CHAPITRE XXII

Ëlats d'ngirgalion des corps. Force moléculaire. Fluides aérirorines ou élastiques. Fluides incompressibles. — Principe de l’égalité de pression. Pression hydrostatique. Pression dans les fluides élastiques. — Pression dans un lluiile incompressible soumis à l’action de forces motrices. Conditions d’équilibre d’une masse fluide. — Pression dans les fluides élastiques soumis à des forces motrices. Conditions d’équilibre d’une masse fluide élastique. — Equation de la surface libre dans un fluide incompressible. Surface d’égale pression. Couches de niveau.

— Kquilibre de plusieurs fluides imcoiiipressibles dans un niéiiie vase. — Equilibre d’une masse fluide élastique de température uniforme ou variable. — Loi des densités. — Problèmes divers. — Pression atmosphérique. .Mesures barométriques. — Applications aux fluides pesants. — Centre de pression pour une paroi plane. — Pression sur une paroi courbe. — Pression contre un corps plongé. — Equilibre d’un corps flottant. — l’osition d’équilibre d’un corps flottant. — Application au prisme triangulaire. — Stabilité des corps floltauLs.

— .Métaccnlre. .Applications. — Oscillations des corps flottants. Oscillations du centre de gravité. — Oscillations autour du centre de gravité. — Théorie générale des oscillations d’un corps flottont. — Oscillations des différents )wiuts d’un système de forme variable. Principe de la superposition des petites oscillations. — Applications au prisme triangulaire et au pnrallélipipéde.

200. États d'agreyalion des corps. Force moléculaire. Fluides aériformes ou élastiques. Fluides incompressibles. — Pour rendre compte des difTcrcnts états d’agrégation des corps cl des plicnoincncs qui en dépendent , on suppose les corps composés de particules retenues à une certaine distance les unes des autres, par la double action très énergique de forces attractives et de forces répulsives. Les forces attractives résident dans chaque particule; elles diminuent rapidement quand la distance augmente, et leur sphère d’activité ne s'étend qu’à lie très petites distances, de telle sorte qu’elles n’agissent qu’entre les

DYNAMIQl'E.

particules immëdiatcmcnt voisines. Les forces répulsives dont l'intensité diminue aussi quand les distances augmentent, sont attribuées ii la présence du calorique qui, en se plaçant dans les vides laissés entre les particules, tend à les écarter; ces forees augmentent par eonséquent avec la quantité de ealoriqtie et diminuent lorsque le volume du corps augmente, le calorique restant le même. La diflérenee des deux forces qui agissent entre deux particules voisines, se nomme force moléculaire. Quand le eorps est dans un état permanent sous la seule action de ces forces, c’est-à-dire, dans un état d’équilibre intérieur, les forces attractives et répulsives doivent être égales pour se détruire ; mais si l’on change la forme du eorps et par conséquent, la distance entre certaines particules, ou si l’on accroit ou diminue la quantité de calorique, les forces moléeulaires tendent à devenir positives ou négatives ou à rester nulles suivant que le corps tend h reprendre sa forme primitive, qu’il s’en éloigne indéfiniment ou qu’il est indilTérent à ce changement, c’est-à-dire, suivant que l’équilibre entre les forces moléculaires dans l’état permanent, est un équilibre stable, instable ou indifférent, ce qui dépendra de la distance particulaire et de la quantité de calorique. Cette hypothèse admise, on voit que si la force moléculaire devient positive quand un éloigne deux particules, un effort sera nécessaire pour rompre un semblable corps qui présentera ainsi les différents degrés de solidité, pendant que cette force passera par scs différents états de grandeur positive. Au-delà d’une certaine limite, le corps sera appelé dur; en deçà, il présentera les différents degrés de viscosité indiqués par les mots mous, visqueux, etc. Si la force moléculaire devient négative, les particules tendront à s’éloigner, comme cela a lieu pour les liquides au moment ou ils commencent à s’évaporer. Si la force moléculaire est constamment négative, les particules s’éloigneront indéfiniment, à moins qu’une force extérieure n’y fasse obstacle, ou à moins que la matière ne soit renfermée dans un vase clos. Le corps est appelé alors fluide aériforme. L’air atmosphérique et les différents gaz nous offrent des exemples de semblables corps.

