CHAPITRE VII

Équilibre d'un système de forme variable soumis à l'action de certaines forces. — Équilibre du polygone funiculaire. — Scs propriétés. — Équ.ation de la cliaiiiclle. — Scs propriétés. — Cas où la eliaiiic est de grosseur variable. — Équilibre d'un lil ayant tous scs points soumis à l'action de forces quelconques. — Équilibre d'un lil tendu sur une surface. Pression.

64. Équilibre d’un système de forme variable. Polygone funiculaire. — Lorsque le syslènic de points auxquels sont appliquées les forces, est de forme variable , les six équations du N” ô!) , savoir

doivent encore avoir lieu quand il y a équilibre; car quel que soit le mode de liaisons, on ne changera rien à la forme du .système en équilibre ni à la valeur des fon'cs, en supposant qu'il dcxiciiue tout à coup rigide, auquel cas on sait que les six équations précédentes doivent exister; mais elles ne suflisent plus comme dans le cas de la rigidité, pour assurer rimmobilitc. Il faut alors exprimer que l'équilibre a lieu dans toutes les parties du système, c'est-à-dire, poser les G équations pour chaque partie rigide ou meme pour une portion quelconque du système variable , en rangeant parmi les forces les tensions provenant des liaisons de cette portion avec le reste du système.

Prenons pour exemple le polygone funiculaire. On donne, ce nom à un système dans lequel les points d'application des forces sont réunis par des droites inextensibles, parfaitement flexibles et sans

CIIAI’ITHL Vil.

pcsjiniciir que l’on nomme cordons. Les points il’applicalion des forces pinces aux sommets des angles du polygone prciiiiciil alors le nom de nœuds. Les forces du système réagissent les unes sur les autres par rintermédiairc des cordons et il en résulte dans ceux-ci des tractions en sens inverse et égales entre elles qui prennent le nom de tensions.

Considérons un polygone funiculaire ABC (lig. 4G) sur lequel agissent les forces Q, Q', P, P', P"; soient t, t' les tensions de Aftet BC. Pour qu’il y ait équilibre dans le polygone, il faut et il suflit qu'il y ail équilibre autour de chaque nœud entre les forces P, Q et t pour A, entre l, P' et t' pour B etc. En rapportant le polygone Ji trois axes reclanguiaircs, on a donc en générai pour eha()uc nœud six équations d'équilibre qui se réduisent ici aux trois premières, parce que chaque groupe de forces est appliqué en un même point (N" 15) et ces trois équations de condition

établissent des relations nécessaires entre les forces, les tensions des cordons et les trois angles formés par les forces et les cordons avec les trois axes. A ces équations, qui sont en nombre ôn s’il y a n nœuds, il faut joindre celles qui expriment que la somme des carrés des cosinus des trois angles formés par une droite avec les trois axes est égale à runité , équations qui sont au nombre de -i- 1 , puisque le nombre de forces et de cordons est de '2n -t- 1 . On dispose ainsi de 5« 1

équations pour déterminer les valeurs des inconnues dont le nombre devra être aussi de 5« -t- 1 , parmi lesquels ne peuvent se trouver les longueurs des cordons , puisque les équations ne contiennent pas ces longueurs. Ces 5« -+■ 1 équations contiennent 8;i -t- 4 quantités, savoir n + 2 forces, n — 1 tensions et G« 3 angles, et celles-ci se réduisent à 8;i ■+■ 3 quantités distinctes, attendu que les équations .\ =0, Y =0, Z = 0 contenant les facteurs P, P ... t, t' dans tous les termes, on pourra les diviser par P et elles ne contiendront plus que les rapports P' P" I

, qui sont en nombre 2;i au lieu de 2n -4-1. On pourra donc

en général disposer de 3« -4- 2 de ces quantiU-s et les Aalenis des 3;t -t- 1 autres résulteront de la rés<dntion des équations.

Si le pohgonc était attaché par ses deux extrémités à des ])oints fixes M et >' , les forces Q et O’ seraient les tensions des côtés extrêmes du polvgonc ou les pressions supportées ]>ar les points de suspension.

STATlQrE.

Si qiiclqucs-ims des luinids élaicnl rcmpliicés par des amicaux ayant la liberté de glisser le long des cordons, il faudrait aux tin -i- 1 équations précédentes ajouter pour chaque anneau les conditions

t = t', etc.

car il est clair que la tension doit dans ce cas être la inémc des deux côtés de ranneau pour qu’il ii’y ait pas glissement. Ces nouvelles équations de condition auxquelles le polygone doit satisfaire, diminueront le nombre 5« -+- 2 de qmintiU's disponibles. Si par exemple le nombre de nœuds est de deux et s’ils sont remplacés par deux onneaux, comme dans la ligure (>7, il y aura en tout 15 équations en y comprenant les deux suivantes

Comme ces équations contiennent 11) quantités, on pourra, en général, donner telle valeur que l’on voudra à 6 de ces quantités et les valeurs des 15 autres résulteront de la résolution des 15 équations.

