XL -4- YM + ZN

n’est donc suflisantc que si .X , Y’ et Z ne sont pas tous trois nuis.

S’il y a une résultante, ,X, Y, Z sont scs composantes; or on a vu (milieu du N“ 33) que les premiers membres des trois équations de la résultante sont scs moments par rapport aux trois axes et que les seconds membres L, M, N sont les sommes des moments des composantes |>ar rapport aux mêmes axes; ces équations apprennent donc que lorsqu'un système de forces diriyées d'une manière quelconque dans l'espace a une résultante unique, le moment de cette résultante par rapport à l'un des trois axes et par conséquent pur rapport à une droite quelconque est éyal ci la .somme des moments des composantes.

STATlgUE.

36. /lu(res théorèmes sur les moments. Axe du plus grand moment passant par un point. Axe du plus petit moment absolu. — Coiiiiiiissont les niomciils l, m, n d’une force P par rapport à trois axes rcetangnlaires , on peut trouver le moment m de la meme force par rapport à une droite quelconque passant par l’origine et faisant avec eux des angles a, b, c; car si x, y, z, a, p, y fixent le point d’application de P et sa direction, on sait que l’on a (N“ 33)

^ = P (y cosy — s eosp) m — P {z cos a — X cos y)

» = P (x cos jî — y cos «).

D’un autre c(Ud, on démontre en analyse géométrique (analyse appliquée i'i la géométrie par Leroy, N° Ci) que lu plus courte distance de la force à la droite mentionnée plus haut est représentée par

, . I , / cos « \ , , / cos S \

(cosScosc — cosocosy)! x z j -t- (cos y cos a — cosceosa)! i/ z I

\ COS'/ J ' cos y /

sin &

0 étant l'angle de la droite et de la force. Le moment de la force par rapport à la droite, c’est-à-dire Po sin 0, est donc donné par

M = P (y cos y — z eos ^) cos a ■+■ P (j cos a — x cos •/) cos b -t- P (x cos P — y cos a) cos c

ce qui revient à

U = l cas a -+■ m cos 6 n cos c.

Cette équation fait connaître la loi suivant laquelle varie le moment de la force P par rapport à la droite, lorsqu’on fait varier les angles a, 6, c. Si l’on demande la direction de la droite pour laquelle ce moment est un maximum, il faudra considérer u comme fonction des deux variables indépendantes a et 6, après qu’on aura éliminé c au moyen de l’équation

eos*a -t- cos*b -t- cos’c = 1 .

On trouve ainsi pour le maximum de u ,

CQsa= . eos b =

cosc

Cll.il'ITllE IV.

Il suit de là que si on désigne pnr /, m, h, m', /"... les inunients

]i!ir rapport aux trois axes, des forees P, P', P" d’un système et par

U, ti\ u'' .... leurs moments par rapport à une droite passant par l'origine, on aura

U = I cos O -1- III eus h -i- n cos c u' = l' vos a -t- lit vos b -i n'cosc m" = etc.

et par conséquent pour la somme U des moments des forces du système par rapport à cette droite, L , M et N étant les sommes des moments par rapport aux axes,

U = L cos a M cos 6 X cos c.

On trouvera comme plus haut, les valeurs de u, b, c qui rendent U maximum. Ces valeurs sont

eosn= — . cos/» = cte. ü = i/L* -t- M* .V7

p/î7+lFTx*

11 est à remarquer que si ou réduit toutes les forces du système à une force unique passant par l’origine et à un couple (N“ 53), les inclinaisons du couple sur les plans coordonnés se confondent avec les inclinaisons sur les trois axes, de la droite de la plus grande somme de moments et que cette somme est égale au moment du couple. Il suit de là que cette droite est perpendiculaire au plan du eoiqde et que par conséquent pour fixer l’axe,droite de la plus grande somme de moments ))assant par un point donné, il sullit de remplacer toutes les forces pnr un couple et par une force passant par le point donné et d’ahaisser une perpendiculaire sur le plan du couple.

En second lieu si dans l’expression de U on remplace cos a, cos 6,

cosc par , etc., c’est-à-dire, si on prend iiour axe des

moments, la force unique passant par l’origine, il vient ^ LX + MY + XZ |/X* -4 Y* -t- 7J ’

on voit par là que la soiiiiiie des moineiils des forces par rapport à /'une des forces unùiues auxquelles le sijslèoie est réductible, est égale au moment du couple princijial. Comme celui-ci est indé|iendant de la direction des axes coordonnés, sa valeur doit être invariahle, bien

STATIQUE

que les quiintités .\ , Y, Z, L, M, N qui y entrciil eliiitijîfnt «le grandeur avec la position des axes eoordtiiimfs. l.u somme des momeuls des l'nrres d'un s;/stème jiar ruiipurt li l'une, des forces iinii/ues uiix- (juelles le. système est réductible est donc invariable. On sait que toutes ces forces sont paralIÀdes entre elles.

Comme les valeurs de L, M, N rlmiigent avec la position de l'origine, le moment minimum ou maximum [/ 1,* -v- .M* -v- change aussi avec la position de l’origine par laquelle l'axe des moments doit passer. Proposons-nous de trouver le point de l’cspaec où iloit se trouver l'origine pour que ce moment maximum suit le plus grand ou le plus petit possible, ce qui fera connaître l’axe du plus grand moment absolu. Si on transporte les axes coordonnés parallèlement à euxinènies en un point ayant pour eoonlonnées x, , , r,, les couple

L, M, N, relatifs à la première origine deAieiulront I.', .M', N' avant pour valeurs (N" Ô4)

L'=L-4-Yc, — Zy,, M'=.M -* Zx, — X;,, iV = X -v- Xy, — Yx .

