CHAPITRE Yî

DES MODIFICATIONS QUE LE FROTTE- MENT ET d’autres résistances AP- PORTENT DANS LES CONDITIONS d’É- QUILIBRE.

(23 ) Dans une machine que Ton suppose exempte de frottement, et indépendante de touteautre force résistante, une certaine puissance déterminée ferait équilibre à un poids ou à une résistance donnée , et nous avons expliqué , dans notre second Traité, les méthodes à employer pour déterminer leurs rapports.

Une puissance plus grande que celle nécessaire pour faire équilibre au poids ferait monter celui-ci ; et , si elle était moindre, elle lui permettrait de descendre. Dans ces deux cas, l’équilibre serait détruit.

Ce principe n’est plus rigoureusement applicable lorsque, comme cela arrive toujours en réalité, la machine est soumise aux effets du frottement, de la rigidité, et d’autres forces résistantes, et il faut trouver une puissance qui , entre deux limites déterminées, puisse produire l’équilibre.

, Cette circonstance est le résultat de la nature particulière des forces passives ou résistantes qui , dans quelque direction qu’ait lieu le mouvement ou la tendance au mouvement, prennent toujours une direction opposée à ce mouvement ou à cette tendance.

Si , par exemple , la puissance a une tendance à faire monter le poids, parce qu’elle se trouye plus grande qu’il ne serait nécessaire pour établir l’équilibre, d’après les principes exposés dans notre second Traité, le frottement, la raideur des cordes, etc., s’opposent à cette tendance. Si, au contraire, le poids se trouve augmenté de manière à être plus grand que la puissance, et à tendre à fairç monter celle-ci; les forces résistantes changent immédiatement de direction , et s’opposent aux effets du poids. '

Appelons P la puissance qui, au moyen

d’une nrachine quelconque, ferait équilibre à un poids ou à une résistance W, indépendaininentdu frottement ou d^autres forces résistantes, enfin, d’après les principes mécaniques établis dans notre second- Traité. ‘ - ^

Si l’on aup;mente P, il aura une tendance à faire monter W; mais les forces résistantes s’opposeront à cette tendance; appelons R l’effet de ces résistances. sur P, et nous reconnaîtrons évidemment qu’il faudra augmenter P d’une quantité plus grande que R, pour que P puisse faire monter W.

Au contraire, si l’on diminue P, W aura une tendance à descendre, et, par conséquent , à faire monter P ; mais les forces résistantes s’opposeront à cette tendance , et W ne pourra descendre , à moins que P ne soit diminué d’une quantité plus grande que R.

n résulte donc , de cet exposé , que , pour faire monter le poids , la puissance doit être plus grande que P -j- R , et que, pour empêcher la descente du poids , la puissance ne doit pas être moindre que P — R.

Par conséquent une puissance quelconque dont la valeur serait entre les li-

Mfrcnir] 5. 6

98 DES, MCDIFICATIONS

înites P -f- R et P — » ferait équilibre

au poids ou à la résistance.

Les puissances P -f- R et P — • R , feraient également équilibre au poids ou à la résistance ; mais elles seraient dans un état ài équilibre instable y puisque la moindreaugmen talion de l’un ou la moindre diminution de l’autre, produirait l’élévation ou la descente du poids.

L’augmentation R de la puissance qui fâit équilibre aux forces résistantes , ne doit pas être nécessairement égale à ces mêmes forces , parce que cette augmentation R a?it généralement sur les résistances par l’intermédiaire de la machine, ou d’une partie de cette machine.

L’explication des méthodes au moyen desquelles on peut déterminer cette quantité K y même dans les machines les plus simples, exigerait plus de démonstrations mathématiques, que ne le comporte la nature de notre Traité. Nous exposerons néanmoins quelques-uns des cas les plus simples.

(24) Si un levier repose sur un point d’appui en forme de lame de couteau , le frottement sera imperceptible ; mais il n’en sera pas ainsi s’il tourne sur un axe cylindrique.

Soit y, la quantité absolue de frottement sur cet axe , déterminée d’après les principes que nous avons exposés dans les chapitres précédons j soient rie rayon de cet axe, W le poids ou la résistance, w le bras de levier de la résistance , et P le bras de levier de la puissance.

Pour faire monter le poids , la puissance aura à vaincre le frottement agissant avec un bras de levier r, et le poids^ W agissant avec un bras de levier w. Le momentum de la puissance qui ferait exactement équilibre à ces deux forces serait donc représenté par W x iv + /X r.

Appelons P cette puissance, et nous aurons

. P'x/7 = Wxw-|-yxr

Cette puissance ferait exactement équilibre au poids et au frottement, et la moindre addition qu’elle recevrait , ferait monter le poids.

Si, au consraire , nous supposons que c’est le poids qui descende, il éprouvera une résistance de la part du frottement y, agissant avec le bras de levier r, et

lao

DES MODIFICATIOHS

dont l’effet s’ajoutera par conséquent à celui de la puissance ; appelons , lai puissance qiii , dans ce cas, ferait exac-f teinent équilibre au poids et serait justement suffisante pour eiiipêcber sa descente : nous aurons évidemment

Une puissance moindre que P'' per-^.

méttrait au poids de descendre. Enfin , ces deux puissances P' et P'^ , et toutes les puissànces intermédiaires feraient équilibre au poids.

Puisque P, qui fait équilibre à W, lorsqu’il n’y a pas de frottement, est égal

vy X

, nous avons

qui est la limite de l’augmentation ou de la diminution que peut éprouver la

PRODUITES par le FROTTEMENT. 101.

puissance, sans que l’équilibre soit dé-, truil.