Si un semblable fluide passe dans un vase plus grand ou plus petit, sa densité ira en augmentant ou en diminuant dans le rapport de la capacité du vase et la force moléculaire ainsi que la pression contre une portion de la paroi du vase diminueront ou augmenteront dans les mêmes circonstances, puisque les distances entre les molécules augmentent ou diminuent. La loi suivant laquelle varie cette pression

tu

ciiAcmit; XVII.

dépend de la iialurc des forres iiKilécidaires ()iii nous est totalement ineonniie; mais Mariette a constaté par expérience que pour un même fluide, le rni»i)ort de l’intensité de la )iression à la densilé reste invariable , quand la temi)ératiire reste la même.

Enfin, lorsque la force moléeidaire reste nulle après la perturbation, les particules ne tendent ni à se rapprocher ni fi s’éloijjner; elles sont doni‘ dans un état de mobilité parfaite et le moindre effort suffit poulies faire glisser les unes contre les autres. Le corps prend alors le nom de /l'qniV/c. On eoneoit [lourqiioi des forces motrices extérieures, telles que la ]iesantenr, des pressions, etc., ap])liquées à un corps solide ou liquide, ne diminuent ni n’augmentent sensiblement les distances entre les particules, on n’en ebangent pas le volume ; un changement dans ees distances ne s’obtient ipi’en surmontant la force moléculaire, ee qui ne peut se faire avec des forces motrices ordinaires parce que, dans ces deux états d'agrégation, la force moléculaire croit avec une grande rapidité quand la distance varie. Dans les fluides aériformes, an contraire, des forces motrices ordinaires suffisent pour en diminuer le volume, ])arce que la grande distance qui sépare les molécules dans eel état d’agrégation rend les forces intérieures comparables à la pesanteur. Cette circonstance a fait donner aux liquides le nom de fluides incompressihles par opposition aux fluides aériformes qui sont nommés fluides rompressibles ou élnslif/ues.

i07. Priucipe de l'éijalilé de pression. Pression Injdroslalûfue. — On appelle liijdroslalifjue la partie de la mécnnitpie qui traite des lois de l'équilibre des fluides. Considérons une masse fliiide incorapressil)le que nous supposons d’abord soustraite à l’action de la |iesantcur et lie toute autre force motrice extérieure. Renfermons-la dans nn vase clos de toute part et percé de deux ouvertures égales et très petites de forme qnelcoii()uc fermées au moyen de deux pistons mobiles dans deux jietits tubes cylindriques adaptés à ces ouvertures. A|>pliquons à ees pistons, dans le sens de l’axe de ehaeun des tubes, deux forces P et P' agissant vers l’intérieur du vase. Chacune des forces tendra à V faire pénétrer le piston ; elles comprimeront donc le fluide en pressant cliaque particule contre ses voisines, et ces pressions .se transmettront de proche en proche depuis la particule placée auprès de l’im des|)istons jusqu'à la particule pincée eoiitre l’autre (pii, à son tour, sera pre.ssé et serait repoussé hors du vase sans 1a résistance qu’oppose la force P' qui y est appliqm-c extérieurement et qui suffira pour maintenir l’équilibre, si elle est égale à In pression exercée par le fluide contre la face

DÏ-NAJIMjLE.

intérieure du jiisluii. l’our trouver le rapport entre ces deux forces 1’ et P' ou, ce qui est la même chose, entre les |»ressioiis exercées [>ar le fluide aux deux points où sont placées les ouvertures, imprimons à la masse Iluide un déplacement virtuel eu laisnnl avancer un des pistons d’une quantité inriniiucnt petite dp', l'autre reculera de dp' et l’équation des vitesses virtuelles duiincra

Pdp — V'dp' = O.

