MW: WA ::MD:DL

Mais^ puisque W A représente le frottement correspondant à la pression , représentée par MW, D L doit représenter le frottement correspondant à la pression effective , représentée par M D.

C*est une partie de la force résistante

? [ue doit surmonter l’élément de la orce de traction qui est parallèle au plan. L’autre partie est la tendance du corps à descendre le long du plan incliné; elle est représentée par la hauteur K I de ce même plan.

Du point A , prenons une longueur A O, égale à K. I, puis tirons la ligne O B , parallèle à A M , et, touchant la ligne D L, prolongée jusqu’en B; il en résultera un parallélogramme A L B O , dont le côté A O , est égal au côté opposé L B; par conséquent, la ligne L B^ représente la tendance du corps à 'descendre le long du plan. Cette force ou cette tendance, ajoutée à la ligne D L ^ qui représente le frottement, représente toute la force de résistance que doit vaincre l’élément de . la force de traction qui est parallèle au plan incliné.

En conséquence , si nous tirons la ligne W B , puis la ligne B C , parallèle à la ligne D W , il est évident que W B

doit représenter la force de traction tout entière , puisque W C ( qui est égal à D B ) et W D , sont les élémens de cette force, l’un dans' la direction même du plan^ et l’autre perpendiculaire à cette direction.

Dans cette démonstration , nous avons encore supposé que le nombre de pouces que contiennent les différentes lignes que nous avons tracées , est égal au nombre de livres déterminé par les forces ou les pressions que ces bgnes représentent.

' (ag) Telle est l’analyse du problème à résoudre, lorsque le plan ,est incliné.

Il en- résulte qu’on peut trouver une force de fraction , correspondante .à un angle de traction quelconque , en tirant du point W une ligne dans la direction de la traction,' et qui se termine à la ligne D B , ou à son prolongement. La longueur de cette ligne représentera la force de traction nécessaire.

Si, d’un autre côté, on a besoin de chercher quel est l’angle de traction corresponaant à une force donnée , il suffira de faire tourner , autour du point W , comme centre , une ligne égale à la force de traction donnée

Il4 DES MODIFICATIONS

jusqu’à; ce que son autre extrémité j encontre la ligne O B , et la direction de cette ligne sera celle qu’il conviendra de donner à la force de traction.

Pour trouver le meilleur angle de traction , .il suffit 'de trouver la force, la moins grande possible , qui sera évidemment donnée par une perpen- ' diculaire W B , tirée du point W sur la digne O ü; cette ligne sera la plus courte qu’on puisse tirer du point W à la ligne O B.

D’un autre côté, puisque les trianj‘,les W B 0 et B C O sont semblables , l’angle B W O est égal à l’angle C B Oi et, puisque B C est parallèle, à W M , et B Ô à MA, l’angle C B O est égal à ,W M A. Par conséquent, l’angle B W O est égal à W M A. Or, ce dernier angle est égal à l’élévation que .devrait avoir le plan incliné, pour que le corps se mette de lui-même en. mouvement le long du plan , sans le secours d’aucune force motrice. ‘ ' '

(3o) On, peut obtenir les mêmes ré— .sultats, au moyen de ralgèlire, par. la méthode suivante :

[Soit e, l’élévation du plan incliné j

PRODUITES PA.R LE FROTTEMENT, i l 5

la tendance du corps à descéndi-d le « long de ce plan, sera W sin. e, èt'la pression sera W cos. e. Le frottemeiit résultant de cette pression est donc:

W C06. e tang. X.

L’élément de la force de traction , perpendiculaire au plan, est;

P. sin. a:.

Et la diminution de frottement qui en résulte, est :

P. sin. tang. X. ' ' '

Par conséquent, le frottement loUÎj

est : * • •*"

( W cos. e. ■!— P sin..x ) tjiiiX

^et la résistance totale' à vaincre '^'par l’élément P cos. x de la force dé' traçai tion dans la direction du plan , .est lit somme de ce frottement, plus la'.fofce W sin. e ou la tendance du coi’ps' c'^ descendre le long du plan.

Par conséquent , nous avons l’équation : .