Ces considérations s’appliquent évi-.

deinment au treuil; mais, dans.çe cas, on doit aussi tenir compte de la, raideur, de la corde, conformément, aux prin- .

cipes établis dans le chapitre précèdent; enfin , il en serait de même pour la poulie.,

(?.5) Soitun corps W,y7^. rifpl. I-II,

Î dàcé sur ün’ plan horizontal ; et soit f e rapport' entre le frottement et la près-»-, sion de ce corps sur le plan. Si une force, quelconque le tire dans la direction W A, parallèle au plan, ,et est exaçtement; celle nécessaire pour mettre ce cprps en, mouvement j cet Le force serp^, par ,çon*r,0sé(|uent, égale au frqttei\ient,e^ sera, rer,^ présentée par W'x f, ' ' u< •

Maintenant, suppQsqps, qqe jCe même corps 'W'soit tiré le Ipng.du planj> par, une force qui Vgirait, constaim^ucnt dans, la di'œctibii W IV, form^n^' aÿpci^ IiorizontalV lé même anjg^ i\,;,pe,ttp‘ force produira un doûb|p,éifiet, ainsi qup; nous allons le démontrer. ,

Ti rons les lignes 6 G et de manière à former le parallélograme ,W P„ B C ; la force W B est équivalente à deux

DES MODIFICATIOW»

forces représentées , en grandeur et en direfction, par les côtés W D et W C.

La force W D tend à élever le corps W au-dessiis,du plan , et par conséquent à ditnîdiiér sa 'pression et son frotte— mefilt j tandis que la force W C tend à le faire mouvoir le long du plan.

' ’jPar l’obliquité' de cette traction , il y a’ de’ l’avantage de gagné et de pérdu.

On gfigpe de l’avantage, parce que le frottement à vaincre est .diminué par l’eifet de ’ l’éléçftêiit: .W D ‘ de la traction , qui , agissant de 1>^ eu haut, diminue la pression lèplanV

On perd de l’avantage, parée, que l’élément W C dè la traction) qui' fait a vancei* le.corps’sùr lé‘ plan' est moindre qu'e^ «la 'tl^ctidn entière W B qüi 'aurait toute son é/Réacîte;' si ell^e agissait 'parallèlement au plan. ^ . •

On 'a constaté néanmoins que / pourvu que B ,C ) de la" traction

tiôb‘ bbliJnc'^ c^cs’i-à-B^ faut une

nlbindieToréë^Büt'^nâèttre.le^ corps en mouvemeut, et éop’dhuer'cé mouvement, qu’il ne seràit /nécessaire , si la traction était parallèle au plan. ‘ '

PRODUITES PAR LE FROTTEMENT. lo3

C est donc un problème très-important à résoudre que de déterminer quel est Taiigle de traction qui produit le plus grand avantage, ou avec lequel la

Ï missance qui fait mouvoir le corps le ong du plan , est la plus petite possible.

Ce problème serait facilement résolu au moyen de Falgèbre ; nous essaierons néanmoins de le résoudre par une constructioD géométrique, parce ^que ce procédé est plus élémentaire, quoique inoihs eicpéditif.

^Supposons que la force de traction , déjà expliquée, soit représentée, en gran> deur et en direction, par la ligne W B,

et qu’enfin , elle soit juste ^ sqffis^te poilr mettre le corps en mpuvjjmenf L’élément W C de cette force, sera alors égal au frottement.

J Suppo^ns que, la ligne W A repré— ® quantité de frottement qu’aurait .produit tput ie poids du corps pesant sur le plan , ou si »l’ou veut la qqanf W que nous avons représentée, ainsi, en nous occupant de layî^.. 7 . ?

Puisque W ,C ,• représente la quantité de frottement qui reste après que la pression a été diminuée par. l’élément

lo4 DES modifications

W D dela traction , il en résulte que CA doit représenter la- quantité de frotte*^ inent produite par la pression D W ou B C; et, puisque f exprime le rapport général entre- Iq frottement et la près-, sion , nous avons ;

C A :.CB i. . .

On se rappelle que nous avons déjà démontré au numéro 9, que, si on élevait QU inclinait le plan W A , jusqu’à ce que le corps W commençât à glisser, le rapport entre la hauteur de ce plan , et sa base serait le même que celui du frottenaent à la pression.

Dans le cas actuel, la hauteur du, plan aurait, avec sa base , le' même rapport quela ligne C A , a avec la ligne C B .

Par conséquent le triangle rectangle ' compris entre la base et la haute, ur du plan est semblable au triangle A C' D , et l’angle ABC est égal à l’çlévation du plan qui déterminefait le mouvement du.

corps. - '

L’anglè B A C est le complément de cet angle; or, puisque la ligne W A représente le frottement entier du corps , non diminué par l’bbliquité de la trac-

PRODUITES PAR LE FROTTEMENT. Io5

tion , et puisque l’angle B A W , dépend du rappo/t entre l<i frottement et la près; sion , ces quantités sont toutes deujc 107.

dépendantes de la direction ou de la longtieiir de la ligne W B , qui représente - la force de traction, et restent par conséquent les mêmes, lorsque la force de traction change, soit en grandeur, soit 'en direction.

Nous avons donc ainsi une construction géométrique très-élégante, au moyen de laquelle on peut déterminer la force , rigoureusement suffisante pour mettre le corps en mouvement, dans une direction faisant un angle quelconque avec un plan horizontal.

En efl’et, d’un point W, pris^ à volonté , sur le plan horizontal, tirons la ligne perpendiculaire W M ; puis sur cette perpendiculaire, et ^ur te plan, prenons deux longueurs W M etW A, qui aient enti'e elles le même rapport que celui qui existe entre le frottement du corps et sa pression sur le même plan, de sorte que :