Dans cette équation on ne tient pas compte des forces intérieures, parce (pie le fluide étant incompressible , les particules restent à des distances invariables et par conséquent les liens fictifs qui les unissent sont inextensibles (N“ 141). On ne tient pas compte non plus des pressions des parois du vase, parce que celles-ci étant normales à la surface, tout glissement sur la paroi a lieu suivant une perpeudieulairc à ces prassiuns, et le moment virtuel est nul. On doit aussi poscr

dp = dp,

car si ai est la surface de l’un des pistons, udp sera le volume du fluide déplacé par le premier pistou et udp', le volume de fluide sorti du vase, volumes qui doivent être égaux si le Iluide est incompressible, lin combinant ces deux équations , ou trouve

(P — P') dp = 0

et pur conséquent

qui nous apprend que lorsfjHUiie masse fluide sans forces mi)(rices est comprimée dans un vase, elle exerce des pressions éijales en chacfue point de sa paroi. La même pression est exercée dans l’intérieur de la masse fluide contre une surface égale a celle du piston et pincée d’une manière quelconque; car cette surface peut toujours être considérée comme appartenant à un piston idéal, placé à l’extrémité d’un tube adapté au vase et prolongé dans l’intérieur.

C’est dans cette propriété que consiste le principe de l'éijulité de pression des fluides. Beaucoup d’auteurs, au lieu de fonder riivdroslutique sur une hypothèse relative aux fon-cs moléculaires, admettent le principe d’égalité de pression comme un principe donné par l’expérience et eu font le fondement de cette brauebc de la mécanicpie.

Comme le principe de l’égalité de pression subsiste quelque soit le nombre et la disposition des pistons, on conçoit qu’en les juxta-po-

ClUriTRE XXII.

sant de manière à former un seul grand piston plan, la pression totale que celui-ci supportera est égale à la résultante, c’est-à-dire, à la somme de toutes les pressions partielles ; elle est donc proportionnelle à la surface du piston. Il résulte de là que la pression éprouvée par une portion plane de la paroi d’un vase est proportionnelle à l’étendue de cette surface, et si on représente par p la pression exercée contre un piston ayant une surface égale à l’unité, une autre surface plane égale à u éprouvera une pression totale représentée par wp. 11 faut bien distinguer la pression totale ou la pression effective éprouvée par la surface u, c’est-à-dire up , de la pression que supporte une portion de U égale à l’unité ou p. Cette dernière se nomme pression rapportée d l'unité de surface ou pression hydrostatique et donne la mesure de l’intensité de la pression.

208. Pression dans les fluides élastiques. — Si le fluide contenu dans le vase était compressible, il faudrait, en général, dans l’équation des vitesses virtuelles du N“ 207, tenir compte des moments virtuels des forces intérieures, c’est-à-dire, des forces moléculaires, parce que les particules ne restent plus en général, comme pour les fluides incompressibles, à des distances invariables (N" 141). Quant aux pressions contre les parois du vase, elles disparaissent encore de l’équation d’équilibre, pour le même motif que plus haut; mais si les déplacements dp et dp' des deux pistons sont égaux et en sens inverse, ce qu’on jMUit toujours réaliser dans un mouvement virtuel, comme la capacité intérieure du vase restera la même, le fluide ne sera pas condensé, les distances entre les particules ne seront point diminuées et les forces moléculaires se comporteront comme si le fluide était incompressible; on aura donc, comme au N“ 207,

Vdp -H P'dp' = O ,

ou plutét,

Vdp — Vdp = 0,

parce que dp est égal à dp' et que les moments virtuels Vdp et Vdp' sont de signe contraire. On tire de là

c’est-à-dire que si un fluide élastique sans pesanteur est renfermé dans un vase clos, l’intensité de la pression sera la même partout et daits toutes les directions.

209. Pression dans un fluide incompressible soumis d des forces

DYNAMIQUE

motrices. Conditions d'équilibre d’une niasse fluide. — Considérons de nouveau une masse Iluide incompressible renfermée dans un vase muni de deux pistons et supposons-la soumise à l’action de la pesanteur, ou plus généralement, de forces accélératrices quelconques, ayant X, Y, Z pour composantes parallèles aux axes. En appelant P et P' les intensités des pressions ou les pressions hydrostatiques exercées contre les deux pistons et u leurs surfaces que nous supposerons très petites et égales, les pressions effectives ou les forces appliquées aux pistons seront wP, cvP', et si l’on désigne par dp, dp' leurs déplacements l’un positif et l’autre négatif, par dm la masse de l’une des particules du liquide et par dx, dy et dz les déplacements très petits de dm dans le sens des axes , on aura

