CHAPITRE XX

syslèiiir par rapport aux trois axes, de inénic que S (xY — y.X) sont les sommes des moments des forces (X, Y, Z), et ces trois équations apprennent que ces sommes restent eonstnnics |icndaiit toute la durée du mouvement, ce qui constitue le principe de la conservalion du mouvement de rotation. A ce nouveau point de vue, le plan du maximum des aires relatif à un centre de forces n’est autre chose que le plan perpendiculaire à celui de tous les axes passant par ce point, pour lequel la somme des moments est la plus grande , et la propriété du plan invariable s’énonce alors de cette manière : l'axe de la plus grande somme de moments passant par le centre de gravité d'un système de cor])S en mouvement ou par un point guelcoiifiue agant un mouvement rectiligne et uniforme, reste parallèle d lui-méme pendant ce mouvement et ce plus grand moment est invariable.

1!>I. Principe des forces vires. — On a vu que dans tout système de corps en mouvement, il doit y avoir à chaque instant éiiuilihre entre les réactions dues à l'inertie des dilférents corps, les forces extérieures et les forces inU'-ricures, ce qui constitue le principe de Dalemhcrt ; on peut donc appliquer le principe des vitesses virtuelles à ce système de forces et l’on est conduit ainsi à une équation d’une grande généralité, qui renferme toutes les lois du mouvement d’un système, pourvu que l’on y joigne toutes les équations de condition qui définissent les modes de liaisons, etc.

Avant de poser cette équation générale, observons que si quelques unes des équations de condition contenaient implicitement le teinjis ( ou toute autre variahlc changeant de valeur par une cause étrangère aux forces motrices du système, cette circonstance indiquerait qu’une certaine cause fait varier de grandeur et de position les liens intérieurs, et cette cause serait une véritable force dont il faudrait tenir compte dans l’équation des vitesses virtuelles. Cela posé, soient m, m', m", etc., les masses des points matériels auxquels sont appliquées les forces motrices, (x, y, les coordonnées de ces jioints et par conséquent

— m-~ » — — m^i les forces d'inertie parallèles aux

dt- dp dp

axes, P, P', P", etc., les forces motrices extérieures et intérieures, U, U', IJ", etc. , les forces 10000000*8 dont on vient de parler, produisant les changements de forme indiqués par les équations de condition des liaisons; l'équation des vitesses virtuelles sera

— Z m -7.7 9X — Z m oy — S m -7-. nz -*•

dt*'

. Vfp -t- Z llo'i/ = O,

DYNAMIQUE

«Iiins l.iquollc Sx, ip, sont 'les (l(•pIa^c^)Cll^s inliniinent petits qiieleonqncs de »i et des points d’application de P et de U estimés dans le sens des axes et de la direction de P et ü, et soumis à la seule condition d’étre conipatililes avec les conditions des liaisons.

Cette équation fuit eonnaitre plusieurs propriétés dont jouissent les mouvements d’un système de corps, et qui sont indépendantes de sa forme. Observons que parmi les déplacements virtuels des points du système se trouvent évidemment compris, comme cas parliculier, ceux qui ont lieu en réalité pendant l'instant dt; de sorte qu'en désignant pur ds, dp et du ces valeurs partieiilicrcs de Sp et a'u, ou a toujours

c’est-à-dire,

ïni —ds= SPdp S Ud» ,

1 • rfs . , .

ou bien, en rcmarquani que -y- est égal a r,

lmvdv= iVdp -t- ïUd».

Si on suppose les conditions des liaisons indépendantes du temps et de toute autre variable modificative ijes conditions des liaisons, les forces U seront niilles et il viendra

itnvdv = zVdp.

En intégrant depuis le temps i jusqu’au temps t" et représentant |»ar »•„ et V les vitesses de m à ces deux époques, on trouve enfin

Si on se rappelle les définitions du N“ 1 14, il est visible que cette éijiiation exprime que l'accroissement de force vive d'un système entre deux êpoyues i[uelcon(fucs est égal au double de la quantité d'action développée, par les forces motrices tant intérieures qu'extérieures, dans le même intervalle de temps, fiourru que les conditions des liaisons soient indépendantes du temps.

cu.\i>miK w.

L’équation des forces vives se met souvent sous une forme différente de la précédente. Si dans l’équation des vitesses virtuelles on introduit les coiiiposantcs suivant trois axes rectangulaires fixes (X, Y, Z) de la force P, appliquée au point qui a pour coordonnées (x, y, z) , les moments virtuels seront visiblement X^x, Y^y, Z<?z, et l’équation des forces vives deviendra

ïmu* — smUo* = l (Xdx -t- \dy Zdz).

