CHAPITRE XX

comprimant; T et dq sont donc de signe contraire, le produit Idq

est négatif cl la somme de tous ces produits ou Z V Tdq est ncccs-

sairement une quantité négative. 11 suit de là que dans un système en mouvement, toute percussion détermine une perte de force vive. Quoiqu’il soit impossible d'intégrer Tdq, on peut cependant trouver

la valeur de l’intégrale définie ( Tdq; représentons par to et w' les

vitesses que la percussion fait naitre dans les points matériels m et m' suivant la direction de la percussion, vitesses qui ne sont autre chose

que — et — si u est la mesure de la peroussion. La force T avant m m

fait naitre la force vive »«ic* -i- m'w'*, on aura

ou plutôt,

parce que \ Tdq est négatif. On a donc pour tous les corps qui

reçoivent des percussions simultanées.

2z ( Tdûf == — Z (mie* m'ie'*)

et par conséquent ,

imv* — ZmV* =

m m J mm

qui apprend que la force vire perdue par suite de percussions , est égale à la somme des carrés des mesures des percussions divisés respectivement par la masse choquée.

Ainsi, si le système se réduit à deux masses m, m' ayant des vitesses primitives v, v' et prenant à la suite de la percussion les vitesses V et V', ou a

mv* wi't’’’ — mV* — m'V’* = «ne’ -t- «l'ie'*

DVNAIIIQUE. 385

et s’il n’y a qu’un seul point qui vient se heurter contre un obstacle extL'ricur fixe ,

— mV* = mto* = — • m

Dans le premier cas la valeur de u doit être celle qui est donnée au N" 178; dons le second, il faudra y faire M', A', B', C' infinis et W' nul , pour exprimer que le corps M' reste immobile.

Le théorème qu’on vient de démontrer est ordinairement énoncé d’une manière un peu différente. Puisque v est la vitesse de m avant la percussion , w la vitesse engendrée dans m par la percussion cl W la vitesse de m après la percussion , il est visible que celle dernière vitesse est la résultante de v et iv; si donc on décompose la vitesse v en deux autres , dont l’une soit V ou la vitesse qui a réellement lieu après la percussion , la seconde composante sera égale et directement opposée à ir. Appelons cette seconde composante , vitesse perdue par m, par suite de la percussion ; l’équation précédente pourra être énoncée de cette manière : ta i/uaiitilé de force vive perdue dans un système en mouvement, par suite de percussions , est éyale à la somme des produits de chaque masse choquée par le carré de sa vitesse perdue. Ce théorème est dû à Carnot et porte son nom.

195. Maximum et minimum des forces vives. — Reprenons l’équation des forces vives , en supposant les conditions des liaisons indépendantes du temps , savoir ;

ïmt'de = sPdp ou Smu* = SsyPd/) C.

Si les forces P sont fonctions des distances p, i J'Vdp sera une fonction de P, p', etc. et la force vive du système atteindra son maximum ou son minimum toutes les fois que sa différentielle, c’est-à-dire imvdv, et par conséquent, la dérivée de la fonction de p, p', p’’..., sera nulle, ou quand les forces satisferont à l’équation

' iPdp = 0,

dont le premier membre est la différentielle de X J’Pdp] or il est visible que celle équation subsistera toutes les fuis que le système, passera par une position telle que les forces motrices appliquées seules, (abstraction faite des forces d'inertie) se feront équilibre cl que par conséquent le système se mouvra pendant un instant en vertu des seules vitesses acquises; car si on applique aux forces P, P', etc.

ciui'iinE XX.

le principe des vitesses virtuelles, en prenant pour vitesses virtuelles les déplacements inriniment petits effectifs opérés pendant l’instant dt, on trouve pour condition de cet équilibre

iVdp = 0.