— uPdp -H uP'dp' -t- idm (Xdx -i- Xdy -t- Zdz) = 0,

la somme étant étendue à toutes les particules de la masse fluide que le mouvement des pistons fait changer de place. A cette équation il faut joindre la condition de l’incompressihilité du fluide qui est, comme plus haut ,

adp — ciidp',

ce qui lui fait prendre la forme

(P — PO udp — idm {Xdx -4- Ydy -t- Zdz) = 0

La transmission de l’action du premier piston sur le deuxième doit se concevoir de cette manière ; le fluide refoulé par le premier piston et dont le volume est udp, chasse devant lui un volume égal dont il prend la place ; celui-ci prend également la place d’un volume égal poussé devant lui, et enfin celui qui est placé devant l’autre piston le repousse en s’introduisant dans son cylindre. Or si l’on prend pour dm ces volumes invariables successivement déplaces, dx, dy, dz seront les différentielles servant à passer d’un élément à l’autre de la courbe quelconque suivant laquelle se fuit la transmission depuis un des pistons jusqu’à l’autre, et en désignant par p la densité du fluide dans l’un de scs points, on aura

dm = pudp

et l’équation des vitesses virtuelles deviendra

(P — P') udp — ipudp (Xdx Ydy Z</z) = 0 , ou plutdt, en observant que udp peut sortir du signe sonimaloirc

CIIAIM1IIK \XII.

ciiiiiiiic filcleiir coiiiimin el que o csl constant si le lluide est inconi' prcssililc,

I’ = P' p2 (X(/x -4- Yf/ÿ -4- Zdï) ,

et en rcinplaçant le signe sointnutuire i par le signe d'intégration,

P = P' -4- p/(Xf/x -4- Y(/y -4- 7aIz),

(|(ii fuit connaitre la pression P en un point qucleonquc pris soit sur la paroi du vase soit dans l’intcrieur, connaissant le pression P' exercée en un point déterminé, ainsi que l'intégrale de \dx -4- \dtj -4- Zdi prise depuis le point P' jusqu’au point P.

L’équation qu’on vient île trouver donne lieu à une remarque importante. Son existence est nécessaire ctsuflisante pour assurer l’équililirc de la masse fluide, puisepi’ellc n’est qu’une transformation de l’équation la plus générale des vitesses virtuelles. Or, si on compare les pressions P cl P' en deux points infiniment voisins (iuclconqi.es, la dilférence P — P’ sera lu différentielle totale dP de P et l’intégrale J'(\dx -4- \dy -4- 7aIz) sc réduira a l’un de ses éléments différentiels ou \dx -4- ydy -4- ïdz\ on doit doue avoir pour qu’il y ail équilibre,

(/P = P (,X(/x -4- Y((y -4- ïdz) ,

c’est-à-dire, que o (.Xdx -4- \di/ -4- 7.dz) doit être la différentielle totale de la fonction qui représente la pression an point qui a pour coordonnées X, IJ, Z. D’où il suit que P ne peut eontenir d’autres variables que X, IJ, Z cl que par conséquent on doit avoir

■— dx -4- -r- du -4- — dz = n\dx -4- pY(/i/ -4- o7aIz.

dx dij dz ' r J .

D’un autre cùté, eoiunic les deux points voisins dont nous avons comparé les pressions, sont arbitraires, il en résulte que dx, dij, dz sont aussi arbitraires, c’est-à-dire, qu’aucune relation particulière ne peut exister entre les coordonnées (x, y, z) el que par eonsc-quent ces trois variables sont indépendantes. Cette eirconstanec l'cnd nécessaire l’égalité des coellieienls de dx, dij, dz dans les deux membres de l’équation précédente et conduit aux relations

(/!' dP dV

dx ' ’ ’ dij ^ ' dz

çZ,

(|ui sont par conséquent les conditions nécessaires et suffisantes pour

DYNAMIUl'Ë-

iissurtT l'équilibre. Ces conditions peuvent être trniisformécs en d’autres plus commodes en remarquant que si l’on dérive les deux membres de CCS équations et qu’on remarque que

il vient

dxdy f/y (/a: ’ *^**^’’

(/X d\ d\ fiX M

dy dx dz dy dz dx

qui sont les conditions sans les(|uellcs l’équilibre d’une masse iluide serait impossible sous l’action des forces (X, Y, Z).