On a vu aussi (X“ H4) que la force vive gagnée par un corps n’est autre chose que le double de la quantité d’action développée par sa force d’inertie; ce théorème peut donc être énoncé de cette manière : dans tout syslhne de corps en mouvement , la yuantitè d’action due aux forces motrices tant intérieures qu’extérieures, est égale à la quantité d’action due aux forces d’inertie, pourvu que les équations de condition soient indépendantes du temps.

Si les liens intérieurs sont inextensibles, les forces intérieures disparaissent de l’équation des vitesses virtuelles, puisqu’elles se font alors équilibre entre elles (N" 141) et que par conséquent la somme de leurs nioineiits virtuels est nulle (voir la statique, N°!tO). L’accroissement de foi-cc vive est alors égal au double de la quantité d’action des forces motrices extérieures.

S’il y a des liens élasticpies ou des ressorts, en désignant par T leur tension et par t leur longueur, les moments virtuels seront de la forme Td't (N“ 91) et les quantités d'action seront 2 f’Tdt.

192. Conséquences de l’équation des forces vives. — Il est a remarquer que l’équation iirécédenlc ne peut servir à évaluer la force vive que lorsque Pdp est intégrable , c’cst-à-<lirc , lorsque P est fonction d’une certaine variable p dont dp est la différentielle; or on peut toujours considérer 1a force P comme émanant d’un certain centre pris dans sa direction, et en désignant par p la distance au point d’application de la force, il est visible que si ce centre est fixe, la différentielle ou le déplacement virtuel dp qui entre dans l’équation ne sera antre chose que la différentielle de la distance p et l’intégration de Vdp ne sera possible que si P est une fonction de p, auquel cas l'accroissement de force vive sera exprimé en fonction de ces distances p. Pour ce qui est des forces de ressort, l’intégration de Tdt sera toujours possible si la tension est fonction de son allongement. Il résulte visiblement de la forme de l'équation précédente que lorsque

DYNAMIQUE

les Ibrces d’un système sont dirigées vers des points fixes et sont des fonctions quelconques des distances des points d’application à ces points fixes, 1“ l’accroissenient de force vive entre deux époques ne dépend pas des courbes que décrivent les points matériels , il ne dépend que de la forme du système aux deux époques, 3“ la force vive redevient la même toutes les fuis que le système reprend la même forme , ou plus généralement , toutes les fois que les distances entre les points attirants du système redeviennent les mêmes, 4“ si le système est à liens inextensibles et s’il n’y a pas de force motrice extérieure, la quantité de force vive reste invariable.

L'équation des forces vives ne changerait pas s’il y avait un ou plusieurs points fixes ou assujettis à demeurer sur des surfaces ou des courbes; car il faudrait introduire comme forces extérieures, les résistances dans l’équation des vitesses virtuelles, et on sait que ces pressions n’ont pas de moment virtuel dans le premier cas , parce que le point d’application reste fixe, et dans le second, parce que lu force étant normale h la surface ou à la courbe, son déplacement virtuel sera normal à la direction de la force et par conséquent le moment virtuel sera nul. Cette remarque n’est vraie que si l’on ne tient pas compte du frottement. Dans le cas contraire il faudrait introduire un terme de la forme J'îifds, ou plutôt — J'Nfds, N étant la pression, f le coelficicnt du frottement et ds l’élément de courbe décrit par le point d’appui. La dilTércnticlle N/i/s est prise négativement parce que le frottement agit toujours en sens inverse du déplacement. Le plus souvent cette dirTérentielle n’est pas intégrable, mais sa valeur toujours négative indique que celte force détermine une perte de force vive. Il en serait de même d’une résistance duc à la présence de l’air, puisque cette force agit aussi en sens inverse du mouvement.

193. Équation des forces vives dans tes mouvements relatifs. — Dans l’équation des forces vives précédente, les coordonnées et par conséquent les vitesses sont rajiportées à une origine et à des axes immobiles. Si on désigne par («, b, c) les coordonnées d’une origine mobile représentée par un point matériel m’ mu par les forces motrices (A, B, C) et qu’on représente par {x\ y', z') les coordonnées d’un des points m du système rapporté à des axes Y', Z') parallèles aux anciens axes fixes et passant par le point mobile m’, on aura

niAi'iTnE XX.

En substitunnt ccs valeurs dans réipinlion difTércntielIc des forcées > ivos

i*x fl*u (l-z \

,771 'h -+- J = ï ( -X f/x + Y il y H- Zr/z) ,

rellc-ci, apn-s avoir tenu cuiii|itc des éipintinns du nioiivcnicnl du point »r, savoir

, (l*n . , il^b , , d*e