Il suit de là que tout système en mouvement atteint son maximum ou son minimum de force vive toutes les fois que les corps passent par des positions où les forces motrices appliquées seules se font équilibre par l'intermédiaire des liaisons du système. Puisqu’après le passage par un maximum de force vive, cetic quantité doit commencer à diminuer, et qu’elle augmente au contraire après un minimum, on voit que si à l’une de ces deux époques on imprime au système une force vive totale très petite, dans le premier cas cette somme de forces vives composée de termes essentiellement positifs , ne prendra plus une grandeur finie , tandis que dans le second rien ne limilcra cet accroissement; d’où il suit que dans le premier cas aucun point du système ne prendra une vitesse finie, tandis que dans l’autre, ces vitesses pourront croître indéfiniment. Mais l’accroissement de force vive est égal au double de la quantité d’action des forces motrices; ces quantités restent dune très petites ou peuvent croître indéfiniment dans les mêmes circonstances et comme cellcs-ci sont représentées par les intégrales des forces multipliées par leurs déplacements élémentaires, intégrales qui comme on sait (traité d’analyse, page 281) sont représentées par les valeurs moyennes des forces multipliées par leur déplacement total, ou en conclut que dans le premier cas ces déplacements resteront tous infiniincnt petits, taudis que dans l’autre cas, ils pourront cruitre sans limite, ce qui signifie que s’il y a maximum, le système ne s’écartera qn’iufinimcnt peu de la position d’éipiilibrc, tandis qu’il pourra s’en éloigner indéfiniment quand il y a minimum. On dit qu'un système est dans un état d'équilibre stable, si après l’avoir dérangé infiniment peu de sa position d’équilibre, il ne tend pas à s'éloigner indéfiniment de cette position ; l’équilibre est dit au contraire instable lorsque le système peut s’en éloigner indéfiniment. Il suit de là qn’il y a maximum ou minimum de force vive suivant que les forces motrices sont dans un état d’équilibre stable ou instable.

Cette proposition imporUintc peut être établie d’une manière plus rigoureuse comme suit : su|iposuns que l’on ait

et par conséquent,

OVNAMIQÜK.

ïniu* — = 'Jy (/), /)’, — 'iy (;>o, y),,’, y»J'...,)

ïmtv*, y)a, y>o'.... se rapportant au inonicnt t = 0 où les forces se font équilibre, et imv*, p, p'.... se rapportant h un instant t après le passage (lu système par une position d'équilibre. Remplaçons y;, par -4- X, p, ■+■ si on développe y (p, x, p„' -4- x'....) en

série suivant les puissances croissantes de x, jf, x".... (traité d’analyse N° 124), cette fonction pourra se décomposer en deux parties l’une égalcà y{y»„, p„', l’autrequc nous désignerons |iar{>(x, x', x"....)

et qui s’évanouit avee x, x', x"....; l’équation des forces vives devient ainsi

imv* — imVo* = 21< (x, x', x"....).

Il est visible que est un maximum ou un minimum suivant que 'J((x, x', x"....) est négatif ou positif pour des valeurs croissantes de X, x', x''.... à partir de zéro. Or. je dis ([uc dans le premier cas, si l’on trouble infiniment peu le système en équilibre, c’est-à-dire, si on lui imprime des vitesses l’o, très petites, celui-ci ne s’écartera qu’in-

finiment peu de la position primitive, ou en d’autres termes , que X, x', x".... et par suite -li(x, x-', x"....) toujours négative n’atteindront pas des valeurs finies r, r', r" et ■{( (r, r', r''....); en effet

les vitesses initiales Vo,v„’.... étant aussi petites que l’on veut, on peut faire en sorte que

ïMitv’ < — (r, r', r"....)

et si an bout d’un certain temps après cette perturbation, i, x', x".... pouvait devenir r, r', r”.... on aurait aussi l’égalité

imv’ — ï = 2V (r, r’, r"....).

Celle-ci combinée avec l’inégalité précédente conduirait à

S me’ <[ 0,

résultat absurde, [misqiie le premier membre se compose de termes

tous ))usitif$. Dans le cas du minimum, ’j» (x, x’, x" ) est positif pour

des valeurs ci'oissantcs de x, x”, x".... et Lagrange démontre dans la Mécanique Analytique que ces quantités prennent lu'ccssairemcnt des valeurs finies.

CIIAPITHë XX.

1D(>. Alaximum ou minimum de forces vives dans une machine à poids, à liens inextensibles. — S’il s’agit {l’une niaeliinc ù liens inexlciisihlcs et n’ayant pour forces motrices (jiic des poids, ou peut distinguer le maxiiniiin du minimum par un autre («iraclère. En prenant l’axe des Z vertical et dirigtî vers le bas, et désignant par Z, z', etc. les distanees de m, »«', etc. au plan des (X, Y), on aura , parce (]uc toutes les forces sont parallèles h Z cl égales è mg , m'y , etc. ,

S me* = C -H 2gimz.

