X - dx -H X - (il/ -H X - di = 0, r r r
ou bien
xdx -+- ydy -h zdz = 0 ,
qui donne
eette équation nous apprend que cette masse fluide doit nITcctcr la forme d’une spbèrc, quelle que soit la loi d’attraction. Si la masse fluide avait un mouvement de rotation autour d’une droite passant par le centre d'attraction , en |)renant cette droite pour axe des Z et en représentant par w la vitesse angulaire de rotation, il est visible qu’un point placé à la distance i de cet axe aurait une force centri-
i*ie*
fuge égale à — y— = /te* dont les composantes suivant les axes des X et des Y seraient xio’ cl i/ie’ et celles-ci devraient ('-tre jointes aux
X fi
composantes — X - cl — X'-^ provenant de l’attraction ; un aurait donc pour équation de la surface ,
. /x(/x -i- ydy + zdz\ , , , , , ^
— A / J -H te* {xdx +.ydy) =» 0.
Le facteur X ne disparait plus, comme dans le cas précédent; il est donc nécessaire, pour intégrer, de connaitre la loi de l’attraction; si on la suppose dans le rapport direct de la distance, elle sera reprcsenlcc par ar, a étant une coustaiitc et l’éiiuation difrérenticlle deviendra
te* (xdx -t- ydy) — ardr = 0,
CHAPITHK \XII.
parce que l’on n
En integraut on trouve
te’ (x’ -t- y*) — ar* = C
cl en rcnicltnnl pour r sa valeur,
te’ (x’ y*) — a (x* + y* -t- z’) = C.
Celle équation appartient à un ellipsoïde ou à un liypcrboloïde de révolution, suivant les valeurs qu'auront les constantes a et u\ Dans le cas de l’ellipsoïde, cette solution conduit ù la détcrniinatioii approchée de la Figure de la terre , car l’attraction de la terre supposée homogène et sphérique, sur un point placé à la surface étant proportionnelle à la masse et inversement proportionnelle au carré de la distance nu centre (N“ 99), est proportionnelle à la simple distance nu centre, puisque la masse d’une sphère est proportionnelle au cube du rayon. Il est ù remarquer que cette valeur de l’attraction et par conséquent In solution à laquelle elle conduit n’est qu’approchée, puisque la valeur de l’attraction est prise dans l’hypothèse de In terre sphérique.
Si l’intensité de ratlraction ). était constante, égale ù g el dirigée ]iarallèlcincnt à l’axe des Z, on trouverait
te’ (x’ >/) — gz = C,
équation d’un paraboloïdc de révolution autour de l’axe des Z. Telle est la forme qu’affecte la surface d’une masse Uuide renfermée dans un vase ouvert auquel on donne un mouvement de rotation autour d’un axe vertical.
215. Pression atmosphérique. Mesures barométriques. — Appliquons encore les formules précédentes à la recherche de la lui suivant laquelle varient la pression atmosphérique et la densité de l’air aux differentes hauteurs. On a vu (N“ 213) que la densité dans toute l’élendue d’une couche d'égale pression pour un lluidc élastique de température uniforme et soumis a l'action de forces centrales , est donnée par la formule
dans laquelle C est une constante arbitraire introduite par rintegra-
BYMAMIQUE.
^'ll
tien, qui particularise In surface d’égale pression à laquelle correspond la densité p. Comme on a
M = /(Xdx -t- \dy ■+■ Zdz) ~ C,
si l’on prend l’axe des Z vertical et dirigé vers le haut et qu’on réduise les forces accélératrices à la pesanteur qui est dirigée vers le centre de la terre , X et Y seront nuis , Z sera égal à — ÿ et il viendra
et par conséquent
C = — gz
qui donne la densitt; p de l'air h une hauteur s au-dessus de l’origine des coordonnées, l’origine étant placée où l’on voudra, par exemple, au
niveau de la mer; alors qui correspond à z égal à zéro, représente
la densité à ce niveau.