Wsin. e -f- (Wcos. c. — Psin. ^r) tàirg.X

=^PcOS. Xf ' '»•»

Il6 I DES ‘ MODIFICÀTlOirS

A Considérant P et :r , comme Tariable, diflorencions cette équation , et nous oditicndrons : '

— P cos, æ tang. X d x. — sin. x tang. X

dP. = cos. X dP — P sin. X x.

C’est la même équation différentielle

que nous avons obtenue au numéro 26;

et par conséquent, elle donne le même

résultat :

( 3 i) Nous allons maintenant rechercher les limites de la valeur d’une puissance capable de soutenir, en équilibre, un poids donné, sur un plan incliné, soumis aux effets du frottement.

Nous, supposerons d’abord que cette puissa^e agit dans la direction du plap, '

Si l’élévation du plan n’est pas plus grande que celle nécessaire pour que le corps se mette de lui - meme en mouvement, élévation que nous désignerons par la lettre X , il est évident que la puissance , nécessaire pour maintenir le corps en équilibre ,/ n’a pas de moindre limite, puisque , sans le

secours d’aucune puissance, le frottement suffit pour empêcher la descente du corps*

Si le poids de ce corps est représenté par la longueur du plan, la pression: sera elle-même représentée par la base B du même plan.

Désignons , comme nous l’ayons dé> jà fait, le rapport du frottement à la

Î >ression , par i ; B x y* représentera

e frottement ; enfin , la tendance du corps à descendre le long du plan incliné sera représentée par la hauteur H du plan.

La résistance à vaincre par la puissance pour commencer à mettre le corps • en mouvement , est donc :

qui est par conséquent la plus grande , limite de la puissance qui serait capable de maintenir le corps en équilibre.

Toute autre puissance mus grande que celle-ci^ entraînerait le corps, et lui ferait monter le plan incliné.

C’est ce qu’on peut facilement démontrer au moyen d’une construction géométrique.

Soit XojJig. 10, pJ. I-II, la Ion*

Il8 DES MODIFICATIOKS*

gueur du plan incliné qui représente le poids du .corps ; A. C représentera la pression , et B C la tendance du corps à -descendre le long du plan.

- Sur la longueur A B, prenons ladonf gueur A 'ü , égale à la hauteur B C du plan ; du point D, tirons la ligne D E , perpendiculaire au plan, et égale à sa base A C,; enfin , du point E, tirons la ligne E F faisant l’angle DEF, égal à l’angle X , qu’on se rappelle représenter 1 angle que devrait faire le plan incliné pour que le corps se mît de lui-même en mouvement. Nous aurons donc ;

c’est-à-dire, comme le frottement est A la pression j car, puisque D E représente la pression , D F représente le* frottement.

En6n , puisque A D , représente la tendance du corps à descendre le long du plan incliné, et que D F représente le frottement, A F représente une force égale aux effets combinés de ces deux forces , et , par conséquent , la puissance qui les tient en équilibre.

Toute autre puissance ^ plus grande

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que A F entraînerait donc le corps , et lui ferait monter le plan incliné. Donc, enfin , A F représente la plus grande puissance qui puisse agir sur le corps, sans détruire Féquilibre.

Si nous supposons que l’élévation B A G du plan incliné est plus grande que l’angle X , la puissance nécessaire pour maintenir le corps en équilibre , aura une moindre limite : car, dans ce cas , le frottement seul est insuffisant pour ompêcher la descente du corps.

D’après les principes exposés précédemment, la hauteur H du plan, représente la tendance du corps à descendre et B X le frottement qui s’oppose à la descente du corps.

Donc la tendance actuelle du corps à descendre le long du plan est :

qui est par conséquent la moindre

te de la puissance. ^

Si nous désignons , comme au numéro ' 24 » P^r P' la puissance qui ferait équilibre au poids et au frottement du corps , et par P'' celle qui empêcherait Je corps

de descendre le long du plan incliné , nous aurons par conséquent :

F=H-fBx/.

ou bien, dans la construction géométri-

? [ue de la Jig. lo, tirons la ligne EF', aisant l’angle DEF', égal à l’angle X ; et D F' représentera le fi’ottement. Par conséquent, nous aurons r