P p' + p'\ Z« = px + p'x' -I- p"x

qui sont insuflisantes pour détcriuiner les trois inconnues p, p', p". On voit «pic le proltlèmc est alors indéterminé. Il en serait de même si le nombre de points d’appui était supérieur à trois, placés ou non en ligne droite. Il est en elTet à remarquer que lors«iue trois points d’apjiui sont ranges en ligne drtiitc ou lorsque le nombre de points d’appui, d'ailleurs quelconque, est supérieur à trois, la répartition de la pression totale entre les différents points d’appui dépend du degré de rigidité du système, et qu’il est par conséquent nécessaire pour que les pressions soient déterminées, d’exprimer par des équations cette jiarfaitc rigidité. Ces équations, si elles étaient connues, jointes aux trois précédentes, donneraient la solution complète de la question.

51. Equilibre il' un corps ayant des points d’appui contre plusieurs surfaces. — Pour qu’un système rigide, soumis à l'action d’une ou plusieurs forces et appuyé par plusieurs points contre des surfaces, reste en équilibre, il faut et il suflit que toutes les forces soient réductibles à des forces normales aux surfaces, passant par les points d’appui et comprimant les points d’apjmi contre les surfaces. Il est d’abord évident que cette condition suffit, puisque toutes les forces seront alors détruites; en outre elle est nécessaire, car si les forces SC fout équilibre sur les surfaces, elles sc feront encore éipiilibre en supprimant ces surfaces et introduisant des forces P, Q, H etc. égales et directement opposées aux pressions. Les forces du système font donc équilibre à P, Q, R... et sont par conséquent réductibles aux forces — P, — Q, — 11... Cette dernière remarque peut servir il déterminer les valeurs des pressions et les positions des points d’appui; car en joignant aux forces du système les forces inconnues -/-P, -«-U, R... normales aux surfaces, le système pourra être

considéré comme entièrement libre et en équilibre; les forces devront donc (X“ 3tt) satisfaire à six équations qui seront autant de relations nécessaires entre les pressions inconnues et les coordonnées des points d’appui, qui serviront k déterminer les inconnues de la question.

Observons que si n est le nombre de points d’appui, ôn sera celui des coordonnées; d’autre part si aux G équations précédentes on joint les n é«piations qui expriment que les points d’appui sont renfermés dans les«

STATIQUE

siirraccs cl en outre, un iiombcc

(J'é(|uations exprimant que

les distances deux à deux des n points d’ap|uii sont invariables, on aura „ »i [« — 1) , . , . . ,

en tout 0 -4- n H équations pour déterminer les n pressions

et les 5n coordonnées. Comme ces inconnues ne sont en général déterminées que si leur nombre est égal à celui des équations, on doilavoir

d’où l’on tire n = 5 et n = 4 , ce qui apprend que , pour que le problème soit déterminé , il faut en général que le nombre des points d'appui soit égal à 3. La racine 4 est étrangère à la question qui nous occupe. Si le nombre d’équations de condition était supérieur à celui des inconnues, l’équilibre serait géiiéralcmcnt impossible dans les conditions assignées et eclles-ci devraient être modifiées. Par exemple, la forme ou lu position de la surface qui sert d’appui devra être assujettie à certaines conditions, comme cela a lieu dans rexcmpic suivant : proposons-nous de trouver les conditions d’équilibre d’une droite AB (fig 35), portant un poids en G et appuyée contre deux plans inclinés CD et CE. Ces jdans doivent se couper en C suivant une droite horizontale, car le poids et les deux pressions P cl Q en A et B doivent être renfermés dans un même plan pour que la force soit décomposable dans les deux forces P et Q et, ce plan devant contenir une verticale cl une normale h chacun des deux plans donnés, est évidemment vertical et perpendiculaire à l’intersection C, qui par conséquent doit être liorizontalc. De plus, il faut pour que la décomposition du poids en deux forces P et Q dirigées suivant FA et FB soit possible, qu’en élevant en A et B les normales AF cl BF, leur point de rencontre F se trouve sur la verticale GF passant par le point G de la droite. Ces conditions suflisent pour fixer géomélriqiicinciit lu position d’équilibre de la droite AB ; désignons en effet AG et GB par m et 11, d’un point quelconque O (fig. 5G) abaissons les perpendiculaires OP, OQ et la verticale OZ et par P menons PU de manière que l’on ait

PS : SR = in : 11

(ce que l’on fait en divisant PO en A, en j)artics proportionnelles à m et II, menant ensuite AS parallèle à OU cl joignant les points P et S). Si on mène ensuite ab parallèle à PU et égale à la droite donnée AB

CIIAPITRB V.

de l'autre ligure, celle dernière sera dans la position d’équilibre; car en élevant les normales no, bo et la verticidc oz, un aura deux ligures semblables PORS et aobs ; le point s se confond donc avec G, à cause de la position du point S sur PR. On aura une seconde solution de la question en substituant le point Q au point P dans la construidiun précédente.

On obtiendra les valeurs des distances Cn, Cb et de l'angle Cn5, en considérant les triangles nos, bos et Cn6. On trouve ainsi

Dans ecs lunnules x, y, o, c, a et ^ représentent les distances C« et Cb, les angles Cab et aCb et les inclinaisons aCH et èCR des plans sur l’iinrizon HR.

Occupons-nous encore du problème suivant : Une droite AB (fig. 57) est appuyée sur un plan horizontal .AC cl contre un plan vertical CB. Elle porte en G un poids P. On demande quel effort Q il faudra exercer en A siiiyant AC pour empêcher ce point de glisser.

Il faut que les forces qui agissent sur la droite AB puissent se décomposer cn deux forces perpendiculaires aux deux plans en A et cn B. La résultante R des deux forces P et Q ou Do et Dfc transportées en D doit pour cela passer par le point de rencontre E des deux perpendiculaires AE et BE, ce qui exige que l’on ail