CHAPITRE XXII

4Vî!

un trouve enfin

ï mr* = ï;m«* — yo j -t- n* [ak^ — Vd) j.

Quand le centre O est placë au-dessus du point G, la distance d de ces points change de signe; cette forniulc sera donc applicable au deux cas, en l’écrivant ainsi :

ï MIC* = ï mil* — jip j a;® -I- >)* ( ük- ± ) j •

Pour interpréter cctle équation, il faut distinguer le cas où ûA‘* dz \d est |)ositif et celui où ce biuùnie est négatif. Dans le premier, les deux termes compris dans les accolades seront positifs; le second terme du second membre conservera donc son signe négatif, et par conséquent ïme* sera toujours moindre que Xmir; la (juantitc de force vive initiale im)>rimée lorsque le système était en éipiililire sera donc un maximum ; d’où l’on conclut (>'“ I4(i) que cet équilibre est stable. De ce que ïiiir* reste très petit, ou ronclut que le corps ne s’écarte que très peu de la position d’équilibre (voir la théorie de l'équilibre stable ou instable (N“9S). Dans le second cas, la iiuautité comprise entre les accolades pourra devenir négative, le second terme du second membre de réipiation deviendra alors positif et rien ne limitera jilus la valeur de ï mr®, ce qui caractérise une position d’équilibre instantanée. Il suit de lit que l’équilibre sera stable ou instable suivant que üA® ± Vd sera positif ou négatif. Gettc quantité sera toujours positive si le centre de gravité G est placé au-dessous du centre O. üaus le cas contraire la stabilité exige que u/;* soit supérieur à Vd.

Pour que la stabilité du cori>s llottaiit soit certaine, il ne suflit pas de s’èlre assuré de la stabilité relativement à un dérangement iulinimeut petit elTcctué dans un certain sens; il faut vérilicr les conditions précédentes pour un dérangement i|uclcouque; or quand on change le sens de l’inclinaison donnée au corps llottant, la parallèle à l’intersection D menée par le centre de gravité du plan de llottaison i>rcnd une direction «lilférente et par conséquent le moment d’inertie ak* n’a ])lus lu même valeur. Si l’on détermine celle de toutes les droites ]>assaut par le centre de gravité du |)lan de flottaison , [lour laquelle le moment d’inertie a^® est le plus petit possible, il faudra vérifier la condition de stabilité iik- > \d pour cette valeur de Â*.

La théorie de la stabilité des corps flottants, telle qu’elle a été présentée depuis ZfüHÿKcr jusque dans ces derniers temps, était fondée sur la détciTuinaliun de la position d’un certain point du corps appelé

nY.NAMIQUE.

métacentre. On uppolait ainsi le point d'intersection m (fig. 125j de l’axe primitif Gm par la verticale O'm passant par le centre de figure O' de la carène, telle qu’elle se trouve après que le cor])s a été dérange très peu de sa position d’équilibre et on faisait dépendre la stabilité de la situation de ce point au-dessus ou au-dessous du point G. Quoicpic la considération du métacentre ait conduit aux mêmes conditions d’équilibre que l’emploi de l’équation des forces vives, on a reconnu depuis que l’aiiciennc tbéoric était inexacte et qu’elle devait être abandonnée.

Ajqiliquons les conditions de stabilité à un prisme isocèle homogène, droit, à hase triangulaire (fig. 123), placé en équilibre sur un liquide dans lequel plonge l'angle G. 11 est visible que si on désigne par II et li les hauteurs CF et CF' des deux triangles ACB cl ECD, on aura

GO ou (/ = GC — OC=|(II — A).

D’un autre coté, le plan de flottaison F.D étant un rectangle, si on désigne ]>ar l la longueur du prisme et par b la largeur ED, le moment

d inertie minimum de ee rectangle est — ou — suivant que l est plus

petit ou plus grand que b. Dans le premier cas, comme le volume

de la carène DCE esl^j la condition de stabilité est

Ib^ 2 ,,lbli , . I*' IV

cl en désignant par a l’angle ACF,

h > H cos‘ a.

