p'* 4- pl

— : ( Jx" 4- p" 4- p''aî") (a’x’ 4- p'o'y' 4- p;*').

IIY.NAMlyUË.

uu enfin

, „ du" , „ dz" , /dx' , du' . ,

dt dt dt J \dt dt ''

purcc que l’on a

ft

ds"

ir

dx'

di

Comme les positions extrêmes des différents points sont invariables par hypothèse, les variations oV', itj", Sz', etc., Sx', Sy, 3z', etc. sont nnlles et l’on u pur conséquent

il \ mvds = 0,

Jx'

soit

rx"

d’où l’on conclut que £ l mvds est en général uu un maximum ou Jx'

uu minimum.

Il est à remarquer que les termes auxlimites peuventdisparaitreetpar conséquent, qu’il peut y avoir maximum ou minimum sans que les variations Sx", etc. soient nullcs on sans que les positions extrêmes soient

invariahlcs; il simil en general que iml-j^ox -i- -^oy -t- — iz \ S'

nul aux deux limites, ce qui a lieu, par exemple, pour deux positions où

les points extrêmes sont immobiles, pnisqn’alors les vitesses «fc.

sont nullcs. Cette condition est aussi remplie dans les positions du système où les quantités de mouvement des points extrêmes se font équilibre, puisque les équations des vitesses virtuelles, appliquées à ees quantités de mouvement ou à des forces équivalentes, sont visiblement

Comme des quantités de mouvement appliquées à des points fixes sont aussi détruites, on peut dire d’une manière générale que dans le mouvement d'u/i système, 1 J' mvds a une valeur maxima nu minima entre deux positions pour lesquelles les quantités de mouvement extrêmes , appliquées seules aux points matériels extrêmes, soit fixes, soit variables, s’entredétruisent. Cette propriété subsisterait

CIIAI'ITHE XX.

encore si quelques-uns des points étaient assujettis à demeurer sur des surfaces; car dans ce cas tous les raisonnements précédents seraient encore vrais et par conséquent 1a variation de l’intégrale définie s’évanouirait encore. Quand le système se réduit à un point matériel glissant sans force motrice entre deux points fixes sur une surface, on sait que la vitesse est constante; d’où il suit que c’est alors y ds, e’est-ü-dirc, l’are s décrit qui est maximum ou minimum.

La somme d’intégrales 1 \ mvds peut être mise sous la forme 'x'

l linv*dt en remplaçant ds par vdt, et comme ïmr* est la quantité de

force vive qui existe à une époque quelconque, on voit que le principe de la moindre action consiste en ce que le passage du système d'une position donnée à une autre position donnée se fait de manière que la quantité de force l’irc intégrée par rapport au temps entre ces limites, est un minimum ou un maximum. Si le système se meut sans forces motrices, on sait que imc* est invariable et l’intégrale définie devient

ïnn;’ l dt = (t" — f) ïmii* ; c’est donc alors t" — (' qui est maxiininn

ou minimum, c’est-à-dire, que le passage d’une position à l’autre se fait dans le moindre temps possible.

Nous ne nous arrêterons pas à rechercher les caractères généraux auxquels un peut reconnaître qu’il y a maximum ou minimum, parce que cette distinction sera ordinairement facile dans chaque application. Bornons-nous à remarquer que, sauf quelques cas particuliers tels (jue ceux où les points sont assujettis à demeurer sur des surfaces fermées, les questions en général ne comportent jias de maximum, attendu qu’il est visible qu’on peut faire croître indéfiniment ces intégrales en allongeant les courbes décrites.

201. Applications du principe de la moindre action. Lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière. — Le principe de la moindre action peut servir à trouver les équations du mouvement d’un système de corps ; mais comme son existence est soumise à de nombreuses restrictions, son usage est beaucoup plus borné et moins commode que celui du principe des vitesses virtuelles. Nous nous bornerons à l’appliquer à 1a recherche de la loi de la réflexion et de la réfraction de la lumière dans l’hypothèse de l’émission.

