M = DV

et par conséquent

P= DVÿ.

Telles sont les relations qui existent entre P, M, V, g, I) cl n.

35. Détermination physique du centre de gravité. — Il résulte de la définitiou que nous avons donnée plus haut du centre de gravité, que si ce point est rendu fixe, le corps soumis à la seule action de la pesanteur restera en équilibre dans toutes les positions. On voit aussi (|uc quand un corps a un point fixe autre que le centre

<:ii\piTHK VI.

tid

de pruvitc, il faut pour l’équilibre que ce point et le eeiilrc de gravite soient situés dans une même verticale; si donc un suspend un corps pesant par un fd attaché à Tun de ses points, ce fil prolongé par la pensée devra passer par le centre de gravité quand le corps sera immobile. Cette remarque fournit un moyen jimir déterminer cvpérimcnlolement le centre de gravité d’un corps, quelles que soient sa forme et sa nature, puisqu’il suflit de le suspendre dans deux positions pour connaitre deux droites renfermant ce centre.

Comme la résultante |iroduil le même elfet que les composantes, on peut dans tontes les questions d'équilibre faire abstraction de la jiesantenr des différentes parties d'un corps, en joignant aux forces qui lui sont ap|>liquécs une force égale a son poids et appliquée au centre de gravité.

î;4. Centre de gravité d'an sgstème de rnrps. Centre de figure. — Lorsqu’on eonnait les centres de gravité G’ et G" île deux parties d’un corps et leurs ]>oids respectifs I*' et P", il est facile de déterminer le centre de gravité G du corps entier; car si l’on joint ces deux points G' et G'' par une droite, on peut considérer les poids P’ et P" des deux parties comme des forces parallèles appliquées aux extrémités de la droite G' G” cl une proportion sulTira pour déterminer le point d’application G de la résultante ou du poids total. De même si l’on eonnait le centre ilc graviul G du corps entier et celui G' de l’une des parties, ainsi que les poids P et P' du corps entier cl de l'iinc des parties, il sera facile de déterminer le centre de gravité de l’autre partie, puisqu’il sulIirH de. déconip<iser la force P en deux autres forces parallèles dont rune soit P' appliquée en G'. En général si un corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont ou connaît les poids et les centres de gravité, une composition de forces parallèles représentant ces poids fera connaître le centre des forces parallèles ou le ecnlrc de gravite du cur|>s entier. Eu faisant usage de la théorie des moineuls et désignant par p, p’, les poids des différentes parties du corps, par (lyi), {x'y'z'), {x"y"z").... les coordonnées de leurs centres de gravité, par P le poids du corps entier et par {x,y,z} les coordonnées du centre de gravité du corps entier, on aura

px -I- p'x' ■+■ p"x’ -I- etc.

py -V- p'y' -!- etc.

pz -t- p'z' -t- etc.

P = /) -t- p' -t- p" -t- etc.

STATIgIT..

Les reniiirques faites au N" sur la position «lu centre des forces parallèles dans certains cas particuliers, sont applicables au centre de gravité. Ainsi si les centres de gravité des différentes parties d’un corps sont renfermés dans un même plan, le centre de gravité du système sera aussi situé dans ce plan. Si tous les centres de gravité sont dans une même ligne droite, celle-ci contiendra aussi Icccnli’c de gravité cherché. Comme on a toujours

p = mg, p’ = m'(j, V = Mg,

on peut remplacer p, p'....P par leur valeur et supprimer le, facteur commun </; on voit donc que x, y, î, ne dépendent que des masses et sont indépendants de l’intensité de la gravité; il en est donc ainsi de la position du «■entre de gravité.

Si les corps sont homogènes ou s’ils ont la incinc pesanteur spécifique TT, on a

P = rV, /) = îTi’, // = nv'....

et les valeurs de x,y,z, deviennent,

, „ t’x -¥• v'x' ■*- v"x" -t- etc.

