CHAPITRE X.VII
4üC
des pclilcs oscillations , reprenons les p intégrales (10) cl leurs dérivées par rapport au temps. En y faisant ( = ü et rcniplaeanl , dx du
X, y, X par x„, y„, t)„, v„ on trouve pour les
constantes A et B, A' et B'... les valeurs
A = i„ +- )j/„ -(- X'z„ + X"x„’ -I , B {/a = i'„ + ïvj -I- X'e„" h-
A'=x„ J B'i/Â'i^fo
Quand on les aura substituées dans (10), celles-ci donneront à chaque instant la position des dilTércnls points du système, à la suite d’un ébranlement primitif déterminé par les valeurs de x„, ly,, z„, x'„.... t;„, Or si l’on y fait successivement milles toutes ces quantités
moins une, on aura les valeurs dex, y, z, x'... à l’époque l, quand le système n’éprouve qu’une seule perturbation primitive cl on reconnaîtra, comme on l’a fait pour les corps flottants , que les valeurs, pour le cas d’une perturbation primitive multiple, sont égales aux sommes des x, y, z.... dûs à chaque perturbation isolée. On peut donc aflirmcr qu’ti un instant quelconque, les écarts x, y, z... de chaque jmnt de sa position d'équilibre, à la suite de plusieurs ébranlements primitifs simultanés , sont égaux aux sommes des écarts qui seraient dits à chaque mode d'ébranlement existant isolément et que les vitesses des différents points sont les résultantes des vitesses particulières.
227. Applications au prisme triangulaire, au parallélipipède et au prisme ü base parabolique. — Pour appliquer les formules du N" 22’i au prisme triangulaire à hase isocèle, pour lequel les conditions de stabilité ont été trouvées au .\“ 222, on remarquera que le plan mené par le centre de gravite du prisme perpendiculairement aux arêtes latérales et le plan mené par le centre de gravité et par l’arètc plongée dans le liquide, divisent le prisme en deux jiarties symétriques; d’où on conclut que la verticale, intersection de ces deux ]>lans, est un axe d’inertie principal ainsi que la parallèle aux arêtes latérales menée par le centre de gravité de la base et la droite horizontale perpendiculaire à celte parallèle. En conservant les désignations du N° 221 cl en représentant en outre par b la base du triangle isocèle et par h sa hauteur, on trouve pour les moments d’inertie du prisme par rapport à ces deux derniers axes.
DYNAMIQUE
Ou a aussi
et après avoir fait dans les formules generales de la page 4'il, 0 = 0, 6 = 0, c = 0.
l’on trouve pour les durées des oscillations verticales du centre de gravité cl des oscillations transversales cl longitudinales autour de ce point ;
S’il s’agit d’un parallélipipède rectangle ayant a et 6 jiour arêtes horizontales et c pour arête verticale , il faudra faire dans les formules générales précédentes,
uk* =
la'
a fc'* :
'Ta’
et les durées des oscillatious verticales , transversales cl longitudinales seront
’vlv/?’ V
pp'c (6* -I- c’) g (6*p* -f- tic*pp' — 6c*p’*)
pp'e (a* g (o*p* -f- Cc*pp' — Gc*p *)
Quand l’épaisseur verticale du parallélipipède est très petite relativement aux deux autres dimensions, comme cela a lieu pour une planche.
CHAPITHE XXII.
les durées des trois oscillations sont sensiblement égales entre elles et représentées parjr* / -%/t., c’est-à-dire que ces oscillations se
font dans le même temps qu’une oseillation d'un pendule d’une lon-
gueur égale à r- • Enfin s’il s’agit du prisme à base parabolique dont P
on s’est occupé à 1» fin du N" 221 , en supposant vertical l'axe de la jiarabole , on trouve
A = ? P'/ (-1 P -H I a) B = ip'l -h ± «*) /2K,
V = ^ / 1/ 2/>a’ = t L ; j/ üfe* = {'‘ipu)* = * - /p j/ 2pa’,
t> do ô O P
et les durées des oscillations des trois espèces ont pour valeurs
Ut
La condition de stabilité est
Si ou considère le même corps flottant dans la position d'équilibre inclinée, on trouve
M.-v.i-jW-v/ r|î.[.
Cette valeur étant négative, on en conclut que cette position d’équilibre n’est ]ias stable et que par conséquent les oscillations sont impossibles, du moins autour de l’axe parallèle aux génératrices du cylindre.