La (piestion se réduit donc à trouver les valeurs de x,, y,, r, qui rendent maximum ou minimum la quantité |/L'* -+- .M'* -hX’*. La théorie des maxinia ou minima conduit aux équations de condition

(L -t- Yz, — Zy,) Y ~(.M -t- Zx — Xs)X = 0 (X -1- -\y, — Yx ) X — (L t- Yz, — Zy j Z ==^ü

(.M H- Zj-, — XzJ Z — (X -t- Xy, — Yx ) Y = 0

qui, en éliminant de chaque éipintion une des trois coordonnées, deviennent

Zy,-Yz, = L

XL H YM t ZX

Ces trois équations sont les mêmes que celles que nous avons trouvées au X" ô4. L’une d'elles est comprise dans les deux autres; la position de la nouvelle origine n’est donc pas déterminée par ces équations qui représentent une droite renfermant tous les points par lesquels passe l’axe qui donne un maximum un un minimum absolu ; elles sont donc les équations de l’axe lui-méme «pii se confond ainsi avec la force uniipie principale du X” ô4. La valeur du moment devient alors

LX ^ MY XZ

CIIAPITHE IV.

Ln rAldil dilTcrcnticI apprend que celle valeur répond à un minimuni. Ce mumeiil minimum se confond avec le couple principal du N“ Ô4.

37. Propriété d'un syslhtw composé d’une force unique et d’un couple. — Comme la force cl le couple perpendiculaire qu’on sulisliluc

à un système de forces sonl uniques, les quantités

LX V MY I- NZ ÿ'\s Y* ^ Z*

et

j/,\* Y* -i- Z* sonl in^urialllcs pour un même .sjslème, tpielle que soit la direction des axes coordonnés; le jirodiiit LX MY -i- XZ est donc aussi invarialile pour toute direction des axes, bien que X, Y, Z, L, M et .X clian^cnl de valeur. Il suit de là que de quelque manière que l’on Iransforme un système de forces en un couple W cl une force unique R, le produit du moincnl du couple par la projection de la force sur l’axe du couple, est une (puintilé invariable ; car

j/X* -t- Y* -t- Z* sin n est celte projection, ^/L’ -t- .M* -i- N* est le moment du couple et il résulte de la valeur de sin o’, trouvée au commencement du X" 34, que l’on a

j/L* -t- M‘ -4- X* \/\- -P Y» Z* sin J =XL + YM + ZN

dont le second membre est invariable comme on vient de le xoir.

On conclut aussi de là que tous les systèmes de deux forces auxquels est réductible un système donné (.X® 32, 4") forment les arêtes o|)posécs de létraèilres équivalents; en clfet il résulte de la propriété qu’on vient de démontrer que si AD (fi?. .30) est la force unique et AlKi le couple triangulaire auxquels le système est réductible, en conslruisaul le tétraèdre DAIÎC, son volume sera eonslani, puisque la projection de 1a force AI) sur l’axe du couple n’csl autre chose que la bauleiir DD du tétraèdre et que le |iroduit invariable de l’aire ABC par la projection DO représente le triple du volume. Or, si on détermine d’une part lu résultante AF = R de AD et de CA = AE = P' et d’autre part, celle B1I = R' de BC et de AB = BG = P, tout le système se trouvera réduit aux deux forces .\I’ cl BII et il est visible que si l’on construit le tétraèdre ayant ces droites pour arêtes opposées, son volume sera le même que celui de DABC, puisqu’il aura pour base le triangle AHB équivalent à ACR comme ayant même base AB et des hauteurs égales et qu’il aura pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point F sur le plan .\BC, j)erpendiculaire (pii est égale à celle qui est abaissée du point D, puisque DF paralb'de à .AE l’est aussi au plan ABC.

On démontre encore très facilement le Ibéorèinc suivant : un

STATIQI'E. 4'J

système de deux forces peut être remplacé par une force unûiue et au couple, triaiigulaire, ta force étant représentée par le double de tu droite gui joint les milieux des distances des deux points d'application et des deux extrémités de ces forces et te couple trianijiduire étant représenté pur lu moitié du triangle formé par deux parallèles à ces deux distances menées par un même point.

ÔH. Composition de forces renfermées dans un même plan. — Lorsque toutes les forces sont retifennces diiiis un inème plan, en prenant eelui-ei pour plan des X, Y, les angles 7, 7', 7" seront droits,

les coordonnées z, z', z" seront nullcs, les angles a cl p, a et p',

cl p”... seront coinpléiuentaires deux à deux et les valeurs de X,Y, Z, L, M et N deviendront

X = P cos a P' eosa' -+- etc.

Y = P sin a P' sina' -4- etc.

N = P (x sina — ÿ cos a) H- P' (x'sina' — y' cosa') etc.

Le i‘ou]>lc X qui représente la soinnic des nioineuts des forces par laqiport à l’axe des Z, représente visiblcnieiit ici la somme des moments des forces par rapport à l’origine des coordonnées. La condition pour qu’il y ail une résultante, savoir :