V = i) -4- 1) -V- 13 -H etc. x,= y — - ,

ly ■+■ n'y -t- n'y" etc. vz -t- n'z' -i- v"z" -i- etc.

Les produits Vx, rx, vy etc. se nomment par analogie, momenls des volumes V, t>.... par rapport aux plans coordonnés. On voit «pie les coordonnées x,y,z,(hi «•entre de gravité ne «lépendent plus dans eecas que des volumes des «lilfércntes parties du système et nullement de 1a densité de la matière; il resterait donc le même si la matière disparaissait. On le nommealors centre de figure du volume ou centre des moyennes distances et si on le nomme encore quehpiefuis centre de gravité, c’est que par la pensée on y introduit de la matière en la répartissant uniformément dans le volume. Ainsi quand «in cherchera le, centre de gravité d’une ligure géométriipie, on pourra substituer à i3elle-ci un corps homogène ayant celle ligure géométrique pour limite. S’il s’agit du centre de gravité d’une surface, on pourra consi«lérer celle-ci comme matérielle en lui «lonnant une épaisseur uniforme et infiniment petite. S’il s’agit d’une ligne, on pourra y substituer un corps lioinogèiu' ayant une largeur et une épaisseur inliniincnt petites et uniformes.

Le centre de gravité ou le centre de ligure est souvent connu sans

<iS

i:hai>itiië VI.

qu’il soit nécessaire d’avoir recours à une o|iénilion |iour le «léleriiiiiier; c’est ainsi que pour la sphère, l’ellipsoïde de révolution, le parallélipipède, le cylindre droit, etc., la symétrie l'ait iniinédiatemenl eounaiire la position de ce point pourvu que ces corps soient homogènes. Il en est de même de la ligne droite, de la circonrércncc et de l’aire du cercle, de la surface de l’ellipsoïde, du parallélograminc ainsi que de toute figure ayant un centre, c’est-à-dire, dans laquelle toute droite passant par ce point y est divisée en deux parties égales.

Connaissant le centre de gravite d’une droite, il est facile de déterminer le rentre de gravité du contour d'un polygone, puisqu’on peut remplacer les poids des côtés par des poids priqiortionncis apjiliqués aux milieux de ces côtés.

Si on connaissait le centre de gravité d’un triangle et d’un tétraèdre, on déterminerait facilement le centre de gravité de faire d’un polygone et du volume d'un polyèdre, puisipi’on pourrait décomposer ceux-ci en triangles et eu tétraèdres que l'on rcinpiaccrait par des poids proportionnels à leurs aires ou à leurs volumes et ap|iliqué.s à leurs centres de gravité respectifs. Pour le,s ligures autres que les précédentes, on est en général ohligé d’avoir recours au calcul.

î)5. Centre de gravité des lignes eourhes. — Occupons-nous d'ahord des centres de gravité des lignes eourhes et désignons par s un arc quelconque d’une courbe compté à partir d’un certain point fixe A jusqu’au ]ioint quelconque M dont les coordonnées sont x g z. Soit ds féléinent de la courbe qui termine l'arc au point xgz', les coordonnées de ds sont donc x, ty, z. Ap[iclons l lu longueur de la partie de la courbe dont on veut avoir le centre de gravité {x,y,z), et s' et s" les valeurs de s aux deux extrémités de /. Les moments de l’élément ds par rapport aux trois plans coordonnés sont xds, gds, zds ; les soinmes de ces monicnts étendues à la portion / de la courbe, c’està-dire prises entre les limites s' et s" sont donc

xds , « gds , 1 zds .

Ces intégrales définies représentent les sommes des moments des éléments ds; or, on sait (.V .’ji) que pour un corps quelconque chacune de ces sommes est égale au moment du eurjis entier qui ici est l’are / ; on a donc

lx, = \ xds, lg, = \ gds, ^', = 1 '

STATIQUE

on liicii, cil rcmiilnçanl ils par su valeur et eu désigna ni para:, ij , x", I/", z" les coordonnées des deux exlréiuilcs de 1 are l.