DYNASIQUK.

Supposons qu’iiiio niulécule lumineuse émanée d’un point B (fig. Hcji^ soit réllécliic par Taxe des X au point D et arrive au point C; soit m sa masse, BDC sa Irajcetoirc et s une portion quelconque de sa longueur comptée à partir du point B et r la vitesse de rémission. On devra avoir entre les points extrêmes B et C,

mvds = 0 ou bien

(wreeque le rayon restantdans le même milieu, la vitcssce est constante;

maisl (h n’est autre chose que le ehcniin total parcouru, c’est-à-dire,

BD -f- DC ou s -H s’; ou a donc

ou bien en rejirésentant AD par x,

o[j/{x — x')* -h ,/•> H- y/{x" — xy + y"'] = 0.

En prenant la variation ou la (lifFérrnliclIc par rapport a x, on trouve X — X x" — X

e’est-à-tlire ,

X — x’ x' — X hl) cl)

t= ou - =

s s BD CD

Cette proportion fixe la position du point D et il est facile d’en conclure que les angles d’iiiciilence et de réflexion BDb et CDc sont égaux.

Si la molécule lumineuse émanée du jioinl B arrivait au point C' en passant d’un milieu dans un autre séparés par l’axe des X, en appelant U la vitesse constante de la propagation de la lumière dans le premier milieu et v' dans le second , l’équation de la moindre action donnerait encore

* 9i nwds — 0,

d’où l’on tire en prenant l’intégrale d’abord depuis B jusqu’à I) et ensuite depuis D jusqu’à C,

^(rs uV) = ü.

011 lire (le là comme |>ri!C(;(lcmmcnt

(î (v \/(x — x')* y'* -t- u' >/iX" — x)* -f- y"*) ^ 0 ,

cl en elTcctiianl la dilTéi-ciUiation ,

on bien

Db

üc'

Il — = t>

ÜI) C'I)

EE' (itaiU une normale à Taxe des X, on a

Dft

De'

in DDE = sinC'ÜE'=,

il vient donc

$in UDF, v’ sin diF “ V '

Comme v et v' sont des constantes , on conclut de là que le rapport des sinus d(^ angles BÜE et E'UC' est invariable et par consi^quent que dans le passage dn rayon lumineux d'un milieu dans un autre, le rapport des sinus des angles d’ineideiicc et de réfraction est invariable.

CHAPITHE XXI.

Théorie ilii rlioc des corps él.ssliques ou impnrraitemcnl élastiques. — Mesure du choc de deux corps. — Choc de deux sphères. — Ilélermination par l'cxpéricncc du eactliiicnl d'élaslicilo dans le choc de deux sphères.

202. Théorie du choc des corps élasliques ou impurfaitenienl élaslitjites. — Jusqu’ici ou a supposé que lorsque deux corps viennent SC clioqucr, ils s’aplatissent d’une certaine quantité nu point de contact et que pendant celte compression il se développe entre eux une force variable de grandeur, qui finit par s’évanouir quand la compression est à son maximum. Nous avons appelé ce phénomène percussion ; mais dans tous les corps connus, cette percussion est suivie d’un autre phénomène qui consiste en ce que, après la compression , les deux corps tendent à reprendre en partie leur première forme , en recommençant à se presser mutuellement avec une certaine force qui, après avoir été en croissant pendant quelque temps, finit aussi par s’évanouir. Nous ap])ellcrons choc rcnscmhlc de ces deux elTcts. Si cette seconde compression n’avait pas lieu, ou si les corps ne tendaient pas à reprendre leur j)rcmièrc forme après la percussion, les corps seraient dits non élastiques. Cette seconde partie, qui constitue la détente des corps, est diic à leur élasticité. Tous les corps sont doués de cette propriété, quoique à des ilegrés bien différents; tous tendent à reprendre leur première forme en exerçant de nouveau un effort |)lus nu moins énergique contre ceux qui ont servi à les comprimer; mais en général ils ne reprennent qu’en partie leur forme primitive, et le rapport de l’étendue de celle détente à l’élcndue de la compression.