On a vu que si p et p' sont les densités du liquide et du prisme, on iloit avoir pour l’équilibre,

p:p'==AC.CB:EC.CD,

cl par conséquent

p;p' = AC-:CEi = Il»:/i*; l’inégalité précédente prend donc la forme

p' )> P cos‘ 9 eos a <

ciiai>iti;k XXII.

i|iii fixe In liitiile (le la densité du |)rismc, au-dessous de laquelle la slnhiliUi cesserait dY'Ire assurée pour un angle donné et. ou, si les densités sont données, la limite inférieure de la valeur de l'angle *.

Dans le second cas, c’csl-à-dirc si l est plus grand que h, on aura à la fois

I < 2/i tang * et ^ (Il — It)

cl l’on trouve en iiiulli|dinnl, que la eoiiditioii siiflisanlc de stabilité .se réduit encore à

— > COS* a.

223. Oscillations des corps flottants. Oscillations du centre de gravité. — Lorsipi’un corps flottant est dérangé inliniinciit peu de sa position d’équilibre stable, il efTeetiie autour de cette position une suite indéfinie d’oscillations dont nous nous proposons de reeonnailrc les lois. On sait que lorsque des forces agissent sur un corps libre, celui-ci prend deux inouvenicnts indépendants, savoir le inouvcincnt du centre de gravité et le niouvcuienl de rotation autour de ce centre. Le premier se détermine en lrans|)orlant toutes les forces ainsi que la masse du corps flottant à son centre de gravité; le second, en considérant le centre de gravité comme fixe.

Occupons-nous d’abord du mouvement du centre de gravité. Soit An (fig. 120) le plan de flottaison dans la position d’équilibre; supposons que la ligure représente la position du corps à une éjioque quelconque t, ah étant le niveau du liquide et a'I/ une parallèle ù ah menée de manière que le volume a'Fh' soit ('(piivalcnl à AFIl, ou que le volume «Alîb soit équivalent au volume aa'h'h. I.’intersection g contiendra le centre de gravité de AU, puisque le volume a.Mlli <pii est équivalent à aa'h’h, sera représenté |)ar surf, ah.gg' et que l’on sait (N" (iô) que le volume oAIlb considéré comme un prisme tronqué est aussi donné par le produit de surf, ah par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base supérieure AB sur la base inférieure ah. En désignant jrar z la profondeur LG du centre de gravité G du corps flottant au-dessous vlu niveau du liquide et en conservant les dénominations précédentes, Vp sera la masse du liquide déjjlacé dans l’état d’équilibre et par conséquent celle du cori)s flottant, et si l’on rcmaniuc que la force motrice est l’excès de la pression du liquide sur le poids du corps, c’est-à-dire une force égale au poids p du

DYNAMIQUE

liquide aa’b'b et agissant de bus en haut, l'équation dilTéreatiellc du mouvement du point G sera

Comme cette tranche est infiniment mince, son volume est représenté par le produit de l’aire a'b' par l’épaisseur cL ou gg' et a'b' ne différant que très peu de AB, ec volume sera donné par ai, e étant l’épaisseur gg' et a l’aire du plan de flottaison ; l’équation du mouvement devient donc

— Qifg,

^it V

II est visible que l’on a

Z ou LG = e -t- Gc = s -I- Gd cos 11 = e GC eos I) = £ -4- GC ,

parce que l’angle ^ ou cGC est infiniment petit et que Gd ne diffère que très peu de GC, du moins quand Cg est très petit comme cela a lieu le plus souvent. GC étant une quantité constante que nous avons désignée par 6, l’équation du mouvement prend la forme

qui a pour intégrale

£ = A cos t

et si on détermine les deux constantes par la condition que la valeur initiale de £ ou gg' soit égale è e et que la vitesse initiale soit nulle, on trouve

d’où l’on conclut, comme à la page 174, que le centre de gravité G effectue une suite indéfinie d’oscillations isochrones verticales dont

l'amplitude est 2e et dont la durée est n \ •

V ag

224. Oscillations autour du centre de gravité. — Passons au mouvement du corps flottant autour de son centre de gravité considéré

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