= de.

d’où Tou lire les valeurs de x, r, en remplaçant x, y, c,

dx dz *

par leurs valeurs en z lir<;cs des deux cqualionsdc la courbe cl en délcnninaal l par la forniulc

dz.

Si au lieu de l’élcracnl linéaire ds de la courbe on avait introduit dans CCS équations le volume de rélénienl matériel représenté par uids, w désignant l’aire d’une section transversale de la courbe, I aurait du cire remplace par ul, ds par udscl ai disparaîtrait comme facteur commun.

S’il s’agit, iiar exemple, de trouver le centre de gravité d’un arc d'hélice dont les équations sont (voir le traité d’analyse N“ llü)

x = rsin— V !/='’'<** — ) or ne

il vient

Lorsque la courbe bl plane, on sait (milieu de 54) que son iilan conlieiil le centre de gravité de la courbe et en iircnanl ce plan pour celui des (XY), les deux premières équations suflironl pour déterminer CO point. On trouve alors

ciiAi'irni; vi.

Prenons pour exemple la cycloïdc. Son équalion diirérenticlle est (voir le traite d’analyse N° 77)

dx =

Pour simplifier les rdsiiltats, transportons l’origine des coordonnées au sommet en remplaçant x cl y jwr a« — y et ÿa — x , ce qui transforme l’équation dans la suivante

et l’on trouve

dy =

(2n — x) dx j/2«x — I*

Cette dernière valeur s’obtient en intégrant par parties lu dilTéren-

tielle y.x ’ dx et en remplaçant dy par sa valeur tirée de l’équation diirérenticlle de la courbe.

.Si la courbe plane était symétrique des deux eétés d’une droite, celle-ci renfermerait nécessairement le centre de gravité et en la prenant pour axe des Y, la seconde équation sullirait pour fixer la position tle ce point. Prenons pour exemple un arc de cercle AH (fig. ô8) d'un rayon r. L’axe des Y étant la perpendiculaire OC sur la corde AB représentée par 2x', les valeurs extrêmes de x seront x' et — x' et la position du centre de gravité (i sera donnée par

STATIQl’E.

dans ln()iidle / désigne l’arc AB. Celle valeur apprend que la distance OG est une (luutrième priiportiunnelle contre t, r et la corde 2x'.

5(i. Centre de yravité d'une surface courbe. .Surface plane. Triangle. — On sait qu’en représentant par xgz les coordonnées d’nn point d’une surface rapportée à des axes rectangulaires, l’élément de celle-ci

portion de surface dont on clierche le centre de gravité, on aura

I ; si donc on représente par 7 la

les limites de l’intégrale double étant celles de la surface 1. Le moment de cet élément par rapport nu plan des YZ est

et si l’on représente par x, i, les coordonnées du centre de gravité de À, on aura en étendant l’intégrale double à la surface /. entière,

On aura de même

•Si la surface avait été considérée comme matérielle et par conséquent comme ayant une épaisseur très petite ai, il aurait fallu remplacer

l’élément superficiel dxdy vMS-© par l’élément de volume « dxdy y/l -+- et

comme à la surface X il

faudrait substituer le volume caX, il est visible que le facteur commun 01 pourrait être supprimé et que rien ne serait changé aux valeurs de X, y, s,.

CIIAI'ITnE VI.

Quand la surlacn est iilaiie, si on prend son plan pour eclui des (XY),

les qiiantilés z, z cl sont milles, et il vient en étendant les in- ' dx dy

légrales doubles à la surface plane entière,

)=^ffdxdy, )jc,=/fxdxdy, 7y,= ffydxdy.