Or, si on désigne par M la masse totale et par z, l’ortlonnéc dn centre de gravité , on sait que l’on a

X mz = M;, ;

un a donc aussi

ïme* = C

qui apprend (|iie dans une machine à poids en mouvement, la foix^e vive sera la plus grande ou la moindre possible tonies les fois que le centre de gravité de tous les poids sera le plus bas ou le plus haut possible. Dans ces deux positions les poids se font équilibre cl cet équilibre est stable ou instable suivant que le centre de gravité est le plus bas ou le plus haut possible.

Si par exemple on fait rouler un corps pesant sur un plan incliné, son centre de gravité décrira une courbe et la force vive du corps sera un maximum ou un minimum toutes les fois que ce centre se trouvera placé en un des points de la courbe où l’ordonnée verticale est un minimum ou un maximum.

1!)7. Égualion des forces vives dans les mouvements relatifs. — Supposons le système rapporté par des coordonnées {x,y, :).... à des a.xcs rectangulaires fixes dans l’espace et par des coordonnées (x', y', z')...., & des axes rectangulaires mobiles dans l’espace et parallèles aux premiers. En désignant par (o, b, c) les coordonnées variables de l’origine mobile , on aura

et l’équation des vitesses virtuelles du 191, mise sous la forme suivante, dans laquelle (X, Y, Z) sont les forces extérieures, P les

DYNAHKjl'E.

IVirccs inléricures et p les distances imiluellcs des poiiiLs du système ,

— l m -r— 0 X — £ m 0 II ■ dt* dt*

.m-r-rUZ

dt-

£X-fx -4- £ YJy -t- £Z<fî £P'j/J £U'Jm = 0 devient en substituant,

d*x' , <Z*n , d‘x d*tj' d*b

— £«1—— »x' — £m -T- ix^ — £?»-7-t <fo — £in— PT — £»l

dt* di* dl* dt* ^ dt* ^

fi^tâ (l^z.* (l^c

— £ »t -j4 Jft - s m — sV — £ m T7^t' — X m de -t- £ X (ii -+- -?o)

(Zt* rZt* (Z<* dl* ' ^

-H £Y {ây' -+- JZ») £Z (Jz' -t- <îr) -l- £P!?/4 -i- £ lîa'i/ = 0

ou plutèt, en observant que 3a, communs

, . , . d*x d*ii

pour tous les points du système et que £»i -j-, » £m-^^j-"” sont

égaux è £X, £Y... (N" 183),

dt* dl* •' dt* y dt* J

•4- £ Z Y — m \3ij -»- £ Z Z — ■ m j 3z' -4- £ P3p -i- = O ,

dont la forme est identiquement la même que celle de l’équation jirimitivc, si ce n’est que les rnordonncc.s absolues (x, i/, i) sont remplacées pur les coordonnées relatives (x', y', z') et qu’aux forces absolues

(X, Y, Z) on substitue les forces relatives f X — ) lin conclut

d*ii’ , d*z'

i lit -ï4- VII — £ »i ■;

dl* •' dt*

On conclut

de là qu’en général toutes les projiriéU's des mniivcments absolus d’un système subsistent encore dans les mouvements relatifs; ainsi, si l’on remplace les variations arbitraires ox', 3y’.... vp, vu par les accroissements différentiels dx', dÿ... dp, du que prennent réellement x', y’... p, U pendant l’instant (Zt et qu’on représente par (X', Y", Z') les forees extérieures relatives, l’équation des vitesses virtuelles devient, en

ClitMTIlF. XX.

su|>|)us,int Ip.s é(|(iiiliuiis de eonditioii iiidépendiinlo du temps, re qui l'ail dispaniilrc L',

:l ,lx- -t- dy’ -t- dz'^ = •il (X'dx -\- Tdy'-^rdz') + UPd/i

el si l’on iutè;;rc eelte équation entre deux éptupie.s f et I, en désignmil par i’„' et v' les sitesses relatives du point m à ees deux instants , il viendra

Imv ’ — ï wuv'* == l (X’</.r' -v- ^ 'di/' •+• Z'rfr') -4- 2ï i IV/;>.