Comme la pression p est égale à pA*, celle-ci est donnée par la formule
P = pA = De
ou bien, en désignant par p’ la pression ù l’origine, laquelle est représentée par D,
ps= p'e * " •
Cette relation entre la pression atmosphérique et la hauteur du lieu fournit un moyen de mesurer ces hauteurs par l’observation du baromètre; en effet on sait que la pression atmosphérique est proportionnelle à la hauteur de la colonne de mercure dans le baromètre ; on a donc, h, h' étant les deux hauteurs observées de ces colonnes, correspondantes aux pressions p et p',
L’équation précédente donne aussi
CIlkPITHi; \X1I.
ou birn en employant les logarithmes vulgaires Log., et représentant par M le module 0.4342!!,
Si la lempéraliire était iiniformc dans toute l’étendue de l'atmosphère entre les deux points d’idiservation, cette formule ne laisserait rien à désirer; il sulfirait pour calculer z de remj)lacer k par sa valeur k (\ -+- 0,00375')) et de prendre pour h et h' les hauteurs haromélri(|ucs observées. L’expérience a fait reconnaître que celle uniformité est loin d’exister; non scidement la température est différente en général aux deux stations, mais elle varie entre ces deux endroits suivant une loi qui jusqu’à présent n’a pas été observée. La formule précédente qui sup|iose la température uniforme, n’est donc pas rigoiircuseinent applicable dans le ])lus grand nombre de cas; cependant on se rapproche beaucoup de rexaclitude en supposant la température uniforme et on prenant pour celle-ci la moyenne des deux tcmi)ératures extrêmes I et (' de l’atmosphère aux deux stations ; on remplacera donc k par
Les hauteurs h et h' de la colonne de mercure , sont prises à des températures différentes T et T' données par un thcriuomèlrc à mercure attaché au haroniètrc. Pour réaliser l'hypothèse d’une température uniforme et moyenne, il faudra, après avoir observé h et A', calculer ce qu’auraient été ces liaulcurs, silo température du mercure avait T -+- T'
été la même et égale à — ^ — -, sachant que ]>onr chaque degré de
tcnipéralure, la colonne de mercure se dilate de -rr::r’ Il est visible
oboO
que II et h' auraient été h
et h' ■
et
par conséquent le rapport — devra être remplace par
TïTôô
ÏÎIÔÔ
IIYX.kHIQIJE.
que l’on peut réduire ii y
en effectuant la division et
négligeant les puissances snpcriciires de •. La formule devient
ainsi ,
Log
Le coefficient k a été déterminé directement par expérienoc; en substituant sa valeur ainsi que celle de g, il vient
La valeur que nous avons donnée à g est celle qui convient à notre
climat. Pour rendre la formule barométrique applicable à toutes les
latitudes, il faudrait, comme on l’a vu au N" 12C, remplacer g par
T sin* 0 ....
G — 4ir* - — et si les deux observations étaient faites sous des lati-
tudes différentes, on prendrait pour latitude commune 0, la moyenne aritbinétique des deux latitudes observées. En faisant une application numérique de cette formule au cas où l'on a
/,'==0",763I5, T'=«' = 2.’i%3, 0 = 21* A = 0'*,fi0095 , T = t = 21»,3,
on trouve
21 fi. Applicalioiis uux liguides pesants. — Reprenons l’équation d’équilibre des fluides incompressibles
P == p' -V- aJ'(Xdx Y(/y -4- Zdz)
et supposons que la pesanteur soit la seule force accélératriee. En prenant l’axe des Z vertical et dirigé vers le bas, il vient
l'équation des surfaces de niveau |N" 21 1) devient
ClIU’ITnF. WII.
qui représente un plan horizontal, et In pression est donnée par
P=P' -tr. (Jp{Z — Z')
Z cl z' étant les ordonnées verticales des points où les pressions sont P et p'. On voit que la pressifin au;<inentc avec la profondeur cl si p' est la pression au point le plus élevé, en y plaçant l'origine, on aura
p = p' pyz.
