CHAPITRE VI
Le int'mc procédé fait connaître la position du centre de gravité d’un cduc à base quelconque ou d’une pyramide homogène. 11 est évident que si on la divise en tranches infiniment minces et parallèles à la base, toutes ces tranches seront semblables et auront leurs centres de gravité respectifs placés sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, puisque toutes ces sections parallèles sont rencontrées par celte droite dans des points homologues. Or, si on désigne par 11 la base, par X l’aire d’une section quelronque ayant son centre de gravité distant du sommet d’une quantité I, et par h la droite menée du centre de gravité de la base nu sommet de la pyramide, comme les aires des sections semblables sont proportionnelles aux carrés des arêtes homologues, il vient
d’ou X= — at*.
En désignant par </x la portion de la droite h comprise entre deux sections consécutives et par a l’angle constant i|uc forme cette droite h avec toutes les sections parallèles, sin a.dx sera l’épaisseur (le la tranche, Xsinarfx son volume, fiXsinaifx sa masse cl pXxsinarfx le moment de sa musse )>ar rapport au sommet. On aura donc
• ; ■ sin aux = -J- sin «
rx*(/x=L«
Jo
Il sin a y
sin a</x == P P sin a = P 4 “ ’
et par conséqueul
c’csl-îi-dirc que le centre (le (jravM d’un corps pyramidal est placé sur lu droite qui joirU le sommet au centre de yravilé de la base, aux trois quarts de la longueur de celle droite (i partir du sommet.
Cl Centre de gravité du tétraèdre. — Celle proposition se démontre sans calcul intégral par des considérations purement géomélri(iues; en cifcl dans le létra.-dre .\BCD (lig. U), le centre de gravité se trouve (d’après ec qu’on vient de voir, N“ 00) sur la droite qui joint un des sommets D on C nu centre de gravité E ou F' de la face triangulaire opposée; il se trouve donc placé au point d’intersection G de
STATIQUE
ces deux droites. Or, si on mène la droite FF', celle-ci sera parnllèle à CD, parce que, par hypothèse, EC et ED sont triples de FE et F'E ; d’où il résulte que CD est triple de FF' et comme les triangles DGC et FGF' sont semblables, DG est aussi triple de GF, ce qui vérifie pour la pyramide triangulaire, la proposition énoncée à la fin du numéro précédent. On étend ensuite la démonstration à une pyramide homogène à base quelconque en remarquant que si on divise la base en triangles et par suite, la pyramide en tétraèdres ayant pour bases ces triangles , les centres de gravité des tétraèdres seront tons renfermés, d'après ce qu’on vient de voir, dans un plan parallèle à la base et distant de celle-ci du quart de la hauteur de la pyramide; ce plan contient donc le centre de gravité cherché. D’nn autre côté en concevant la pyramide divisée eu tranches parallèles à la base, on fera voir comme au numéro précédent, que le centre de gravité est renfermé dans la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base; d’où il résulte que ce point est déterminé par rinterscction de cette droite et du plan parallèle, point qui occupe évidemment la position indiquée a la fin du numéro précédent. Enfin comme cette proposition est indépendante du nombre de côtés du polygone qui forme la base de la jn ramidc, elle sera vraie encore à la limite, lorsque le polygone deviendra une courbe quelconque.
En suivant la même marche qu’a la fin du i\“ 1)6, on conclut facilement du théorème sur le centre de gravité du tétraèdre, les propositions suivantes : Si aux quatre sommets d'un tétraèdre homogène on place quatre sphères égales, le centre de gravité de ces quatre sphères se confond avec celui du tétraèdre.
Le centre de gravité du tétraèdre est placé au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées.
Les trois droites qui joignent deux d deux les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre viennent passer par un même point qui n’est autre que le centre de gravité et s’g coupent mutuellement en deux parties égales. >
La distance du centre de gravité d un plan est égale d la moyenne arithmétique des distances des quatre sommets d ce plan.
62. Centre de gravité du secteur sphérique. — On peut trouver sans calcul le centre de gravité d’un secteur sphérique, car si on conçoit la zône sphérique divisée en un nombre infini de facettes infiniment petites équivalentes et par suite , le secteur sphérique lui-méme décomposé en un nombre infini de pyramides équivalentes, ayant pour
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HH
baso.i les élémenls dans lesquels la z.ônc a élc divisée el pour sommet eominuti le centre de la sphère, ces pyramides auront évidemment leurs centres de gravité placés dans les rayons menés aux centres des différentes facettes, aux trois ipiarls de ces rayons à partir du sommet ; ces centres sont donc répartis uniforinémcnl sur une zone sphérique concciitriiiue à la première et ayant un rayon égal aux trois quarts de celui du .secteur et si l’on remplace par la pensée, chaque pyramide par un point matériel pesant appliqué à son centre de gravité, tous ces points matériels formeront une zone sphériipie pes,uite dont le centre île gravité se confondra avec celui du secteur. La recherche du centre de gravité d’un secteur sphérique est ainsi ramenée à la détermination du centre de gravité d’une zone sphérique semhlahic à la zùnc donnée et ayant un rayon égal aux trois quarts de celui du secteur.