Les produits me'*, X'dx'.... et l'intégrale V X'dx' sont ap|)elés |»ar

analogie, la force vive relative du point m, lu quantité d'action relative élémentaire de X' et lu quantité d'action relative de X' entre les époques I' et f; celte équation exprime donc que l'acctoissement de force vive relative d'un système entre deux époques est éijal au double de lu quantité d'action relative des forces extérieures auynienlé du double de la quantité d'action des forces intérieures. Cette équation, qui constitue le principe des forces vives relatives, est en tout point semhlable à celle trouvée au X“ l'.H pour les forces rives absolues. Quand S(X'da' \'dif -i- 7.'dz') est la dilTérenlicIlc exacte d’une fonction f {x't y', z'....) et que P.... sont des fonctions de p..., en désignant |)ar X,’, y„', z.!... p„ les valeurs de x', y', z'... p à l’époque t, elle prend la forme

ïHir'* — lnn\- = 2y (x', y’, z'...) — if (x„', y„\ -i ilyp — il'cpc

el en considérant t comme une épmpie lixe el l comme une époque variable quelconque, on conclut de cette éipiation i]uc la force vive relative Imv'* d’un système reprend la même valeur toutes les fois que x‘,y',z’... et p... reprennent les mêmes valeurs, c’est-à-dire, toutes les fois que les positions relatives des dilférents points du système redeviennent les mêmes. Si le système se meut sans forces motrices relatives et si les liens intérieurs sont inextensibles, (.X', Y', Z').... P.... seront nuis cl la quantité de bm-e vive relative reste invariable.

I!)8. ('sage de l’équation des forces vives dans le calcul de l’effet des machines. Calculer l’elTet d’une maebine, c’est estimer la quan-

DVNAMIQl't. 3!)l

titv (le travail qu'elle peut proiluire peiulaiit uu temps donné. Tout travail d’une tnaeliiiie, dans le sens vulgaire de ce mol, s'oltlienl en surmontant une résistance exercée contre un point en mouvement et ce travail est proportionnel Ji Tinlensité de la résistance et au chemin que <léerit son point d'application dans le sens de celte résisUmec. C'est ainsi que le travail ilcsiiné à élever de l’eau est proportionnel au poids île l’eau et à la hauteur à laquelle elle est élevée; le travail fait par un rabot est proportionnel ù la résistance du bois et au chemin parcouru par le rabot. On peut donc évaluer un travail par le produit d’une l'orcc par un chemin parcouru.

On nomme travail èUmvnlaire d'une force, le produit de ecltc force par la quantité dont elle avance ou recule pendant l’élément de temps (//; un travail élémentaire est donc exprimé jiar Pdp. Le travail de la meme force P pendant un temps fini est la somme des |)rodiiils Pdp prise pendant ce temps, c’est-à-dire, qu’il est l’inlégralc de Pdp prise dans cet intervalle.

Cela |iosé, considérons une machine quelconque dont toutes les parties sont liées jiar des liens inextensibles, afin de ne pas devoir tenir compte des forces intérieures. Parmi les forces qui ajtissent sur celte machine en mouvement, les unes ne sont autres que celles qui y ont été appliquées pour la mettre en mouvement. Nous les appellerons forces mourantes-, les autres |irovicnnenl des efforts que la machine est destinée à produire et des obstacles qu’elle doit vaincre pour rester en mouvement. Nous les appellerons forces résistait les.

Il y a encore une troisième espèce de forces «pii proviennent de ce que les différents points de la machine , ayant aeipiis une certaine vitesse, tendent à la conserver indéfiniment sans altération. Ces forces, qui peuvent maintenir quelque temps le mouvement de la mnehine, se nomment forces d'inertie.