Sii])posons par eveinplc qu’on veuille eonnailrc le eciilre de gravité de la surface plane BMCM' (fig. 39); pour fixer les limites des intégrales, je remarque ipi’à une même abscisse x ou AP eorrespoinlent deux ordonnées PJI et P.M' ou y et y' et que l’intégration par rapi.ort à y doit par eonséquent être elTeetuéc depuis y — MP jusqu’à y — M P et ensuite celle par rapport à x, depuis x = AR' = a jusqu’à x = AC = P‘, or les valeurs précédentes peuvent être mises sous la forme

\ = fdxfdy , )x, = fxdxfdy , )iy, = fdxf ydy ;

il vient donc

* = /W — — !/') rf-r, >.V, = r

Après avoir remplacé y cl y' par leur saleur en x, il faudra inti-grer de nom eau depuis a jusqu’à et il viendra enfin

dx

qui serviront à déterminer les valeurs de x et de i/, . Si la surface M.M'X'N (lig. 40) était limitée par deux courbes quelconques MM' et NN cl deux ordonnées MP et M'P', les équations précédentes seraient encore applicables et il faudrait tirer des équation^ des deux courbes les Ailleurs de y et y' en fonction de x et intégrer ensuite entre les limites a cl p ou OP et OP'.

Quand la courbe XN' se confond avec l’axe des .\ dont l’équation est ty' = 0, il vient pour la surface MM'PP',

On parvient directement à ces formules en concevant la surface MM'N'N divisée en un nombre infini de bandes infiniment minces

STATigun.

inm'n'H dont l’airt! csl inesiiréi* pur (y — ?/') ilx i‘(. dont la .somme > est rcpréspiilée par l’intégrale

— y')dx.

Comme les moments de la bande mm'n'ii par rapport aux axes des X et

des Y sont (ÿ — y') dx. Op = {y — y') xdx et (y — y') dx • —

. '^^. = fiy—y')xdx et hj, = ^^LZ^dx.

Appliquons ees formules à la détermination du rentre de gravité d’un triangle OMN (fig. 41); si l’on prend le sommet O pour origine et la perpendiculaire OP sur MX pour axe des X , cette rccherehc se réduit à trouver le centre de gravité de l’aire comprise entre les lignes OM et ON limitées en O et en MP. Posons donc

Op = x, pm—y, pn=y', OP = /i, MP = b, NP = 6'; les équations des deux lignes OM et ON seront

et il viendra on substituant et en intégrant ,

On conclut sans peine de ces valeurs de x, et y,, <|iie le centre de gravité G est placé sur la droite qui joint le point O au milieu A de la base MN et aux deux tiers de OA à partir du point O. La même proposition peut être démontrée sans calcul intégral; en effet, si on eonroit le triangle OMN divisé en tranches inruiiment minces, telles que «in parallèles à la ba.se MN , les milieux de toutes ees tranebes seront évideininent placés sur la droite OA qui joint le sommet O au milieu A de la base MN; d’où l’on est en droit de conclure (N“ 54)

CUAl-ITHE VI.

([uü lu centre de gravité du triangle OMN est placé liii-iaéiiic dans cette droite OA , puisque les milieux de iiin ne sont autre cliosc que les centres de gravité de ces tranches. Kn second lieu , en joignant les sommets A et B (fig. 42) aux milieux 1) et E des cotés opposés, les deux droites Al) cl BE devant contenir le centre de gravité, celui-ci est déterminé par riutcrsection tî ; or si l'on Joint les points E et 1), la droite El) est parallèle à .\B, parce qu’elle coiijie AC et BC en parties proportionnelles; les triangles EDO et ACB sont ilonc .senihlaldes et comme El) est la moitié de AB, ÜG est aussi la moitié de .VG, comme on l'avait déjà vu.

Ce qu’on vient de voir donne lieu à deux remarques qui peuvent être utiles. Si on suppose le triangle ABC sans pesanteur et qu’aux trois sommets A, B et C on place trois sphères homogènes égales, le centre de gravité de reuseinble de ces sphères coïncide avec celui du triangle; car la résultante des poids C et B est un poids double placé au milieu D de CB et la résultante de A et du poids double U divise AD dans le rapi»ort 2 à I.