La pression p’ peut jirovenir d’un piston agissant sur le lii|uidc à l'origine des coordonnées. Si le vase est ouvert n sa partie siqiéricure, p' sera nul et p se réduira à
p = pgz,
tandis que si le llnidc est pressé ])ar une colonne d’air atmosphériqne p.ir exemple, en appelant p' la pression exercée ])ar l’air sur l’unité siiperliciclle, la pression à une profondeur z sous le niveau supérieur sera
p=p' + p,jz.
On voit aussi que It étant la profondeur de l'eau dans le vase et m la surface du fond du vase siipposée plane et horizontale, la pression totale P supportée par le fond est exprimée par
P == 2)£i) = pÿ/i . « ;
or liM est le volume d’un cylindre qui a m pour base et h pour hauteur; rcUc pression est doue égale au poids tr un eglindre du h<iuide. qui nuruit pour base le fond du case et pour hauteur celle du liquide. Il résulte de là que ht pression totale exercée par un liquide sur le fond plan d'un vase est indépendante de lu forme latérale du vase.
Considérons encore une ])ortion ce de la paroi du vase, que nous supposerons encore plane mais inclinée à I horizon; 1 intensité de la pression en un point de celte surface placé à la profondeur z sous le niveau est pgz et un élément ds jdacé eu cet endroit, éprouvera une pression pgzds; la pression totale éprouvée i>ar u est donc
pgfzds,
l’intégrale étant étendue à toute la surface eu; or si est l’ordonnée du centre de gravité de m, la théorie des moments donne
utz^ = J zds)
DVISAMIQUB.
rcxprcssimi de lu pression totale devient donc
c’est-à-dire qu’elle est égale au poids d’un prisme d’eau qui aurait pour base la surface plane pressée et pour hauteur la profondeur de son centre de gravité sous le niveau de l’eau.
217. Cvntre de pressiim pour une paroi plane. — Si on conçoit 1a surface pressée, supposée plane, divisée en un nombre iulini d’éléinculs, on jiourra considérer la pression contre chaque clément coiuine une force up|)liquéc en ce point perpendiculairement au plan ; la résultante de toutes ces forces parallèles sera la pression totale que l’on sait être égale à la somme des forces partielles et son point d'application s’appelle r«rt/rc (/c pcess(o;i ; c’est le point où il faudrait appliquer extérienrement une force i‘gale à la pression totale pour lui faire é(piilibre. La position de ce point est facile à détcriniucr au moven de la théorie des moments', en effet AUC ((ig. I l'.l) étant la surface oblique pressée, ,\OY le niveau de l’eau, et XOZ' le jilan de 1a surface pressée, la pression éprouvée par un clément ds placé en M sera fyzds, z étant la profondeur .Ml’; or si on désigne par (i' ;') les coordonnées OQ et QM du point M raiiporté aux axes X et Z', le moment de cette force nu de cctlc pression par rapport à rinlcrscctiun AC du plan oblique par le niveau de l’eau sera
pgzds.z
et en désignant par a l’inclinaison PQM on Z'OY du plan sur l 'horizon et en observant (pic le triangle l’QM donne
i sin « ,
le moment deviendra
sin a.z'^de ,
et si t est l’ordonnée GL du centre de pression G et 1’ la |iression totale, on aura
/P = pg sin a y z'^ds , d’où l = >
l'intégrale étant étendue à toute la surface AUC. Quand on prend les moments des pressions élémenlaires par ra|)port à l’axe des Z' et qu'on désigne par f l’abscisse OL du point G, on aura de même
. ... I shi a , , ,
(P =-= :>g sin a/ zxds , (I ou l -- ■ — - Jzx ds ,
ciiAmnK XXII.
