CHAPITRE XXII

poids par rapport aux axes (XYZ) sont — Vpjfiid, Vpgij'd, zéro; si donc on représente par A, B, C les trois moments d’inertie principaux du centre de gravité et par (/, r les vitesses de rotation autour de ces axes h une époque quelconque, les équations du mouvement du corps autour du centre de gravité seront (i\“ 165), en obser\ant que les forces motrices sont ici le poids de la carène et le poids de aAB6 pris tous deux en sens inverse,

— (B — C) rr/= - ÿp >!»!'*/“•'* -+■ Vpÿnd,

« 7/< — (C — A) pr = — (j? {r!fwx* etc.) — Vpgn'd,

C ^ - (A — B) pq = — ÿp + etc.).

11 est à observer que le second membre de la ô"‘' équation est sensiblement nul, puisqu’il ne contient que des termes très petits du sceond ordre en r,' et e. Le produit pq est aussi négligeable ordinaireuieut, parce que les vitesses de roUition p et q sont généralement

très petites. U suit de là que ^ est nul et que r est constant ; si donc

on n’imprime au corps aucune vitesse de rotation autour de l'axe vertical, cette vitesse r sera constamment nulle. D’un autre cèté les vites-

, , dr, dr' . , drt

scs P et q sont représentées par — "Jl moins de pro-

venant de ce que la valeur positive de p répond à une rotation dans le sens ZX, ce qui correspond à une diminution de rangle r,. En négligeant dans les seconds membres les tenues très petits du et du ô""" ordre, et mettant pour embrasser le cas où le point O serait au-dessus de G, les deux premières équations deviennent

A — ‘ — gp (/i'/toxy + riftùf e/wg =f\r,d),

B — = — qp {nfwxy -+- + s/wx np \n’d).

A ces équations du mouvement de rotation il faut joindre celle du inouvcnicnt vertical du centre de gravite G , qui est en désignant GC" par s'.

DYNAMIUUE.

OU bien, en reiuplaçanl la masse M du eorps lloUanl par Vp et en reniartpiunl que l’on a

Z* = GE cos ZGZ’ = GE = « -+- b,

V— = — ÿ(n’/Mi r, fay + Qj).

Telles sont les trois ëquations d’où dépendent toutes les eirconstances du inouveiiient. Quand le point d’intersection C de l’axe primitif et du plan de flottaison est le centre de gravité de AB et que des (uirallclcs à X et Y menées par C forment les axes d’inertie principaux de ce plan, les intégrales y’c.xr, ,/’wy, f axy que nous désignons par aa, ab, Qc sont milles, et si le corps ne prend un inouvcincnt de rotation qu’autour de l’axe A, les équations se réduisent aux suivantes, en désignant par et ak'* les luomcnts d’inertie y' tox* et du plan AB,

A ^ = — Om ^

d*s ga

(ÏF Y*

qui sont celles qui ont été trouvées plus haut. Quand ces conditions ne sont pas remplies, il faut intégrer les équations (1) et (2) qui forment visiblement un système d'équations linéaires simultanées à cocfliciens constants. Un les mettra pour cela sous la forme

( ak'^ qr V(f) VI ao)' ube j = — </ (/q + mq' ns) , aA* ::p Vd) q' acq 4- ûas | = — ÿ (f'q -v- m'q' -1- n's) ... .(3)

(f’q go (

dî* A (

dl‘ b|'

== — Y I 6q + aq' ^ j = — 9 (<> + ,

puis on multipliera les deux dernières par des facteurs indéterminés X et en additionnant ensuite, il vient

ÎÜÜ 5^

dt» ’ d<» ■

,1 •/■ /m -¥-yin ,

ciupnnE x\ii.