La seconde remarque consiste en ce que, si on rapporte les sommets du triangle à deux axes rectangulaires renfermés dans son plan, les coordonnées du rentre de gravité sont les movennes arithmétiepics des coordonnées des trois sommets, ce qui se démontre très racilcment en égalant la somme des moments des trois poids égaux au moment de la résultante. C’est celte propriété qui a fuit donner au centre de figure le nom de rentre des muijennes dislaiires.

S7. Centre de f/ravité d'un secteur de cercle. Segment de cercle. — Ou conclut aussi de là lu position du centre de gravité du secteur de cercle AOB (fig. 4Ô); car si on le divise en un nombre infini de triangles égaux et infiiiiincnt iietiLs ayant jiour sommet le centre ü cl pour base les éléments égaux qui composent l’are de cercle AB, tous ces triangles ani-onl évidemment leurs centres de gravité répartis uniformément sur un arc. de ecrcle Cl) décrit du point O avec un ru von égal aux deux tiers de O.V. En remplaçant donc les triangles considérés comme pesants, pur des poids équivalents placés à leur centre de gravité, il est clair que tous ces jioids réunis formeroiil un arc pesant CD dont le centre de gravité G coincidera avec celui du .secteur. Or, on a vu (X“ üb) que

OC. corde Cl) nr. = •

sT.niiiUt.

on ;i ilüiic aussi, en reniplaeant OC, are Cl) el conie CÜ par leurs \a-

2 2 2 leurs - OA , - corde AU , - are AB ,

2 OA. corde AB

OG

3 are AB

Pour avoir le centre de gravité du segment de ccrelc ABFA |)Iaec évidemment dans la flcclic OF, désignons par x, x', x" les distances des centres de gravité du triangle ABO, du segment AFBA et du scetcur AOBF au point O, et iiar S, S’ et S" les surfaces de ecs trois figures. En les considérant comme remplacées par des poids proportionnels appliqués aux centres de gravité respectifs reufennés tous trois dans OF, la théorie des moments donne .

Sx -I- S'x' = S"x" ;

or, on a évidemment

S" = S-t-S', x = -OH=-/», S == - A. corde AB =--/tc,

I 1 '2ac

S" == - OA. arc AU = â ” ~^T *

En sub.sliluanl ces valeurs dans l’cquation des inoincnU, on trouve

3 (al — lie) fin/ — ■ ke 3 , /

l — n sin -

Cette dernière valeur s’obtient eu remarquant que l’on a

c = 2a sin — , h = a cos-— .

38. Centre de gruvilé d’une surface de révolution. — Lorsi|ue la surface est de révolution et limitée par deux plans perpendiculaires .à l’axe de figure, on a déjà vu (N" 34) que le centre de gravité est placé dans cet axe, et on détermine sa position sans avoir recours aux formules générales, par les considérations suivantes : soit S une portion d’une semblable surface eoniprise entre deux plans perpendiculaires à l’axe que nous prendrons pour axe des X; appelons a, jS et x, les distances de ces deux plans et du centre de gravité à l’origine des

CIIAP1THE VI.

coordonnées et décomposons l'are de courbe génératrice s en éléments ils; chacun de ces éléments en tournant autour de l’axe des X engendre une zone circulaire ayant ij pour rayon et dont la surface dS est représentée (traité d’analyse X" 187) par

f/S = '■2- y ils = 2r.ydx

et le moment par rapport à l’origine des coordonnées, par

xdS= ‘2i;yxds\

un a donc

et comme toutes ces zônes symétriques autour de l’axe des .\ ont leurs centres de gravite placés dans cet axe, celui-ci contient aussi le centre de gravité de la surface entière , dont la distance x, à l’origine se trouvera ou égalant le moment de la surface entière à la somme des moments des zènes, c’est-à-dire en posant

L’intégration pourra se faire lorsqu’on aura remplacé y par sa valeur tirée de l'équation de la courbe génératrice. Appliquons cette formule à la recbcrche du centre de gravité d’une zone sphérique. On trouve dans ce cas

c’est-à-dire que le centre de gravité se trouve au milieu de la hauteur de la zone.

