CHAPITRE XXII

Si le bindme ûJt* ;:f: Vd était négatif, l’intégrale au lieu d’étre circulaire, aurait une forme exponentielle, qui n’indiquerait plus un mouvement oseillatoire, mais avertirait que le corps s’écarte indéfiniment de la position d’équilibre. La condition de stabilité trouvée plus haut SC trouve ainsi vérifiée.

22b. Théorie générale des oscillations d’un corps flottant. — Nous venons de supposer que le corps flottant ne prend un mouvement de rotation qu'autour d'un seul des trois axes d’inertie principaux du centre de gravité. Reprenons maintenant le même problème en lui laissant une plus grande généralité et bornons nous à supposer que l’axe primitif est un axe d’inertie principal pour le centre de gravité. La figure 124 représentant encore le corps flottant à un instant quelconque (, par le centre de gravité G faisons passer deux systèmes d’axes rectangulaires, l’un (X, Y, Z) représenté par les axes d’inertie principaux dans leur position actuelle, l’autre (.V, Y', Z') représenté par les mêmes droites dans la position d’équilibre du corps flottant; l’équation du plan ab nipporté aux premiers axes est de la forme

z = ai hy -f- c

et si on désigne par £ et b les distances CE et GC, par v)' et ^ les inclinaisons des traces du plan ab sur X et Y dans les plans .XZ et YZ, cette équation deviendra

: = X tang >)' -v- y tang *1 + s -t- b ou plutét, les angles ri et ri restant très petits ,

Z = »î'x yjy -I- £ -H b.

Le volume du cylindre élémentaire ««’ est (o (z — b) ; le volume de aABb= 0 est donc f — b) ou v[ f an n f tay at , les intégrales étant étendues au plan de flottaison AB entier. Les moments du prisme élémentaire fW par rapport aux trois axes (X, Y, Z) sont

« (z — b) X, <i) (z — b) y. Cl) (z — b) ~ et les sommes des moments de tous les prismes qui composent aABb sont données par f U (z — b)X’=ri f MX* nf tùxy -t- £ y mx ,

/m(z — b)y = n'/Mxy + r, f My* -*• e/a>y ,

i/M (I* — b*) = i >î'* /MX* + û«* + nn'/MXy

-(-£»)’/ MX £») / My -H bri /mx -+- br, f My abe.

DYKAMIQl'E.

UU

Il suit de là que les valeurs des cuordonnées du ceiilrc de

gravité de ce volume sont

ri f MX* )Q y o)xy -(- £ y MX ' »)'y MX -I- >) y uÿ -f- £û ’

ïj' y MX -i- r; y M^/ -4- £ü ’

»:'*y MX*-4- ri*y My’-t- a£*-t- 2n»i'y Mxy 2(£ -4- 6)>)'y MX-4- 2{£ + b)rif My -4- 2q6£

2 (»j'y MI -4- ri f My -4- fü)

11 résulte aussi de la forme de l’éqiialion du plan ab, que l’axe des Z' qui lui est perpendiculaire fait avec les axes (XYZ) des angles qui ont pour cosinus

>1' ri 4

-4- /)’ -4- ï)'* j/ 1 -4- Yi* -4- y,'*

expressions qui se réduisent à 1^’, >i et 1, à cause des valeurs très petites de >1 et >]'. Eu coiisidénint doue le poids de uAB6 comme une force verticale appliquée au centre de gravité, les composantes de cette force suivant les axes (XYZ) seront — gpv/i’, — gfvri, — ypv et par conséquent les moments de ce poids par rapport aux axes seront, d’après une formule de la page 40,

c’est-à-dire

->;/l'*y Mx*-4- -ii*yMy*-4- - ü£*/i -4- r?r! ftùxij -4- [e -4- b)r,r]' / <>ix

-4- (s -4- b)r^ J' WJ -4- ubriB — i{ ftnxij — r,J My* — ,

»;'yMX*-4- r,/a>xy -i-if(ùx ■— - W^/oix* — Z)’'i*r,‘ f wj- U£*r;'

— r,rf^J'(ùxij — (« -4- b)r,'*f mx — (e -4- b)r,r,' /" wj — aber,'

yP (’’î’*y“*.y -*~rjf / WJ* -t-fr,' J'tùy — nTt f mx* — r,* J'wiy — ir,/" mx).

On reeonnait de la même manière 1° que les trois composantes du poids Vpy de la carène, applique en O sont — Vpyii', — Vpy<), — Vpy, 2" que les coordonnées du point O sont 0, o, — ■ d et 3° que les moments de ce