4’iîJ

Si i’on dôteniiinc les facteurs X et V par les conditions m -t- ) m’ i'm" ^ n -*-)»' -t- i'n"

I + w + yr - ^ >/' H-Tr = *

l'équation dilTcrenticllc devient, en représentant par y le trinôme

tl*9

que l’on intégrera comme au N° 223 et qui donnera

O ou >î -t-).>î'-»-À'ï = Acos )/' ).7'^+Bsiu t |/j (/ -t- //'-t-iT'J,

ou plutôt, s’il n’y a pas de vitesses primitives,

r, >.r/ Vs == A cos < y' g {I + '»l' Vl"). ..(3).

Les équations qui servent à déterminer les valeurs de X et X' donnent pour CCS facteurs trois valeurs; l’équation précédente est donc triple et en résohant celles-ci par rapport à >), r,\ s, on trouvera des valeurs de la forme

>î = P cos t |/a^ -i- V COS t f/pÿ -4- r cas t {/ -/g ,

~ p' eos < |/agr -+- y' cos t |/,Sÿ -t- jr' COS t (/yÿ (6)

£ = *' — l> = p" cos t -f- y" cos < cos t j/ÿq

qui donnent la solution complète de la question.

22f). Oscillnliotis des différents points d'un système de forme variable. Principe de la superposition des petites oscillations. — Les valeurs qu’on vient de trouver pour r,, r,’, e font connaitre une propriété remarquable du triple mouvement oscillatoire des corps flottants. Désignons par (>, XJ, (X', X/, XJ les trois valeurs de X et X' tirées des équations (4) et par r„, -4', les valeurs initiales de t;, rf, e. Les trois équations (5) qui correspondent aux trois racines de (4) seront

if -r- X(j' -t- y'c - A eos < j/ÿ(/ X/' X’/") ,

P -4- X,ti' X/f = A' cos t f/ÿ (/ -4- \l' -4- X/f") (7)

») -4- X,,ij' -4- X[, £ = A" cos t j/ g(l -4- s J' -4- yj") ,

et en faisant t = 0, on trouve pour les constantes arbitraires A, A', A",

nVlSAMIQUE.

4?ir)

D’un autre c6lé, si ou suppose qu’à l’époque initiale, la variable a seule une valeur les deux autres étant milles, il est visible que pour t = 0 on aura

ou bien

A — ïîo)

si 'A' mi £ ont seuls

une valeur initiale q'. ou £., il faudra faire

A • — • Aï) oj

A' = Vf»,

Les sommes de ces trois dernières valeurs de A, A', A'' étant égales à la première (8), on en conclut qu’a chaque instant les valeurs de q, q', e, dans l’hypotlièsc d’un triple ébranlement initial, sont égales aux sommes des trois valeurs des mômes variables correspondant chacune à un ébranlement unique. Cela résulte de ce que, si l’on pose les trois équations (7) pour chacune des quatre hypothèses précédentes, en additionnant ces neuf équations trois à trois, on sera conduit à trois équations en tout point semblables aux trois équations (7) , si ce n’est que q, vf, £ se trouveront remplacées par les sommes trois à trois des mômes variables correspondant aux trois derniers modes d’ébranlement. Cette coexistence sans aucune altération de chacun des trois mouvements oscillatoires distincts, dus aux trois déplacements primitifs, n’est pas particulière aux corps flottants; elle n’est qu’un cas particulier d’un principe général de mécanique connu sous le nom de principe de la superposition des petites oscillations et qui consiste en ce que SI un système de points liés entre eux d'une manière (jnelconc/ue est écarté très peu, de. plusieurs manières et simultanément de ses positions d’équilibre stable , le mouvement oscillatoire que prendra chaque point du système sera à chaque instant la résultante des mouvements particuliers qui seraient dits à chaque mode d'ébranlement appliqué isolément. Avant de le démontrer, proposons-nous de déterminer les circonstances du mouvement inriniinent petit des difTércnls points d’un système de forme variable en équilibre, que l’on a dérangés infiniment peu en leur imprimant des vitesses très petites. Rapportons chaque |)oint du système, par des coordonnées toujours très petites (xyz), {x'y'z')... , à des axes rectangulaires fixes et parallèles, passant par chaque point dans sa position d’équilibre. Les n conditions de liaisons, que nous supposerons indépendantes du temps, sont exprimées par des équations entre les coordonnées des

CnAPITBE XXII.