Proposons-nous encore de trouver le centre de gravité d’une zone de

STATlyUE.

la surface décrile par une cycloïde tournant autour de son petit axe. On sait que ré(|uation de la cycloïde rapportée à son soinincl est

dy.

(2 a — x) dx [/Yci

lax — X*

et on trouve en intégrant par parties et désignant par x'y' et x"y" les

valeurs extrêmes de x et ^ et par

différence des valeurs de

l^uj^ la diffé et x",

tjdx — = 2ir |/2a y yx * dx

U correspondant à deux limites x* et x".

pi 2

= 4ir j/2a yx* - (2o — x)’ ,

L Jx'

=2jr(/2aj ;yx’— -/xVyJ =-:rj/^yyx*^- -(2a— x) |^-a-t-xj

En considérant un cône droit eoininc engendré par une droite tournant autour de l’axe des .\, on reconnaît que le centre de gravité de sa surface est placé dans l'axe, à un tiers de la hauteur à partir de la base.

On arrive au même résultat, en considérant la surface conique comme composée d’un nombre infini de triangles ayant pour sommet commun le sommet du cène et pour base les éléments égaux qui composent la circonférence du cercle qui sert de base au cône ; tous ces triangles ont leur centre de gravité placé aux deux tiers de la hauteur de ces triangles, à partir du sommet; tous les centres de gravité sont donc distribués uniformément le long d’une circonférence tracée sur la surface conique, distante du sommet des deux tiers de son cêté. On (leiit donc remplacer le poids ilc celte surface par le poids de ce cercle dont le centre est le centre de gravité du cène.

59. Centre de gravité d'un corps de forme guelcongue. — Priqiosons-nous maintenant de trouver le centre de gravité d’un corps de

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CIIAlMTIIfc VI.

forme quelconque ; iippelniis M sa niasse qui peut être honingènc ou liélérogène; divisons-Ia par des plans ]>nrallèles aux plans coordonnés en un nombre iiilini d'éléments inlliiiment pelits dm et désignons pur XI/: les eoordonnées de l’un de ces éléiiiciiLs, par p sa densité et par dv son volume, c’cst-ii-dire, dxdifdz. Les moments de dm par rajqiort aux trois plans coordonnés seront xdm, tjdm, zdm , ou, en observant que dm est égal odv (N“ Îi2), pxdxdydz, ritjdxdydz, pzdxdydz, et les sommes des moments dotous les éléments seront reiiréscntées par les trois intégrales triples

fffpxdxdydz, fffpydxdydz, fffozdxdydz,

les limites de ces intégrales cUiiit prises de manière à embrasser le corps entier.

Si l’on appelle {x,y,z,) les coordonnées du centre de gravité, ces moments doivent être égaux à Mx,, My^, .M:, (X“ Ü4); on a donc

M = fffpdxdydz , Mx, = fffpxdxdydz ,

-'fy, = = ffj'?-<fxdydz.

Si le corps est hétérogène et si lu densité varie d’une manière continue, P sera fonction de xyz. Si le corps est homogène, p sera constant et pourra sortir des signes d’intégration, M pourra être remplacé par pV, V désigiianl le volume du corps, et il viendra

V = fffdxdydz , Vx, = fj/xdxdydz , V i/, = fffydxdydz ,

La marche à suivre pour effectuer ces intégrations est la même que celle qui conduit aux eubaturcs des corps quelconques (traite d’analyse, N” 18!)). Ainsi, si l’on ebeiThe le centre de gravité d’un corps limité |iar une siirfuec plane u}ant pour équation

Z — ax by -t- c ,

jmr les trois plans coordonnés et par deux plans parallèles aux XZ et YZ cl distants de y' et x', on trouve

V = * x-'ÿ' (mx’ -t- b y' -V- Üf),

STATIQIÎE.

Vÿ, = x'}r (^1; = h' 5 *') ’