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222. Stabilité des corps pottants. Métacentre. — Après avoir cluldi les conditions d’équilibre d'un corps flotLuit, il importe de pouvoir reconnailrc si cet équilibre est stable ou instable, c’csl-à-dirc si le corps, dérangé inlinimcnt peu de sa position d'équilibre, tendra à y revenir ou s’en écartera indéliuiment. .Soit AFB (fig. 123) une section verticale de la carène passant par les centres de gravité G et O du corps flottant et du liquide déplace, .\B le plan de flottaison et (iOF l’axe primitir. Goncevons ce corps dérange inlinimcnt peu de sa position d’équilibre an moyen d’impulsions très petites cl sup|)osons qu’à une é[ioque quelconque, le niveau du liquide devienne ab (fig. 124), la figure représentant une section du cori)s par un plan perpendiculaire il l’intersection D des deux plans AB et ab. Désignons jiar '^mv^ la (|uantilé de forces vives qui animera le corps au bout d’un temps t aprt'is le dérangement, et par ïmn* la quantité de forces vives très petite qu’on lui a communiquée priniiliveinent pour le déranger. Un sait ipie l’on a

linv- =■ Imu* 2 y ï (Xdx h- \(ly -t- 7.dz) ,

(X, Y, Z) étant les forces motrices, cl l’intégrale devant être prise depuis l’instant du dérangement jusqu’à ré|ioquc t. Les forces motrices sont la gravité et la pression du liquide. La première agit sur toutes les parties du corps flottant , tandis que la seconde n’agit que sur la surface mouillée oF6; mais eomme celle dernière force a (N“ 2ii») une résultante passant par le centre de figure de la carène et égale au poids du liquide déplacé, il est visible qu’on peut coneevoir celle der-

CIIAI>ITHt: XXII.

nière comme étant le poids même du volume d’eau déplacé, la pesanteur agissant ici de bas en haut. De cctlc manière, chaque élément dm de la masse du corps entier sera animé d’une force verticale et dirigée vers le bas égale fi gdni et chaque élément (/a du volume d’eau déplace sera pousse par une force également verticale , mais dirigée vers le haut et égale à {‘tjdu. Cela jiosé, si on pi-end [lonr plan des XY le niveau <ib du liquide, l’axe des Z dirigé vers le bas sera vertical et l’équation des forces vives se réduira à

- Sino* = - -mn* — sÿ J'ul'j-dz -i- y /' -dmdz^

dans laquelle le signe 1 indique une somme de produits étendue au corps entier pour la seconde intégrale et au vidunie déplacé seulement pour la première, et le signe y indique des intégrales de ces sommes, prises entre les époques tl et t, c’est-à-<lire que le signe sommatoire S se rapjtorte aux dilféicntielles dji et dm et les intégrales y, à la différentielle dz. L’intégrale fldadz, qu’on peut écrire ainsi : l/dadz ou ldy.fdz est égale à 'uU [z — z), z' et z étant les ordonnées verticales de l’élément d^ du volume déplacé avant le dérangement et à l’époque I. En l’érrivant ainsi :

ïrffiZ —

on voit qu’elle représente la différence des moments de ces volumes pour ces deux instants, par rapport au niveau du liijuide. Si donc on désigne par V le volume AFIl, le moment ïdaz' sera égal à \ multiplié par OC ou Vn. Quant au moment srfaz, comme le v(domc de la carène à l’époque t est oF6, celle-ci se composera de AFB augmenté de «AHb et le moment de oFb sera égal à 1a somme des momeuts de ces deux parties. Le moment de .VFB est V multiplié par OC' ou Va; pour axoir le moment de uABfi, considérons ce volume comme engendré i>ar la rotation de Faire de la section AB autour de l’intersection U. .Si on divise cette aire en éléments inlinimcnt petits ai et qu’on représente jiur r la distance oïD de l’un de ces éléments à l’intersection 1), l’arc de cercle aw' décrit par u (arc qui se confond avec la

pcrpendiculaii-e oioi' abaissée sur ub) sera r>j, vf étant l’angle iiiriiiimenl petit D; on aura donc oirt) jiour le vidume cylindrique ojoi' en-

WW

gcnilrc |tnr O), air»î wr>î • — pour le moment <lc ce volume par

DYN.VMUjUE.

rapiiorl à ah cl 1 ou -yflcûr* pour le moniciil de tiWli.

lur* esl le niDiiiciil d'inertie de l’aire AB par ruppurl à rinlerscction D. Il résulte de ce qui précède, que l’oii a

J'zdjidz = Va — V’o

Pour ce qui est de l’intégrale J'idmdz ou Hdm J'dz s= 'idm {z — c”), en désignant i>ar M la masse du corps flottant et par /> et p le Z du

centre de gravité G de ce corps dans l’état priiuitil' et à l’époque t,

c’est-à-dire GC et GC", on a ])ar la théorie des moments,

ïdm . î' = M . i, idiit . Z = Mp,

et par conséquent

idm (z — z') = M (P — b).

L’équation des forces vives devient, en substituant,

- ïme* = -v- pÿVu — |>yVa -t- y.M (p — b),

qu’on peut réduire à la suivante, en désignant GO par d,

ïwe* = ïm«* — pÿtf-^üir^ -v-

parce que oV est égal à M et que la dilTérencc a — ■ b — (« — P) n’est autre chose que

GO — /iO = GO (1 — cos GO/i) = GO (1 — cos *)) == ^

Si par le centre de gravité r/ de la section de flottaison AB, on mène une parallèle à l’intcrscclion D, uti sait <pi’cn désignant par u/c- le moment d’inertie cIc cette aire û par rapport à celle ]>arallèlc et par / la distance j/I), on a (N” 1 47)

ï oir* = -V- al* ;

il vient donc

imv* = lurii* — ypij* (ak* -t- u/- — \d).

En désignant j)ar Ç l’ordonnée ijfj' du centre de gravité ij et remarquant que

{ = / sin v\ = b^,