P' = AF

( 3 a) Supposons maintenant que la direction de la puissance fait un angle avec le plan incliné.

Nous avons déterminé, au moyen de l’algèbre, et par une construction géométrique , au numéro 28 , la puissance qui , agissant dans une direction qui ferait un angle donné avec le plan incliné, serait juste suffisante pour taire équilibre au poids du corps et au frottement.

Par conséquent, si F I 9, représente le poids du corps , et W B la direction de la puissance , la longueur de 1»

PRODUITES PAR Lfe FROTTEMENT. 121

ligne W B exprimera la grandeur de la puissante qui serait juste suffisante pour vaincre le poids du coqis et le frottement ; de sorte qu*un pouvoir quelconque plus grand que W B, agissant daqs cette direction, entraînerait le poids , "^et lui ferait monter le plan incliné. Par conséquent, P' = W B.

Il serait facile de déterminer la moindre limite de la puissance , par une légère modification de la construction géométrique.

Dans la méthode décrite au numéro 28 , au lieu de faire Pangle WMA, égal à X , vers le sommet I du plan incliné, faisons-le, comme dans la fig.

11 ,»/. I-II vers le pied F de ce même plan.

Alors, comme auparavant, la ligne W D , représentant l’élément de la force de traction perpendiculaire au plan , la ligne D L représentera le frottement.

Prenons maintenant A O, égal à I K ; et , du point O , tirons la ligne O B , parallèle à la ligne A M , et rencofatrant la ligne L D , prolongée jusqu’en B.

La force avec laquelle le corps tend à descendre le long du plan , est la

122 DES MODÏTICATIOHS

ciiflFéience entre la portion ou Télément L B du poids du corps , et le frottement L D. Cette différence est D B.

Cette ligne D B doit donc être égale à rélément de la puissance dans la direction du plan ; et puisque W D est l’élément perpendiculaire au plan , la puissance doit être W B.

(33) Ecartant de la construction ces lignes que nous n’y avons introduites que pour suppléer à l’enchainement du raisonnement algébrique , on pourra déterminer , par la méthode suivante , les deux limites de la puissance.

Soit W B jig. Ï-II, la direction

de la puissance ; prenons les longueurs W A et W A' égales chacune au n’otte— ment résultant de la pression du corps sur le plan , le corps n’étant supposé soumis à l’influence d’aucune force mo<^ trice ; prenons aussi les longueurs AO et k! O' , égales chacune à I K ; puis , des points O O' , tirons deux lignes inclinées chacune sur O O' et formant deux angles égaux chacun au complément de l’angle X ; enfin prolongeons la direction de la puissance de manière qu’elle coupe ces lignes en B' et en B.

ï>RODUITES PAR LE FROTTEMENT. 123

Dans ce cas , la ligne W' B' représenleia Xdimoindre puissance capable d*ein- , pêcher le corps de descendre , et W B la plus grande puissance capable de retenir le corps sans lui faire monter le plan.

Toute puissance intermédiaire produirait l’équilibre.

La construction que nous avons donnée ne donne pas seulement , pour tous les cas, les deux limites de la valeur de la puissance qui ferait équilibre au poids d’un corps placé sur un plan incliné ; elle démontre aussi quelle serait la valeur de cette même puissarâCe, s’il n’y avait pas de frottement.

En effet, soit I> le point où la ligne W B' B, coupe la perpendiculaire G H, tirée du point G sur la longueur O O ; W D représentera la valeur de la puissance qui maintiendrait le corps en équilibre , s’il n’y avait pas de frottement.

Car l’élément, de cette puissance qui est •dans la direction du plan est W H; mais, puisque O' G O est un triangle isocèle , •le point H doit être au milieu de la ligne O O'; mais A' O' est égal à A O; •supprimons la longueur A O' de ces deux longueurs, leurs réstes A A' et O O' seront égaux ; et , par conséquent, W A, qui

est la moitié d*un de ces restes, est éçal â

II O qui est la moitié de l’autre. Ajou»toos à tous deux la longe eur A H , et W H est égal à A O qui est lui-même égal à K 1 ou à la force avec laquelle le corps tend à descendre le long clu plan.