CIIAI'ITUfc' \\l.

aussi l)icn que le l’apport tic l’intensité de la pression avant et pendant la détente, forment les éléments essentiels de la mesure de l’élasticité d’nn corps.

Pour soumettre au ealeul le phénomène du clioe, on admettra 1” que pour tous les corps, la durée de la détente est la même que celle de la percussion, 2” que dans les deux parties du phénomène la pression varie suivant la même loi, ce qui suppose que pour des instants également éloignés du moment moyen ou du moment de plus grand aplatissement, le rapport des pressions reste le même; euün 3" que le rapport de raplatissement cl de la dilatation pendant un instant dt également éloigné de l’instant moyen reste invariable. Cela posé, appelons, comme plus haut, e et V les vitesses des corps avant et après le choc, V' la vitesse après la percussion, T cl T, les forces de pression développées entre deux corps à une époque quelconque de la percussion cl de la détente, dq et dq^ les aplatissements réunis des deux corps pendant des instants dl pris à égale distance de l’instant moyen , c’est-à-dire l’allongement ou le raccourcissement du lien fictif qui unit les deux corps. On a vu au X" 194 que si l’on compare le commencement et la fin de la percussion , on a

ïinV'* — imv* = ’i/'Tdq.

D’un autre côté, en comparant les forces vives au commencement et à la fin de la détente considérée comme une seconde percussion, on a aussi

ïwV* — ïmV'*= 2\ T, i/o

d’ou l’on tire en additionnant,

2 Ç rdq + -2 T dq,

Jo ^

2 Tdq — al* T//« ,

Jo Jo

parce que pendant la période de la percussion , dq répond à un rapprochement des deux corps, tandis que pendant la détente, dq répond à un écartement.

— ïme* =

on plutét,

lm\* — imv^ —

DYNAMIQUE

Par hypolhèsc, les rapports ;jf et -p des pressions et des aplatissements pour des moments équidistants de l'instant moyen restent invariables; si donc on les désigne pur ti et n', on aura

= nn'Tdq

et en substituant, la dernière équation des forces vives deviendra

ïmV*

V Hif* = 2(1 — nn')

Dans tous les corps connus, les rapports;» et «' sont inférieurs à l'unité, parce que la détente est toujours moindre que l’aplatissement et que T, est plus petit que T. Il suit de lîi que le facteur constant! — nn' est positif

et comme on n vu (N“ 19-4) que Tdq, et par suite que ( Tdq est une

quantité négative, il résulte de cette équation qu'il y a toujours perte de force vive dans le choc de corps qui ne sont pas parfaitement élastiques. Si »»ctn', d’où dépend le degré d’élasticité combinée des deux corps , étaient égaux à l’unité , auquel eus l’élasticité des deux corps serait parfaite, le second membre serait nul et il n’y aurait pas de perle de force vive; si au contraire n ou ;»' était nul, ce qui indiquerait l’absence de toute détente, il viendrait

comme au N" !94.

On a vu que u étant la mesure de la percussion , on a

2 \ ’l'dq = — mu* — m

il vient donc, en désignant le produit nn' par k*, que nous appellerons coefficient de l’élasticité dans le choc des deux corps m et m',

ïwiv* — ïmV’ = (! — k’) «* — — = (! — k‘) «• f — h »

' ' mm ' \m m' J

qui apprend que la quantité de force in'fe perdue pur suite d'un choc entre deux des corps du système, est égale au produit du binôme ! — k* par le carré de la mesure de la percussion et par la somme

llllAfITRK XXI.

tOli

(les inverses des deux niasses, ou est èriale à la somme de ces produits, s’il y a plusieurs cliors simultanés.

