L=0, JI = 0, X
qui sont par conséquent les conditions d’équilibre quelles que soient les valeurs de X, Y, Z. Les forces .X, Y, Z déterminent sur ee point une
jircssion R qui est représentée par j/X* -h Y* -f- Z- et dont la ilireetion est donnée par
coso = -, e05b=-, eose = ~.
43. Pe/uilibre d'un système rigide traversé par un axe fixe. Pressions supportées par cet axe. — Si le corps était traversé par un axe fixe, en prenant celui-ci pour axe des Z, il est évident ipie les forces X et V perpendiculaires à cet axe seraient détruites par sa résistance. Il en serait de meme des couples b et M, puisque ces couples renfermés dans les plans des XZ cl YZ jiciivcnt être tournés dans leur plan de manière à avoir les forces perpendiculaires à l’axe des Z; les forces du système se réduiraient donc à la force Z qui tend à faire glisser le système rigide le long de l’axe des Z et au couple X représentant la somme des moments des forces |»ar rapport à cet axe, reffet de ce couple étant évidemment de faire tourner le système autour de l’axe. Les six éipiations d'équilibre se réduisent dans ce cas aux deux suivantes
Z = 0 et X = 0
.'if.
DU sini|iloiiu-nl à
ClUPlTnK V.
si If syslciiie ne peut pas glisser le long de l'axe , c’est-à-dire qu’il sudit que la souiiuc des luuinents des forces par rapport à ccl axe soit nulle.
Les deux forc'cs et les deux couples qui ne sont pas nuis niais qui viennent se détruire contre l’axe, \ dclerininent deux pressions parallèles aux axes des X et des Y et représentées l’une par X, l'nulre par Y, puisque la force X (lig. 31) et le couple M ou (Q, — (J) renfermés dans le plan XZ sont réductildes (X" 32) h une force uuiipic égale et parallèle à X et qu’il en est de même de Y composé avec le couple L ou (P, — P). Les points d’application A cl H de ces deux pressions se déterminent en remarquant que dans le couple (Q, — f)) si
l’on prend Q égal à .X, le liras AO sera ^ cl comme X et — Q se détrui-
sent, A sera le point d'application de la force unique Q = .X.On voit de la même manière que le point B fixé par OB = — est le point d’ap-
plication de la pression P = Y parallèle à l’axe des A'.
Comme la position de l’origine O dans l’axe des Z et les directions des axes des .X et des \ sont arbitraires, il en résulte que les positions des points A et B, les valeurs de X et Y ainsi que leur direetion, sont indéterminées, c’est-à-dire, (]ue la double pression éprouvée jiar l’axe peut être représentée par un nombre infini <le systèmes de deux forces. Il n’en serait plus de même si les deux jioints d’application étaient donnés, comme cela a lieu lorsque l’axe est fixé au moyen de deux anneaux A et B (lig. 32). Alors pour déterminer les pressions de l’axe contre ces anneaux; un prendra le point A pour origine, on remplacera le couple L par un coiqile (;i, — p) ayant AB ou a pour bras et le couple M par (q, — i/).
De cette manière les forces p et q seront égales à et — cl les pres-
sions aux points A cl B seront les résultantes de \ -t- p et .X — q pour l’une cl de q et — p pour l’autre. Ces deux pressions sont
/{oX — M)^-r- («Y^ Lj* \/ L* M«
angles dont les cosinus sont
faisant avec l’axe des X des a
uX — M M
et
j/(nX— M)i -t-’(aY cL)* j/l*
MAiiymc.
4(}. Pret>sions siipjHirlfes jitir ileiijr points fixes. — On (l(■l«r^linornit de la même manière les conditions d’équilibre d’im système dans lequel il y a deux points fixes A et If, ainsi que les pressions qu’ils supportent. Les conditions d’équilibre, en prenant pour axes des Z la droite qui joint ces deux points, se réduisent à N = l), c’est-à-dire que lu soiunic des inonicnls des forces par rap|)ort à celte droite doit être nulle. Quant aux pressions qu’ils supportent, on déterminera, comme an numéro précédent, les ](ressions exercées aux points A et H perpendiculairement à AB; mais eomme Z n’est pas nul et qu’il est détruit par la résistanee des points A et B dans la direction AB, il en résidtera une nouvelle pression qu’il faudra composer avec les pressions normales à AB pour avoir les pressions totales en A et en B. Or, il faudrait d’abord savoir quelle portion de cette force Z est détruite par chacun des points fixes. C’est ce que les données de la question ne font pas connuitre; on sait seulement que les deux pressions réunies sont égales à Z; les pressions totales que supportent ces deux points sont donc indéterminées, du moins dans l’état actuel de la science.