Il en résulte donc que l’élément de W H, dans la direction du plan, serait égal à la force qui tend à faire descendre le coi-ps ,' et que W G est par conséquent la puissance qui le tiendrait en équilibré.

(34) Il résulte de cette construction que, si la direction de la puissance est celle de la ligne W G qui passe par le point d’intersection des lignes O' G et O G, les deux limites de la puissance seront les mêmes ; les points B et B' coïncideront et il n’y aura qu’une seule puissance représentée par la ligne W G qui puisse tenir le corps en équilibre. Toute puissance plus grande ferait monter le corps sur le plan, et toute puissance moindre lui permettrait de descendre.

C’est ce dont on peut facilement se rendre raison.

En effet , puisque W A = H O , et que W A représente le frottement ,résultant du poids du coiq)s , H O est égal à ce frot-

PRODUITES PAR LE FROTTEMENT. ItS

tement; puisque l’angle H GO est le complément de l’angle H O G, il est égal à l’angle X , et, par cohséquent, H O est à H G, comme le frottement est à la pression; mais H O représente la pression résultante du poids du corps , donc G H représente la pression. I^'nfin , puisque W G représente la puissance, H G est l’élément de cette puissance perpendiculaire au plan.

Il en résulte donc que la partie de la puissance , qui tend à diminuer la pression , est égale à cette pression tout entière; la pression étant détruite, il n’existe plus de frottement; par conséquent enfin, les deux limites de la puissance sont égales, leur différence, qui est toujours égalé à deux fois les effets du frottement , s’étant évanouie.

Puisque G H est égal à F K et W II à I K ; puisque les angles en H et en K sont droits , il en résulte que W G est égal à F I , et que l’anglé G W H est égal à l’angle F I R ; et qu’enfin , W G est parallèle à IK.

Il en résulte donc que , dans ce cas , la direction delà puissance est verticale, que cette puissance est égale au poids du corps, et qu’enfin , elle le supporte en-

DES MODIFICATIOUS

entièrement et indépendamment du plan.

(35) [On peut obtenir très-facilement les résultats précédens au moyen de l’algèbre , et les formules qu’on trouve ainsi sont plus propres au calcul que les constructions géométriques que nous avons données.

Conservant la notation que nous avons employée aux numéros 26 et 3 o , l’ejffet du frottement résistant soit à l’ascension, soit à la descente .du corps, est

(W cos. e — P sin, x) tang. X.

On peut l’ajouter à l’élément W sin. e du poids du corps dans la direction du plan, afin d’obtenir la force à laquelle doit faire équilibre l’élément de P' dans la direction du plan, et qui doit en être soustraite pour obtenir l’élément de P" dans la direction du plan. Par conséquent nous avons ,

•W sin, e -|-(Wcos. e — P' sin. x) tang.X = P" cos.

PRODUITES PAR LE FROTTEMENT. 12’J W sin. e *— ( W cos. e ~ P" sin. ) tang. X = P' cos. or.

Multipliant les deux membres de chaque équation par cos. X, et observant que tang. X cos. X=sin. X, nous trouvons

W ( sin. e cos.' X -f sin. X cos. e ) — p/ sin. X sin. X = P' cos. x cos. X.

W ( sin e cos. X — sin. X cos'e ) -{- P" sin, .r sin, X = P" cos. x cos. X.

. W ( sin. e cos. X -j- sin. X cos. e) == ’ P' ( cos. arcos. X -f- sin'.'x sin. X ) ,

W ( sin. e cos. X sin. X cos! e) = P'/ Ccoa^:r cos. X — sin. x sin. X).

Mais , d’apres les principes de la trigonométrie,

sin. e cds.^X + sin. X cos. e = sin. (e + X ). ' '

Cos, e cos. X Hh sin e sin X =?

cos. ( e + X ). . •