On a vu (N" f4l) que dans tout système de forces à liens inextensibles, le travail élémentaire des forces d’inertie est égal au travail élémentaire des forces motrices; on a doue dans toute machine en monvement, en désignant |>ar m, i/T, etc., les masses des difléi'cntes parties delà machine, par e, r'.... leur vitesse, par P, P’.... les forces mouvantes, par dp, dp', etc. leurs dé|)lacemenls pendant dl , par Q> Q’ï Q ’> clc- les forces résistantes et dq, def, etc. leurs déplacements,

inivdv = iPdp +• iQdq ,

ClIAPITnC XX.

ou en intégrant dejuiis le temps / jusqu’au temps t' et désignant par V, V'.... les vitesses initiales de m, tn, ete.

dans laquelle le premier memhre représente la moitié des forces vives gagnées entre les deux éjioques ou, ce qui est la même chose (X" H4), le travail des forces d'inertie. Remunpions que le mouvement de la mneliiue ayant lieu dans le sens des forces luoiivuntcs et en sens inverse des forées résistantes, il en résulte cpie Pi/p est positif et Qr/q négatif; lequatioii précédente prend donc toujours lu forme

- Sme* — - ïmV* = S \ Ihlp — S \ Qdq.

Telle est réquation générale des forces vives ern|)loyée dans la théorie des machines; elle exprime que pendant un intei'vallc de temps quelcoiupie, la (|uantitc de travail des forces d’inertie ou la moitié de raecroissement des forces vives est égale à l’excès du travail des forces mouvantes sur celui des forces résistantes.

On a donné aux sommes ïP</p et SQf/cy différentes dénominations, telles ipie ciuanlilès d'action élémenlaire.s , effet dynaini>iue , etc. Nous leur laisserons, d'après M. Coriolis, la dénomination de quantité de travail élémentaire des forces mouvantes et résistantes, ou travail moteur et travail résistant.

Ou tire de l’éipiation des forces vives lu valeur suivante :

ï l Qdq = - ^ P'fp — 2 ~ ïmV‘) ,

c’est-ii-dirc, que le travail résistant est toujours égal au travail moteur iliminué de la moitié de la force vive qui a été introdiiilc dans les organes de la machine pendant un certain intervalle de temps.

Si le temps I est compté à [lartir du moment où la machine était immobile, sera nul et il viendra

V l (jdq = ï \ P(/p T îiiir*.

DVNANIQL't.

On voit donc qu’à une é|>uquc quelconque, le travail résistant de la niacliine est inférieur au travail mouvant, de la moitié de la force vive qui l’anime. D’un autre côté, si, à une certaine époque, les forces motrices cessent d’agir et que le inouvcmciit continue par le seul effet des forces d’inertie, on aura |iour le travail résistant olitenu depuis cette cpoi|uc jusqu’à l’entière destruction des mouvements,

l /Qdq =- ïmu*

c’est-à-dire, que le travail résistant fourni par les forces d’inertie est égal à la demi-somme des forces vives qui animaient la machine. Ku rapprochant ce résultat du précédent, on voit qu’en évaluant le travail d’une machine depuis sa mi.se en mouvement Jusqu'au repos, son travail résistant sera toujours égal à son travail mouvant.

Si la force mouvante est un poids P qui descciul et la force résistante un poids Q qui s’élève, P et Q seront constants et il viendra

i ïmu» = P/J — Qq ,

P et q seront évidemment les hauteurs tlont P et Q seront descendu et monté depuis le commencement du mouvement. On tire de là

Qf/ = Pyj - ^ S me»,

c’est-à-dire que, quelle que soit la machine employée pour soulever un poids au moyen d’un autre poids , le produit du poids soulevé, par la hauteur à laquelle on l’aura élevé est toujouis inférieur au produit du contrepoids ()ar la hauteur dont celui-ci est descendu , d’iiiie c|uantité égale à la moitié de la force vive qu’on a communiquée aux parties de la machine.

lO'J. Travail HtUe. Travail perdu. Unité dynamique. — Observons que le travail résistant se compose du travail que la machine est destinée à produire, ou travail utile, et du travail résultant des frotlcnieuts , de la résistance de l’air, etc., qui sont autant de forces s’opposant au mouvenieut. .Si donc on réserve la lettre Q pour les forces qui produisent le travail utile et si on di-sigue par H celles qui proviennent des résistances passives proprement dites et qui ne produisent qu’un travail perdu, il viendra

- ïmr» ■ïmV»=ïi Vdp — si Qdc/ — ï l lldr,

CIIAMTIIt XX.

il’oii l’oii tire

Q(/(y = ïl — sV R(/r — - (ïmr* — SmV‘),

c’est-à-dire, que le travail utile d’une machine pendant un certain temps est égal au travail moteur ditniuué du travail des forces passives cl de la moitié de la force vive qui a clé ajoutée aux orgaue.s de la machine pendant ce temps.