4ôi
l’intégrale étant aussi étendue à tous les points de ABC. Les deux intégrales qui entrent dans les valeurs de l et de l' sont visiblement de la nature de celles auxquelles on a été conduit en cherchant les moments d’inertie des corps, et leur valeur s’obtiendra de la même manière. Quand la surface pressée est un parallélogramme dont la base supérieure est horizontale et placée au niveau du liquide, un trouve que le centre de pression est renfermé dans la droite qui joiut les milieux des deux bases, aux deux tiers de cette droite à partir de la base supérieure.
Pour tenir compte d’une pression p' exercée contre la surface du liquide, il siiilit de remplacer pg^ds par (pgz h- p') ds dans l'expression précédente de la pression élémentaire.
218. Pression sur une paroi courbe. — Lorsque la paroi du vase est une surface courbe, la pression totale que supporte une portion limitée de cette surface, c’est-à-dire la résultante des pressions élémentaires supportées par les éléments dont elle se compose, n’est jilus égale a la somme de ces pressions élémentaires, puisque celles-ci ne sont plus parallèles. Pour la trouver, on décomposera la pression élémentaire pg:ds en trois autres, parallèles à trois axes rectangulaires, qui sont
pgzds cos a, pgzds cos P , pgzds cos y,
(«, p, y) étant les angles formés par la normale à la surface au point (x, y, z) avec les axes, cl les sommes de ces composantes, étendues à toute la surface pressée, sont représentées par
pgj" zds cos a, pg f zds cos p, pg J'zds cos y ;
or ds cos a, ds cos p, ds cos y sont les projections de la surface ds sur les trois plans coordonnés; pgzds cos a et pgzds cos p sont donc en grandeur et en position les pressions qui seraient exercées sur ces deux projections si le liquide était en contact avec les plans des XZ et des XZ, et pg f zds cosa, pg J" zds cos p sont en grandeur cl en position les pressions qui seraient exercées sur des surfaces planes rcpi'éscntnul les projections du contour de lu surface courbe, sur les deux plans des YZ et des XZ. Quant à la troisième composante /pgzds cos 7, comme ds cos y est la projection horizontale de l'élément ds, il est visible que zds cos y est le volume, et pgzds cos y le poids du cylindre vertical de liquide qui s’appuie sur ds et par conséquent p y y zds cos y est en grandeur cl en position le poids du volume
DYNAMIQUli.
de liquide renferme dans un cylindre vertical passant par le contour de la surface pressée et limité d’une part, jiar la surface pressée et d'autre part, par la surface de niveau du liquide. Cette troisième compusaute passe donc par le centre de gravité de ce cylindre cl les deux autres, par les centres de pression des deux projections verticales.
Il résulte de ce qui précède, que la surface pressée doit être, tonsidérée comme soumise à l’action de trois forces parallèles aux aies des ( X , Y , Z ) , les deux premières représentées en grandeur et en position pur les pressions que le liquide exercerait contre les projections du contour de la surface sur les plans des XZ et YZ si le fluide était en contact avec eux, la troisième représentée en grandeur et en position par le poids du volume de liquide contenu dans un cylindre vertical limité supérieurement par le niveau du liquide et inférieurement par la surface pressée. La résultante de ces trois forces, s’il y en a une, sera la pression totale cherebée. Eu général celte résultante n’existera pas et la pression ne pourra dans ce cas être remplacée par une force unique, mais par deux forces ou une force et un couple.