On a vu dans le calcul intégral (N" 250) que ces trois équations expriment que \.dx \dy Zdz est une différentielle exacte d’une fonction de (rois variables indépendantes ic, y, s; c’est donc de cette condition que dépend l’équilibre de la masse fluide. En désignant par X, y, Z les coordonnées du point où est situé le piston P et par a, h, c celles du piston P', l’intégrale de \dx Ydy -h Zdz prise entre ces deux points ser.i de la forme y (x, y, z) - y (o, b, c) et la valeur de P devient

P = P' + PT {x y, s) — PT (a, b, c).

Cette valeur est indépendante ilc la direction de la pression et est fonction seulement des trois coordonnées x, y, z du point d’application du piston P; d’où il suit ()u'cllc est la meme pour tous les eviindres qui aboutissent au inéiuc point et par conséquent qu’antour d'utt point prÎK dans l'inliTieur d'une niasse fluide, ta pression est la même dans tous les sens.

2t0. Pressions dans les fluides élastiques soumis à des forces motrices. Conditions d'équilibre d’une niasse fluide élu.stiqiie. — Si le fluide était élastique, on ne pourrait plus, en général, supprimer comme plus liant, dans l'équation des vitesses virtuelles les moments virtuels des actions intérieures de particule à particule; mais si on fait en sorte que les déplacements des deux pistons égaux soient aussi égaux, comme la capacité intérieure restera alors la même, le lluiile SC comportera comme s’il était incomi)rc.ssiblc et l’on aura encore pour condition d'équilibre ,

uPdp — uP'dp' — idni {\dx -t- Ydy 7.dz) — 0, le signe somniatoire s’étendant du piston P au piston P', en suivant

r.llAPIIHL XXII.

une ligne arbilraire. Quand on rcniplucc dp' par dp el qu'un observe qu’en prenant pour dm la masse du volume udp rcroiilc par le premier piston , les différentielles dx, dy, dz servent comme plus haut à passer d’un élément du ranal de transmission du mouvement ù l’élément suivant, l’équation des vitesses virtuelles devient

P — P'= -t-/p(Xrfi -I- Yrfy -f- Zdz),

c’est-à-dire, que la différence des deux pressions est égale à l’intégrale f P {\dx \dy ■+- Zdz) prise entre des limites fixées par les coordonnées de ces deux points. La densité p ne peut plus sortir du signe d’intégration comme dans le cas du fluide incompressible, parce que ici celte densité est variable d’un point à l’autre.

On démontrerait, comme au numéro précédent, que cette équation ne peut exister, c’csl-à-dirc, que l’équilibre n’est possible que si l’on a

dï> „ rfP „ dp dy~'^^' Tz

pZ,

d’où l’on lire comme au N“ 209 ,

(f(pX) d{p\) d(pX) djt'Z)

dy dx dz dx dz dy

Il suit de là que, pour que l’équilibre soit possible, la fonction p(Xdx -+■ Ydy -+- Zdz) doit être une différentielle exacte d’une fonction des trois variables indépciidanlcs x, y, z et il vient, comme pour les fluides incompressibles ,

L’on en conclut, comme au N” 209, que la pression est la même dans tous les sens autour d’un point.

2H. Équation de la surface libre dans un fluide incompressible. Surface d’égale pression. Couches de niveau. — S’il s’agit d’un fluide incompressible renfermé dans un vase ouvert d’un cùté , comme il n’exislc de ce côté aucune jiaroi pour détruire la force de pression intérieure, il est évident que dans toute l’étendue de cette surface la pression doit être nulle. Il suit de là que si on prend la différence des pressions en deux points arbitraires de la surface libre, l’intégrale qui la représente J'(Xdx -t- Ydy -i- Zdz) doit être nulle quelles que soient les limites, ce qui exige que l’on ail

Xdx -4- Ydy -+- Zdz = 0

DYNAMIQfE.

Celte équation différentielle caractérise et par conséquent représente la sui-racc libre du fluide. Elle appartient aussi à la surface le long de laquelle les pressions sont égales, et en reprenant les raisonnements précédents, il est facile de reconnaître que cela est vrai pour les fluides élastiques comme pour les fluides incompressibles.