65. Propriétés tin polygone funieulaire. — On peut sans avoir recours à la résolution générale de ces 5h -+- t éipiations, rcconnaitrc certaines pnqiriétés des |mlygones funiculaires. Ou peut, par exemple, déterminer les tensions des dilTéreiils cordons, connaissant la force extrême Q et la forme du polygone ou plutôt, les angles formés par les forces avec les côtés; en elfct pour qu’il y ait équilibre autour de cbacun des points A, B, C...., cbacpie force doit être égale et opposée à la résultante des tensions des deux cordons; on doit donc avoir (>’" 8) cette suite de proportions a, h, c, a', b', c' avant la signification indiquée dans la figure 46,

Q : t == sin n' : sin u

t : t’ sin b' ; sin b

: Q' = sin c' : sin c

qiii font connaitre les rapports de toutes les tensions I, l"....Q', à la force Q.

Il est à remarquer du reste que l’équilibre du polygone étant indépendant de lu longueur des cordons, on peut rendre nullcs par la pensée la longueur de quelques-uns d’entre eux, ce qui revient à considérer les forces Q, P, P’... appliquées à une partie du p<d)gone, comme a|)pli((uées en un même point B et la tension t' qui agit .sur ec point

CIIAPlTHr VII.

le mnintipixlru en équilibre. De là rcsiille ce théorème : la tension de charjue cordon est éyate et directement opposée o la résultante de toutes les forces appliquées d'un même côté du cordon et transportées parallèlement « elles-mêmes en un même point. On voit aussi (|uc si toutes les forces, y compris les deux foix’es extrêmes Q et Q', sont transportées parallèlement à ellcs-nièmcs en un point, toutes ees forces s’y feront équilibre.

En multipliant terme à terme toutes ees proportions, il vient

Q : Q' = sin n'. sin b', sin c'... : sin a sin h sin c....

Le rapport de Q à Q' ne dépend donc pas directement des forces P, P'.... mais bien des angles a, b, c, a', b', c'.... Si P, P', P".... étaient des ])oids, les cordons seraient renfermés dans un même plan vertical ; car le plan qui contient les trois forces en équilibre P, Q cl t serait vertical puisqu’il contient la force verticale P. De même le plan qui contient t, P' cl t' serait vertical pour le même motif et se confondrait avec le précédent |)uisqu’ils contiennent tous deux la droite AB et ainsi de suite. Il résulterait aussi du parallélisme des forces

P, P'.... que l’on aurait

sin a' = sin 6, sin à' = sin c eli^.

ce qui réduirait la proportion prérédente à lu forme Q : Q' = sin c : sin a

c’csl-n-dirc, qu’alors les forces Q et Q' sont dans le rapport inverse des sinus des angles formés par Q et Q' avec une verticale. On lire de là

Q sin n = Q' sin c'

qui signifie que si on décompose les tensions extrêmes Q et Q' en deux forces runc horizontale et l’autre verticale, les composantes horizontales de Q cl de Q' sont égales.

CG. Equation de la rhuinette. — Revenons au polygone funiculaire en équilibre (fig. 4C). En divisant toutes les forces en deux groupes

Q, Q' et P, P', P"..., ou peut considérer chaque groupe comme faisant équilibre à l’autre, ce qui aura encore lieu si, sans rien changer aux forces, on suppose que le polygone devienne rigide ou de forme invariable; mais alors les forces P, P', P".... peuvent être composées entre elles et dans le cas où elles ont une résultante, ecllc-ei fera équilibre aux deux tensions extrêmes Q et Q' ; d’où il suit que dans ce cas ees

MATIglE.

cordons cxtrcnics cl la rcsiillnnte prolongés doivent passer par un même point. L’hypothèse de l’existence d’une résultante se réalise lors<|iie toutes les forces P, P', P".... sont parallèles entre elles, et par conséquent lorsqu’elles représentent des poids suspendus à différents points d’un cordon ; niais la résultante de plusieurs poids attachés à un .système de forme invariable est un |ioids unique égal à la somme des premiers et suspendu au centre de gravité de l’ensemble de ces poids; on voit donc que les deux cordons extrêmes prolongés doivent se rencontrer en un point placé dans la verticale passant par le centre de gravité des poids.

Une chaine pesante cl parfaitement flexible, suspendue par ses deux extrémités pouvant être considérée comme un polygone mathématique composé d’un nombre infini de côtés garnis de poids, il s’en suit i|ue si une chaine est suspendue en deux points A et M (fig. 47) et qu’on mène en ces points les tangentes à la courbe que forme la chaine en équilibre, ces deux tangentes extrêmes qui représentent les deux éléments extrêmes de la courbe ou les deux cordons extrêmes du polygone funiculaire, devront se rencontrer en un point E placé dans la verticale KG passant par le centre de gravité G de tons les poids, c’est-à-dire, de la chaîne pesante et si on désigne pur T cl t les pressions exercées sur les points de suspension A cl .M ou les tensions des deux éléments cxtrcnics cl ]iar P le poids de la chaine AM , comme les forces T, l et P doivent se, faire équilibre autour du point E, on devra avoir la proportion

t : P = sin AEP : sin .AEM = sin .AEG : sin AEM.

