forces tendent à faire tourner un corps quelconque autour, d’un axe,' elles le tiendront \ én équilibre , si la somme des momens de ces forces qui tendent à faire tourner le corps dans une

direction , est égale à la somme des momens des autres forces qui tendent à le faire tourner dans la direction Contraire : car, d’après ce que nous venons d’établir et de prouver,; la somme des efforts qui tendent à faire tourner le corps dans une direction fera équilibre à la somme des efforts qui tendent à le faire tourner dans une direction contraire.

L’expérience suivante fera • mieux comprendre ccttç définition ; la plus générale qu’on puisse donner du levier.

Soit,y?g\ 3, pl. I-II, un plateau circulaire tenu dans une position verticale et pouvant tourner sur un axe horizontal C. . Attachons aux points A, B,D, E et F des cordes tendues par des poids daifs diverses directions, et passant sur des poulies fixes, ainsi que le représente la figure. Laissons le plateau abandonné à l’action de ces divers poids , jusqu’à ce qu’il se soit mis de lui-même en équilibré. Alors, tirons, du centre C les lignes C a ? C b, C d, Ce , etc».,, perpendiculaires à la direction des cordes , et mesurons la longueur de ces lignes.

Multiplions les poids A', B 7 X D' par la longueur des perpendiculaires C a, C b,

C d. , et les produits 1 A' x C a, B' C b, D' x C d, exprimeront l’effort de chacun de ces poids pour faire tourner le plateau dans une direction. \

. Multiplions aussi les poids E', F', G' par la longueur des perpendiculaires C ç*, C /, C g et les produits E' x C e F' x Cf, G' x G g exprimeront l’effort de chacun de ces poids pour faire tourner le plateau dans une autre direction.

Maintenant nous trouverons que la somme des premiers produits est égale à la' somme dés derniers; c’est-à-dire, que (*)-À' xCa-f-B' x G i + D' x G d=E' x C e + F x C/+ G' . x C' g-, ou que là somme des efforts pour faire tourner le plateau dans une direction, est égale à la somme des efforts

•f?) Nous avons; autant qu’il nous a été possible, dans nos divers Traites, essayé de donner nos démonstrations sous la forme la plus familière , dépouillées de tout raisonnement géométrique el de toute notation algébrique. Nous devons néanmoins prévenir nos lecteurs qu’ils faciliteront beaucoup leurs progrès en acquérant quelques notions des premiers élémensde géométrie et d’algèbre. Ils trouveront* ce* notions dans les Traites spéciaux qui feront partie de cette Collection.

DU LEVIER. • 2lj

pour le faire tourner dans une autre.

(11) Jusqu’ici nous avons négligé de nous occuper du poids même du corps ou de la machine, parce que nous avons supposé que l’axe passait par îe centre de gravité. Si cette condition n’avait pas liéu , il suffirait de considérer le poids de la machine elle-même comme l’un des .

poids ou forces qui y sont appliqués, cette dernière ayant une direction verticale et s’appliquant au centre de gravité.

Ainsi , par exemple , dans la dernière expérience , supposons que les poids A', B , 1 ) , E , G sont les forces qui agissent su»' l plateau; soit F son çentre de gravijé, et F' son poids agissant sur la ligne verticale F F 7 qui passe par F.

Dans ce cas rien de ce que nous avons établi ne se trouve changé. La seule dif — * iérence est que le poids F 7 , considéré d’abord comme une force extérieure qui agissait sur le plateau , est maintenant le poids du plateau lui-même, considéré comme concentré au centre de gravité F. ' •>'

(12) Il est à peine nécessaire de dire que si la somme des momc.ns des forces ’ qui» tendent à faire tourner le cdrps dans une direction est plus graritte^ qU<* la

3a > LEVIERS DIVERS.

somme des ràoraens des forces qui tendent i le faire tourner dans la direction contraire^, le corps se mouvra autour de son centre , dans la dirèction de la plus grande somme. /

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