Si les intégrales sont prises depui.s le moment où la inaehine est mise en raouvcmeul jusqu’au luomeut où elle s’arrête, il viendra

= P(/y) — lldr.

Celle équation exprime que le travail utile est toujours inférieur au travail moteur d’une quantité égale au travail des frottements, etc. Comme on ne peut soustraire une maehiiie aux uelions de ces dernières forces, on voit que toute machine produit nécessairement un travail utile inférieur au travail des forces qui la mettent en mouvement.

Il est visible que t /'Qdff représente toujours une force multipliée par une ligne droite parcourue par son point d’a|ipIieation , et comme toute force peut être assimilée à un poids, celte somme peut toujours être assimilée à un poids multiplié par une certaine hauteur à laquelle on l’aurait élevé. Pour rendre ces intégrales comparables dans les différentes machines, on a udo|>té pour unité de travail le produit de 1000 kilogrammes par une hauteur de 1 mètre, c’est-àHlire, qu'une machine aura jiroduit un travail égal à l’unité lorsque sou travail utile sera égal au produit de 1000 k. par 1"“ de hauteur. Ou a donné à ce ]>roduit le nom d’unité thjnamiifue.

200. Principe de la iiuiimlre action. — L’expression générale de la variation d'une intégrale définie (N" 511 du traité d’analyse) conduit à un principe important de mécanique, connu sous le nom de principe de la moindre action qui consiste en ce que, entre deux positions par lesquelles passe à deux é|)oques quelconques, un système de points matériels soumis à l’action de forces motrices, les vitesses acquises et les courbes décrites [lar les différents points sont celles pour Icsiiuelles la somme des intégrales des |iroduits de la masse de chaque point par la vitesse cl par l'éléineut de la eourhe décrite, ces intégrales étant prises ilepuis les premières positions jusqu’aux secondes, est un mini-

nvNAMiyrE.

r,!tri

imim, pourvu que ï(X(/x -v- \ily + Zdz) soit une (liflrrculielle exacte, ou pourvu que les forces vérilicnt le principe de la conservation des forces vives. En d’autres ternies, eelte somme d’intégrales prises pour les courbes que suivent en réalité les points materiels du système est moindre que pour tout autre mode de déplacement entre les deux mêmes positions exlrcnies, obtenu soit en rendant fixes certains points, soit en les assujettissant à glisser sur des courbes fixes, soit enfin en introduisant de nouvelles liaisons entres les points, pourvu (jiie celles-ci soient de longueur invariable. En désignant par (x', tj', z) et (x", s")

les coordonnées extrêmes de la courbe di'crite en réalité par run des points m du système, celte somme est représentée par

T*'' se''

£ l mvds = - 1 wii'j/i -I- ■+■ p^dXf

-x' Jx'

il faut donc démontrer que des variations quelconques infiniment |)clitcs introduites dans la forme des courbes passant par les deux positions extrêmes et dans les vitesses, ne produisent dans l’intégrale précédente aucun accroissement ou aucune variation, c’est-à-dire, que l’on a

l «II! |/ 4 -t- ■+■ P* dx = 0

ee"

I l «ir (/ 1 -i- /)* -i- p^ dx = 0.

Pour le démontrer, remarquons que dans cette somme d’intégrales définies, chaque fonction «lej/l p* + p* contient trois variables fonctions de x, .savoir v, p cl y^fonctions de y et z; on a donc, en représentant mv |/ 1 -t- p^ -h P* par V et en prenant séparément les variations pour chaque point matériel, sauf à les réunir ensuite.

V == iMt'i/ 4 + /;« -H ~ = 0,

(iz

d\ tnvp

dV mvp,

5!Ui ClUPITHB XX.

L’int€g!*alc dt^fînic qui entre dans I^expression de lu vurialion de

çx"

\ mv i/i /'* + P* ‘I" traité d’analyse) est donc

1 / mvp

dx \j/l i

7 \i/i-hp*-t-py

-4- -4- -H A" J dx

ou , en rcinnlacant (/ 1 -♦-/)*+ A, A' et A'' par leur valeur^ »