Cette propriété peut servir à déterminer la forme de la courbe formée par une rhaine en équilibre suspendue par ses deux extrémités A et B, connaissant la loi suivant laquelle varie sa grosseur, c’est-àdire, connaissant la nature de la chaine. Supposons-la d’abord uniformément pesante. Soit M nu point quelconque de la chaine, ayant pour coordonnées x, y, il est évident que quand on le rend fixe, la forme cl les tensions extrêmes de la partie AM ne changent pas; si donc G est le centre de gravité de l’arc AM ou s, comme l’x du centre

V xd»

de gravité G est égal à — (N" 5o) et que l’x du point de rencontre

•Jü

CIUPITHE Vil.

des tangentes AT et M( dont les équations sont, a étant la tangente trigonométrique de l'angle EAX, savoir

y=ax, y— y = ^(x— x),

est visiblement égal à

il résulte de la propriété qu’on vient de démontrer que l'on a

xds

Cette relation , exprimant une propriété commune à tons les points de la courbe, est l’équation de la chaîne. On la met sous une forme plus simple de la manière suivante : dérivons après avoir multiplié par s; il vient

d’où l'on lire en intégrant,

STATIQUE

Pour L'iimincr l’arc s, on dérive de nouveau en rcmplaçanl ds

£pary/l-(g)%til vient

dx*

puis en multipliant par dy et intégrant,

un bien ,

Le signe supérieur doit être employé pour la branche AC et le signe

inférieur pour la branche CB, puisque est positif dans la première

et négatif dans la seconde.

On détermine d en remarquant qu’au point A on a

ce <|ui conduit à

On peut déjà voir que la courbe est rectifiable; car en substituant la valeur (3) de-^ dans l’expression (2) de s, il vient

s — ac=p |/ (i/ — cdy — c’ (3)

En intégrant l’équation différentielle (3) et déterminant la nouvelle constante ])<ir la condition que x cl y sont nuis tous deux au point A, il vient après avoir remplacé par a.

! c loi

<•'1 — y =F (/ [cd—yY — e*

Cette équation de la cliainette contient encore la constante arbitraire c et la constante inconnue a. On les détermine en remarquant que si l

CIlAPITRi: VII.

csl la longueur totale de la chaîne et x' y' les coordonndes du second point de suspension 11, les équations (5) et (C) donnent pour ce point ,

i == ne ip j/(y' — ciVf — c*

qu'il faudra résoudre par approximation pour en tirer les valeurs de c et de H.

Les deux coordonnées du sommet C de la courbe, pour lequel ~ est

<ix

nul, se déduisent de (3) et (6) et sont — clog(</ — a) et al — c. Si on V transporte l’origine des coordonnées en changeant la direction de l’axe Y, l’équation de la courbe devient

d’où l’on tire en passant des logarithmes aux nombres, isolant le radical et élevant au carré,

e' -i- e ' c / ~îrV

La courbe dont on vient de trouver l’équation se nomme chainettv.

(î7. PropriHés de la cliainette. — Si T est la tension en A, t la tension en M cl P le poids de l’iinilé de longueur de ebainc, ps sera le poids P de la chaîne AM, et il résulte de ce que T, t et P se font é(|uilibre autour du point E (N" Ofi) que l’on a

t : ps — sin AEG : sin AEM = cos EA\ : sin AEE ; mais le triangle AEF donne

lang AEF = lang (EFX — EAX) = * y- ;

d’où l'on lire, en tenant compte des équations (2) et (3),

siii AEF =

a-iH

{al — (/)

STATIQUE

ft In |iroporlion donne, en remarquant que eos EA\ est égal n

t = P (cd — y)

<|iii fait eonnnitre la tension en chaque point de la chaînette.

En faisant y nul, on trouve pour la tension T au premier point de suspension ,

T = ped = pc j/î -4- u^,

tension qui sera connue si on a déterminé les constantes c et a. La valeur de t prend ainsi la forme

t = T-py.

Comme py est le poids d’une chaîne de la longueur y et que l'origine <lcs coordonnées peut être considérée comme placée en un point (|ucleonque de la courbe, cette équation apprend que la tension en un jjoint de la chaincUc est d'autant moindre que celui-ci est plus bas et que la différence de tension est égale au poids d’un bout de chainc égal à la différence de niveau des deux points. Au point le plus bas, y est égal à cd — c ; la tension s’y réduit donc à pc.

(î8. Cas oit la chaîne est de grosseur variable. — Nous avons supposé la chaîne uniformément pesante et par conséquent le poids de chaque élément ou de chaque chaînon proportionnel à sa longueur ds. Si on suppose que les poids des chaiiions ds varient suivant une loi quelconque, ds et s devront dans l’équation (1) être remplacés par pds et \iar fpds, p étant une fonction qui désigne le poids de l’unité de longueur de la chaîne à l’extrémité de l’arc s. Supposons, par exemple, le poids de chaque élément proportionnel à sa projection

horizontale dx,^^ devra être égal à une constante h cl l’équation

générale (4) deviendra

fhxdx

fhdx

•’ (Ix

tlx

<l’où