(lifTércnts points dans leur position d’équilibre cl les coordonnées variables {xyz), {xy’z) Concevons ces fonctions développées suivant

les puissances croissantes des variables, on aura en s’arrêtant aux termes de première puissance et en désignant par o, (5, y, a' cer-

taines constantes,

aX -I- Î5I/ -t- (Z -I- Sx + ■■■■ 0

D’un autre côté, en désignant par (XYZ), (X'Y'Z') les forces accélé-

ratrices qui agissent sur chaque point, les mouvements de ceux-ci résulteront des équations

X', etc.

Ces forces que nous supposons aussi indépendantes du temps et qui sont milles dans la position d’équilibre, ou quand (xyz), (x'y'z).... s’évanouissent, sont des fonctions de (xyz), (x'y'z') si donc on les conçoit développées suivant les puissances croissantes de ecs variables et qu’on s’arrête aux premières puissances, il viendra

■J- = ax by + cz ex -s- • •• , — = ax b,y es + e,x -t

dt^

Tt*

etc., etc., etc., dans lesquelles a, b, r sont des constantes connues.

.Si l’on tire des n équations (9) toutes du premier degré, les valeurs de « variables en fonction des autres, pour les substituer dans les équations précédentes du mouvement, celles-ci ne contiendront plus que des variables linéaires, indépendantes entre elles, en nombre p, et en les intégrant comme au numéro précédent, au mayen de facteurs >, V, V'.... constants indéterminés, on sera conduit à p intégrales de la forme

X -4- ly -4- i': -4- Â"x' H — = A cos / 1/ — (o -4- la, -4- >.'o,, -4- >"o' -4 — ) ^

-4- R siii t j/ — (o -4- >a, -4- >'o, -4- V'o'-4 — ) dans lesquelles A et B, A' et B'.... sont des constantes arbitraires qui

DYNAMIQUE

dépendent du mode d’éiiranlcmcnl initial. Ces p intégrales, qui s’obtiennent en substituant dans la précédente pour X, V'.... les p systèmes de valeurs tirées îles p — 1 équations de eonditioii

a -A- la, -A- Vo„ -A- V'a'-A- • • •

etc... (H)

sont visiblement de la forme suivante, dans lesquelles C, r, C', r'.... sont les constantes arbitraires ,

X -A- lÿ + l'2 -A- X"x' -A — = c siu [r -A- l j/ — (a -A- Itt'H — ) ], x-t-X^y-h X[z -A- X/'x' -i — =C'sin [r -a-, I — (a -A- l,tt' ) ]

ce que l’on reconnaît en développant le sinus du binème >' -a- t ^ .

Si on résout les p équations linéaires précédentes par rapport aux p variables, on est conduit à des valeurs de 1a forme

x = psin(r-A- tj/T) -a- v sin (r' -a- t^l?) -A-7rsin(r"-A- Ip^') -A-etc.

-(lô

y = fi' sin (r-A- 1 |/fc) -A- »' sin (r' -A-t f/ï") -a- n-' sin (r" -a- t j/ k") -a- etc.

Z — etc.

dans lesquelles p, r, p', r'... sont des constantes qui dépendent du mode d’ébranlement initial et qu’on détermine en résolvant les équations suivantes :

I, = p sin r -A- » sin r' -a- n- sin r'' -a

ijo = p' sin r -A- v' sin r' -a- tt' sin r" -a

U, = p cos r + v\/k' cos »•' 4- w p/ k'' cos r" q

Vo’ = ^l' p^k cos r 4- -i' (/ k' cos r' -i- a-' (/ k" e.os r'' -A

dans lesquelles Xc, y»,... sont les valeurs connues de x, y.... eorres-

. . „ # . • iIj: fly . . ,

pondant a f = 0 clfo, u. ... les vitesses—, imprimées aux

dilTércnts points suivant les axes quand le temps ( est nul.

Pour démontrer le principe de la superposition ou de la coexistence