219. Pression contre un corps plongé. — La pression que sup]K>rtc une certaine portion limitée de la surface d’un corps plongé dans un liquide, se détermine comme dans le numéro précédent; mais lorsqu’il s’agit de la pression totale supportée par le corps entier, on y parvient fort simplement par les considérations physiques suivantes : concevons que dans une masse liquide en équilibre, une porlion quelconque de ce liquide vienne tout à coup à se solidifier sans changer de volume ni de densité; l’équilibre ne sera pas troublé et cc noyau solide restera suspendu en équilibre au milieu du Iluidc. Or, ce noyau est soumis à l’action de son poids qui tend à le faire descendre; cc poids est donc égal et directement opposé à la résultante de toutes les pressions élémentaires exercées sur sa surface. Il suit de là que les composantes horizontales de ees pressions s'entredélruisent cl que la composante verticale est égale et opposée au poids du noyau solide, c’est-à-dire qu’elle passe par son centre de gravité. Le théorème de la lin du numéro précédent conduit visiblement au même résultat. Si un remplace le noyau par un autre corps de même forme mais d’une densité quelconque, 1a pression totale restera évidemment la même; d’où il suit qu’un corps plongé dans un liquide éprouve une pression dirigée de bas en haut, égale au poids du liquide déplacé et pa.ssant par son centre de gravité. Il est donc soumis à l’action de deux forces verticales, savoir son poids qui passe pur le centre de gravité du corps plongé
CIIAI’ITRE XXII.
et In pression exercée par le fliiiilc , ijui passe par le centre de ligure du volume ircaii déplacée. Quand le corps plongé est homogène, ecs doux centres se conlondent et les deux forces sont opjiosées; la résultante est donc appliquée en ce point et égale à leur dilfércnec. Si le corps n’est pas homogène, les deux centres de gravité sont en général disliiicts et la résultante, égale encore a la diirércncc des deux poids, est appliquée en un point qu’il faudra délennincr pur la théorie des forces jiamllèlcs. Dans les deux cas, on voit que reffort nécessaire pour soutenir vcrtiralcment le corps plongé ilans le liquide, est égal à son poids diminué du poids du liquide qu’il déplace, cc qu’on exprime en disant (|u’i(« corps filongé dans un liquide y perd une partie de son poids égale au poids du fluide déplacé.
220. EriuiUhre d'un corps flottanl. — Quand le corps est plus léger qu’un égal volume <lii liquide, la pression agissant de lias en haut est snpérienre au poids du corps, qui est repoussé en partie hors du li(|uide jnsqu’i'i ce que le poids du liquide déplacé soit réduit au jioids du corps. Dans cette position, ecini-ei sera soumis à l'action de deux forces verticales égales, passant rnne par le centre de gravité du corps et ranlrc par le centre de gravité ilu llnidc déplacé, c’esl-àdirc qu’il sera soumis à l’aclion d’un couple qui aura pour effet de le faire tourner ou chavirer, et l’équililirc ii’mini lieu que lorsque les deux forces égales seront direclemeut opposées, on bien, lors(|ue le centre de gravité du corps et le centre de figure du volume, d’eau déplacée seront renfermés dans une même verticale. Telles sont donc les conditions d’équilibre d’un corps flottanl à la surface d’un liquide pesant. Lu partie du corps qui est plongée dans le liquide se nomme carène, le plan horizontal qui sépare la carène du reste du corps sc nomme plan de flottaison, et lu verticale passant par les deux centres de gravité, axe primitif'.
221. Positions d'éijuilihre d’un corps flottant, .ipplication au prisme triangulaire. — Puisqu’il est nécessaire et qu'il suffit pour l’équilibre d’un corps lloltaul, que le poids du Iluide déplacé par la carène soit égal au poids du corps entier et que les centres de gravité du corps cl du fluide (pi’il déplace soient renfermés dans une même verticale , il est visible que la rccliercbe des positions d’équilibre d’un corps llottanl donné dépend dans chaque cas de lu résolution de ce problème de géométrie : diviser pur un plan un corps donné en deux parties dont l'une ait un volume donné , de manière que la droite menée d'un point donné du corps au centre de
IIYNAMIQI'E.
fiyiire de ce rxdume, soit perpeodiculaire au plan coupant. Le jilnii coii|innl ro|)rcsPnlc ici le plan de lloltaison, le voliinio donne est celui d'une masse li(]iiide d'un poids écpiivalcnl à celui du corps et le point donné est le centre de gravité du cor]>s llottnnt.