Si on la met sous la forme

dz = --dx--d,j,

elle exprime que la résultante R de (X, Y, Z), e’est-à-dire, la force accélératrice est partout normale à la surface d’égale pression; car la résultante des forces (X, Y’, Z) fait avec les axes des angles e, e', e" donnés par

cos £ = —

cos £'=■—» cos £''=—)

et une normale à la surface dont l’équation différentielle est donnée plus haut, fait avec les axes les mêmes angles. Du reste, ce résultat est évident, car si la force n’était pas normale à la surface libre, clic SC décomposerait en deux autres, dont l’une serait tangente à la surface et ne serait détruite par rien. Il suit de là que si les forces accélératrices se réduisent ù la gravité, comme eellc-ci est verticale, la surface libre et les surfaces d’égale pression sont des plans horizontaux.

On tire de cette équation une autre conséquence importante, qui s’applique aussi bien aux fluides élastiques qu’aux fluides incompressibles. On vient de voir qu’en posant

Xdx -V- \dy -t- Z(/: = O ,

cette équation appartient non-seulement à la surface libre, mais à toutes les surfaces dont tous les points éprouvent la même pression; si donc on divise la masse fluide en un nombre quelconque de couches telles que dans toute l’étendue de chacune des surfaces de séparation , la ])rcssion soit la même, l’équation différentielle précédente appartiendra à chacune d’elles. On peut aussi obtenir les équations de ces surfaces en représentant l’intégrale générale de l’équation différentielle totale exacte par

(ar, y, =) = c ,

et en donnant à C toutes les valeurs possibles dans l’étendue du fluide, l’une de ces valeurs conviendra à la surface libre; les autres a|qiar-

r.ii.n'niiE xxii.

tiendront ù nne drs surfaces intëricnres d'égale pression, normales à la direction de la force acccléralrice. Ces diverses surfaces ont été nommées surfaces d’égale pression et les couches se nomment couches d’égale pression. Si la force motrice est la pesanteur, ces surfaces seront des plans horizontaux et les couches prennent alors le nom de couches de niveau.

212. Equilibre de plusieurs fluides incompressibles dans un même rase. — S’il se trouve dans le vase plusieurs fluides incompressibles de densité différente p, p’, etc. non mélangés, ces licpiidcs en équilibre se disposeront d’une certaine manière et seront séparés par des surfaces que l’on détermine en remarquant que, si le dcuxiènie liquide SC solidifie sans changer de forme, l’équilibre doit continuer à subsister et les pressions resteront les même.? ; on aura donc pour la différence des pressions dans le premier liquide, en deux points quelconques de la surface de séparation,

p — p' = ? y^(X(fjc -I- \dy + Zdz).

Si c’est le premier liquide qui est supposé solidifié, on aura dans le deuxième et aux mêmes points de la surface de séparation,

p — p' = p'y(X(/x + 'idy -I- Zdz) ;

d’où il suit que l’on doit avoir pour toutes limites de l’intégrale,

(p - p') -I- Zdz) = 0

et par conséquent, si les densités sont différentes,

y (Xrfx -I- \dy -t- Zdz) ^ 0 ,

et comme les limites de l’intégrale sont indifférentes, qu’on peut même réduire celle-ci ù un élément différentiel, cette équation cnlrainc la suivante :

Xdx H- Ydy Zdz = O;

d'où il suit que la surface de séparation est une surface d’égale pression dans chaque liquide.

Il résulte de là que si on introduit dans nn vase des liquides de différente densité qui ne se combinent pas, comme le mercure, l’eau, l’huile, etc. ces fluides, à l’étal d’équilibre, devront sc disposer par couches de manière que la pression soit la meme dans toute l’étendue de chaque surface de séparation et que celle-ci soit partout normale à la direction de la force accélératrice. Si la force est la pesanteur,

UYNAHigUE.

CCS surfaces de séparation seront des plans liorizoutaux. L'ordre suivant lequel ces couches de fluides incompressibles se succèdent, reste arbitraire; mais comme on a vu que dans tout système mû par la seule gravité, l’équilibre n’est stable que lorsque le centre de gravité est placé le plus bas possible, on voit que ces couches ne seront dans un état d’équilibre stable que lorsque les fluides les plus pesants seront placés le plus bas.