Connaissant le centre de gravité d’un secteur sphérique homogène, on en déduit le centre de gravité d’un segment sphérique; en effet g étant le centre de gravité du cône OAh (lig. 43), g' celui du secteur sjdiériquc OitCll ou plutôt de la zone acb qui en lient lieu et dont le rayon forme les trois quarts de ü,\ et g" celui du segment ACBA , si on considère le cône, le secteur cl le segment comme l•cmplacés par des poids équivalents suspendus à leurs centres de gravité respectifs, le moment du poids du secteur suspendu en g' sera égal à la somme des nioinenls des poids du cône cl du segment suspendus eu g cl g" el eu désignant par V, V' cl V" les valeurs de ces trois corps, on aura
V" = V' — V Og’.\' = Og.\ ^Og’ .X",
d’où l’on lire
en remarquant que g' est au milieu de ge et que Og et gc sont égaux
à r OU et 7 1)C.
Gâ. l'nuge de la théorie du centre de gravité en géométrie. — La théorie du centre de gravité est utile en géométrie pour mesurer les surfaces et les volumes des corps de révolution; en effet, en désignant
STATIQUE
par XI/ les coordonnées d’un point qncleon<ine d’une courbe [ilanc et par ils rélémcnl de ccUc courbe, on sait que lu surface S ilu corps de révolution, engendrée par la rotation de cette courbe autour de l’axe des a pour expression
S = ^ ijih ,
x' et x’’ étant les abscisses des deux points extrêmes de lu courbe génératrice; or si on détermine l’ordonnée y, du centre de gravité de cette courbe, on a aussi (N” 55)
Jx’
l étant la longueur de l’are de courbe. En rapprochant ces deux équations, on trouve
S = 2:ry,/;
la surface de révolution est donc éijale an produit de la circonférence décrit le centre de gravité de la courbe , par la longueur I de cette courbe.
Si l’on fait tourner autour de l’axe des X la surface plane MM'N'X (fig. 40) comprise entre deux courbes et limitée par deux ordonnées correspondant aux abscisses x' et x", on obtient un corps de révolution dont le volume a pour expression (Voir le traité d’analyse, N“ 185)
Or, en désignant par y, l’ordonnée du centre de gravité de la surface plane comprise entre les deux courbes et par S cette surface, on a aussi
la valeur de V devient donc
V = 27ry,.S,
c’est-à-dire que le volume d'un corps de révolution est donné par le produit de la surface plane génératrice S par la circonférence iny, que décrit son centre de gravité.
Les deux théorèmes qui précèdent sont dus au géomètre Guldin et en portent le nom. On ap[iellc méthode centrobarique cette manière
CIIAI'ITIIt VI.
ST-VTIQli;.
de faire dépendre la mesure d'une surface et ifun volume, de la position de leur centre de gravité.
On peut aussi faire dépendre le volume d’un prisme droit tronqué ou d’un cylindre droit tronqué, de la position du centre de gra\ité de la base; en elTct, si un divise cette base en éléments quelconques e cl qu’on conçoive le corps divisé lui-même en prismes ayant les « pour bases et : pour bniitcur, le volume de l’un des prismes élémentaires sera et le volume entier V sera
D’un autre côté, si on désigne par 0 l’inclinaison de la base oblique
supérieure du prisme sur la base inférieure , sera la section
cos 0
oblique de l’un des prismes élémentaires et son moment par
cos 13
rapport à la base ; en désignant donc par B' l’aire de cette base oblique et par s, la |)crpcndiculairc abaissée de son centre de gravité sur la base inférieure, on aura
cos 0
cos * eus 0 ’
et par conséquent
V = B' cos 0 ,
ou plutôt en désignant par B la base inférieure,
c’csl-îi-dirc , que le volume d'un prisme ou cylindre droit tronqué est donné par le produit de l'aire de la base par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base oblique sur l’autre base.
Il est à remarquer que le centre de gravité de la base oblique se projette sur la base droite au centre de gravité de cette dernière, ce qui se démontre facilement en cherebant les distances des centres de gravité de ces deux hases Ji deux plans XZ cl YZ parallèles aux génératrices du cylindre et on conclut de là que le volume d’un eviindre tronqué par les deu.x extrémités est donné par le produit de sa section droite par la distance des centres de gravite des deux bases.
I.es propositions indi<[uécs à la fin duX°Gl, sont autant d’exemples du parti que l’on peut quelquefois tirer de la statique pour démontrer des propositions de géométrie.