Appliipions cette remarque an prisme triangulaire droit et homogène, placé en é(|uilihrc sur un liquide, de manière que les arêtes parallèles soient horizontales. Comme toutes les sections perpendiculaires aux arêtes sont identiques , les conditions d’équilihre sont indépendantes de la longueur du prisme; il sudira donc de résoudi-e ce jirohlèinc : diviser un triangle AlîC (fig. liiO) en deux parties, telles que le rapport de DCE à AllC soit égal à un rapport donné et que lu droite CG' qui joint les centres de gravité de ces triangles soit perpendiculaire à DE. Désignons par p et f les densités de l’eau et du prisme, par a, b, c les trois angles du triangle, par /, m, n les trois côtés op|)osés, par a:, y les longueurs inconnues DC et CE. Soient F et F' les milieux des rôles .Ml cl DE, G et G' les centres de gravité des deux triangles ACE cl DCE. Connue les aires de ces triangles sont dans le rapport des produits AC. CB et DC.CE, on a pour première équation de condition
xy = - /m.
D’un autre côté, les droites (îG' et FF' étant parallèles, celle dernière doit être perpendiculaire au milieu F' <le DE et par consécpient les deux ohliqucs Fl) et FE doivent être égales; or les triangles AEF et DBF donnent
DF* = (/ — x)* ^ — x) « eos b
EF* = (»/ — yY — {'" — y) » ‘■'is a ;
on a donc pour seconde rondilion
(/ — x)* — (/ — x) n eos b — (iii — y)* — (wi — y) « eos a.
Cette équation , jointe à la première, servira à déterminer x et y.
Si le triangle ABC avait deux de scs sommets jilongés dans le liquide, en considérant .AEDB comme étant la carène, il faudrait pour l’équi-
libre que le ra|qiort de ABC à AEDB fût égal à —, et que leurs centres
de gravité fussent places dans une droite perpendiculaire à DE. La
CHAPITHK XXII.
première condition exige que les triangles ACB et DCE soient dans le riqiport de p à p — p', c'estrà-dire que l’on doit avoir, en conservant les memes désignations que précédemment,
Quant à In seconde eondition, eomme la droite qui joint les centres de gravité des deux parties AEDB et DCE contient nécessairement le centre de gravité de la figure entière ACB, il est visible qu’il faut enrore que la droite GG' qui joint les centres de gravité de ACB et DCE soit perpendiculaire sur DE; la seconde des deux équations pour le cas précédent subsiste donc pour celui-ci et doit être combinée avec celle (]u’on vient de trouver.
Si la base du prisme était un poUgone quelconque ACBD (fig. 121), ayant son centre de gravité placé en G, les aires EE'C et ACBD devraient encore être dans le rapport des densités du liquide et du prisme, c’est-à-dire que l'on aurait
- XV sin C = -.S,
S étant l'aire du polygone et ^xij sin C étant l’aire du triangle CEE'.
On obtiendrait la seconde équation en observant que si on prolonge CG , cil faisant GF égal à la moitié de CG et qu’on mène par le point F la droite A'B' de manière qu’elle soit divisée en F en deux parties égales, le point G pourra être considéré comme le centre de gravité d’un triangle fictif A'CB' dont il faudra assurer l’équilibre en posant la seconde des deux équations précédentes. On trouvera ainsi les valcni-s de x, y ou CE, CE', pourvu qu’elles ne dépassent pas les longueurs CA et CB. Ainsi si le corps ilottant est un prisme boniogènc, ayant pour base le parallélogramme ADBC, les distances FE et FE' devront être égales, ce qui conduit à l’équation
FA'* E'A'* — 2FA'. E'A' cos A' = FB * -t- EB'* — 2FB'. EB' cos B’
c’est-à-dire, eu observant que AA', BB', GF, AG .sont les moitiés de AC, CB, CG, AP, et en désignant AC, PC, AB, l'angle CAB, l’angle CBA par 6, a, e, a, p.
DV.NAMIOI'IC.