213. Equilibre d’une masse fluide élastique de température uniforme ou variable. Loi des densités. — On a vu que pour l’équilibre d’une masse fluide élastique, p (Xdx -i- Ydy -h Zdi) doit être une dilTérentielIc exacte d’une fonction des trois variables indépendantes X, ÿ, Z, et l’on sait que lorsque les forces sont des atlraclions dirigées vers des centres fixes et fonctions des distances à ces points, Xdx -t- Ydq -h'/.dz est aussi une diiïércnticllc exacte (voir 114). Supposons que les forces soient de cette nature; en représentant cette dilTérentielIc par du, on a dans ce cas

p — p' = /l'du, (1)

et puisque pdu doit être une différentielle exacte, il est nécessaire (|ue P soit une fonction de m; l’intégrale de pdu et par conséquent p sont donc alors fonctions de m; or l’équation (N“ 211)

F (x, y, z) — C ou M = C ,

C étant une constante arbitraire, représente une des surfaces d’égale pression traversant le fluide et puisque p doit être fonction de « ou de C, on voit que la densité du fluide doit être la même dans toute l’étendue de chacune de ces surfaces d’égale pression. IVi fluide élastique en équilibre et soumis à des forces attractives vers des points fixes, fonctions des distances, se dispose donc dans un vase par couches d'égale pression et d'égale densité. Ce résultat est analogue à celui que nous avons trouvé pour les fluides incompressibles mélangés ; mais il y a entre ces deux cas cette première différence que, pour les fluides élastiques, il ne peut jamais y avoir une surface libre, parce que la pression n’est Jamais nulle, et en second lieu, dans les fluides incompressibles en équilibre, les couches de ilifférentc densité peuvent se succéder dans un ordre quelconque, tandis que dans tous les fluides élastiques que nous connaissons, la densité des différentes couches superposées est déterminée et réglée par une loi; en effet, on sait par expérience que dans un fluide de température uniforme

CIIAPIIBE xxir.

10 rapport - est constant; on a donc- = k et comme on a en différen-

tiant l’cquation (1),

dp = P du,

... . P , „ . dp du . U

11 vient dp = -r du, d ou -i-=-pct en intégrant, log n = - -i- log D

et enfin, à cause de p = ka et de u = C pour une même surface d’égale pression,

qui fait voir encore que p est constant pour une niêriic surface d’égale pression et en outre que p change avec C, c’est-à-dire, dans chaque couche, suivant une loi déterminée, du moins lorsque les forces accélératrices proviennent d’attractions vers des points fixes et que la température est uniforme.

Si la température n’était pas la nicine partout, k ne serait plus constant. L’expérience apprend que le rapport k est alors représenté par A-(l -I- 0,00.373 0), 0 étant la température exprimée en degrés centigrades et k un cocflicient constant pour un inénic lluidc; il viendrait donc

dp du du

p devant être, comme on l’a vu au coinmciiccnicnt de ce numéro, une dp

fonction de «, — sera de la forme 'Jitdu et en substituant et suppri- P

mant du, on voit que 0 doit être une certaine fonction de u ou de la constante arbitraire C. Il doit donc exister une certaine relation eutre û et C, de telle sorte que 0 varie ou reste constant avec C. Il suit de là que la température doit rester la même dans toute l’étendue de chaque couche d’égale pression. Si on connaissait la loi suivant laquelle varie la température d’une couche à l’autre, on connaitrait 0 en fonction de H et en intégrant, ou aurait p eu fonction de u ou de C, c’est-à-dire, qu’on connaitrait la loi des pressions ; d’où l’on conclurait au moyen de

p = L , la loi des densités des couches.

214. Problèmes divers. — Appliquons les notions précédentes à la solution de quelques problèmes et commençons par chercher la forme

ÜYNAMIUUE.

que doit prendre une masse fluide incompressible dont tous les points sont attirés vers un centre fixe suivant une loi quelconque. En prenant ce centre pour origine des coordonnées et en représentant pur > cette attraction, on a pour les composantes de X parallèles aux axes,

X, y, : étant les coordonnées du point et r sa distance au centre ; l’équation

Xdx + \dy Idz = 0

devient donc