47. Jü<iuilibre d’un corps traversé par un plan fixe. — Si le corps est traverse par un plan fixe le long duquel il a la liberté de glisser, il est l'iaif qu’en prenant ce plan pour celui des (XY), la force Z et les couples L cl M dont on peut diriger les forces perpendiculairement à ce plan, seront détruites par sa résistance, de sorte que le corps ne sera soumis qu’aux forces .X cl Y ou à la force unique j/.\* -t- Y' et au couple X; or les conditions nécessaires et suflisantes pour l’équilibre de ces dernières forces sont
qui reviennent aux suivantes
.\ = 0, Y=0, N=tl;
il faut donc pour l’équilibre du système, que les sommes des composantes parallèles à deux axes rcetangidaires menés dans le plan soient nullcs ainsi que la somme des moments par rapport à une perpendiculaire quelconque au plan. Quant à la pression qu'éprouve le plan des (XY), si on dispose les deux couples L et M de manière ipic runc des ileux forces vienne se placer dans 1 axe des Z, ces couples deviendront (/), — p), (7, — 7) et la insultante des trois forces parallèles Z -f- 7 — P) /) et — 7 agissant aux points O, A et B (fig. ôô)
CIIAPITHE V.
sera la pression ehcrchcc. La somme totale étant Z, celle-ci représente la pression totale cl si a cl b sont les deux coordonnées du point d'application G de la résultante, la théorie de^ moments donne
M ;>.On L
48. Equilibre d'un corps reiriiu sur uii plan par un ou par deujc de ses points. — Si le système rigide n’était appuyé sur le plan des (XY) que par un point, en |>renant le point d’appui pour origine, la force Z serait détruite et toutes les forces seraient réduites aux deux forces *X, Y et aux trois couples L, M et N. Z mesurerait évidemment la pression cl les conditions d'équilibre se réduiraient aux cinq suivantes
Le signe de la force Z fera connailre le sens de celle pression. Si le système était simplement appuyé sur le plan et pouvait s’en détacher, l'équilibre ne serait assuré que si 1a force Z ne tendait pas à soulever le point d'appui, ec que le signe de Z fera toujours connaître. Si le système rigide était retenu sur un j)lan j>ar deux points A et H (fig. 54) qui ont la lilterlé de glisser en tout sens, en prenant encore le plan pour celui des (XY) et en supposant les deux (Miiiits placés l’un à l’origine et l’autre dans l’axe des X, il est clair que la force Z et le couple (<ji, — q) ou M seraient détruits par la résislance du plan. Toutes les forces se réduiraient donc aux deux forces X et Y et aux deux couples L et N qui devront dire nuis pour l’équilibre.
Les pressions que supportent chacun des deux points d'appui A et 11
sont d’une part Z -t- q cl d'autre part — a, c’esl-à-dirc, Z -t et ,
en désignant par a l'intervalle AB. .Si le cor])s est simplement appuyé sur le plan XY, il est nécessaire de s’assurer que ecs deux forces ne tendent pas à soulever les points d'a|ipui,cc qu’on reconnaîtra par leurs signes.
4‘J. Equilibre d'un corps apputjt sur un plan pur trois points. — Considérons enfin le cas où le système rigide est appuyé par trois points sur le plan fixe des (XY); toutes les forces perpendictdaires à ce plan, c’cst-îi-dirc, Z et les couples L et M, seront détruites par la résistance du plan cl les autres se réduiront au cou|)le X et aux deux forces .X et Y en sorte qu'il sufiira pour l'équilibre d'avoir
STATIQUE
La force Z cl les deux couples L el M produisent une pression donl la valeur Z et le point d'application G se délcrraineut coinine au N° 47 (fig. 33). Les coordonnées n et 6 du point G sont
Quand les points d’appui peuvent être soulevés, avant de pouvoir alliriner que l'équilibre a lieu lorsque X et Y sont nuis, il est nécessaire de s’assurer d’abord que la force Z produit une pression, ce qui n’a lieu que si Z est négatif cl en second lieu il faut s’assurer que le point d’application G est placé dans l’intérieur du triangle formé par les trois points d’appui; car dans le cas contraire il est clair que le système rigide chavirerait en tournant autour de l’une des droites qui joignent deux h deux les points d’appui. Si la position des trois points d’appui est donnée par scs coordonnées (x', y"), (x'', y") et (x"', y'"), celte seconde condition exige que les coordonnées a el b du point G fassent prendre le même signe aux trois polynômes
“ iy" — !/') — >> (*" — •*’)—(*'/'— *"y')
« iy'-y'") - 1> (x - x'")-{x"y-x’y"').
On est conduit à ces inégalités en observant que si par le point G qui a a et /; pour coordonnées on mène une parallèle à l’axe des Y, celle-ci rencontre les trois côtés du triangle en trois points dont 1’^ est supérieur ou inférieur h b pour un côté et moindre ou plus grand que b pour les deux autres. Ces trois valeurs de y résultent des équations des trois côtés du triangle, équations connues puisque les côtés sont des droites passant chacun par deux points donnés.
50. Pression que supporte chaque point d'appui. — La force Z est la pression totale exercée sur le plan fixe, laquelle se répartit entre les trois points d’appui ; en désignant les trois composantes par p, p', p" et par xy, xy', x’’y" les coordonnées des trois points, la théorie des moinenLs des forces parallèles fournit les équations suivantes
Z=^p -h p' -t-p", Za = px -r- p'x' -t- p"x", Zb ■= py -i- p'y' p"y"
qui étant résolues, donnent les valeurs de p, p', p". Si les trois points d’appui étaient renfermés dans une même ligne droite, celle-ci devrait
CIIAI'ItllK V.
(iO
contenir le point G ; en la prenant pour axe des X, on aurait y — 0, y' = 0, y" = 0, 6=0 et les trois équations précédentes se réduiraient à ces deux-ei