Celte .snmiiie est mille, si Imis les corps sont parfaitemeut élastiques;

elle est é^ale ii lu' { — -r- — , ] si les eurps sont dépourvus d'élasticité. V^ iii m J

Quand le système se compose de deux eorjis m et m' qui viennent se choquer, l’équation se réduit à

mv'

m'v'' — mV* —

et si le système se réduit îi un point matériel exerçant un choc contre un corps fixe, il vient

mv' — wi V* = ( I — k*) — > m

valeur que l’on déduit de la précédente en y faisant m' infini, car supposer m' infini, est l'équivalent de dire qu’il reste fixe, puisque dans les deux cas il restera innnohile malgré le choc. Il est à remarquer que le cüefiîcienl d’élasticité A* n'est pus absolu pour chaque corps, mais dépend de la natiu'c des deux corps en contact et doit être déterminé par expérience comme on le verra plus loin.

205. Mesure du choc de deux corps. — L’hypothèse que nous avons faite au numéro précédent sur le rapport entre les forces de pression des corps choquants pendant la détente et pendant la percussion, conduit immédiatement à lu mesure du choc, c’est-à-dire de la quantité de mouvement que le choc communique au corps choqué, comme nous avons déterminé plus haut (>'"• 133, 178, 179) la mesure u de la percussion; il résulte en effet de l'invuriahilité de ce rapport, que les quantités de mouvement communiquées pendant un même instant dt sont aussi dans le rapport constant n, <iui sera aussi celui des sommes des quantités de mouvement engendrées pendant chucunc de ces deux périodes. I.a quantité de mouvement engendrée pendant la percussion étant «, celle qui l'est pendant la détente sera donc nu et la quantité totale de mouvement duc au choc, c'est-à-dire sa mesure, sera n -4- nu := U (I »i). Celte valeur devra être substituée à u dans les formules des N“* 1 55 et suivants pour avoir les circonstances du mouvement après le choc. La valeur du facteur n , comme celle de k', n’est pas absolue pour chaque corps, mais est relative aux deux corps en contact , à moins que ceii,x-ei ne soient de même nature.

Les forces qui se développent pendant la détente entre les corps

DVNAIIKJUE.

choquants d'un système devant aussi être considérées comme des forces intérieures , il est visible que les principes de la conservation des aires et du mouvement du centre de gravité (N"‘ 187 et 188) qui sont indépendants de ces forces, subsisteront quel que soit le degré d’élasticité des corps, et si des chocs avaient lieu contre un obstacle ne faisant pas partie du système (N° 187), le centre de gravité se mouvrait de la meme manière que si toute la masse y était concentrée et que ce point reçût des chocs équivalents.

204. Choc (le deux sphères. — Considérons en particulier le cas où une sphère homogène est choquée par une autre sphère homogène et déterminons d’abord les vitesses après la percussion. Comme la normale suivant laquelle agit la percussion passe par les centres des deux sphères, centres qui sont aussi leurs centres de gravité, l’on sait (fin du N“ 177) que la percussion ne change rien au mouvement de rotation antérieur des deux corps. Quant à l’équatioii du X* 178, qui donne la valeur de «, elle devient, en désignant par a' et e les angles formés par les directions des vitesses V et » du corps choqué M et du corps choquant ni avec la normale commune ou la droite qui joint les deux centres au moment du couUict ,

V cos a -4- = U cos s

qui exprime visiblement que les vitesses des deux corps dans le sens de cette normale , sont égales. On en lire

Mm , „

U = (v cos £ — V cos a).

La vitesse communiquée nu corps .M |>ur rdTct de la percussion ,

ou — est donc

(u cos £ — V cos a')

qui, après le choc entier, devient

(1 1- n) (c cos £ — V cos a').

Cette vitesse devra ensuite cire composée avec V, ce qui donnera pour les composantes totales dans le sens des axes des (.\, Y, Z) de 1a vitesse de la sphère M après le choc, (L, M, N) étant les angles de V a\ec les